2020年中考数学第22题应用题复习专题(有答案)

22.1 二次函数复习题（一）、学习反馈一、选择题： １.在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系２.已知函数 y ＝(m ＋2)22mx 是二次函数，则 m 等于（ ）A 、±2B 、2C 、－2D 、±３.已知 y ＝ax 2＋bx ＋ c 的图像如图所示，则 a 、b 、c 满足（ ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＜0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0D 、a ＜0，b ＜0，c ＞0４.苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足S ＝gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D ５.抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ） A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点６.抛物线 y ＝x 2－4x ＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（ ） A 、0 B 、4C 、－4D 、2二、填空题：１.抛物线 y ＝－x 2＋1 的开口向_________。

２.抛物线 y ＝2x 2 的对称轴是_________。

３.函数 y ＝2 (x －1)2 图象的顶点坐标为_________。

４.将抛物线 y ＝2x 2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式 为__________________。

５.函数 y ＝x 2＋bx ＋3 的图象经过点(－1, 0)，则 b ＝_________。

６.二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝_________时，y 有最小值。

212stOstOstOstOxyO三题图７.函数 y ＝(x －1)2＋3，当 x_________时，函数值 y 随 x 的增大而增大。

８.将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝_________。

一腰与底的梯形叫做直角梯2020年中考数学第二轮复习教案第二十二讲梯形【强基知识】一、梯形的定义、分类和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。

