高分突破·微专项1中点模型强化训练类型1利用三角形的中位线定理解题1.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,已知∠ADE=45°,则∠CFE的度数为( B )A.40°B.45°C.50°D.55°2.如图所示,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,连接MN,若AB=8,MN=2,则AC的长是( B )A.10B.12C.14D.163.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2√5,BC=3,E是AC的中点,延长BC至点F,使CF=1BC,连接2EF,则EF的长为√14.类型2利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解题4.如图,在△ABC中,BC=18,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,F,G分别为BC,DE的中点,连接FG,若ED=10,则FG的长为2√14.5.如图,已知在△ABC 中,∠B=25°,点D 在边CB 上,且∠DAB=90°,AC=12BD.则∠BAC 的度数为 105° .类型3 利用等腰三角形“三线合一”的性质解题6.如图,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,点M 为BC 的中点,过点M 作MN ⊥AC 于点N,则MN 的长为 125 .类型4 倍长中线、类中线,构造全等三角形解题7.[2019山东临沂]如图,在△ABC 中,∠ACB=120°,BC=4,点D 为AB 的中点,DC ⊥BC,则△ABC 的面积是 8√3 .8.如图,在△ABC 中,AD 是中线,∠BAC=∠BCA,点E 在BC 的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.证明:如图,延长AD 至点F,使DF=DA,连接CF.在△ABD 和△FCD 中,{AD =FD,∠ADB =∠FDC,BD =CD,∴△ABD ≌△FCD,∴AB=FC,∠B=∠DCF.∵CE=AB,∠BAC=∠BCA,∠ACE=∠BAC+∠B,∴CF=CE,∠ACE=∠BCA+∠DCF=∠ACF.在△ACF 和△ACE 中,{AC =AC,∠ACF =∠ACE,CF =CE,∴△ACF ≌△ACE,∴AE=AF=2AD.9.如图,在△ABC 中,AD 交BC 于点D,点E 是BC 的中点, EF ∥AD 交CA 的延长线于点F,交AB 于点G,已知BG=CF,求证:AD 为△ABC 的角平分线.证明:如图,过点C 作CH ∥AB,交FE 的延长线于点H,则∠B=∠ECH,∠BGE=∠H.∵点E 是BC 的中点,∴BE=CE.在△BEG 和△CEH 中,{∠B =∠ECH,∠BGE =∠CHE,BE =CE,∴△BEG ≌△CEH,∴BG=CH,又∵BG=CF,∴CH=CF,∴∠F=∠H.∵EF ∥AD,∴∠F=∠CAD,∠BGE=∠BAD,又∵∠BGE=∠H,∴∠BAD=∠CAD,∴AD为△ABC的角平分线.高分突破·微专项2截长补短法强化训练1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是AB上的一个动点,若∠B=∠DEC=60°,AB=BC.求证:AD+AE=BC.证明:如图,在BC上取点F,使BF=BE,连接EF.∵AB=BC,BE=BF,∴AE=FC.∵∠B=60°,BF=BE,∴△BEF是等边三角形,∴BF=EF,∠EFB=60°,∴∠EFC=180°-60°=120°.∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠B=120°=∠EFC.∵∠B=∠DEC=60°,∴∠BEC+∠BCE=120°,∠BEC+∠AED=120°,∴∠AED=∠BCE,∴△AED≌△FCE,∴AD=EF,∴AD+AE=EF+CF=BF+CF=BC.2.如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=45°,CA=CB,点E 为BC 的中点,CN ⊥AE 交AB 于N.(1)求证:∠1=∠2;(2)求证:AE=CN+EN.(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=45°,∴∠ACB=90°,∴∠ACN+∠1=90°.∵AE ⊥CN,∴∠2+∠ACN=90°,∴∠1=∠2.(2)证明:方法一(截长法):如图(1),在线段AE 上截取AM=CN,连接CM.图(1)∵AC=BC, ∠1=∠2, AM=CN,∴△ACM ≌△CBN,∴CM=BN,∠ACM=∠B=45°,∴∠MCE=45°,∴∠B=∠MCE.在△MCE 和△NBE 中,{CM =BN,∠MCE =∠B,CE =BE,∴△MCE ≌△NBE,∴EM=EN,∴AE=AM+EM=CN+EN.方法二(补短法):如图(2),延长CN到点M,使CM=AE,连接BM.图(2)∵CB=CA,∠1=∠2,CM=AE,∴△ACE≌△CBM,∴CE=BM=BE,∠CBM=∠ACE=90°,∴∠MBN=45°=∠NBE.在△NBM和△NBE中,{BN=BN,∠NBM=∠NBE, BM=BE,∴△NBM≌△NBE,∴NM=EN,∴AE=CM=CN+NM=CN+EN.3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC下方一点.(1)如图(1),若∠BAC=60°,∠BDC=120°,求证:AD=BD+CD;(2)如图(2),若∠BAC=90°,∠BDC=90°,求证:AD=√22(BD+CD).