实数的完备性、列紧性与紧性

七年级下册数学实数知识点一、实数的定义实数包括所有的有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，例如分数和整数。

无理数则不能表示为两个整数之比，它们的小数部分是无限不循环的，例如π和√2。

二、实数的性质1. 有序性：实数具有大小顺序，可以比较大小。

2. 封闭性：实数的加法、减法、乘法和除法（除数不为零）都是封闭的。

3. 完备性：任何实数序列都有极限，即可以找到一个实数作为该序列的极限值。

三、实数的分类1. 正实数：大于零的实数。

2. 负实数：小于零的实数。

3. 零：既不是正数也不是负数的特殊实数。

4. 整数：分正整数、负整数和零。

5. 分数：可以表示为两个整数之比的数。

6. 无理数：无限不循环小数，如π和√2。

四、实数的运算1. 加法：两个实数相加，和的符号由绝对值较大的数决定，同号实数相加保持符号，异号实数相加取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

2. 减法：减去一个实数等于加上这个数的相反数。

3. 乘法：两个正实数相乘得正，两个负实数相乘得正，正实数与负实数相乘得负。

4. 除法：除以一个非零实数，等于乘以这个数的倒数。

五、实数的比较1. 正实数都大于零、负实数和零。

2. 负实数都小于零、正实数和零。

3. 两个负实数比较大小时，绝对值大的反而小。

六、实数的近似表示1. 有效数字：从一个数的最高位开始，到最低位的所有数字（包括零）都是有效数字。

2. 四舍五入：根据要求保留的位数，对下一位进行四舍五入。

3. 科学记数法：表示为a×10^n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。

七、实数的应用1. 测量和计数：在物理、化学、经济学等领域中，实数用于表示测量结果和统计数据。

2. 几何图形的计算：实数在计算面积、体积等几何属性时非常重要。

3. 工程和科学计算：在工程和科学研究中，实数是进行精确计算的基础。

八、实数的图形表示1. 坐标轴：实数可以在数轴上表示，数轴上的每个点都对应一个实数。

实数完备性的证明第一部分七个定理的证明1. 单调有界定理区间套定理证明：已知a n a n 1 （n），a n b n b l，由单调有界定理知｛a n｝存在极限，设lim a n = r，同理可知｛b n｝存在极限，设lim b n = rn ，由lim ( b nna n ) =0 得r r =0即r rn,有a n b n，令n ，有a n r r b n , n ,有a n r b n。

下面证明唯性。

用反证法。

如果不然。

则r i r2 , 同时对任意 a A , a r i , a D对任意b 有b r i b r2，不妨设r i r2 ,令r' r i r2 显然r i r' r22r A , r' B,这与A | B是R的一个分划矛盾。

唯-性得证。

定理证完。

2. 区间套定理确界定理证明：由数集A非空，知a A，不妨设a不是A的上界，另外，知b是A的上界，记［a i，b i ］=［a，b］，用a i，b i的中点电虫二等分［a i，b i］，如果引b i是A的上界，2 2则取［a2，b2】=［a i a i b i ］；如果a i b i不是A的上界，则取［a?，2 2b2】=［a S , b i］；用a2 , b2的中点邑匹二等分［a2 , b2】……如此继2 2续下去，便得区间套［a n , b n］。

其中a n不是A的上界，b n是A的上界。

n i由区间套定理可得，唯一的r ［a n, b n］，使lim a n = lim b n = r。

x A ,n nn nn i由 x b n ( n=1，2，)，同理可证非空有下界数集有下确界。

定理证完 3. 确界定理T 有限覆盖定理证明：设E 是闭区间［a , b ］的一个覆盖。

定义数集A={x a |区间［a ，x ］在E 中存在有限子覆盖}从区间的左端点x a 开始.由于在E 中有一个开区间覆盖a ,因此a 及其右侧充分邻近的点均在 A 中.这就保证了数集A 是非空的.从数 集A 的定义可见，若x A,则整个区间［a ，x ］ A.若A 无上界，则b A,那么［a ，b ］在E 中存在有限子覆盖. 若A 有上界，由确界定理可得r,使r=supA 。

