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初一数学 分类讨论思想例题含解析

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分类讨论思想例题分析
[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。

例 1 已知直线 AB 上一点 C ，且有 CA=3AB ，则线段 CA 与线段 CB 之比为_3：2_ 或_3：4 。

C1 A B C2
练习：已知 A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段 AB=7cm ，点 M 为线段 AB 的中点， 线段 BC=3cm ，点 N 为线段 BC 的中点，求线段 MN 的长. 解析：(1)点 C 在线段 AB 上： (2)点 C 在线段 AB 的延长线上
MC A M B N C
例 2 下列说法正确的是（ ）
A 、 两条线段相交有且只有一个交点。

B 、如果线段 AB=A
C 那么点 A 是 BC 的中点。

C 、两条射线不平行就相交。

D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[与角有关的分类讨论思想的应用]——角的一边不确定性引发讨论。

例 3 在同一平面上，∠AOB=70°，∠BOC=30°，射线 OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC， 求∠MON 的大小。

（20°或 50°）
[练习] 已知∠AOB = 60o ,过 O 作一条射线 OC ，射线 OE
平分∠AOC ，射线 OD 平分 ∠BOC ，求∠DOE 的大小。

（1） 射线 OC 在∠
AOB 内 （2）射线 OC 在∠AOB 外
这两种情况下，都有∠
∠AOB = 60o
=
o
DOE=
30
2
2
小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然∠AOC 的大小不确定，但是所求的∠DOE 与∠AOC 的大小无关。

我们虽然分了两类，但是结果是相同的！ 这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

[三角形中分类讨论思想的应用]
一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

1、三角形的形状不定需要分类讨论
例 4、 在△ABC 中，∠B＝25°，AD 是 BC 上的高，并且 AD 2 = BD ·DC ，则∠BCA
的度数为 。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。

如图 1，当△ABC 的高在形内时，
由
AD 2
= BD ·DC ， 得△ABD∽△CAD，进而可以证明△ABC 为直角三角形。

由 ∠B＝ 25°。

可知∠BAD＝65°。

所以∠BCA＝∠BAD＝ 65°。

如图 2，当高 AD 在形外时，此时
△ABC 为钝角三角形。

由
AD 2
= BD ·DC ， 得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°
∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
2、等腰三角形的分类讨论：
a 、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边， 所以我们要进行分类讨论。

例 5、已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于。

[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm ，哪一部分是 12cm ，因此，应有两种情形。

若
⎧
x + 1 x = 9, ⎧
x + 1 x = 12, ⎪ 2 设这个等腰三角形的腰长是 x cm ，底边长为 y cm ，可得 ⎨1
⎪ 2
或⎨1 解得
⎧x = 6,
⎧x = 8,
⎪ x + y = 12, ⎩ 2 ⎪ x + y = 9. ⎩ 2
⎨
y = 9, 或⎨ y = 5.即当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm ；当腰长是 8cm 时，底边长是 5cm 。

⎩ ⎩
b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。

例 6、已知等腰三角形的一个内角为 75°则其顶角为（
）
⎪ ⎪
2 5 1
3 2 5 13
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或 75°
[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简
析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。

图 1 中顶角为 45°，图 2 中顶角为 135°。

2、在Δ ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50°，则底角∠ B=。

3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
x 2 - 4 +
例 7、 已知 x ，y 为直角三角形两边的长，满足
的长为 。

= 0
，则第三边 x 2 - 4 + 解析：由
= 0
，可得 x 2
- 4 = 0且 y 2 - 5y + 6 = 0
⎧x 1 = 2 ⎧x 2 = 2 ⎨ 分别解这两个方程，可得满足条件的解⎩ 1 = 2
⎨ ，或⎩ 2
= 3 由于 x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为 2，2 时，斜边长为
= 2 ；
当直角边长为 2，斜边长为 3 时，另一直角边的长为 ； 当一直角边长为 2，另一直角边长为 3 时，斜边长为 。

综上，第三边的长为2 或 或 。

4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。

例 8、如图所示，在△ABC 中，AB = 6，AC = 4，P 是 AC 的中点，过 P 点的直线交 AB 于点Q ，若以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以 A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则 AQ 的长为
（ ）
4 (A) 3
(B)3 或
3
3 (C)3 或
4
4 (D)
3
B
C
y 2 - 5y + 6 y 2 - 5y + 6 22 + 22
y y
=
2
4
析解：由于以 A 、P 、Q 为顶点的三角形和以 A 、B 、C 为顶点的三角形有一个公共角
（ ∠A ），因此依据相似三角形的判定方法，过点 P 的直线 PQ 应有两种作法：一是过点 P 作 PQ
∥ BC ，这样根据相似三角形的性质可得
AQ AP
，即 AQ = ，解得 AQ = 3；二是过点 P AB AC 6 4
AQ AP AQ 2
作∠APQ = ∠ABC ，交边 AB 于点Q ，这时 APQ ABC ，于是有 AC = AB ，即 4 = 6
，
解得 AQ = . 所以 AQ 的长为 3 或 4
3 3
，故应选(B)。