其中，平行的两边叫做，不平行的两边叫做，两底间的距离叫做梯形的。

2、分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧直角梯形：等腰梯形：特殊梯形一般梯形梯形3、梯形的面积：S梯形=12（上底+下底）×高【注意：要判定一个四边形是梯形，除了要证明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或平行的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑴等腰梯形的对角线⑴等腰梯形是对称图形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑴同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑴对角线的梯形是等腰梯形【注意：1、梯形的性质和判定中“同一底上的两个角相等”不能说成“两底角相等”2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形或形常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】两腰的梯形叫做等腰梯【中考真题考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD⑴BC，CA是⑴BCD的平分线，且AB⑴AC，AB=4，AD=6，则tanB=（）A．23B．22C．114D．55强基训练1－1 （宁波）如图，梯形ABCD中，AD⑴BC，AB=52，BC=4，连结BD，⑴BAD的平分线交BD于点E，且AE⑴CD，则AD的长为（）A．3B．2C．3D．2答案：B考点二：等腰梯形的性质例2 （柳州）如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD⑴BC，连结AC、BD．在平面内将⑴DBC沿BC翻折得到⑴EBC．（1）四边形ABEC一定是什么四边形？（2）证明你在（1）中所得出的结论．强基训练2－1 （杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB⑴DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：⑴GAB是等腰三角形．考点三：等腰梯形的判定例3 （钦州）如图，梯形ABCD中，AD⑴BC，AB⑴DE，⑴DEC=⑴C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．强基训练3－1 （上海）在梯形ABCD中，AD⑴BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．⑴BDC=⑴BCD B．⑴ABC=⑴DAB C．⑴ADB=⑴DAC D．⑴AOB=⑴BOC考点四：梯形的综合应用例4 （扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB⑴CD，⑴B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⑴PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；（3）如图2，若m=4，将⑴PEC沿PE翻折至⑴PEG位置，⑴BAG=90°，求BP长．强基训练4－1 （青岛模拟）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5cm，AD=4cm，BC=10cm，点E从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B移动，点F从点B出发以2cm/s 的速度沿BA方向向点A移动，当点F到达点A时，点E停止运动；设运动的时间为t（s）（0＜t＜2.5）．问：（1）当t为何值时，EF平分等腰梯形ABCD的周长？（2）若⑴BFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使五边形AFECD的面积与⑴BFE的面积之比是3：2？若存在求出t的值；若不存在，说明理由．（4）在点E、F运动的过程中，若线段EF=15154cm，此时EF能否垂直平分AB？强基训练4－2 (2019浙江绍兴)如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（）A. 245B.325C.1234D.2034第二十讲梯形参考答案【中考真题考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质 例1 答案：B 解：⑴CA 是⑴BCD 的平分线， ⑴⑴DCA=⑴ACB ， 又⑴AD⑴BC ， ⑴⑴ACB=⑴CAD ， ⑴⑴DAC=⑴DCA ， ⑴DA=DC ，如图，过点D 作DE⑴AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ， ⑴AB⑴AC ，⑴DE⑴AC （等腰三角形三线合一的性质）， ⑴点F 是AC 中点， ⑴AF=CF ，⑴EF 是⑴CAB 的中位线，⑴EF=12AB=2， ⑴AF DF FC EF==1， ⑴EF=DF=2， 在Rt⑴ADF 中，AF=2242AD DF -=，则AC=2AF=82，tanB=82224AC AB ==． 强基训练1－1 答案：B 考点二：等腰梯形的性质 例2 答案：（1）解：四边形ABEC 一定是平行四边形； （2）证明：⑴四边形ABCD 为等腰梯形，AD⑴BC ， ⑴AB=DC ，AC=BD ，由折叠的性质可得：EC=DC ，DB=BE ， ⑴EC=AB ，BE=AC ， ⑴四边形ABEC 是平行四边形． 强基训练2－1 答案：证明：⑴在等腰梯形中ABCD 中，AD=BC ， ⑴⑴D=⑴C ，⑴DAB=⑴CBA ，在⑴ADE 和AD BC D C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ⑴BCF 中，⑴⑴ADE⑴⑴BCF （SAS ），⑴⑴DAE=⑴CBF ， ⑴⑴GAB=⑴GBA ， ⑴GA=GB ，即⑴GAB 为等腰三角形． 考点三：等腰梯形的判定 例3 答案： 证明：⑴AB⑴DE ， ⑴⑴DEC=⑴B ， ⑴⑴DEC=⑴C ， ⑴⑴B=⑴C ，⑴梯形ABCD 是等腰梯形． 强基训练3－1 答案：C 考点四：梯形的综合应用 例4 答案：解：（1）⑴⑴APB+⑴CPE=90°，⑴CEP+⑴CPE=90°， ⑴⑴APB=⑴CEP ，又⑴⑴B=⑴C=90°， ⑴⑴ABP⑴⑴PCE ， ⑴AB BPPC CE=，即2x m x y =-， ⑴y=-21x 2+2mx ．（2）⑴y=-21x 2+2m x=-21（x -2m ）2+28m ，⑴当x=2m时，y 取得最大值，最大值为28m ．⑴点P 在线段BC 上运动时，点E 总在线段CD 上，⑴28m ≤1，解得m≤22． ⑴m 的取值范围为：0＜m≤22．（3）由折叠可知，PG=PC ，EG=EC ，⑴GPE=⑴CPE ， 又⑴⑴GPE+⑴APG=90°，⑴CPE+⑴APB=90°， ⑴⑴APG=⑴APB ．⑴⑴BAG=90°，⑴AG⑴BC ， ⑴⑴GAP=⑴APB ， ⑴⑴GAP=⑴APG ， ⑴AG=PG=PC ． 解法一：如解答图所示，分别延长CE 、AG ，交于点H，则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，在Rt⑴GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2，即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0⑴由（1）可知，y=-12x2+2mx，这里m=4，⑴y=-12x2+2x，代入⑴式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=23或x=2，⑴BP的长为23或2．解法二：如解答图所示，连接GC．⑴AG⑴PC，AG=PC，⑴四边形APCG为平行四边形，⑴AP=CG．易证⑴ABP⑴GNC，⑴CN=BP=x．过点G作GN⑴PC于点N，则GH=2，PN=PC-CN=4-2x．在Rt⑴GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=23或x=2，⑴BP的长为23或2．解法三：过点A作AK⑴PG于点K，⑴⑴APB=⑴APG，⑴AK=AB．易证⑴APB⑴⑴APK，⑴PK=BP=x，⑴GK=PG-PK=4-2x．在Rt⑴AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，即：（4-2x）2+22=（4-x）2，整理得：x2-8x+4=0，解得：x=23或x=2，⑴BP的长为23或2．强基训练4－1 答案：解：（1）⑴EF平分等腰梯形ABCD的周长，⑴BE+BF=12（AD+BC+CD+AB）=12，⑴10-t+2t=12，t=2；答：当t为2s时，EF平分等腰梯形ABCD的周长；（2）如图，过A作AN⑴BC于N，过F作FG⑴BC于G，则BN=2（BC-AD）=2×（10-4）=3（cm），⑴AN⑴BC ，FG⑴BC ， ⑴FG⑴AN ，⑴ABN⑴⑴FGB ，⑴FG BFAN AB =， ⑴245FG t =，FG=85t ，⑴S ⑴BEF =12×BE×FG=12（10-t ）•85t ，S=-45t 2+8t ；（3）假设存在某一时刻t ，使五边形AFECD 的面积与⑴BFE 的面积之比是3：2， S 五边形AFECD =S 梯形ABCD -S ⑴BFE =12×（4+10）×4-（-45t 2+8t ）=28+45t 2-8t ， 即2（28+45t 2-8t ）=3（-45t 2+8t ），解得：（大于2.5，舍去），t=5；即存在某一时刻t ，使五边形AFECD 的面积与⑴BFE 的面积之比是3：2，t 的值是（5）s ；（4）假设存在EF 垂直平分AB ， 则⑴ABN⑴⑴BEF ，EF DFAN DN =，4EF =EF=3即线段，此时EF 不能垂直平分AB ． 强基训练4－2答案：A解：过点C 作CF⑴BG 于F ，如图所示：设DE=x ，则AD=8-x ，根据题意得：12（8-x+8）×3×3=3×3×6， 解得：x=4， ⑴DE=4， ⑴⑴E=90°，由勾股定理得：CD=2222=4+3=5DE CE +， ⑴⑴BCE=⑴DCF=90°， ⑴⑴DCE=⑴BCF ， ⑴⑴DEC=⑴BFC=90°， ⑴⑴CDE⑴⑴BCF ，⑴CE CDCF CB =， 即358CF =， ⑴CF=245．故选A ．【聚焦中考真题】 一、选择题1．（绵阳）下列说法正确的是（ ） A ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B ．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 C ．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形2．（十堰）如图，梯形ABCD 中，AD⑴BC ，AB=DC=3，AD=5，⑴C=60°，则下底BC 的长为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 二、填空题3．（烟台）如图，四边形ABCD 是等腰梯形，⑴ABC=60°，若其四边满足长度的众数为5，平均数为254，上、下底之比为1：2，则BD= ． 4．（临沂）如图，等腰梯形ABCD 中，AD⑴BC ，DE⑴BC ，BD⑴DC ，垂足分别为E ，D ，DE=3，BD=5，则腰长AB= ．5．（扬州）如图，在梯形ABCD中，AD⑴BC，AB=AD=CD，BC=12，⑴ABC=60°，则梯形ABCD的周长为．6．（盘锦）如图，等腰梯形ABCD，AD⑴BC，BD平分⑴ABC，⑴A=120°．若梯形的周长为10，则AD的长为．7．（六盘水）如图，梯形ABCD中，AD⑴BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于．8．（长沙）如图，在梯形ABCD中，AD⑴BC，⑴B=50°，⑴C=80°，AE⑴CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则边CD的长是．9．（曲靖）如图，在直角梯形ABCD中，AD⑴BC，⑴B=90°，⑴C=45°，AD=1，BC=4，则CD= ．10．（南京）如图，在梯形ABCD中，AD⑴BC，AB=DC，AC与BD相交于P．已知A（2，3），B（1，1），D（4，3），则点P的坐标为．三、解答题11．（滨州模拟）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD⑴BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．12．（玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD⑴BC，AD⑴DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．（1）求证：四边形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD=152，求矩形EMCN的长和宽．13．（深圳）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD⑴BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE．（1）求证：BD=DE．（2）若AC⑴BD，AD=3，S ABCD=16，求AB的长．14．（安溪）已知等腰梯形中，AB=DC=2，AD⑴BC，AD=3，腰与底相交所成的锐角为60°，动点P在线段BC上运动（点P不与B、C点重合），并且⑴APQ=60°，PQ交射线CD于点Q，若CQ=y，BP=x，（1）求下底BC的长．（2）求y与x的函数解析式，并指出当点P运动到何位置时，线段CQ最长，最大值为多少？（3）在（2）的条件下，当CQ最长时，PQ与AD交于点E，求QE的长．第二十讲梯形参考答案【聚焦中考真题】一、选择题1答案：D2答案：A二、填空题3答案：354答案：4155答案：306答案：27答案：198答案：39答案：2310答案：（3，37） 三、解答题11答案：解：结论为：EF⑴AD⑴BC ，EF=12（AD+BC ）．理由如下： 连接AF 并延长交BC 于点G ．⑴AD⑴BC ，⑴⑴DAF=⑴G ，在⑴ADF 和⑴GCF 中， DAF G DFA CFG DF FC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⑴⑴ADF⑴⑴GCF （AAS ），⑴AF=FG ，AD=CG ．又⑴AE=EB ，⑴EF⑴BG ，EF=12BG ， 即EF⑴AD⑴BC ，EF=12（AD+BC ）． 12答案：（1）证明：⑴点A 、F 关于BD 对称，⑴AD=DF ，DE⑴AF ，又⑴AD⑴DC ，⑴⑴ADF 、⑴DEF 是等腰直角三角形，⑴⑴DAF=⑴EDF=45°，⑴AD⑴BC ，⑴⑴G=⑴GAD=45°，⑴⑴BGE 是等腰直角三角形，⑴M ，N 分别是BG ，DF 的中点，⑴EM⑴BC ，EN⑴CD ，又⑴AD⑴BC ，AD⑴DC ，⑴BC⑴CD ，⑴四边形EMCN 是矩形；（2）解：由（1）可知，⑴EDF=45°，BC⑴CD ， ⑴⑴BCD 是等腰直角三角形，⑴BC=CD ，⑴S 梯形ABCD =12（AD+BC ）•CD=12（2+CD ）•CD=152， 即CD 2+2CD -15=0，解得CD=3，CD=-5（舍去），⑴⑴ADF 、⑴DEF 是等腰直角三角形，⑴DF=AD=2，⑴N 是DF 的中点，⑴EN=DN=12DF=12×2=1， ⑴CN=CD -DN=3-1=2，⑴矩形EMCN 的长和宽分别为2，1．13答案：（1）证明：⑴AD⑴BC ，CE=AD ，⑴四边形ACED 是平行四边形，⑴AC=DE ，⑴四边形ABCD 是等腰梯形，AD⑴BC ，AB=DC ， ⑴AC=BD ，⑴BD=DE ．（2）解：过点D 作DF⑴BC 于点F ，⑴四边形ACED 是平行四边形，⑴CE=AD=3，AC⑴DE ，⑴AC⑴BD ，⑴BD⑴DE ，⑴BD=DE ，⑴S ⑴BDE =12BD•DE=12BD 2=12BE•DF=12（BC+CE ）•DF=12（BC+AD ）•DF=S 梯形ABCD =16， ⑴BD=42，⑴BE=2BD=8，⑴DF=BF=EF=12BE=4， ⑴CF=EF -CE=1， ⑴AB=CD=2217CF DF -=．14答案：解：（1）如图1，过点D 作DE⑴AB ，交BC 于E ， ⑴AD⑴BC ，⑴四边形ABED 是平行四边形，⑴BE=AD=3，DE=AB=DC=2， ⑴DE⑴AB ， ⑴⑴DEC=⑴B=60°， ⑴⑴DEC 为等边三角形， ⑴EC=DC=2， ⑴BC=BE+EC=3+2=5；（2）如图2，在⑴CPQ 与⑴BAP 中， ⑴6012120-3C B ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠=︒∠⎩，⑴⑴CPQ⑴⑴BAP ， ⑴CQ ：BP=CP ：BA ，即y ：x=（5-x ）：2， ⑴y=-12x 2+52x ， 当x=552122()2-=⨯-，即当点P 运动到BC 中点时，线段CQ 最长， 此时最大值为250()252184()2-=⨯-； （3）如图3，在（2）的条件下，当CQ 最长时，BP=CP=52，CQ=258， ⑴QD=CQ -CD=258-2=98． ⑴DE⑴CP ，⑴⑴QDE⑴⑴QCP ， ⑴QE ：QP=DE ：CP=QD ：QC ， 即QE ：QP=DE ：52=98：258=9：25， ⑴可设QE=9k ，QP=25k ，且DE=910， ⑴PE=QP -QE=16k ，AE=AD -DE=3-910=2110． 在⑴DEQ 与⑴PEA 中，⑴60QDE APE QED AEP ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ⑴⑴DEQ⑴⑴PEA ，⑴DE ：PE=EQ ：EA ，⑴910：16k=9k ：2110，，解得k=40⑴QE=9k=．40。