图(1)图(2)(1)证明:如图(1),延长DC到点E,使CE=BD,连接AE.图(1)∵∠BAC=60°,∠BDC=120°,∴∠ABD+∠ACD=180°.又∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE.又∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD ≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE 是等边三角形,∴AD=DE=CE+CD=BD+CD.图(2)(2)证明:如图(2),延长DC 到点E,使CE=BD,连接AE.∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∴∠ABD+∠ACD=180°,又∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE.又∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD ≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=90°,∴AD=√22DE=√22(CE+CD)=√22(BD+CD).高分突破·微专项3“一线三等角”模型强化训练1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M是边AB的中点,E,G分别是边AC,BC上的一.点,∠EMG=45°,连接EG,若AE=3,则EG=532.[2020合肥45中三模改编]如图,在△ABC中,AB=AC,AB⊥AC,点E是AC的中点,AF⊥BE于点F,连接CF,则∠AFC=135°.3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠AEB=135°,BE=3√2,DE⊥BE交AB于点D,若DE=√2,则AE 的长为3.4.如图,已知∠ABC=90°,AD=BC,CE=BD,AE与CD相交于点M,则∠AMD=45°.5.如图,在矩形ABCD中,△CEF是等腰直角三角形,且直角顶点E是AB上的点(点F在CE的左侧),若AB=8,BC=5,则AF的最小值为3√2.26.如图,已知抛物线y=-1x2与直线AB交于A(-4,-8),B两点,连接AO,BO,若∠AOB=90°,则点B的2坐标为(1,-1).27.[2019江苏无锡]如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4√5,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则△BDE的面积的最大值为8.8.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,点E为BC边上一个动点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,点A落在点P处,当点P在矩形ABCD外部时,连接PC,PD.若△DPC为直角三角形,则BE的长为3或7+√17.4高分突破·微专项4旋转模型强化训练1.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点D是△ABC所在平面上一点,且BD=3,AD=5,则CD的最小值为( A )A.5√2-3B.5-3√2C.2D.12.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,BC=3,将CD以点D为旋转中心逆时针旋转90°,得到ED,连接AE,CE,则△ADE的面积是( A )A.1B.2C.3D.不能确定3.如图,点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F.(1)当∠MDN绕点D转动时,求证:DE=DF;(2)若AB=2,求四边形DECF的面积.(1)证明:连接DC,∵点D为等腰直角三角形ABC斜边AB的中点,∴CD⊥AB,CD=DA,CD平分∠BCA,∴∠ECD=∠DCA=45°.∵DM⊥DN,∴∠EDN=90°,又∠CDA=90°,∴∠CDE=∠FDA.在△CDE和△ADF中,{∠DCE=∠A, CD=AD,∠CDE=∠FDA,∴△CDE≌△ADF,∴DE=DF.(2)∵△CDE≌△ADF,∴S△CDE=S△ADF,∴S四边形DECF =S△ACD=12CD·AD=12.4.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,连接EF.(1)求证:EF=BE+DF.(2)若点E,F分别在CB,DC的延长线上,(1)中结论是否仍然成立?请说明理由.(1)证明:如图(1),将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADG,则C,D,G三点共线,AE=AG,∠GAD=∠EAB,∴∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF=90°-∠FAE=45°,∴∠GAF=∠EAF.又AF=AF,∴△AFG≌△AFE,∴EF=GF=GD+DF=BE+DF.图(1)图(2)(2)不成立.理由:如图(2),将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADG,则点G 在射线DC上,AE=AG,∠GAD=∠EAB,∴∠GAF=90°-∠DAG-∠BAF=90°-∠BAE-∠BAF=90°-45°=45°,∴∠EAF=∠GAF.