四、本节小结
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。

线段及端点的不确定； 角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。

分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。

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初一上册分类讨论典型例题

初一上册分类讨论典型例题

初一上册分类讨论典型例题初一上册的数学课程中，分类讨论是一个重要的学习内容。

通过典型例题的讨论，可以帮助学生掌握分类讨论的方法和技巧。

下面我将从不同的角度给出一些分类讨论的典型例题。

1. 分类讨论整数的奇偶性：问题，将100个自然数分成两类，一类是奇数，一类是偶数，问两类中至少有多少个数？解答，我们可以分别讨论奇数和偶数的个数，然后找到一个满足条件的分法。

假设奇数的个数为x，那么偶数的个数就是100-x。

根据题意，我们需要找到一个分法，使得两类中至少有一个数。

如果奇数的个数是0或者100，那么无论怎么分，都无法满足条件。

所以我们需要考虑1<=x<=99的情况。

当x=1时，偶数的个数是99，显然满足条件。

当x=99时，偶数的个数是1，也满足条件。

所以答案是至少有1个数。

2. 分类讨论几何图形的性质：问题，在一个平面上，有4个点，问它们是否能构成一个矩形？解答，我们可以通过分类讨论来解决这个问题。

首先，我们知道一个矩形有4个顶点，且相对的边相等且平行。

所以我们可以通过计算这4个点之间的距离和斜率来判断它们是否构成一个矩形。

假设这4个点是A、B、C、D。

我们可以计算AB、AC、AD、BC、BD、CD的长度，如果其中有两条边相等且另外两条边也相等，那么它们可能构成一个矩形。

然后我们再计算AB与CD的斜率、AC与BD的斜率、AD与BC的斜率，如果这三个斜率的乘积等于-1，那么它们也可能构成一个矩形。

通过这样的分类讨论，我们可以判断这4个点是否能构成一个矩形。

3. 分类讨论方程的解：问题，解方程2x^2-5x+2=0。

解答，这是一个二次方程，我们可以通过分类讨论来解决它。

首先，我们可以计算Δ=b^2-4ac，其中a=2，b=-5，c=2。

如果Δ>0，那么方程有两个不相等的实数解；如果Δ=0，那么方程有两个相等的实数解；如果Δ<0，那么方程没有实数解。

计算得到Δ=25-16=9，所以Δ>0，方程有两个不相等的实数解。

(完整版)中考数学分类讨论题(含答案)

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第8课时分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查•这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略.分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行.类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要•1. （沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50 °则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A . 50 ° B. 80 ° C. 65。

或50 ° D . 50。

或80 °2. （?乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A . 9cm B. 12cm C. 15cm D . 12cm 或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处,（1）求证：B ' E=B；（2）设AE=a, AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明•类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等.4. （湖北罗田）在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AC = 3, BC = 4•若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是__ _ .,,5. （上海市）在厶ABC中，AB=AC=5 , COSB 3.如果圆O的半径为.10，且经5过点B、C,那么线段AO的长等于_____________ .6. （碱海市）如图，点A, B在直线MN上，AB = 11厘米，O A , O B的半径均为1厘米.O A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，O B的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r = 1+t （t ＞）.（1 ）试写出点A , B之间的距离d （厘米）与时间t （秒）之间的函数表达式;（2）问点A出发后多少秒两圆相切？B C类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况7. (上海市)已知AB=2 , AD=4，/ DAB=90°, AD // BC (如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合)，M是线段DE的中点.(1 )设BE=x , △ ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；(3)联结BD ,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△ BME相似，求线段BE的长.备甲图8. (福州市)如图，以矩形OABC的顶点0为原点，OA所在的直线为x轴，0C所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.已知0A = 3, 0C= 2，点E是AB的中点，在0A上取一点D，将△ BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处.(1) 直接写出点E、F的坐标;(2) 设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式;(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：(【答案】D小题要注意分类讨论•证：连结BE ,贝y BE BE .点A 在圆的内部，点 B 在圆的外部或在圆上，此时 3v r <4【答案】3 v r <4或 r = 2.4得BC 边上的高AD 为4,圆O 经过点B 、C 则O 必在直线AD 上，若O 在BC 上方，则 BC 下方，则AO=5。