华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程单元综合能力提升训练题3（附答案详解）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．223x x y +-=B ．23123x x -=C ．2x x =D ．41x =2．下列一元二次方程有解的是（ ）A ．2(1)2x +=-B ．2(3)10x ++=C ．220x -+=D ．2350x x ++= 3．用配方法解一元二次方程22310x x --=，配方正确的是（ ）．A ．2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．23142x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．231324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D ．231124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4．关于x 的一元二次方程﹣x 2+3x +2＝0，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不等实数根B ．没有实数根C ．有一个实数根D ．有两个相等的实数根5．若关于x 的方程：2(2)210m x x -+-=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥且2m ≠B ．m 1≥C ．1m 月2m ≠D ．12m <≤6．两年前生产1t 某种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1t 该种药品的成本是3000元，若设该药品成本的年平均下降率为x ，则可列方程为（ ） A ．5000(1)3000x +=B ．25000(1)3000x -=C ．25000(1)3000x -=D ．5000(1)3000x -=7．若mn 、是方程2201810x x +-=的两个根，则22m n mn mn +-=（ ） A ．－2018 B ．2018 C ．－2019 D ．20198．一元二次方程（x +1）（x ﹣3）＝x ﹣3根是（ ）A ．0B ．3或﹣1C ．3D ．3或09．若a ，β是一元二次方程x 2－3x －6＝0的两根，则a ＋β的值是（ ）A ．－6B ．－3C ．3D ．610．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是( )11．计算2222018-2018-1220192018-2018-122019 3-201812323⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⎪ ⎪⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭的结果等于（）A．-2017 B．-2018 C．-2019 D．201912．下列不是一元二次方程的是（）A．23x=B．2210x+=C．()223531x x+=-D．2331x x=+ 13．将一元二次方程x2-8x-1＝0配方得___________________．14．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为x m，则列出的方程为___________．15．已知方程27100x x-+=的一个根是2，这个方程的另一个根是____．16．m是方程2x2+3x﹣1＝0的根，则式子2m2+3m+2019的值为_______．17．已知关于x的一元二次方程2210kx x+-=有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是______．18．设a为一元二次方程22320200x x+-=的一个实数根，则2462a a++=__________．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a+3的值为_____．20．若m是方程2x2﹣3x﹣12＝0的一个根，则4m2﹣6m+2018的值为_____．21．由于某型病毒的影响，某地区猪肉价格连续两个月大幅下降．由原来每斤20元下调到每斤13元，设平均每个月下调的百分率为x，则根据题意可列方程为________．22．解分式方程2xx1-+2x1x-=43时，设2xx1-=y，则原方程化为关于y的整式方程是______．23．若一元二次方程20x x m--=有两个不相等的实数根12,x x，且满足12112x x+=-，则m的值是__．24．某村有一人患了登革热，经过两轮传染后共有144人患了登革热，每轮传染中平均一个人传染了__________个人．25．问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排场比赛．（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛；…………（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛．实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手________________次．拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为__________种．26．梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠2016年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2018年达到25万亩.按这两年的平均增长率，请估计2019年该沙漠梭梭树的面积.27．已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根12,x x ．（1）求m 的取值范围；（2）若12,x x 满足1232x x -=，求m 的值．28．每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动.甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售. （1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？ （2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为.乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出8套，现乙卖家先将标价提高%m ，再大幅降价40m 元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了1%2m ，这样一天的利润达到了50000元，求m 的值. 29．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A 、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A 、B 两个品种各种植了10亩．收获后A 、B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100千克，A 、B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A 、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价保持不变，A 、B 两个品种全部售出后总收人将增加20%9a ，求a 的值． 30．解方程（1）2x 2﹣6x ﹣1＝0（2）（x +5）2＝6（x +5）31．解方程：x 2+4x ﹣7＝0．32． 关于x 的一元二次方程x 2-（k+3）x+2k+2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于-3，求k 的取值范围．33．已知多项式()()2219A x x x =++--．（1）化简多项式A 时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请写出正确的解答过程．（2）小亮说：“只要给出221x x -+的合理的值，即可求出多项式A 的值．”小明给出221x x -+值为4，请你求出此时A 的值．小明的作业解：()()2219A x x x =++--22 2 4 9x x x x =+++--①② ③④35x =-34．用适当方法解方程：-x(x -3)=2(x -3)35．解方程:(1)x 2+x-3=0(2)x 2-6x=16(3)2(x-3)=3x(x-3)36．解下列方程：（1）23510x x -+=（配方法） （2）()()315x x +-=（公式法）参考答案1．C【解析】【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【详解】A. 223x x y +-=含有两个未知数，不是一元二次方程B. 23123x x -=是分式方程， C. 2x x =是一元二次方程，D. 41x =是一元四次方程；故选：C ．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2．C【解析】【分析】根据直接开平方法的条件以及根的判别式可得结果.【详解】解：A 、2(1)2x +=-，方程左边为非负数，右边为负数，故无解，本选项不符合题意；B 、2(3)10x ++=化为2(3)=1x +-，方程左边为非负数，右边为负数，故无解，本选项不符合题意；C 、220x -+=化为22x =，方程左边为非负数，右边为2，故有解，本选项符合题意；D 、2350x x ++=，判别式32-4×1×5=-11＜0，故方程无解，本选项不符合题意； 故选C.【点睛】本题考查了一元一次方程根的情况，根据方程的形式以及判别式判断方程解的情况是解题的关键.3．A【解析】【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.【详解】解：22310x x --=移项得2231x x -=，二次项系数化1的23122x x -=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即2317416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故选：A【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4．A【解析】【分析】根据判别式与0的关系判断方程的实数根.【详解】∆=24b ac -=234(1)217-⨯-⨯=∵17>0∴关于x 的一元二次方程﹣x 2+3x +2＝0有两个不等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，根据判别式与0的关系判断方程根的情况.5．B【分析】当m−2＝0，关于x 的方程2(2)210m x x -+-=有一个实数根，当m−2≠0时，列不等式即可得到结论．【详解】当m−2＝0，即m ＝2时，关于x 的方程2(2)210m x x -+-=有一个实数根，当m−2≠0时，∵关于x 的方程2(2)210m x x -+-=有实数根，∴△＝22+4（m−2）×1≥0，解得：m ≥1，∴m 的取值范围是m ≥1，故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．6．C【解析】【分析】若这种药品的年平均下降率为x ，则现在的成本为25000(1)-x ，又现在成本为3000元，故由此即可列出方程．【详解】解：设这种药品的年平均下降率为x ，5000(1-x )2=3000．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7．D【分析】根据根与系数的关系得到m ＋n ＝−2018，mn ＝−1，把22m n mn mn +-=分解因式得到mn （m ＋n−1），然后利用整体代入的方法计算．【详解】∵m 、n 是方程2201810x x +-=的两个根，∴m ＋n ＝−2018，mn ＝−1，则原式＝mn （m ＋n−1）＝−1×（−2018−1）＝−1×（−2019）＝2019，故选D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为x 1与x 2，则x 1＋x 2＝−b a ，x 1•x 2＝c a ．解题时要注意这两个关系的合理应用． 8．D【解析】【分析】先移项得到（x +1）（x ﹣3）﹣（x ﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【详解】∵（x +1）（x ﹣3）﹣（x ﹣3）＝0，∴x （x ﹣3）＝0，则x ＝0或x ﹣3＝0，解得：x 1＝0，x 2＝3，故选：D ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. 9．C【解析】【分析】根据已知，直接利用根与系数的关系12b x x a+=-求解即可. 【详解】∵a ，β是一元二次方程x 2－3x －6＝0的两根，∴由根与系数的关系，得：3αβ+=， 故选：C .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答的关键. 10．D【解析】【分析】先利用因式分解法解方程得到所以16x =，210x =，再分类讨论：当第三边长为6时，如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，8BC =，作AD BC ⊥，则4BD CD ==，利用勾股定理计算出25AD =，接着计算三角形面积公式；当第三边长为10时，利用勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算三角形面积．【详解】解：216600x x -+= (6)(10)0x x --=，60x -=或100x -=，所以16x =，210x =，I ．当第三边长为6时，如图，在ABC ∆中，6AB AC ==，8BC =，作AD BC ⊥，则4BD CD ==，22226425AD AB BD =-=-所以该三角形的面积182=⨯⨯= II ．当第三边长为10时，由于2226810+=，此三角形为直角三角形， 所以该三角形的面积186242=⨯⨯=， 综上所述：该三角形的面积为24或．故选：D ．【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．11．B【解析】【分析】是23201820190x x -+=的一个根，据此可求解．【详解】是23201820190x x -+=的一个根，∴201823x =⨯是2320182019x x -=-的一个根，则23-201812323⎛⎛⨯⨯+ ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭2320181x x =-+ 20191=-+2018=-．故选：B ．【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的求根公式，求得x =是23201820190x x -+=的一个根是解题的关键．12．C【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）是整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项系数不为0．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：A 、正确，符合一元二次方程的定义；B 、正确，符合一元二次方程的定义；C 、错误，整理后不含未知数，不是方程；D 、正确，符合一元二次方程的定义．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．13．（x -4）2 =17【解析】【分析】先移项，然后根据完全平方公式配方即可【详解】解：x 2-8x -1＝0x 2-8x ＝1x 2-8x +16＝1+16（x -4）2 =17故答案为：（x -4）2 =17．【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键．