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1 论二重积分的计算方法
摘要
二重积分在高等数学中占有非常重要的地位，几乎触及到数学的各个范围。因此学会二重积分的计算方法特别重要。本文主要讨论了化累次积分法、换元计算法、极坐标计算法。
关键字：二重积分;计算方法;积分法;换元;坐标计算法
Discussion On The Calculation Method Of Double
Integral
Abstract
Double integrals in higher mathematics plays a very important role in
mathematics, almost touch each range. So learn to the double integral
calculation method is particularly important. This paper mainly discusses the
method of repeated integral, change element calculation method, calculation
method of polar coordinates.
Keywords: Double integral; Calculation method of ; Integral method
For element; Coordinate ;Calculation method 百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2 第一章 重积分的概念
重积分的计算主要是把二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值。
第二章 累次积分法
累次积分法其主要步骤；
累次积分法其主要步骤如下：
第一步：画出积分区域D的草图；
第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；
第三步：计算累次积分。
二重积分求曲面面积
二重积分是高等数学中重要的概念，它在计算曲面面积中扮演着重要的角色。二重积分可以被看作是在平面上对一个函数进行积累的过程，利用定积分的思想，可以描述曲面的面积。
一、二重积分的定义
对于一个二元函数f(x,y)，定义在有限闭区域D上，我们希望计算f(x,y)在D上的积累。根据定积分的思想，可以将D分割成许多小的面积元素ΔS，然后对每个面积元素ΔS上的函数值f(x,y)进行积累求和，即可得到f(x,y)在D上的积累值。
那么，如何将这个积累求和的过程形式化呢？这就引出了二重积分的定义。
二重积分的定义：设函数f(x,y)在有限闭区域D上有界，将D分割成N个面积元素ΔS_i（i=1,2,...,N），在ΔS_i上取任意一点(xi, yi)，令ΔS_i的面积为ΔSi，将f(xi, yi)与ΔSi之积Δf_i加总，当N趋于无穷大、ΔS_i中的最大直径趋于0时，若此极限存在，则称该极限为f(x,y)在D上的二重积分，记作∬_Df(x,y)dxdy。
即：∬_Df(x,y)dxdy=lim(N→∞)∑_(i=1)^N f(xi, yi)ΔSi
通过上述定义，可以看出二重积分的意义是将函数f(x,y)在D上的值进行积累，从而求得积累的总量。这就是二重积分的基本思想。
二、二重积分的计算方法
在实际计算二重积分时，可以根据不同的情况选择不同的计算方法。以下是常用的二重积分计算方法：
1. 直角坐标系下的二重积分计算
对于直角坐标系下的二重积分计算，可以根据积分范围的不同选择不同的计算方法。常见的计算方法包括：
（1）极限积分法：根据积分范围的几何特征，将二重积分转化为极限积分。
（2）分离变量法：根据函数f(x,y)的性质，将二重积分拆分成两个一重积分的和。
（3）直角坐标变换法：通过直角坐标系的变换，将二重积分转化为更简单的计算形式。
2. 极坐标系下的二重积分计算
针对具有圆形区域特征的积分范围，常常可以选择极坐标系下的计算方法。在极坐标系下，二重积分的计算可以更加简化。具体计算时，需要进行坐标变换。
二重积分的计算方法
在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法
在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对
y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法
在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。极坐标系中的坐标是 （r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x² ＋ y² ≤ R² 。在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到 2π 。
二重积分的计算方法
【摘要】二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。
【关键词】二重积分;直角坐标;极坐标;平移及奇偶性
二重积分的计算方法有⑴利用直角坐标计算二重积分，⑵利用极坐标计算二重积分，⑶利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性计算二重积分，⑷利用分块积分法计算二重积分，⑸利用坐标轴的平移计算二重积分。
计算二重积分有一定的步骤，我们大致分成4步。第一步：画出积分区域 的草图，判断积分域是否有对称性，被积函数是否有奇偶性;第二步：选择坐标系;第三步：选择积分次序;第四步：确定积分限并计算累次积分。
例题1.计算二重积分 其中积分区域 是由 与曲线 所围成。
方法一：利用直角坐标计算二重积分
解：积分区域
=
方法二：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分
解：设 作坐标轴的平移，在 平面上积分区域为
① 关于 对称，被积函数关于 是奇函数，
②
③
例题2.计算 其中积分区域 是由 所确定。
方法一：利用极坐标法计算二重积分
方法二：利用坐标轴的平移及极坐标计算二重积分
令 此时 ，则
方法三：利用坐标轴的平移及奇偶性计算二重积分
由于
利用奇偶性可得而 ，则
方法四：利用积分区域的对称性计算二重积分
解：积分区域 关于 对称且为圆域故形心的坐标在圆心
其中 为积分区域 的形心的横坐标。
例题3：求计算二重积分 其中积分区域 是由 及曲线 所围成。
分析：若把 看成正方形的区域挖去半圆 ，则计算 上的积分自然选用极坐标变换，若只考虑区域 ，则自然考虑先 后 的积分次序化为累次积分，若注意 关于直线 对称，选择平移坐标变换则最为方便。
方法一：选择先 后 的积分次序，则
方法二：方块积分法及极坐标法
在极坐标下
方法二：利用坐标轴的平移计算二重积分