又AF=AF,∴△AEF ≌△AGF,∴EF=GF=DF-DG=DF-BE.高分突破·微专项1强化训练1.B ∵点D,E,F 分别是AB,AC,BC 的中点,∴DE ∥BC,EF ∥AB,∴∠EFC=∠B=∠ADE=45°.2.B 如图,延长BN 交AC 于点D.在△ANB 和△AND中,∠NAB=∠NAD,AN=AN,∠ANB=∠AND=90°,∴△ANB ≌△AND,∴AD=AB=8,BN=ND.∵M 是△ABC 的边BC 的中点,∴DC=2MN=4,∴AC=AD+CD=12.3.√14 如图,取AB 的中点D,连接DE,CD,则DE ∥BC,DE=12BC,又∵CF=12BC,∴DE=CF,∴四边形DCFE 是平行四边形,∴EF=CD.在Rt △BCD中,∵∠B=90°,BD=12AB=√5,BC=3,∴CD=√BD 2+BC 2=√14,∴EF=CD=√14.4.2√14 如图,连接EF,DF.∵BD ⊥AC,F 为BC 的中点,∴DF=12BC=9.同理,EF=12BC=9,∴FE=FD.又点G 为DE 的中点,∴FG ⊥DE,GE=GD=12DE=5.由勾股定理得FG=2-EG 2=2√14.5.105° 如图,取BD 的中点E,连接AE.∵∠DAB=90°,∴AE=12BD=ED=EB, ∴∠EAB=∠B=25°, ∴∠AED=∠EAB+∠B=50°.∵AC=12DB,∴AC=AE,∴∠ACE=∠AED=50°,∴∠CAE=180°-50°-50°=80°,∴∠BAC=∠CAE+∠EAB=105°.6.125 连接AM,∵AB=AC,点M 为BC 的中点,∴AM ⊥CM,BM=CM=12BC=3.在Rt △ABM 中,∵AB=5,BM=3,∴AM=√AB 2-BM 2=4.∵S △AMC =12MN·AC=12AM·MC,∴MN=AM·MC AC =125.7.8√3 如图,延长CD 至点H,使DH=CD.∵DC ⊥BC,∴∠BCD=90°.∵∠ACB=120°,∴∠ACD=30°.∵点D 为AB 的中点,∴AD=BD.在△ADH 与△BDC 中,DH=CD ,∠ADH=∠BDC,AD=BD,∴△ADH ≌△BDC,∴AH=BC=4,∠H=∠BCD=90°.又∵∠ACH=30°,∴CH=√3AH=4√3,∴S △ABC =S △ACH =12×4×4√3=8√3.8.略 9.略高分突破·微专项2略高分突破·微专项3强化训练1.53 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,∴∠A=∠B=45°,AB=4√2.∵M 是边AB 的中点,∴AM=MB=2√2.易证△AEM ∽△BMG,∴AE BM =AM BG ,即2√2=2√2BG ,∴BG=83,∴CG=BC-BG=43.在Rt △ECG 中,根据勾股定理,得EG=2+CG 2=53.2.135° 如图,过点C 作CG ⊥AF,交AF 的延长线于点G,则EF ∥CG.又∵点E 是AC 的中点,∴AF=FG.∵∠CAG+∠BAF=90°=∠ABF+∠BAF,∴∠CAG=∠ABF.又∵AB=CA,∠AFB=∠CGA=90°,∴△ABF ≌△CAG,∴CG=AF=FG,∴△FCG 是等腰直角三角形,∴∠CFG=45°,∴∠AFC=180°-∠CFG=135°.3.3 如图,过点D 作DF ⊥AC 于点F.∵∠AEB=135°,∴∠CEB=45°,∴△CEB 是等腰直角三角形.又∵BE=3√2,∴BC=CE=3.根据一线三直角模型,可得△EFD ∽△BCE,∴∠FED=∠FDE=45°.又DE=√2,∴EF=DF=1.易证△AFD ∽△ACB,∴AF AC =DF BC .设AF=a,则a a+4=13,∴a=2,∴AE=AF+EF=2+1=3.4.45 如图,过点A 作AN ⊥AB,且AN=BD,连接DN,CN.∵AD=BC,∴△DAN ≌△CBD, ∴∠AND=∠CDB,DN=DC.又∵∠AND+∠NDA=90°,∴∠CDB+∠NDA=90°,∴∠NDC=90°,∴△CDN 是等腰直角三角形,∴∠NCD=45°.∵AN=DB,CE=BD,∴AN=CE.又∵AN ∥CE,∴四边形ANCE 是平行四边形,∴CN ∥AE,∴∠AMD=∠NCD=45°.5.3√22 如图,过点F 作FG ⊥AB 于点G,在GB 上截取GH=FG,连接FH,则△FGH 是等腰直角三角形,∴∠FHG=45°.∵∠CEF=90°,∠B=90°,∴∠FEG+∠BEC=90°=∠ECB+∠BEC,∴∠FEG=∠ECB.又∵EF=CE,∠FGE=∠CBE=90°,∴△EFG ≌△CEB,∴EG=CB,BE=FG=HG,∴BH=EG=BC=5,即BH 为定值,∴点H 为定点.延长HF 交AD 于点I,则△AIH 是等腰直角三角形,∴AI=AH=AB-BH=3,∴IH=3√2,当 AF ⊥IH 时,AF 取最小值,最小值为3√22.6.(1,-12) 如图,分别过点A,B 作AD ⊥x 轴于点D,BC ⊥x 轴于点C.∵∠ADO=∠OCB=∠AOB =90°, ∴根据“一线三直角”模型,可得△AOD ∽△OBC,∴OD AD =BC OC .∵A(-4,-8),∴OD=4,AD=8, ∴BC OC =OD AD =12,∴OC=2BC.设BC=a,则OC=2a,∴点B 的坐标为(2a,-a),代入y=-12x 2,得-a=-12×(2a)2,解得a 1=12,a 2=0(不符合题意,舍去),故点B 的坐标为(1,-12).7.8 过点E 作EH ⊥AB,垂足为点H,过点C 作CG ⊥AB,垂足为点G,如图,设BD=x,∵BC=4√5,易得cos ∠ABC=2√55,∴BG=8,∴DG=8-x.易证△EDH ≌△DCG,∴EH=DG=8-x.