14．x （16-2x ）=30【解析】【分析】先根据篱笆的总长求出生物园的长，再根据长方形的面积公式即可得．【详解】由题意得：生物园的长为(162)x m -则由长方形的面积公式得：(162)30x x -=故答案为：(162)30x x -=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确求出生物园的长是解题关键． 15．5【解析】【分析】设方程的另一个根为x ，根据根与系数的关系得到2•x =10，然后解x 的一次方程即可．【详解】设方程的另一个根为x ，根据题意得2•x =10，解得x =5，即方程的另一个根为5．故答案是：5．【点睛】考查了根与系数的关系：若12,x x 是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，1212,b c x x x x a a+=-=． 16．2020【解析】【分析】先根据一元二次方程根的定义得到22310m m +-=，则2231m m +=，然后利用整体代入得方法计算即可．【详解】∵m 是方程2x 2+3x ﹣1＝0的根，∴22310m m +-=，∴2231m m +=，∴2m 2+3m+2019=2232019120192020m m ++=+=.故答案为：2020.【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于利用整体代入得方法计算即可．17．1k >-且0k ≠【解析】【分析】根据判别式对一元二次方程根的影响情况进行列式解答即可.【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根∴k≠0且22=4240b ac k -=+>解得k≠0，1k >-∴答案为k≠0且k>-1.【点睛】本题考查的是判别式对一元二次方程根的影响，知道关于x 的方程是一元二次方程的前提是k≠，且一元二次方程有两个根的条件是判别式大于0是解题的关键.18．4042【解析】【分析】由题意，得到2232020a a +=，然后整体代入，即可得到答案．【详解】解：∵a 为一元二次方程22320200x x +-=的一个实数根，∴2232020a a +=，∴224622(23)22202024042a a a a ++=++=⨯+=；故答案为：4042．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及整体代入法求代数式的值，解题的关键是正确得到2232020a a+=．19．9．【解析】【分析】由已知可得4a﹣2b+3＝0，再将所求式子化为﹣2（4a﹣2b）+3，最后整体代入即可．【详解】解：∵x＝2是方程ax2﹣bx+3＝0的根，∴4a﹣2b+3＝0，423a b∴-=-．∵4b﹣8a+3＝﹣8a+4b+3＝﹣2（4a﹣2b）+3，∴4b﹣8a+3＝﹣2×（﹣3）+3＝9，故答案为：9．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根和代数式求值，掌握一元二次方程的根的概念和整体代入法是解题的关键．20．2019【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】由题意可知：2m2-3m-12=0，∴2m2-3m=12，∴原式=2（2m2-3m）+2018=2019．故答案为：2019．【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．21．220(1x)13-=【解析】【分析】设平均每次下调的百分率为x ，根据“由原来每斤20元下调到每斤13元”，即可得出方程．【详解】解：设平均每次下调的百分率为x ，则第一次每斤的价格为：20（1-x ），第二次每斤的价格为20（1-x ）2=13；所以，可列方程：20（1-x ）2=13．故答案为：20（1-x ）2=13．【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b.22．y 2-43y+1=0 【解析】【分析】根据换元法，可得答案．【详解】 解：设2x x 1-=y ，则原方程化为y+1y -43=0 两边都乘以y ，得y 2-43y+1=0， 故答案为：y 2-43y+1=0． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．23．12【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣m ，根据“1211+x x ＝﹣2”，整理代入，得到关于m 的分式方程，解之即可．【详解】解：根据题意得：x 1+x 2＝1，x 1x 2＝﹣m ，1211+x x ＝1212x x x x + ＝﹣1m＝﹣2， 则1m＝2， 解得：m ＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．11【解析】【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意列方程求解即可．【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意得()21+144x =解得1211,13x x ==-∵0x >∴11x =故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次方程的传播问题，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．25．（1）10，10；（2）15；（3）()21n n -；（4）861；（5）30【解析】【分析】 （1）根据图①线段数量进行作答．（2）根据图②线段数量进行作答．（3）根据每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，提出假设，当56n =， 时均成立，假设成立．（4）根据题意，代入()21n n -求解即可．（5）根据题意，代入()1n n ⨯-求解即可．【详解】（1）由图①可知，图中共有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．（2）由图②可知，图中共有15条线段，所以该校一共要安排15场比赛．（3）根据图①和图②可知，若学校有n 支足球队进行单循环比赛，则每个点存在n-1条与其他点的连线，而每两个点之间的线段都重复计算了一次∴若学校有n 支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排()21n n -场比赛．当56n =， 时均成立，所以假设成立．（4）将n=42代入关系式中()()42421861221n n ⨯-=-= ∴全班同学总共握手861次．（5）因为行车往返存在方向性，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况将n=6代入()1n n ⨯- 中解得()()166130n n ⨯-=⨯-=∴要准备车票的种数为30种．【点睛】本题考查了归纳总结和配对问题，求出关于n 的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．26．31.25万亩【解析】【分析】根据题意可得等量关系: 2016年的梭梭树面积⨯ (1+增长率) 2=2018年的亩梭梭数面积，根据等量关系列出方程即可算出增长率，即可算出2019年该沙漠梭梭树的面积.【详解】解：设这两年的年平均增长率为x ，依题意得：()216125x += 解方程，得194x =- （不合题意，舍去），214x = 所以估计2019年该沙漠梭梭树的面积为125131.254⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭（万亩） 答:估计2019年该沙漠梭梭树的面积约为31.25万亩【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1).a x b ±= 27．（1）5m ≤；（2）4【解析】【分析】（1）根据题意原方程有两个实数根，即其根的判别式大于或等于零，由此进一步列出关于m 的不等式求解即可； （2）根据根与系数的关系得出126x x +=，124x x m ⋅=+，据此结合1232x x -=先求出1x ，2x 的值，然后进一步代入124x x m ⋅=+求出m 的值即可.【详解】（1）∵原方程有两个实数根，∴()()26440m =--+≥，解得：5m ≤；（2）∵1x ，2x 是原方程的根，∴126x x +=，124x x m ⋅=+又∵1232x x -=，∴12x =，24x =，∴424m +=⨯，∴4m =.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.28．（1）1200；（2）50【解析】【分析】（1）设降价x 元，才能使利润率不低于20%，根据售价-成本=利润，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设降价x 元，才能使利润率不低于20%，根据题意得：80000.95000500020%x ⨯--≥⨯，解得：1200x ≤．答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．（2）根据题意得：[]18000(1%)40500081%500002m m m ⎛⎫+--⨯+= ⎪⎝⎭整理得：2275162500m m +-=，解得：150m =，2325m =-（不合题意，舍去）．答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．29．（1）A 品种去年平均亩产量是400、B 品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．【解析】【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；（2）根据题意分别表示A 品种、B 品种今年的收入，利用总收入等于A 品种、B 品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．【详解】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 、y 千克，由题意得1002.410 2.41021600y x x y =+⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得400500x y =⎧⎨=⎩． 答：A ．B 两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克（2）根据题意得：()()()20244001%241%50012%216001%9a a a a ⎛⎫⨯+++⨯+=+ ⎪⎝⎭． 令a %=m ，则方程化为：()()()20244001241500122160019m m m m ⎛⎫⨯+++⨯+=+⎪⎝⎭． 整理得10m 2-m =0，解得：m 1=0（不合题意，舍去），m 2=0.1所以a %=0.1，所以a =10，答：a 的值为10．【点睛】 本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．30．（1）32x ±=；（2）x ＝﹣5或x ＝1． 【解析】【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）∵a =2，b =﹣6，c =﹣1，∴△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44＞0，则x 6342±==； （2）∵(x +5)2﹣6(x +5)=0，∴(x +5)(x ﹣1)=0，则x +5=0或x ﹣1=0，解得：x =﹣5或x =1．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解答本题的关键．31．12x =﹣22x =﹣【解析】【分析】首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】2470x x +=﹣，移项得：247x x +=，配方得：24474x x ++=+，即：2(2)11x +=，解得2x +=：即12x =﹣22x =﹣【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成2()x m n +=的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．32．（1）详见解析；（2）k ＜-4．【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k-1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2=k+1，根据方程有一根小于-3，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程x 2-（k+3）x+2k+2=0中，△=[-（k+3）]2-4×1×（2k+2）=k 2-2k+1=（k-1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x 2-（k+3）x+2k+2=0，∴（x-2）（x-k-1）=0，∴x 1=2，x 2=k+1．∵方程有一根小于-3，∴k+1＜-3，解得：k ＜-4，∴k 的取值范围为k ＜-4．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-3，找出关于k 的一元一次不等式．33．（1）①，见解析；（2）此时A 的值为10或10-．【解析】【分析】（1）根据整式的乘法、加减法即可得；（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x 的值，再代入（1）中的化简结果即可得．【详解】（1）出现错误的是①，正确的解答过程如下：22449A x x x x =+++--55x =-；（2）2214x x -+=()214x -=12x -=或12x -=-3x ∴=或1x =-方法一：当3x =时，53510A =⨯-=当1x =-时，()51510A =⨯--=-方法二：当12x -=时，()515210A x =-=⨯=当12x -=-时，()()515210A x =-=⨯-=-综上，此时A 的值为10或10-．【点睛】本题考查了整式的乘法、加减法、解一元二次方程等知识点，掌握各运算法则和方程解法是解题关键．34．1223x x =-=，【解析】【分析】先将方程化简【详解】解：2326x x x -+=-化简得260x x --=(2)(3)0x x +-=解得1223x x =-=，.【点睛】本题考查了一元二次方程，其解法有直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据方程的特点选择合适的方法是解题的关键.35．(1) x 1=12-，x 2=12+- (2) x 1=8，x 2=-2(3) x 1=3，x 2=23 【解析】【分析】（1）根据公式法即可求解；（2）根据因式分解法即可求解；（3）根据因式分解法即可求解；【详解】(1)x 2+x-3=0a=1,b=1,c=-3∴△=1+12=13＞0∴x=12-±∴x 1x 2=； (2)x 2-6x=16x 2-6x-16=0（x-8）（x+2）=0∴x-8=0或x+2=0解得x 1=8，x 2=-2；(3)2(x-3)=3x(x-3)2(x-3)-3x(x-3)=0(x-3) (2-3x)=0∴x-3=0或2-3x=0解得x 1=3，x 2=23． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法．36．（1）156x +=，256x = （2）14x =-，22x =【解析】【分析】（1）根据配方法即可求解；（2）先化为一般式，再利用公式法即可求解．【详解】（1）23510x x -+= 251033x x -+= 25133x x -=- 2525125336336x x -+=-+ 2513()636x -=56x -=∴1x =2x = （2）()()315x x +-=2235x x +-=2280x x +-=故a=1，b=2，c=-8∴△=4+32=36∴x ==262-± ∴x 1=-4，22x =．【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知其解法的运用．。

