当前位置：文档之家 › 二重积分的计算方法(1)

二重积分的计算方法(1)

  • 格式：doc
  • 大小：1.39 MB
  • 文档页数：10

1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)fxy在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即12(,)()(),Dxyxxxaxb，其中12(),()xx在[,]ab上连续，则有

21

()()(,)(,)bx

axD

fxyddxfxydy； （1）

若D为y型区域（如图2），即12(,)()(),Dxyyyycyd，其中12(),()yy在[,]cd上连续，则有 21

()()(,)(,)dy

cyD

fxyddyfxydx．[1] （2）

例1 计算22Dydxdyx，其中D是由2x，yx，及1xy所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x型区域1D=,12,xyxyxx



．确定了积分区域然后可以利用公式（1）

进行求解． 解 积分区域为x型区域

1D=,12,xyxyxx



则 2221221x

xD

yydxdydxdyxx

32

12

13xxydxx





251

133xdxx



2214

12761264xx





1.2 积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的x型或y

型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干x型或y型区域，然后利用公式

y y=x

xy=1 D2 D1

x O 2 1 1 2 图3

图1

3Dox

y1D2D

图4 123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydfxydfxydfxyd （3）

进行计算， 例2 计算二重积分Dd，其中D为直线2,2yxxy及3xy所围成的区域．

分析：积分区域D如图5所示，区域D既不是x型区域也不是y型区域，但是将可D划分为

1

2

,01,22,13,23xDxyxyxDxyxyyx



均为x型区域，进而通过公式

（3）和（1）可进行计算． 解 D划分为

1,01,22xDxyxyx

，

2,13,23Dxyxyyx

则

12DDDddd12230122xxxxdxdydxdy 120112322xxdxxdx

1222

01

3333442xxx



1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．

例3 计算二重积分2Dyxdxdy，其中D为区域1x，02y．

分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域

划分为21211xyDx，22011yxDx两部分后，被积函数在每一个积

分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得． 解 区域D如图6可分为12DD，其中 21211xyDx，22011yxDx





O y x D1 D2 图6

y x O

x=2y y=2x x+y=3

图5 由公式（3）则 12222DDDyxdxdyyxdxdyxydxdy

2212122110523x

xdxyxdydxxydy

2 利用变量变换法计算 定理1 设(,)fxy在有界区域D上可积，变换:,Txxuv，,yyuv，将,uv平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成,xy平面上的区域D，函数,xuv，,yuv在分别具有一阶连续偏

导数且它们的雅克比行列式,,0,xyJuvuv，,uv．则 (,),,,,DfxydfxuvyuvJuvdudv （4）

（4）式叫做二重积分的变量变换公式，

2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化 当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．

例4 求xyxyDedxdy，其中D是由0,0,1xyxy所围曲线（图7） 分析 由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T：,.uxyvxy在变换T作用下区域D的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．

解 做变换12:12xuvTyuv 1,02Juv 所以 12xyuxyvDedxdyedudv



1012uv

v

vduedu



11012veedv

14ee

2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分 当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有,,,ufxyvgxy且,munv，则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算． 例5 求抛物线22,ymxynx和直线,yxyx所围区域D的面积D． 分析 D的面积DDdxdy．实际是计算二重积分Ddxdy，其被积函数很简单，但是积分区域

却比较复杂，观察积分区域不难发现22,yymnxx；,yyxx，如果设2,yyuvxx，则有,munv， 解 D的面积DDdxdy 作变换

2:uxvT

vyu

，,,mn

D y x O 图7

图8

v u O 4,,,.uJuvuvv

所以 2233

4433=6nmDnmudvDdxdydudvuduvv．

例6 求233Dxdxdyyxy．22:1,3,,3Dxyxyyxyx所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T：2,yuxyvx，它把xy平面上的区域D对应到uv平面上的矩形区域． 解 令

2:uxyTy

vx

在变换T作用下，区域D的原像 ,13,13uvuv， 1,03Juvv

所以

233113Dxdxdydudvyxyvuvv





33

11du

dvvvuv



2ln23．

2.3 利用极坐标变换计算二重积分 当被积函数含有22fxy、xfy或yfx形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换 cos:sinxrTyr



，0,02

这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r. （1）如果原点0D，且xy平面上射线常数与积分区域D的边界至多交于两点，则必可表示为 12rrr， ．

则有

合集下载

高等数学--二重积分的计算

高等数学--二重积分的计算


D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
二重积分的计算方法x型与y型

二重积分的计算方法x型与y型

二重积分的计算方法x型与y型
画出积分图形，二者交点为(1,-1)和(4,2)首先对x积分，得到原积分=∫(-1到1)dy
∫(y^2到y+2)xdx显然∫(y^2到y+2)xdx=0.5x^2代入上下限y+2和
y^2=-0.5y^4+0.5y^2+2y+2再对y积分。

按照定积分的方法理解，y=sin x，在﹣π到π上，在x轴上方和下方的面积相等，
代数和为0，定积分为0。二重积分同理，z=y*sin x，在﹣π到π上，在空间里
z关于原点对称，所以xoy平面上方和下方的体积相等，代数和为0。

扩展资料：
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平
面上方的取正，在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D 底面所为围的曲顶柱体的体积公
式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

第八章 二重积分的计算

第八章 二重积分的计算


微积分
例12 计算
y sin( x 1) 2 x 1 dxdy, D : y x, y x 2 D
解 D {( x, y ) | 1 y 2, y 2 x y 2}
根据积分区域的特点 应先对 x 后对 y 积分
y sin( x 1) I dy dx x 1 1 y2 sin( x 1) 但由于 x 1 -1 对 x 的积分求不出，无法计算，
积分时必须考虑次序
D {( x, y ) | 0 y 1,0 x y}
x e
D
1 0
2 y2
dxdy
dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e y
2
1 y3 y2 2 dy e y dy 0 3 6
1 2 (1 ). 6 e
a 2a
2a
2a
微积分
例 7 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
y x 和 x y 所围平面闭区域.
2 2
D
x y2
解 两曲线的交点
y x (0,0) , (1,1), 2 x y
2
y x2
D {( x , y ) | 0 x 1, x y x 2 }
化二重积分为累次积分时选择积分次序的 重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程 度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至 有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序 却积不出来 另外交换累次积分的次序：先由累次积分 找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交 换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
微积分
微积分
二重积分的定义和计算方法

二重积分的定义和计算方法

二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。

本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。

一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。

其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。

将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。

当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。

二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。

根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。

可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。

步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。

根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。

根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。

2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。

根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。

步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。