∴S △BDE =12·(8-x)·x=-12x 2+4x=-12(x-4)2+8,∴当x=4时,面积取最大值,为8.8.3或7+√174 分∠PDC=90°和∠DPC=90°两种情况讨论.①当∠PDC=90°时,如图(1),易证△ABE是等腰直角三角形,∴BE=AB=3.②当∠DPC=90°时,如图(2),过点P 作BC 的垂线,与BC 的延长线交于点M,与AD 的延长线交于点N,则MN ⊥AD.易证△ABE ≌△EMP,△CMP ∽△PND, ∴MP=BE,EM=AB=3,CM PN =MP ND .设BE=x,则MP=x,∴PN=3-x,CM=x-2,∴x -23−x =x x -2, ∴x 1=7+√174, x 2=7−√174(不合题意,舍去).综上所述,BE 的长为3或7+√174.图(1) 图(2)高分突破·微专项4强化训练1.A 如图,以点A 为旋转中心将△ACD 顺时针旋转90°得到△ABE,则CD=BE.连接DE,易知△ADE 是等腰直角三角形,∴DE=√2AD=5√2.当点B 在线段DE 上时,BE 取最小值,∴CD 的最小值为DE-BD=5√2-3.2.A 如图,过点E 作EN ⊥AD 交AD 的延长线于点N,过点C 作CM ⊥DN 于点M.由旋转可知,CD=DE,∠CDE=90°,易证△END ≌△DMC,∴EN=DM=AM-AD=BC-AD=1,故S △ADE =12×2×1=1,故选A.3.略4.略。
2021年九年级数学中考复习专题：四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（四）1．在△ABC中，过A作BC的平行线，交∠ACB的平分线于点D，点E是BC上一点，连接DE，交AB于点F，∠DEB+∠CAD＝180°．（1）如图1，求证：四边形ACED是菱形；（2）如图2，G是AD的中点，H是AC边中点，连接CG、EG、EH，若∠ACB＝90°，BC＝2AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△CEH全等的三角形（不含△CEH本身）．2．已知：平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，对角线AC⊥CD．（1）如图1，若AD＝6，求平行四边形ABCD的面积．（2）如图2，连接BD交AC于O点，过点A作AE⊥BD于E，连接EC．求证：ED＝AE +EC．3．定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；（2）如图1，四边形ABCD是“等对边四边形”，其中AB＝CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M＝60°，求证：EF＝AB；（3）如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC＝∠ECB＝∠A，线段CE、BD交于点，①求证：∠BDC＝∠AEC；②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．4．我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是奇异三角形．（1）根据定义：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是命题（填“真”或“假”）；（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC 是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，以AB为斜边分别在AB的两侧做直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC 内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠DBC的度数．5．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．6．综合实践：问题情境数学活动课上，老师和同学们在正方形中利用旋转变换探究线段之间的关系探究过程如下所示：如图1，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点．将△DCE以点D为旋转中心，顺时针方向旋转，当点E的对应点E'落在边AB上时，连接CE'．“兴趣小组”发现的结论是：①AE'＝C'E'；“卓越小组”发现的结论是：②DE＝CE'，DE⊥CE'．解决问题（1）请你证明“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论；拓展探究证明完“兴趣小组”和“卓越小组”发现的结论后，“智慧小组”提出如下问题：如图2，连接CC'，若正方形ABCD的边长为2，求出CC'的长度．（2）请你帮助智慧小组写出线段CC'的长度．（直接写出结论即可）7．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶点；若再满足两个顶角和是180°，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D＝180°，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．初步思考（1）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．①点A与点关于BC互为顶针点；②点D与点关于BC互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作（2）在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E、F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点．