武汉市中考数学第22 题复习专题1. 我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A、B 两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元•用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样.(1)求A、B 两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元•写出y 与m之间的函数关系式，并写出商店能获得最大利润的进货方案；(3)由于市场浮动，A型电动自行车的进货价格下调 a (100 v a v 300)元，此时商店能获得最大利润为14400，求a值.2. 为迎接军运会，武汉市政府启动了梁子湖水质提升方案，其中治理所需的部分原料450吨由某公司存放于甲、乙两个仓库，如果运出甲仓库所存原料的30%，乙仓库所存原料的20%，那么乙仓库剩余的原料与甲仓库剩余的原料一样多.(1) 求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？(2) 现公司将300 吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨•经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨(10< a w 30),从乙仓库到工厂的运价不变.设从甲仓库运m 吨原料到工厂，求出总运费w 关于m 的函数解析式(不要求写出m 的取值范围)；⑶若在⑵的条件下，请根据函数的性质说明：随着m的增大，w的变化情况.3. 某年5 月，我国南方某省A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人被迫转移，邻近县市C、D获知A、B两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区.已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往A、B两市.已知从C市运往A、B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A、B 两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨.（1）请填写下表（2）设C、D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）经过抢修，从D市到B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m>0）,其余路线运费不变.若C、D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围.4. 某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元,只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x （x为正整数）.（I）根据题意，填写下表:若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？（川）当x>20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.5、（10分）某企业拥有一条生产某品牌酸奶的生产线，已知该酸奶销售额为4800元时的销量比相售额为800元时的销量要多500瓶。