初中实数性质知识点总结一、实数的基本性质1. 实数的定义：实数是有理数和无理数的统称。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，无理数是不能表示为有理数的数。

2. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数包括整数、分数以及可以表示为分数的小数，无理数包括无穷不循环小数和无穷循环小数。

3. 实数的有序性：实数集合中的任意两个数都可以进行大小比较，即两个实数之间存在大小关系，这就是实数的有序性。

4. 实数的稠密性：实数集合中任意两个不相等的实数之间一定存在一个实数，这就是实数的稠密性。

5. 实数的无后继性和无穷性：任意一个实数都有比它大的实数，实数集合是无穷的。

6. 实数的运算封闭性：实数集合中任意两个实数进行加、减、乘、除运算的结果仍然是一个实数。

7. 实数的运算性质：实数集合中的运算满足交换律、结合律、分配律等。

二、实数的代数性质1. 实数的加法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a+b=b+a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)；（3）加法单位元：对于任意实数a，有a+0=a；（4）加法逆元：对于任意实数a，有a+(-a)=0。

2. 实数的减法性质：减法可以看成加上一个数的相反数，所以减法的性质和加法的性质相同。

3. 实数的乘法性质：（1）交换律：对于任意实数a和b，有a×b=b×a；（2）结合律：对于任意实数a、b和c，有(a×b)×c=a×(b×c)；（3）乘法单位元：对于任意实数a，有a×1=a；（4）乘法逆元：对于任意非零实数a，有a×(1/a)=1。

4. 实数的除法性质：（1）除法分配律：对于任意实数a、b和c，有a÷(b+c)=a÷b+a÷c；（2）除法与乘法结合：对于任意实数a、b和c，有a÷(b×c)=a÷b÷c。

实数的运算与性质实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两部分。

实数具有丰富的性质和运算规律，本文将探讨实数的基本性质、四则运算以及实数的有序性。

一、实数的基本性质实数具有以下三个基本性质：1. 完备性：实数集中不存在任何的空隙。

对于一个实数集合，如果所有的上界都有一个最小上界，或者所有的下界都有一个最大下界，那么该实数集合就是完备的。

2. 有界性：实数集合可以划分为有界的和无界的两类。

如果一个实数集合上下都有界，则称为有界集合；如果一个实数集合无上界或无下界，则称为无界集合。

3. 密集性：实数集合中任意两个不相等的实数之间都存在其他实数。

也就是说，对于任意两个实数a、b，其中a<b，必定存在一个实数c，满足a<c<b。

二、实数的四则运算实数具有加法、减法、乘法和除法四种基本的运算法则。

下面我们分别讨论这四种运算的性质：1. 加法运算：对于任意实数a、b和c，有以下性质：（1）交换律：a+b=b+a；（2）结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（3）零元素：存在一个实数0，使得a+0=a；（4）逆元素：对于任意实数a，存在一个实数-b，使得a+(-b)=0。

2. 减法运算：减法可以看作是加法的逆运算。

对于任意实数a、b 和c，有以下性质：（1）减法定义：a-b=a+(-b)；（2）减法的性质与加法类似。

3. 乘法运算：对于任意实数a、b和c，有以下性质：（1）交换律：a*b=b*a；（2）结合律：(a*b)*c=a*(b*c)；（3）单位元素：存在一个实数1，使得a*1=a；（4）逆元素：对于任意非零实数a，存在一个实数1/a，使得a*(1/a)=1。

4. 除法运算：除法可以看作是乘法的逆运算。

对于任意实数a、b 和c，有以下性质：（1）除法定义：a/b=a*(1/b)，其中b≠0；（2）除法的性质与乘法类似。

三、实数的有序性实数集合具有一定的大小顺序，可以将其分为大于零、小于零和等于零三个部分。

实数完备性理论，理论基础及英应用实数完备性是指六大定理的等价性。

它的六大定理如下：1、确界原理2、单调有界原理3、区间套定理4、有限覆盖定理5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准则。