初一数学分类讨论题

初一数学分类讨论题

初一数学分类讨论题
（实用版）
目录
1.初一数学分类讨论题的概念和重要性
2.初一数学分类讨论题的解题技巧
3.初一数学分类讨论题的典型例题分析
正文
初一数学分类讨论题的概念和重要性：
初一数学分类讨论题是指在解决数学问题时，需要根据不同情况进行分类讨论的题目。

这种题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和分类讨论的技巧，是初中数学中非常重要的一类题目。

分类讨论题在初一数学教材中占有很大的比重，也是各类考试中的常考点。

因此，掌握好分类讨论题的解题方法对于初一学生来说至关重要。

初一数学分类讨论题的解题技巧：
1.仔细阅读题目，明确题目要求，确定需要分类讨论的条件。

2.分类讨论时，要根据题目条件进行合理分类，避免分类过多或过少。

3.对于每个分类，要按照题目要求，分别进行讨论，避免遗漏。

4.在讨论过程中，要善于运用数学公式、定理和性质，进行严密的推导和论证。

5.在得出结论后，要对各个分类的结论进行整合，得出最终答案。

初一数学分类讨论题的典型例题分析：
例题：一个正方形的对角线长是 10√2 厘米，求这个正方形的面积。

分析：此题需要根据正方形对角线的长度进行分类讨论。

当对角线长度为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (10√2)/2=50 平方厘米；当对角
线长度不为 10√2 厘米时，正方形的面积为 (a+b)/2，其中 a、b 分别为正方形的两条边长。

因此，需要分别讨论这两种情况，得出最终答案。

初中数学 2010年中考题的应用例析分类讨论思想

初中数学 2010年中考题的应用例析分类讨论思想

例析分类讨论思想在2010年中考题中的应用当所面临的问题包含有多种可能情形难以统一处理时，就需按所有可能出现的各种情况进行分类讨论，得出各种情形的相应结论，最后综合得到问题的正确答案，像这样解题的数学思想称为分类讨论思想。

怎样利用分类讨论思想解题呢？下面本文结合2010年全国各省市中考题归纳八类需要运用分类讨论思想解题的重要题型，供同学们参考：第一类：由字母系数引起的分类讨论例1（2010年某某某某）关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠5解：当05=-a 即5=a 时，原方程是关于x 的一元一次方程，有41-=x ； 当05≠-a 时，原方程是关于x 的一元二次方程，欲使方程有实数根，就要满足0)1()5(4)4(422≥-⋅---=-=∆a ac b 解得a ≥1，而5=a 也在a ≥1的X 围内 故选A小结：方程、不等式及函数中如果含有字母系数，则需要运用分类讨论思想来处理。

⑴方程中含有参与运算的字母系数：①对于形如b ax =的一元一次方程其解的情况如下：当0≠a 时，有唯一解为a b x =；当0,0==b a 时，有无数多个解；当0,0≠=b a 时，无解。

②对于形如02=++c bx ax 的方程，需要判断a 是否为0，并在此基础上运用根的判别式加以讨论研究。

⑵对于形如b ax >的一元一次不等式，当0>a 时，解集为a b x >；当0<a 时，解集为ab x <；当0=a 时，若0≥b ，无解；若0<b ，解为任意实数。

⑶一次函数的斜率k 、二次函数的二次项系数a 、一次项系数b 和常数项c ，对图像的形状、大小以及位置都起着决定性的作用，对这些量的讨论是函数问题中永恒的话题。

第二类：由分母是否为0引起的分类讨论例2（2010年某某）已知c b a ,,为非零实数，且满足k ba c c abc b a =+=+=+，则一次函数)1(k kx y ++=的图像一定经过（ ）A 第一﹑二﹑三象限B 第二﹑四象限C 第一象限D 第二象限解：①若0≠++c b a ，则由等比定理性质得： 021)(2)()()(>=++++=+++++++=c b a c b a c b c a b a c b a k ，从而有0231>=+k ， 此时)1(k kx y ++=的图像经过第一﹑二﹑三象限②若0=++c b a ，则有c b a -=+，b c a -=+，a c b -=+，此时01,1=+-=k k从而知)1(k kx y ++=的图像经过第二﹑四象限 综合①和②得，)1(k kx y ++=的图像一定经过第二象限，故选D小结：分式方程、代数恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为0引起的分类讨论，此时要注意“分而治之”。