2020年浙江省绍兴市中考数学第22题四边形专题训练1.（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE 的长；（2）如图，在（1）的条件下，连结AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长.2.如图正方形ABCD的边长为4，E、F分别为DC、BC中点.（1）求证：△ADE≌△ABF.（2）求△AEF的面积.3.小儒在学习了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”之后做了如下思考：（1）他认为该定理有逆定理，即“如果一个三角形某条边上的中线等于该边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”应该成立，你能帮小儒证明一下吗？如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AD＝BD＝CD，求证：∠BAC＝90°.（2）接下来，小儒又遇到一个问题：如图②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一点E，使得AE⊥CE，求证：BE⊥DE，请你作出证明，可以直接用到第（1）问的结论.（3）在第（2）问的条件下，如果△AED恰好是等边三角形，直接用等式表示出此时矩形的两条邻边AB 与BC的数量关系.4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF.则线段BE和AF数量关系________.（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α(0°＜α≤360°)，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在(2)的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值.5.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点c重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；（2）猜想与发现：在(1)的条件下，请判断DM，MN的数量关系和位置关系，得出结论．结论1：DM，MN的数量关系是________；结论2：DM，MN的位置关系是________；（3）拓展与探究：如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F.（1）求证：△BOF≌△DOE；（2）当EF⊥BD时，求AE的长.7.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.①若AB＝CD＝1，AB∥CD，则对角线BD的长为________；②若AC⊥BD，求证：AD＝CD；________（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD,BC于点E,F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.直接写出AE的长为________.8.如图，在▱ABCD中，BC＝2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC.（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的长.9.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，点E在边CD上移动连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′CE，点B、C的对应点分别为点B′、C′（1）当点E与点C重合时，设B′C′与AD的交点为F，若AD＝4DF，则AD＝________（2）若AD＝6，B′C′的中点记为P，则DP的取值范围是________10.类比等腰三角形的定义，我们定义：有三条边相等的凸四边形叫做“准等边四边形”（1）已知：如图1，在“准等边四边形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的长；（2）在探究性质时，小明发现一个结论：对角线互相垂直的“准等边四边形”是菱形.请你判断此结论是否正确，若正确，请说明理由；若不正确，请举出反例；（3）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝2.在AB的垂直平分线上是否存在点P使得以A，B，C，P为顶点的四边形为“准等边四边形”？若存在，请求出该“准等边四边形”的面积；若不存在，请说明理由.11.现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点.将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C于F.（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积.12.（1）【问题探究】如图①，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝DF.线段BE与AF相交于点G，GH是△BFG的中线.①求证：△ABE≌△DAF.②判断线段BF与GH之间的数量关系，并说明理由.（2）【问题探究】如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.点E在边AD上，点F在边CD上，且AE＝2，DF＝3，线段BE与AF相交于点G.若GH是△BFG的中线，则线段GH的长为________.13.已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，△AEF＝90°（1）如图①，已知点F在CD边上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的长；（2）如图②，已知AE＝EF，G为AF的中点，试探究线段AB，BE，BG的数量关系；（3）如图③，点E在矩形ABCD的BC边的延长线上，AE与BG相交于O点，其他条件与（2）保持不变，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面积.14.定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB//CD，求对角线BD的长.②若AC⊥BD，求证：AD=CD.（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形.求AE的长.15.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF.（1）求证：四边形BFEP为菱形；（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求Rt△CED的内切圆半径的取值范围.16.如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF=DE，连接FC．（1）若DE=1，CF= 2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE= √3 AC．17.如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE=CA，连接AE.F为AB上的一点，且BF=DE，连接FC.（1）若DE=1，CF= 2√2，求CD的长；（2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG=60°，求证：AF+CE= √3 AC.18.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC边上的一个动点，DF⊥AE，垂足为点F，连结CF（1）若AE＝BC①求证：△ABE≌△DFA；②求四边形CDFE的周长；③求tan∠FCE的值；（2）探究：当BE为何值时，△CDF是等腰三角形.19.如图1，在正方形ABCD中，点E为边AB上的点，BE：AE＝n，连结DE、BD，过点A作AG⊥DE，垂足为点F，与BC、BD分别交于点G、H，连结EH.（1）①求证：△ADE≌△BAG；②求证：DH：BH＝n+1；（2）如图2，当EH∥AD时，求n的值.20.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.①若点G为DE的中点，求FG的长.②若DG＝GF，求BC的长.（2）已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.答案1. （1）解：∵AB ＝AC ＝2，∠A ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，BC ＝ 2√2 ，∵四边形DEFG 是正方形，∴DE ＝DG ＝GF ＝EF ，∠DGF ＝∠EFG ＝90°，∴∠BGD ＝∠CFE ＝90°，∴∠B ＝∠BDG ＝45°，∠C ＝∠CEF ＝45°，∴BG ＝DG ， CF ＝EF ，∴BG=FG=FC=DE ，∴DE ＝ 13 BC ＝2√23 .（2）解：∵DE ∥BC ，∴ MN GF =AN AF =AE AC =DE BC ， ∴ 2√23=13 ，∴MN ＝2√29（3）解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝108°，∴∠B ＝∠C ＝36°，∵BA ＝NB ，∴∠ANB ＝∠BAN ＝72°，∵AM ＝AN ，∴∠AMN ＝∠ANM ＝72°，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAN ＝36°，∴BM ＝AM ＝AN ，设MN ＝x ，则AN ＝AM ＝BM ＝2﹣x.∵△NAM ∽△NBA ，∴AN 2＝NM •NB ，∴（2﹣x ）2＝2x ， ∴x ＝3﹣ √5 或3+ √5 （舍弃） ∴MN ＝3﹣ √5 .2. （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠D=∠B=90°，DC=CB ，∵E 、F 为DC 、BC 中点，∴DE= 12 DC ，BF= 12 BC ，∴DE=BF ，在△ADE和△ABF中，{AD=AB∠B=∠DDE=BF，∴△ADE≌△ABF（SAS）（2）解：由题知△ABF、△ADE、△CEF均为直角三角形，且AB=AD=4，DE=BF= 12×4=2，CE=CF= 12×4=2，∴S△AEF=S正方形ABCD﹣S△ADE﹣S△ABF﹣S△CEF=4×4﹣12×4×2﹣12×4×2﹣12×2×2=63. （1）证明：∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°∴∠B+∠C＝90°，∴∠BAC＝90°（2）解：如图②，连接AC，BD，OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD =12 AC =12BD，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴OE =12AC，∴OE =12BD，∴∠BED＝90°，∴BE⊥DE（3）解：如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，由（2）知，∠BED＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝30°，过点B作BF⊥AE于F，∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，∴AB＝2BF，AF＝√3 BF，∴AE＝2 √3 BF，∴AE＝√3 AB，∴BC＝√3 AB.4.（1）BE＝AF（2）解：成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠BDE=∠ADFDE=DF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠BDE=∠ADFDE=DF，∴△BDE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF；综上所述，(1)中的结论BE＝AF成立（3）AE的最大值为3.5. （1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，CE=CF。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数解答题专题训练1．如图，已知抛物线26y ax bx +＝＋经过A (-1,0)，B (3,0)两点，C 是抛物线与y 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P (m ，n )在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC 的面积为S 求S 关于m 的函数解析式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值．2．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象经过点70,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点11,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求此二次函数的解析式；(2)当22x -≤≤时，求二次函数2y x bx c =++的最大值和最小值；(3)点P 为此函数图象上任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ x ∥轴，点Q 的横坐标为21m -+．已知点P 与点Q 不重合，且线段PQ 的长度随m 的增大而减小．求m 的取值范围；3．次函数22y ax bx =++的图象交x 轴于点A （－1，0），B （4，0），两点，交y 轴于点C ，动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒．(1)求二次函数22y ax bx =++的表达式；(2)连接BD ，当32t =时，求⊥DNB 的面积；(3)在直线MN 上存在一点P ，当⊥PBC 是以⊥BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点P 的坐标．4．如图抛物线232y ax x c =++(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，若点A 坐标为(﹣2,0)，点C 坐标为(0,4)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，请用尺规在图1中作出这样的点P ，并直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．5．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，B 两点，与y 轴交于点()0,2C ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式．(2)点P 是第三象限抛物线上一点，直线PE 与y 轴交于点D ，BCD △的面积为12，求点P 的坐标．(3)在（2）的条件下，若点E 是线段BC 上点，连接OE ，将OEB 沿直线OE 翻折得到OEB '△，当直线EB '与直线BP 相交所成锐角为45︒时，求点B '的坐标．6．如图，直线3y x =-交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，抛物线24y ax x c =++经过点A ，B ，顶点为点C ．(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标．(2)将抛物线24y ax x c =++向下平移m 个单位长度，点C 的对应点为D ，连接AD ，BD ，若2ABD S =，求m 的值．7．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，点C 在直线AB 上，过点C 作CD x ⊥轴于点()1,0D ，将ACD △沿CD 所在直线翻折，使点A 恰好落在抛物线上的点E 处．(1)求抛物线解析式；(2)连接BE ，求BCE 的面积；(3)拋物线上是否存在一点P ，使PEA BAE ∠=∠？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线2412y ax ax a =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 点B 点的左边），与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为(4,3)．(1)求抛物线的解析式与A 、B 两点坐标；(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD △面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，求点Q 的坐标．9．如图，已知抛物线 24y x =- 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 位于点 B 的左侧），C 为顶点，直线 y x m =+ 经过点 A ，与 y 轴交于点 D ．(1)求线段 AD 的长；(2)沿直线 AD 方向平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为 C，若点 C 在反比例函数 3y x =- 的图象上．求新抛物线对应的函数表达式．10．如图，抛物线的顶点为C (1，9)，与x 轴交于A ，B (4，0)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y 轴交点为D ，求BCD S △．11．如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于A (2，0)，B (-6，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在坐标平面内是否存在一点P ，使得Q 、B 、A 、P 围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴相交于点A 和点()10B ,，与y 轴相交于点()0,3C ，抛物线的对称轴是直线1x =-．(1)求二次函数的表达式及A 点的坐标；(2)D 是抛物线的顶点，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线BE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并说明理由．13．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与坐标轴分别交于点A (0，8)、B (8，0)和点E ，动点C 从原点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位长度移动，动点D 从点B 开始沿BO 方向以每秒1个单位长度移动，动点C 、D 同时出发，当动点D 到达原点O 时，点C 、D 停止运动．(1)直接写出抛物线的解析式：(2)求CED 的面积S 与D 点运动时间t 的函数解析式；当t 为何值时，CED 的面积最大？最大面积是多少？14．如图，抛物线()23202y ax x a =--≠的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知点B 坐标为()4,0．(1)求该抛物线相应的函数表达式；(2)判断ABC的形状，并说明理由．15．如图，抛物线2=-++的图像过点A(3，0)，对称轴为直线1y x bx cx=，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为B．若点P(0，m)，在y轴正半轴上运动，点Q为抛物线一动点，且在第四象限，连接PQ交x轴于点E，连接BE．(1)求抛物线的解析式(2)当m=1.5时，且满足以P、O、E三点构成三角形与BCP相似，求PBE的面积．(3)当以点B、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时，写出点P的坐标，点Q坐标．16．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4)．(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使⊥BDQ中BDQ的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线22y x x c =-+的顶点A 在直线l ：5y x =-上．(1)求抛物线的解析式及顶点A ；(2)设抛物线与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ，D （C 点在D 点的左侧），判断⊥ABD 的形状；(3)直线l 与x 轴交于点E ，点P 在射线AE 上运动，当PDE △与PAB △的面积相差为2时，利用备用图，求出此时点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，过点()0,4A 、()5,9B 两点的抛物线的顶点C 在x 轴正半轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C 的坐标；(3)(),P x y 为线段AB 上一点，14x ≤≤，作PM y ∥轴交抛物线于点M ，求PM 的最大值与最小值．19．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ﹣3与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点M 是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)如图，直线BC 下方的抛物线上有一点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF 平行x 轴交直线BC 于点F ，求⊥DEF 周长的最大值．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2212125555y x mx m m =-+-+-，点A ，B ，C 都在抛物线上，AB∥x 轴，∠ABC ＝135°，且AB ＝4．(1)抛物线的顶点坐标为 （用含m 的代数式表示）；(2)求⊥ABC 的面积；(3)已知M （0，－4）、N （4，－4），若抛物线2212125555y x mx m m =-+-+-与线段MN 恰有一个公共点，求m 的取值范围．答案1．(1)2246y x x =-++ (2)2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值，最大值为274 2．(1)274y x x =+- (2)最小值为-2，最大值为174(3)13m < 3．(1)213222y x x =-++ (2)2DNB S =△(3)P （1，－1）或（3，3）4．(1)213442y x x =-++ (2)(3,8)或(3,﹣5)或(3,5)(3)当t ＝4时，四边形CDBF 的最大面积为26，此时E (4,2)5．(1)213222y x x =-++； (2)P （−3，−7）；(3)B '的坐标为⎝⎭或⎛ ⎝⎭．6．(1)243y x x =-+-，(2,1)C (2)23或1037．(1)2y x 2x 3=-++(2)2(3)存在，()2,3或()4,5-8．(1)抛物线的解析式为：2134y x x =-++，A 点坐标为（-2,0），B 点坐标为（6,0）(2)PAD △的面积最大值为274，P 151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)Q 的坐标为（0，133）或（0，-9） 9．(1)AD =(2)新抛物线对应的函数表达式为：268y x x =-+或222y x x -=-． 10．(1)y =-x 2+2x +8；(2)S △BCD =6．11．(1)2412y x x =--+(2)存在，Q (-2，8)(3)存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)12．(1)223y x x =--+，()30A -,； (2)四边形CDEF 是菱形，理由见解析． 33．(1)y =-12x 2+3x +8(2)S =-12t 2+5t ，当t =5时，CED 的面积最大，最大面积是252 14．(1)213222y x x =--(2)直角三角形，理由见解析 15．(1)2y x 2x 3=-++(2)3或7532(3)(0，2)，2,2-) 16．(1)y ＝﹣x 2＋2x ＋3 (2)94(3)存在，(1，4)或(2，3)17．(1)223y x x =--，顶点A （1，－4），(2)⊥ABD 为直角三角形，理由见解析(3)（4，－1）或（2，－3）． 18．(1)()22y x =-(2)()2,0(3)最大值是254，最小值是419．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3，（1，﹣4）(2)944+20．(1)（m ，2m －5）(2)2 (3)12m =或559215m --559215m ++。

