黑河日径流量混沌变化特性的研究——Ⅲ最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数的确定

混沌现象在非线性系统中，存在一类非常特殊的系统，即混沌系统. 从数学上来讲，对于具有确定初始值的动力系统，人们可以很容易推得该系统的长期行为甚至追溯其过去性态. 但当气象学家洛伦兹（Lorenz）在上世纪60 年代研究大气时却发现，一个由确定性参数描述的三阶常微分方程对初始条件高度敏感，其动态行为非常难以预测，这就是著名的“蝴蝶效应”. 通过反复地数值计算和思考，洛伦兹首先在耗散系统中发现了混沌运动，从而为以后的混沌研究开辟了道路. 一般而言，混沌系统对于初始条件极端敏感，具有稠密轨道的拓扑特征，以及呈现多种“混乱无序却又颇有规则”的图案. 与其它的非线性系统相比，混沌系统的动力学行为有着独有的特征，如：1) 有界性. 混沌是有界的，它的运动轨迹始终位于一个确定的区域，即混沌吸引域. 无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会超出此吸引域.2) 遍历性. 混沌系统在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道可以经过域内的每一个状态点.3) 统计特性. 如正的李雅普诺夫（Lyapunov）指数等. 李雅普诺夫指数是对系统的运动轨线相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画. 当李雅普诺夫指数小于零时，轨线间的距离以指数式衰减，对应于周期运动或者不动点；当李雅普诺夫指数大于零时，则初始状态相邻的轨线将按指数分离，对应于混沌运动. 目前的研究表明，尽管不能用李雅普诺夫指数是否大于零来判断系统是否是混沌系统，但对于一个混沌系统，它的李雅普诺夫指数一定大于零.目前，混沌研究已经涉及到众多的领域，包括数学、物理学、化学、生物学及经济学等. 例如, 在工程学上著名的洛伦兹系统族中的陈（Chen）系统，其数学模型可以描述为：其中，参数a=35, b=3, c=28通过类似于庞加莱（Poincare）截面分析的方法，即从低维投影判定高维动力学行为的方法，我们可以在系统的截面上区分Chen 系统的混沌、周期、拟周期等复杂的动力学行为. 图8.5 给出了Chen 系统的三个状态随时间的变化曲线图，图8.6 给出了Chen 系统的混沌吸引子图，图8.7 给出了MA TLAB 仿真的Simulink 模块图.图8.5(a) 状态x 随时间的变化图图 8.5(b) 状态y 随时间的变化图图8.5(c) 状态z 随时间的变化图图8.6 Chen 系统的混沌吸引子。

第三章摆动力学的可视化描述VISUALIZATION OF THEPENDULUMˊS DYNAMICS3-0 摆的数学描述和计算机仿真：3-1对初始条件的敏感性：3-2 摆的相图和蓬加莱截面：3-4 时间序列和功率谱3-5 吸引盆:3-6分岔图(Bifurcation diagrams)3-0摆的数学描述和计算机仿真：在这一节我们将讨论下面4个问题：1、驱动摆（driven pendulum）的运动方程：2、产生混沌运动条件。

3、参数改变对驱动摆运动发生的影响。

4、一个有趣的问题。

1、驱动摆的运动方程：摆的运动是一个十分古老的问题。

物理学、数学都作了大量的研究，但它仍然是最具魅力的研究课题。

首先我们写出驱动摆（driven pendulum ，也叫做“强迫振动摆”）的运动方程：//sin cos d dt q g ωωθφ=--+/d dt θω= （3-1） /D d dt φω=方程组（3-1）中有3个状态变量：θ—摆的角位移（angular displacement ）; ω—摆的角速度（angular velocity ）; φ—驱动力的相位角（drive phase angle ）。

因此它的轨线在3维相空间描绘。

方程（3-1）中也有3个参数：q —阻尼系数（damping factor ）；g —驱动力幅值（driving force amplitude ）； D ω—驱动力角频率（angular drivefrequency）。

同时考虑3个参数来研究驱动摆的性态，也就是说，在3维相空间和3维参数空间内考察摆的形态，将是一个十分困难、实际上不可能完成的任务。

我们把ωD固定，选择少数几个q值，让g 值在一定的区间充分变化，以观察系统的性态。

（在Appendix B（Page 207， Listing 4）中有描述摆运动的计算机程序（Title: Motion），可供参考。

）2、产生混沌运动的条件：产生混沌的必要条件有2条（See: Page 2）：（1）系统至少要有3个独立的动力学变量；（2）系统至少要有1项包含了几个动力学变量的非线性项。

描述混沌的指标全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：混沌是一种无序、不可预测、非线性的动态系统，其表现形式复杂多样，难以准确描述和预测。

混沌系统的行为被认为是由一组变量组成的动力学系统所确定的，这些变量之间相互作用复杂而多样，导致系统的行为呈现出随机性和不可预测性。

混沌的数学模型通常采用分形几何、非线性动力学等方法来描述，其中包括了许多指标来表征混沌系统的性质和特征。

一、分岔图分岔图是一种描述混沌系统的重要指标，其通过展示系统响应在某个参数值的变化过程中发生的分支现象。

在分岔图中，横轴通常表示参数值，纵轴表示系统的状态变量，通过对参数值进行逐步调节，可以观察到系统状态之间的跳变和分支。

通过分岔图可以很直观地看出系统从有序状态向混沌状态的过渡过程，以及该过程中出现的周期倍增、分岔分叉等现象。

二、李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数是一种度量混沌系统稳定性的指标，它描述了系统状态在相空间中的指数级增长或收缩速度。

通过计算系统状态变化的李雅普诺夫指数，可以评估系统的灵敏度和混沌程度。

正的李雅普诺夫指数表明系统存在混沌行为，而负的李雅普诺夫指数则表示系统会最终趋于稳定。

通过计算系统的李雅普诺夫指数，可以揭示混沌系统的动力学特性和演化规律。

三、分形维数分形维数是一种描述混沌系统几何形状复杂度的指标，它用来度量系统表面或轮廓的复杂程度。

由于混沌系统的分形结构具有无穷细节、无限重复的特点，因此分形维数可以很好地描述混沌系统的自相似性和随机性。

通过计算系统的分形维数，可以分析系统的几何形状、自相似性和空间分布特征，从而揭示混沌系统的内在结构和演化规律。

四、收敛性混沌系统的收敛性是描述系统最终状态的稳定性和确定性的重要指标。

在混沌系统中，初始条件的微小变化可能会导致系统最终状态的巨大差异，这种现象被称为“蝴蝶效应”。

通过分析系统在不同初始条件下的收敛性，可以评估系统的稳定性和可靠性，从而为系统的控制和优化提供重要参考。

混沌系统具有无序、不可预测、非线性等特点，其行为复杂多样，具有自相似性和随机性。