其中任何一个命题都可推出其余的五个命题一、认识实数完备性1、确界原理（1）确界原理：设S为非空数集。

若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。

（2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足（i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界；（ii）对任何的a<η,存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界；下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足：（i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；（ii）对任何的β>ξ,存在x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界，则称ξ为数集的S的下确界；2、单调有界原理定理：在实数系中，单调有界数列必有极限3、区间套定理（1）区间套定义：设闭区间列{ [a（n）,b（n ）]}具有如下性质：(i) [a（n+1）,b（n+1）]包含于[a（n）,b（n ）]，n=1,2,3，......；(ii) Lim( a（n）-b（n))=0,则称{[an ,bn ]}为闭区间套，或简称区间套。

(2)区间套定理：如果{[an ,bn]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[an ,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。

且liman=lim bn=ξ。

4、开覆盖（1)开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或简称H覆盖S.(2)有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]5、聚点（1）聚点定义：设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点。

实数的性质与运算实数是我们日常生活中最常见的数，它包括整数、分数和无理数。

实数具有一些独特的性质和运算规则，本文将探讨实数的性质与运算。

一、实数的性质实数具有以下几个基本性质：1. 完备性：实数集是完备的，任何一个有界的实数集合必定有上确界和下确界。

这意味着实数能够填补实数轴上的所有空隙，不存在未定义的数。

2. 密度性：对于任意两个不相等的实数a和b，必定存在一个有理数c满足a<c<b。

这说明在实数轴上，实数和有理数是密不可分的。

3. 无理数的存在：无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数，如根号2和圆周率π。

无理数与有理数一同构成了实数集。

4. 有界性：实数集合可以是有界的，即集合中的数存在上界或下界。

有界性是实数集合的一个重要特征。

5. 连续性：实数轴上，实数是连续分布的。

对于任意两个实数a和b，它们之间必然存在着其他的实数。

二、实数的运算实数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算，下面分别进行介绍。

1. 加法和减法：实数的加法和减法运算遵循交换律、结合律和分配律。

对于任意实数a、b和c，有以下运算规则：- 加法交换律：a + b = b + a- 减法的定义：a - b = a + (-b)- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)- 减法结合律：(a - b) - c = a - (b + c)- 加法的分配律：a(b + c) = ab + ac2. 乘法和除法：实数的乘法和除法运算也遵循交换律、结合律和分配律。

对于任意实数a、b和c（其中b和c不为0），有以下运算规则： - 乘法交换律：a * b = b * a- 除法的定义：a ÷ b = a * (1/b)- 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)- 除法结合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b ÷ c)- 乘法的分配律：a(b + c) = ab + ac3. 幂运算：实数的幂运算可以将一个实数自乘多次。

九年级数学实数的性质与运算实数是数学中的重要概念，它涵盖了整数、有理数和无理数等各种数的集合。

数学中实数的性质与运算是九年级数学课程的重要内容，掌握实数的性质与运算对于进一步学习高级数学和解决实际问题都具有重要意义。

一、实数的性质实数具有一些重要的性质，包括有序性、稠密性和完备性。

1. 有序性实数集合中的每个数都有大小之分，即可以进行大小比较。

例如，对于任意的实数a和b，要么a>b，要么a<b，要么a=b。

这种有序性质使得我们可以对实数进行排序和比较大小。

2. 稠密性实数集合中存在着无穷多个有理数和无理数，并且它们之间没有间隔。

换句话说，对于任意两个实数a和b（a<b），在它们之间一定存在着其他实数。

这种稠密性使得我们可以通过插值法在两个已知的实数之间找到其他的实数。

3. 完备性实数集合是一个完备的数集，也就是说，它没有“漏洞”。

无论是有理数还是无理数，实数集合中都没有任何间断点或缺失的数。

这也就使得实数能够精确地表示各种数量关系和度量关系，成为了数学分析的基石。

二、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法等基本运算，同时也具有一些特殊的性质和规律。

1. 加法和减法实数的加法和减法运算符合交换律、结合律和分配律等基本性质。

对于任意的实数a、b和c，有以下运算规律：- 加法交换律：a + b = b + a- 减法定义：a - b = a + (-b)- 减法的反运算：a - a = 0- 减法分配律：a × (b - c) = a × b - a × c2. 乘法和除法实数的乘法和除法运算符合交换律、结合律和分配律等基本性质。