（不写作法，保留作图痕迹）思维探究②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长，若不相等，请说明理由．8．在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且DM＝DN．（1）如图甲，若∠C＝90°，∠BAC＝60°，AC＝9，∠MDN＝120°，ND∥AB．①写出∠MDA＝°，AB的长是．②求四边形AMDN的周长．（2）如图乙，过D作DF⊥AC于F，先补全图乙再证明AM+AN＝2AF．9．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、N分别是边AC、AB 上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且AN＝AC，求AM的长；（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC．①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由；②求AM、MN的长；（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当且时，求CP的长．10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P是射线BC上一动点（点P不与点B重合），连接AP、DP，点E是线段AP上一点，且∠ADE＝∠APD，连接BE．（1）求证：AD2＝AE•AP；（2）求证BE⊥AP；（3）直接写出的最小值．参考答案1．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠BCD，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEB，∵∠DEB+∠DEC＝180°，∠DEB+∠CAD＝180°，∴∠DEC＝∠DAC，∴ADE+∠DAC＝180°，∴DE∥AC，∴四边形ACED是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，∴菱形ACED是正方形，∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°，AC＝AD＝CE，∵G是AD的中点，H是AC边中点，∴AG＝DG＝CE，∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS），∵BC＝2AC，∴BE＝CE＝AD，∵AD∥BE，∴∠B＝∠DAF，∵∠AFE＝∠BFE，∴△BFE≌△AFD（AAS），∵AD＝CE＝BE，∴△BEF≌△ECH，∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF，△EDG，△CAG，△EBF．2．解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD＝6，∴AC＝CD＝AD＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝33＝18；（2）过C作FC⊥BD于F，∵AE⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∵平行四边形ABCD中，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，OE＝OF，∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，设AC＝AB＝2x，∴AD＝BC＝2x，∴AO＝x，∴BO＝DO＝＝x，∵S△AOB＝AB•AO＝BO•AE，∴AE＝＝＝，∴OE＝OF＝＝x，∴EF＝CF＝x，∴CE＝EF＝x，∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，∴ED＝AE+EC．3．解：（1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等．（2）证明：如图1，取BC的中点N，连结EN，FN，∴EN＝CD，FN＝AB，∴EN＝FN，∵∠M＝60°，∴∠MBC+∠MCB＝120°，∵FN∥AB，EN∥MC，∴∠FNC＝∠MBC，∠ENB＝∠MCB，∴∠ENF＝180°﹣120°＝60°，∴△EFN为等边三角形，∴EF＝FN＝AB．（3）①证明：∵∠BOE＝∠BCE+∠DBC，∠DBC＝∠ECB＝∠A，∴∠BOE＝2∠DBC＝∠A，∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD＝360°，∠BOE+∠EOD＝180°，∴∠AEC+∠ADB＝180°，∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC；②解：此时存在等对边四边形，是四边形EBCD．如图2，作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．∵∠DBC＝∠ECB＝∠A，BC＝CB，∠BFC＝∠BGC＝90°，∴△BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BEF＝∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC＝∠ABD+∠A，∴∠BEF＝∠BDC，∴△BEF≌△CDG（AAS），∴BE＝CD，∴四边形EBCD是等对边四边形．