2019-2020年九年级数学第22章二次函数单元测试题（含答案）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分)1、抛物线的顶点坐标是（ ）A.（3,1）B.（3，-1)C.(-3,1)D.(-3,-1)2、抛物线 的对称轴是( )A. B. C. D.3、抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （Ａ） （Ｂ）（C ） （D ） 4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<05、若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )6、 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线 上的点，且-1<x1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 3<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 37、二次函数与的图像与轴有交点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分).8. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在________象限9. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________.10、二次函数的对称轴是，则 _______.11. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x = 2，且与y 轴的交点坐标为( 0，3 )的抛物线的解析式为________________________.12、已知二次函数的图像最高点在轴上，则该函数关系式为________________________.13、 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s 2).若v 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.三、简答题14、已知抛物线 经过A （3,0），B （-1,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标.15、我县某个学校为初一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，其中，抽屉地面周长为180cm ，高为20cm,请通过计算说明，当底面的宽为何值时，抽屉的体积最大？最大为多少？（材质及其厚度等忽略不计）16、已知：如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求△MCB 的面积S △MCB .参考答案：14、解：（1）；（2）（1,2）.15、解：设抽屉底面的宽为cm ，则底面的长为cm.由题意得；所以当时，有最大值，最大值为40500.答：当抽屉底面的宽为45cm 是，抽屉的体积最大，最大体积为40500.16、 解：(1)依题意得：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1∴B(5，0)由，得M(2，9) 作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =15. 40500)45(20)90(2020)90(22+--=--=∙-=x x x x x y。