对于任意的实数a、b和c（b≠0、c≠0），有以下运算规律：- 乘法交换律：a × b = b × a- 除法定义：a ÷ b = a × (1/b)- 除法的反运算：a ÷ a = 1- 除法的分配律：a ÷ (b × c) = (a ÷ b) ÷ c实数的乘法和除法还具有零元和幂零律的特殊性质：- 零元：0是实数集合中唯一的零元，对于任意的实数a，都有a × 0 = 0- 幂零律：对于任意的实数a，若a的某次方等于0，则a本身为0，即a的幂零次方为0三、实数的性质与运算在解决实际问题中的应用实数的性质与运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如：1. 金融领域：利息的计算、股票和基金的交易、货币兑换等都需要使用实数的性质与运算。

数学实数与数列的性质分析数学是一门基础学科，其中实数和数列是重要的概念和工具。

实数是数学中的一种数的概念，而数列则是数的有序排列。

本文将对实数和数列的性质进行详细的分析。

一、实数的性质分析实数是数学中最基本的概念之一，具有以下性质：1. 实数的有序性：实数可以按照大小进行比较，对于任意两个实数a和b，要么a<b，要么a=b，要么a>b。

这种有序性使得实数可以进行大小关系的比较和排序。

2. 实数的稠密性：实数在数轴上是密集排列的，对于任意两个实数a和b（a<b），必存在一个实数c，使得a<c<b。

这意味着在任意两个实数之间，总能找到一个无穷多的实数。

3. 实数的完备性：实数集合中的每个非空有上界的子集都有上确界，这被称为实数的确界性质。

这个性质保证了实数集合的连续性和完整性。

4. 实数的稳定性：实数集合在进行四则运算和乘方运算时保持封闭性。

也就是说，实数的加、减、乘、除运算结果仍然是实数。

二、数列的性质分析数列是一系列数的有序排列，具有以下性质：1. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。

通项公式可以是一个直接给出每一项的函数式，也可以是给出每一项与前几项的关系式。

2. 数列的递推公式：数列中的每一项可以通过前几项求得，这个关系式称为数列的递推公式。

递推公式可以是一个直接给出每一项与前几项的关系式，也可以是给出每一项与前几项和该项的位置的关系式。

3. 数列的有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。

如果数列的所有项都小于等于一个常数M，则称该数列是有上界的；如果数列的所有项都大于等于一个常数N，则称该数列是有下界的。

4. 数列的极限：数列可以趋于一个常数L，这个常数称为数列的极限。

如果数列的每一项与极限L的差的绝对值可以任意小，那么称该数列收敛于L；如果数列的极限不存在，或者数列发散，则称该数列是发散的。

通过对实数和数列的性质分析，我们可以更深入地理解数学中的这两个重要概念。

实数集的完备性介绍1. 引言实数集是数学中一个重要的概念，它包含了所有的有理数和无理数。

在实数集中，完备性是一个重要的性质，它描述了实数集中没有任何缺失的情况。

本文将介绍实数集的完备性，并探讨其在数学分析和其他领域中的应用。

2. 实数集的定义实数集是由有理数和无理数组成的集合。

有理数是可以表示为两个整数之比的数，而无理数则不能用有限小数或分数表示。

实数集包含了所有的有理数和无理数，形成了一个连续的数轴。

3. 完备性的概念在实数集中，完备性是指实数集中没有任何缺失的性质。

换句话说，对于任意一个实数序列，如果它是收敛的，那么它的极限也必然属于实数集。

具体来说，对于一个实数序列 {a_n}，如果存在一个实数 L，使得对于任意给定的正实数ε，存在一个正整数 N，当 n>N 时，有|a_n - L| < ε 成立，则称该序列收敛于 L。