4．（1）解：“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题，理由如下：设等边三角形的边长为a，则a2+a2＝2a2，符合“奇异三角形”的定义，∴“等边三角形是奇异三角形”这个命题是真命题；故答案为：真；（2）解：∵∠C＝90°，∴a2+b2＝c2①，∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，∴a2+c2＝2b2②，由①②得：b＝a，c＝a，∴a：b：c＝1：：；（3）①证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝AB2，∵AD＝BD，∴2AD2＝AB2，∵AE＝AD，CB＝CE，∴AC2+CE2＝2AE2，∴△ACE是奇异三角形；②解：由①得：△ACE是奇异三角形，∴AC2+CE2＝2AE2，当△ACE是直角三角形时，由（2）得：AC：AE：CE＝1：：，或AC：AE：CE＝：：1，当AC：AE：CE＝1：：时，AC：CE＝1：，即AC：CB＝1：，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝75°；当AC：AE：CE＝：：1时，AC ：CE＝：1，即AC：CB＝：1，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵AD＝BD，∠ADB＝90°，∴∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝105°；综上所述，∠DBC的度数为75°或105°．5．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵∠BAC＝54°，∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE，∴∠DAE＝∠DAC＝18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED，∴BF＝＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2，解得：x＝，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，∴∠EFG＝90°＝∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2，解得：y＝，即CG的长为．6．（1）证明：①∵△DE'C'由△DEC旋转得到，∴DC'＝DC，∠C'＝∠DCE＝90°．又∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝90°，∴DA＝DC'，∵DE'＝DE'，∴Rt△DAE≌Rt△DC'E′（HL），∴AE'＝C'E'．②∵点E为BC中点，C'E'＝AE'＝CE，∴点E'为AB的中点．∴BE′＝CE，又∵DC＝BC，∠DCE＝∠CBE'＝90°，∴△DCE≌△CBE'（SAS），∴DE＝CE'，∠CDE＝∠E'CB，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠E'CB+∠CED＝90°，∴DE⊥CE'．（2）解：如图2中，作C′M⊥CD于M，交AB于N．∵AB∥CD，C′M⊥CD，∴C′M⊥AB，∴∠DMC′＝∠C′NE′＝∠DC′E′＝90°，∴∠MDC′+∠DC′M＝90°，∠DC′M+∠E′CN＝90°，∴∠MDC′＝∠E′C′N，∴△DMC′∽△C′NE′，∴＝＝＝2，设NE′＝x，则AM＝AN＝1+x，C′M＝2x，C′N＝（1+x），∵MN＝AD＝2，∴2x+（1+x）＝2，解得x＝，∴CM＝2﹣（1+）＝，MC＝，∴CC′＝＝＝．7．解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：①点A与点D和E关于BC互为顶针点；②点D与点A关于BC互为勾股顶针点，理由：如图2中，∵△BDC是等边三角形，∴∠D＝60°，∵AB＝AC，∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，∴∠A+∠D＝180°，∴点D与点A关于BC互为勾股顶针点，故答案为：D和E，A．（2）线段BE与线段AF长度会相等①如图3中，点E，点F即为所求．②如图4﹣1中，当BE＝AF时，设AE＝x，连接EF．∵BE＝EP＝AF，EF＝EF，∠EAF＝∠FPE＝90°，∴Rt△EAF≌Rt∠FPE（HL），∴PF＝AE＝x，在Rt△DCF中，DF＝10﹣（8﹣x）＝2+x，CD＝8，CF＝10﹣x，∴（10﹣x）2＝82+（2+x）2，解得x＝，∴AE＝如图4﹣2中，当BE＝BC＝AF时，此时点F与D重合，可得AE＝BE﹣AB＝10﹣8＝2．如图4﹣3中，当BE＝AF时，设AE＝x，同法可得PF＝AE＝x，在Rt△CDF中，则有（10+x）2＝82+（18﹣x）2，解得x＝，∴AE＝如图4﹣4中，当BE＝CB＝AF时，点F与点D重合，此时AE＝AB+BE＝AB+BC＝18．综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．8．