图形的性质——圆1一．选择题（共8小题）1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1 D．1﹣2．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x 的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4 B．C．D．5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3 B．3 C． D．6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A．B．C．3 D．27．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（）A．3或5 B．5 C．4或5 D．48．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）A．3 B．6 C．6 D．12二．填空题（共7小题）9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是_________ ．10．正六边形的中心角等于_________ 度．11．如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_________ ．12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_________ ．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为_________ cm．14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________ ．15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_________ ．三．解答题（共8小题）16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．（1）所对的圆心角∠AOB=_________ ；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积．图形的性质——圆1 参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．如图，正方形ABCD 的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）A ．B ．1﹣C ．﹣1D ． 1﹣考点： 扇形面积的计算． 分析： 图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．解答： 解：如图： 正方形的面积=S 1+S 2+S 3+S 4；① 两个扇形的面积=2S 3+S 1+S 2；② ②﹣①，得：S 3﹣S 4=S 扇形﹣S 正方形=﹣1=．故选：A ．点评： 本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．2．已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB=8cm ，且AB⊥CD，垂足为M ，则AC 的长为（ ）A ． cmB ．cmC ．cm 或cmD ． cm 或cm考点： 垂径定理；勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 先根据题意画出图形，由于点C 的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．解答：解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A． 2 B．4C．6D．8考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．解答：解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．点评：本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．4．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A． 4 B．C．D．考点：垂径定理；一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．专题：计算题；压轴题．分析：PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+．解答：解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=×4=2，在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：B．点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A．3B．3C．D．考点：垂径定理；等边三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可．解答：解：如图所示，连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵⊙O的面积为2π∴⊙O的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．故选：C．点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．6．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA=，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（）A．B．C3 D．2考点：垂径定理；圆周角定理．分析：当PA⊥OA时，PA取最小值，∠OPA取得最大值，然后在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值即可．解答：解：∵OA、OP是定值，∴在△OPA中，当∠OPA取最大值时，PA取最小值，∴PA⊥OA时，PA取最小值；在直角三角形OPA中，OA=，OP=3，∴PA==．故选B．点评：本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，PA取最小值”即“PA⊥OA时，∠OPA取最大值”这一隐含条件．7．在△ABC中，AB=AC=5，sinB=，⊙O过点B、C两点，且⊙O半径r=，则OA的长为（）A．3或5 B．5 C．4或5 D．4考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：作AD⊥BC于D，由于AB=AC=5，根据等腰三角形的性质得AD垂直平分BC，根据垂径定理的推论得到点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，根据正弦的定义计算出AD=4，根据勾股定理计算出BD=3，再在Rt△OBD中，根据勾股定理计算出OD=1，然后分类讨论：①当点A与点O在BC的两侧，有OA=AD+OD；②当点A与点O在BC的同侧，有OA=AD ﹣OD，即求得OA的长．解答：解：如图，作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∴AD垂直平分BC，∴点O在直线AD上，连结OB，在Rt△ABD中，sinB==，∵AB=5，∴AD=4，∴BD==3，在Rt△OBD中，OB=，BD=3，∴OD==1，当点A与点O在BC的两侧时，OA=AD+OD=4+1=5；当点A与点O在BC的同侧时，OA=AD﹣OD=4﹣1=3，故OA的长为3或5．故选：A．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．8．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为（）A．3B．6 C．6D．12考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OC交BD于E，设∠BOC=n°，根据弧长公式可计算出n=60，即∠BOC=60°，易得△OBC为等边三角形，根据等边三角形的性质得∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，由于BC∥OD，则∠2=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠1=∠2=30°，即BD平分∠OBC，根据等边三角形的性质得到BD⊥OC，接着根据垂径定理得BE=DE，在Rt△CBE中，利用含30度的直角三角形三边的关系得CE=BC=3，CE=CE=3，所以BD=2BE=6．解答：解：连结OC交BD于E，如图，设∠BOC=n°，根据题意得2π=，得n=60，即∠BOC=60°，而OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠C=60°，∠OBC=60°，BC=OB=6，∵BC∥OD，∴∠2=∠C=60°，∵∠1=∠2（圆周角定理），∴∠1=30°，∴BD平分∠OBC，BD⊥OC，∴BE=DE，在Rt△CBE中，CE=BC=3，∴BE=CE=3，∴BD=2BE=6．故选：C．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理．二．填空题（共7小题）9．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是32 ．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OD，先根据垂径定理得出PD=CD=4，再根据勾股定理求出OP的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．解答：解：连接OD，∵⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=8，∴PD=CD=4，∴OP===3，∴AP=OA+OP=5+3=8，∴S△ACD=CD•AP=×8×8=32．故答案为：32．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．10．正六边形的中心角等于60 度．考点：正多边形和圆．分析：根据正六边形的六条边都相等即可得出结论．解答：解：∵正六边形的六条边都相等，∴正六边形的中心角==60°．故答案为：60．点评：本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．11．（2014•扬州）如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=50°．考点：圆的认识；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理．专题：几何图形问题．分析：如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE=25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．解答：解：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°，（圆周角定理）故答案为：50°．点评：本题考查了圆的认识及三角形的内角和定理等知识，难度不大．12．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．考点：垂径定理；轴对称的性质．分析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解答：解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．根据垂径定理，得到BE=AB=4，CF=CD=3，∴OE===3，OF===4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为．故答案为：点评：正确理解BC的长是PA+PC的最小值，是解决本题的关键．13．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 2 cm．考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．专题：计算题．分析：先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．解答：解：连结OB，如图，∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，∵AB⊥CD，∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，∴OB=BE=2（cm）．故答案为：2．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．14．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是4．考点：垂径定理；圆周角定理．专题：压轴题．分析：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB=2∠AMB=90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以AB=OA=2，由于S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB=45°，∴∠AOB=2∠AMB=90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∵S四边形MANB=S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值=S四边形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．故答案为：4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．15．⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3 ．考点：垂径定理；勾股定理．专题：分类讨论．分析：根据题意画出图形，连接OB，由垂径定理可知BD=BC，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出OD的长，进而可得出结论．解答：解：如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，∴AD⊥BC，∴BD=BC=，在Rt△OBD中，∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．故答案为：1或3．点评：本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．三．解答题（共8小题）16．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB=，DE是水位线，DE∥AB．（1）当水位线DE=4m时，求此时的水深；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：（1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由sin∠COB=得出OB的长，根据DE∥AB可知∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的长，进而可得出CF的长；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得出结论．解答：解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，∴BC=AB=12m．在Rt△BCO中，sin∠COB==，∴OB=13mCO=5m．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．又∵OF过圆心，∴DF=DE=×4=2m．在Rt△DFO中，OF===7m，∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4m时，此时的水深为12m；（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连接CD，在Rt△ODF中，DF===4m．在Rt△CDF中，cot∠CDF==．∵DE∥AB，∴∠ACD=∠CDE，∴cot∠ACD=cot∠CDF=．答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作DF⊥AC于F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若DE=，AB=，求AE的长．考点：切线的判定；勾股定理．专题：计算题；证明题．分析：（1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DF⊥OD，故DF为⊙O的切线；（2）连接BE交OD于G，由于AC=AB，AD⊥BCED⊥BD，故∠EAD=∠BAD，=，ED=BD，OE=OB；故OD垂直平分EB，EG=BG，因为AO=BO，所以OG=AE，在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2，代入数值即可求出AE的值．解答：（1）证明：连接AD，OD；∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；∵AB=AC，∴BD=DC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∴∠ODF=∠DFA=90°，∴DF为⊙O的切线．（2）解：连接BE交OD于G；∵AC=AB，AD⊥BC，ED=BD，∴∠EAD=∠BAD．∴．∴ED=BD，OE=OB．∴OD垂直平分EB．∴EG=BG．又AO=BO，∴OG=AE．在Rt△DGB和Rt△OGB中，BD2﹣DG2=BO2﹣OG2∴（）2﹣（﹣OG）2=BO2﹣OG2解得：OG=．∴AE=2OG=．点评：本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性．18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；（2）若∠M=∠D，求∠D的度数．考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）先根据CD=16，BE=4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M=∠D，∠DOB=2∠D，结合直角三角形可以求得结果；解答：解：（1）∵AB⊥CD，CD=16，∴CE=DE=8，设OB=x，又∵BE=4，∴x2=（x﹣4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D=30°．点评：本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；19．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．考点：垂径定理；勾股定理．专题：几何图形问题．分析：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，由垂径定理可知AE=BE=AB，再根据勾股定理求出OE的长，由此可得出结论．解答：解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤OP≤5cm．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．考点：垂径定理；圆周角定理；弧长的计算．专题：几何图形问题．分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD；（2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度．解答：解：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C，∴∠C=∠D，∴CB∥PD；（2）连结OC，OD．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴=，∵∠PBC=∠C=22.5°，∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°，∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°，∴劣弧AC的长为：=．点评：本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中．（2）中求出∠AOC=135°是解题的关键．21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．考点：圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．专题：几何图形问题．分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．解答：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO===55°∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；（2）在直角△ABC中，BC===．∵OE⊥AC，∴AE=EC，又∵OA=OB，∴OE=BC=．又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．点评：本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．考点：圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．专题：几何综合题．分析：（1）由AB为直径，OD∥BC，易得OD⊥AC，然后由垂径定理证得，=，继而证得结论；（2）由AB=10，cos∠ABC=，可求得OE的长，继而求得DE，AE的长，则可求得tan∠DAE，然后由圆周角定理，证得∠DBC=∠DAE，则可求得答案．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB=60°，连接AO，BO．（1）所对的圆心角∠AOB=120°；（2）求证：PA=PB；（3）若OA=3，求阴影部分的面积．考点：切线的性质；扇形面积的计算．专题：几何综合题．分析：（1）根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解；（2）证明直角△OAP≌直角△OBP，根据全等三角形的对应边相等，即可证得；（3）首先求得△OPA的面积，即求得四边形OAPB的面积，然后求得扇形OAB的面积，即可求得阴影部分的面积．解答：（1）解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°；（2）证明：连接OP．在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB；（3）解：∵Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA=∠OPB=∠APB=30°，在Rt△OAP中，OA=3，∴AP=3，∴S△OPA=×3×3=，∴S阴影=2×﹣=9﹣3π．点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．。

青霄有路终须到，金榜无名誓不还！2019-2020年备考类比、拓展探究题17年）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E 分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是PM=PN ，位置关系是PM⊥PN ；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．16年）（1）发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b.填空：当点A位于__________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.（用含a ，b 的式子表示）（2）应用点A 为线段BC 外一动点，且BC=3，AB=1. 如图2所示，分别以AB ，AC 为边， 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ， 连接CD ，BE.①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE 长的最大值. （3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2 , 0），点B 的坐标为（5 , 0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°.请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标.【答案】（1）CB 的延长线上，a+b ；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE 的最大值是4.（3）AM 的最大值是3+22，点P 的坐标为（2-2，2）.（3）如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N 在BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备用图）。