如果对于任意一个收敛序列 {a_n}，其极限 L 都属于实数集，那么实数集就是完备的。

为了证明实数集的完备性，我们需要使用到实数的确界性质。

实数的确界性质指出，对于一个有上界的非空实数集合，必然存在一个最小的上界，称为上确界；对于一个有下界的非空实数集合，必然存在一个最大的下界，称为下确界。

通过使用实数的确界性质，我们可以证明实数集的完备性。

假设存在一个收敛序列 {a_n}，其极限 L 不属于实数集。

根据实数的定义，我们可以找到一个无理数 x，使得 a_n < x < L。

由于 {a_n} 收敛于L，根据极限的定义，我们可以找到一个正整数 N，当 n>N 时，有|a_n - L| < (x-L)/2 成立。

考虑序列{a_1, a_2, …, a_N} 中的最大值 M 和最小值 m。

由于 {a_n} 收敛于 L，所以存在一个正整数 K，当 n>K 时，有 |a_n - L| < (x-L)/2 成立。

因此，在序列{a_1, a_2, …, a_N,a_{N+1}, …, a_K} 中，所有的元素都位于区间 (L-(x-L)/2, L+(x-L)/2) 内。

实数集的完备性介绍实数集的完备性是数学中一个非常重要的概念，它在分析学、实变函数论等领域有着广泛的应用。

在介绍实数集的完备性之前，我们首先需要了解实数集的定义和性质，以便更好地理解完备性的概念。

实数集是包含有理数和无理数的集合，它们可以用无限不循环小数表示。

实数集包括所有有理数和无理数，是一个无限的集合。

实数集具有以下性质：1. 实数集是有序的：对于任意两个实数a和b，要么a<b，要么a=b，要么a>b。

2. 实数集是稠密的：在任意两个不相等的实数之间，都存在有理数和无理数。

3. 实数集是无界的：实数集既没有最大值，也没有最小值。

4. 实数集是连续的：实数集中不存在间断点，任意两个实数之间都存在其他实数。

在实数集中，存在一些特殊的子集，如有界集、开集、闭集等。

而完备性是实数集的一个重要性质，它描述了实数集中不存在任何间断的现象，任何收敛的实数序列都有极限在实数集中。

实数集的完备性可以通过实数集的柯西序列来理解。

柯西序列是一种特殊的实数序列，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n，m大于N时，序列的前n项和前m项的差的绝对值小于ε。

换句话说，柯西序列的项随着序号的增加而趋于稳定，不会无限地震荡或者发散。

实数集的完备性可以表述为：实数集中的柯西序列都收敛于实数集中的某一点。

这意味着实数集中不存在任何“缺口”，任何收敛的序列都能在实数集中找到极限。

这个性质保证了实数集的完备性，使得实数集成为一个完备的数学结构。

实数集的完备性在实际应用中具有重要意义。

在实变函数论中，完备性是证明某些定理和性质的重要工具。

例如，柯西收敛准则和泰勒级数的收敛性定理都与实数集的完备性密切相关。

在数学分析中，完备性也是研究实数集性质的基础，为我们理解实数集的连续性和稳定性提供了重要依据。

总之，实数集的完备性是数学中一个基础而重要的概念，它描述了实数集中不存在任何间断现象，任何柯西序列都能在实数集中找到极限。

实数集的完备性不仅在理论研究中具有重要意义，也在实际问题的求解中发挥着重要作用。

陕西省考研数学专业复习实分析基本定理总结实分析是数学中的一门重要学科，它研究实数的性质和实函数的性质。

在陕西省考研数学专业的复习中，实分析是一个必不可少的部分。

本文将对实分析的基本定理进行总结，以帮助考生加深对这些定理的理解和掌握。

一、实数的性质实数是数学中最基本的概念之一，它具有以下的性质：1. 实数集的完备性定理：任一有上界的非空实数集必有上确界，任一有下界的非空实数集必有下确界。

2. 实数集的稠密性定理：实数集中的有理数在实数集中是稠密的，即对任意两个实数a和b(a<b)，都存在一个有理数x，使得a<x<b。

3. 实数集的无理数性质：实数集中存在无理数，无理数集是不可数的。

二、实函数的性质实函数是实数到实数的映射，它的性质有以下几个方面：1. 实函数的连续性定理：实函数在某一点连续的充分必要条件是其在该点的左极限等于右极限等于函数值。