解：（1）①∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵ND∥AB，∴∠NDA＝∠BAD＝30°，∴∠MDA＝∠MDN﹣∠NDA＝120°﹣30°＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB，∴AB＝2AC＝18，故答案为：90，18；②∵∠ABC＝30°，ND∥AB，∴∠NDC＝30°，又∵∠MDN＝120°，∴∠MDB＝30°，∴∠MAD＝∠NAD＝∠ADN＝∠MBD＝30°，∴BM＝MD，DN＝AN，∵DM＝DN，∴BM＝MD＝DN＝AN，在Rt△ADM中，设MD＝x，则AM＝2x，BM＝MD＝DN＝AN＝x，∵AB＝18，∴3x＝18，∴x＝6，∴AM＝12，MD＝DN＝AN＝6，∴四边形AMDN的周长＝AM+MD+DN+AN＝12+6+6+6＝30；（2）补全图如图乙所示：证明：过点D作DE⊥AB于E，如图丙所示：∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴∠DEM＝∠DFN＝90°，DE＝DF，在Rt△DEA和Rt△DFA中，，∴Rt△DEA≌Rt△DFA（HL），∴AE＝AF，在Rt△DEM和Rt△DFN中，，∴Rt△DEM≌Rt△DFN（HL），∴EM＝FN，∴AM+AN＝AE+EM+AF﹣NF＝2AF．9．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，∴△ANM∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AM＝．（2）①如图2中，∵NA′∥AC，∴∠AMN＝∠NMA′，由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′，∴∠MNA′＝∠A′MN，∴A′N＝A′M，∴AM＝A′N，∵AM∥A′N，∴四边形AMA′N是平行四边形，∵MA＝MA′，∴四边形AMA′N是菱形．②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，∵MA′∥AB，∴＝，∴＝，解得x＝，∴AM＝，∴CM＝，∴CA′＝＝＝，∴AA′＝＝＝，∵四边形AMA′N是菱形，∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′＝，∴OM＝＝＝，∴MN＝2OM＝．（3）如图3中，作NH⊥BC于H．∵NH∥AC，∴＝＝∴＝＝∴NH＝，BH＝，∴CH＝BC﹣BH＝3﹣＝，∴AM＝AC＝，∴CM＝AC﹣AM＝4﹣＝，∵CM∥NH，∴＝，∴＝，∴PC＝1．10．（1）证明：∵∠DAE＝∠PAD，∠ADE＝∠APD，∴△ADE∽△APD，∴＝，∴AD2＝AE•AP（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝90°，∴AB2＝AE•AP，∴＝，∵∠BAE＝∠PAB，∴△ABE∽△APB，∴∠AEB＝∠ABP＝90°，∴BE⊥AP．（3）∵△ADE∽△APD，∴＝，∴＝，∵AD＝2，∴DE最小时，的值最小，如图，作△ABE的外接圆⊙O，连接OD，OE，易知OE＝1，OD＝，∴DE≥OD﹣OE＝﹣1，∴DE的最小值为﹣1，∴的最小值＝．。
专题七三角形及四边形的计算与证明考情分析三角形及四边形的计算与证明是每年必考内容，经常与尺规作图、圆、函数等结合考查，偶尔单独考查．主要考查内容为：(1)求角度、线段长度、图形周长及面积、锐角三角函数值；(2)证明线段垂直、相等，三角形全等或相似，图形为特殊三角形或四边形；(3)判断图形形状，线段或角之间的数量关系．类型三角形例1如图1，在△ABD中，∠A＝90°，过点B作BC∥AD，过点C作CE⊥BD于E，AB＝E C.图1(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若AD＝3，AB＝4，求CD的长．训练 1.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD ＝∠B.图2(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．2．如图3，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE 交AC于F，AD交CE于H.图3(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：FH∥B D.类型四边形例2如图4，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E.图4(1)求证：四边形A O DE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥ED于点E，求∠A O D的度数．训练 3.如图5，在菱形ABCD中，延长BD到E使得BD＝DE，连接AE，延长CD交AE于点F.图5(1)求证：AD＝2DF；(2)如果FD＝2，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．4.如图6，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB，DC交于点E和点F.图6(1)求证：△ADF≌△AB′E；(2)若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积．5．在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝CD，点F为DE边上一点，连接AF，作FG⊥AF交直线DC于点G.(1)如图7，连接AG，若DF＝EF时，判断△AFG的形状，并证明你的结论；(2)如图8，若DF≠EF时．试探究线段AD，DF，DG三者之间的数量关系，并证明你的结论．