《数学分析》上册教案
第七章 实数的完备性
平顶山学院数学与信息科学学院
1 第七章 实数的完备性
§1 关于实数完备性的基本定理
一、问题提出
定理1.1（确界原理）非空有上（下）界的数集必有上（下）确界.
确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题,这就是以下的定理1.2至定理1.6．
定理1.2 (单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛．
定理1.3 (区间套定理） 设为一区间套：
．
则存在唯一一点
定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖,即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间,它们构成的一个有限开覆盖．
定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点,即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于,也可以不属于）．
定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：,只要 恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件,满足柯西条件的数列又称为柯西列,或基本列．）
这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义,更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性,使大家熟悉使用这些理论工具．
下图中有三种不同的箭头,其含义如下：
： (1)～(3) 基本要求类
： (4)～(7) 阅读参考类
： (8)～(10) 习题作业类 《数学分析》上册教案
第七章 实数的完备性 平顶山学院数学与信息科学学院
2
二、回顾确界原理的证明
我们曾引入有界数集的确界概念,今证明它的存在性（记号a、b、c表示实数）
Dedekind定理
设A/B是R的一个切割,则比存在实数R使得(,]A,(,)B或(,)A,[,)B无其它可能.
1 / 12十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书第7章 实数的完备性
§1 关于实数集完备性的基本定理1．证明数集有且只有两个聚点和解：令数集数列则
数列都是各项互异的数列，根据定义2，1和－1是S的两个聚点．对任意且令
由得取，则当n＞N时，或者有或者有总之由定义2知x0不是S的聚点，故数集有且只有1和－1两个聚点．
2．证明：任何有限数集都没有聚点．
证明：用反证法．设S是一个有限数集．假设ζ是S的一个聚点，按照定义2，在ζ
的任何邻域内都含有S中无穷多个点，这个条件是不可能满足的，因为S是一个有限
集．故任何有限集都没有聚点．3．设是一个严格开区间套，即满足
且证明：存在惟一的一点ξ，使得
证明：由题设知，是一个闭区间套．由区间套定理知，存在惟一的点ξ，使
2 / 12十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书得an又因所
以…，即
4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立．
解：（1）设则S是有界集，并且但
故有理数集S在Q内无上、下确界，即确界原理在有理数集内不成立．
（2）由的不足近似值形成数列这个数列是单调有上界的，2是它的一个上界．它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界．因此，单调有界原理在有
理数集内不成立．
（3）设M是由的所有不足近似值组成的集合．则1.4是M的一个下界，2是M的一个上界．即M是一个有界无限集，但它只有一个聚点故在有理数集内不存在聚
点．因此，聚点定理在有理数集内不成立．
（4）的不足近似值形成的数列满足柯西条件（因为当m，n＞N时，但其极限是而不是有理数，于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没有极限．因此，柯西收敛准则在有理数集内不成立．
5．设问（1）H能否覆盖（0，1）？
（2）能否从H中选出有限个开区间覆盖（i）
解：（1）有有所以即
3 / 12十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书故H能覆盖（0，1）．（2）设从H中选出m个开区间，它们是令则并集
实数集的完备性介绍
1. 引言
实数集是数学中一个重要的概念，它包含了所有的有理数和无理数。在实数集中，完备性是一个重要的性质，它描述了实数集中没有任何缺失的情况。本文将介绍实数集的完备性，并探讨其在数学分析和其他领域中的应用。
2. 实数集的定义
实数集是由有理数和无理数组成的集合。有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能用有限小数或分数表示。实数集包含了所有的有理数和无理数，形成了一个连续的数轴。
3. 完备性的概念
在实数集中，完备性是指实数集中没有任何缺失的性质。换句话说，对于任意一个实数序列，如果它是收敛的，那么它的极限也必然属于实数集。
具体来说，对于一个实数序列 {a_n}，如果存在一个实数 L，使得对于任意给定的正实数 ε，存在一个正整数 N，当 n>N 时，有
|a_n - L| < ε 成立，则称该序列收敛于 L。如果对于任意一个收敛序列 {a_n}，其极限 L 都属于实数集，那么实数集就是完备的。 4. 完备性的证明
为了证明实数集的完备性，我们需要使用到实数的确界性质。实数的确界性质指出，对于一个有上界的非空实数集合，必然存在一个最小的上界，称为上确界；对于一个有下界的非空实数集合，必然存在一个最大的下界，称为下确界。
通过使用实数的确界性质，我们可以证明实数集的完备性。假设存在一个收敛序列 {a_n}，其极限 L 不属于实数集。根据实数的定义，我们可以找到一个无理数 x，使得 a_n < x < L。由于 {a_n} 收敛于
L，根据极限的定义，我们可以找到一个正整数 N，当 n>N 时，有
|a_n - L| < (x-L)/2 成立。
考虑序列 {a_1, a_2, …, a_N} 中的最大值 M 和最小值 m。由于 {a_n} 收敛于 L，所以存在一个正整数 K，当 n>K 时，有 |a_n -
L| < (x-L)/2 成立。因此，在序列 {a_1, a_2, …, a_N,
实数完备性基本定理的相互证明
实数完备性基本定理是数学分析课程中的重要定理之一，它刻画了实数的重要性质。本文将从两个角度介绍实数完备性基本定理的证明，即从实数的有序性和上确界性质出发进行证明，相互补充，帮助读者更好地理解该定理。
一、从实数的有序性进行证明
实数完备性基本定理可以通过比较序列与实数性质的关系来证明。首先引入柯西序列的概念。柯西序列是指一列实数序列，其满足对于任意正实数ε，存在正整数N，当n，m≥N时，|an-am|
接下来，我们需要证明实数集合所有的柯西序列都是收敛的。假设{an}是一个柯西序列，为了证明该序列的收敛性，我们需要构造出一个实数α，使得该序列收敛于α。
为此，我们可以构造一个新的序列{bn}，其中bn=sup{am: m≥n}。首先，根据实数的上确界性质，该集合非空且有上界，因此sup存在。其次，易知bn递增且有界（因为其满足an≤bn），所以该序列收敛于某一个实数α。
接下来，我们证明an收敛于α。根据柯西序列的定义，对于任意给定的ε>0，存在正整数N，使得当m，n≥N时，有|am-an|0，根据序列{bn}的收敛性，存在正整数M，使得当n≥M时，有|bn-α|
|an-α|=|an-bn+bn-α|≤|an-bn|+|bn-α|
这表明对于任意给定的ε>0，总存在正整数N=M，使得当n≥N时，有|an-α|
这样，我们就证明了任意柯西序列都是收敛的，即实数集合中的柯西序列都有收敛性。由此可得实数集合是完备的。 二、从实数的上确界性质进行证明
实数完备性基本定理也可以通过实数的上确界性质进行证明。实数的上确界性质是指，非空有上界的实数集合必有上确界。假设实数集合A是非空的，并且有上界。
首先，我们需要证明A有上界。假设A没有上界，则对于任意实数M，存在a∈A，使得a>M。然而，由于A是一个有上界的集合，根据实数的有序性，存在实数α是A的上确界。这就导致矛盾，故假设不成立，即A有上界。