图7 图8参考答案例1 (1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠EBC . ∵∠A ＝∠CEB ＝90°，AB ＝EC ， ∴△ABD ≌△ECB .(2)解：由△ABD ≌△ECB 可知，EC ＝AB ＝4，BE ＝AD ＝3， ∴BD ＝BC ＝42＋32＝5. ∴DE ＝2.∴CD ＝22＋42＝2 5.训练 1.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ， ∴∠BAP ＝∠DPC .∴△ABP ∽△PCD .∴BP CD ＝AB CP .∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP . (2)解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP . ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C . ∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA .∴BA BC ＝BP BA .∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP10.∴BP ＝253.2．证明：(1)∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形， ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA ＝∠ECD ＝60°.∴∠BCA ＋∠ACE ＝∠ECD ＋∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD . ∵BC ＝AC ，CE ＝CD ，∴△BCE ≌△ACD .(2)由(1)知△BCE ≌△ACD ，则∠CBF ＝∠CAH ，BC ＝AC .又△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在同一条直线上， ∴∠ACH ＝180°－∠ACB －∠HCD ＝60°＝∠BCF . ∴△BCF ≌△ACH .∴CF ＝CH .又∠ACH ＝60°，∴△CHF 为等边三角形． ∴∠FHC ＝∠HCD ＝60°.∴FH ∥BD . 例2 (1)证明：∵AE ∥BD ，ED ∥AC ， ∴四边形AODE 是平行四边形．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ，AC ＝BD .∴OA ＝OD ，∴四边形AODE 是菱形．(2)解：∵四边形ABCD 是矩形，四边形AODE 是菱形， ∴OB ＝OD ，DE ＝OD ，即BD ＝2DE . 又BE ⊥ED ，即∠BED ＝90°， ∴∠DBE ＝30°.∴∠BDE ＝60°. 又ED ∥AC ，∴∠AOD ＝180°－∠BDE ＝180°－60°＝120°. 训练 3.(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ，CD ∥AB .∵BD ＝DE ，∴EF ＝F A .∴DF 是△EAB 的中位线． ∴AB ＝2FD .∴AD ＝2DF .(2)解：如图1，过点D 作DM ⊥AB ，图1∵FD ＝2，∴AB ＝4.∴AD ＝4. ∵∠C ＝60°，∴∠DAB ＝60°. ∴DM ＝DA ·sin 60°＝2 3.∴S 菱形ABCD ＝AB ·DM ＝4×2 3＝8 3. 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠C ＝∠B ′＝90°，AD ＝CB ＝AB ′. ∵∠DAF ＋∠EAF ＝90°，∠B ′AE ＋∠EAF ＝90°， ∴∠DAF ＝∠B ′AE .在△ADF 和△AB ′E 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠B ′，AD ＝AB ′，∠DAF ＝∠B ′AE ，∴△ADF ≌△AB ′E (ASA)． (2)解：由折叠性质得F A ＝FC ，设F A ＝FC ＝x ，则DF ＝DC －FC ＝18－x ， 在Rt △ADF 中，AD 2＋DF 2＝AF 2，∴122＋(18－x )2＝x 2，解得x ＝13. ∵△ADF ≌△AB ′E ，∴AE ＝AF ＝13. ∴S △AEF ＝12·AE ·AD ＝12×12×13＝78.5．解：(1)△AFG 是等腰直角三角形； 证明：如图2，连接CF ，图2在Rt △CDE 中，CE ＝CD ，DF ＝EF ， ∴CF ＝DF ＝EF ，∠ECF ＝∠CDE ＝45°. ∴∠ADF ＝∠ADC ＋∠CDF ＝135°， ∠FCG ＝∠GCE ＋∠ECF ＝135°. ∴∠ADF ＝∠GCF .∵AF ⊥FG ，CF ⊥DE ，∴∠AFG ＝∠DFC ＝90°. ∴∠AFD ＝∠GFC .在△ADF 和△GCF 中，⎩⎨⎧∠ADF ＝∠GCF ，DF ＝FC ，∠AFD ＝∠GFC ，∴△ADF ≌△GCF (ASA)． ∴AF ＝FG .∵∠AFG ＝90°，∴△AFG 是等腰直角三角形． (2)DG ＝AD ＋2DF .证明：如图3，过点F 作FH ⊥DE ，图3由(1)知，∠CDE ＝45°，∴DH ＝2DF ，DF ＝HF ，∠DHF ＝45°. 同(1)的方法得出∠ADF ＝∠GHF .在△ADF 和△GHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠HGF ，∠ADF ＝∠GHF ，DF ＝HF ，∴△ADF ≌△GHF (AAS)．∴AD ＝GH .∴DG ＝DH ＋GH ＝2DF ＋AD .。