2. 实函数的一致连续性定理：实函数在闭区间上连续的充分必要条件是在该闭区间上一致连续。

3. 实函数的有界性定理：实函数在闭区间上连续，则它在该闭区间上有界。

4. 实函数的导数定理：实函数在某一点可导的充分必要条件是其在该点的左导数等于右导数。

5. 实函数的一阶、二阶导数的性质：实函数的一、二阶导数具有连续性、可导性和积分中值定理等性质。

三、实分析的基本定理在实分析理论中，有几个基本定理是非常重要的，它们是实分析理论的基石。

下面分别对这几个定理进行总结：1. Bolzano-Weierstrass定理：有界数列必有收敛子列。

这个定理是实分析中的基本定理之一，它的应用广泛。

通过这个定理，我们可以证明有界闭区间中的数列必有收敛子列，从而进一步导出实数中的闭区间套定理。

2. Heine-Borel定理：有界闭区间上的开覆盖必有有限子覆盖。

这个定理是闭和有界集合的一个重要性质，它使我们研究实函数的连续性和收敛性更加方便。

通过这个定理，我们可以证明闭区间上的连续函数必定是一致连续的。

实数及其基本定理——北航工科数学分析系列讲座之一一、 实数的引入无理数不能用有理数的开方来引进，事实上, 有理数开方所得到的无理数，只是无理数中的很小一部分。

为使实数与数轴上的点一一对应，充满全数轴，必须用别的方法： I. 无限小数任意有理数可以表示成无限循环小数；其反面，无限不循环小数定义为无理数. II. Dedekind 分划分划法直观性强：假如数轴上任意一点处将数轴截成两段，那么 R 便被划分为上、下两个子集. 凡上集无最小值，下集无最大值时，就认为这一划分定义了一个无理数，此数夹在上、下集之间. III. Cantor 有理数基本列等价类有理数基本列等价类定义实数不直观，但基本思想在数学里影响深远.同一个数可以写成许多有理数序列的极限，它们彼此等价.当基本列不以有理数为极限时，它就定义了一个无理数.IV. 公理化方法Step1.R 是一个集合，其上有两个二元运算：”+”和“·”满足域公理. :,,R z y x ∈∀交换律：,x y y x x y y x+=+⋅=⋅结合律：()(),()()x y z x y z x y z x y z ++=++⋅⋅=⋅⋅分配律：()x y z x y x z⋅+=⋅+⋅有单位元：有逆元：xx x x R =⋅=+∈∃1,0:1,01,0)(:,},0{\11==-+-∃∈∀--xx x x x x R xStep2.R 上有一个与”+”，“·”相容的全序关系：⋅全序性：与”+”相容性：传递性：.x y z x z <<⇒<与“·”相容性：。

有且只有一个关系成立y x y x y x R y x >=<∈∀,,,,z y z x y x R z y x +≤+⇒≤∈∀,,,yzxz y x R z y x ≤⇒≤∈<∀,0,,Step 3.Archimedean 性质Step4 .完备性有上界的非空实子集必有上确界.ynx N n y x ≥∈∃<<∀:,0二、 基本定理 （等价证明）确界存在定理(定理1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题: 定理2 单调有界定理 定理3 区间套定理 定理4 有限覆盖定理 定理5 列紧性定理 定理6 柯西准则（,n m∀>Ⅱ. 有限覆盖定理 ⇒列紧性定理现反设都不是的子列极限点，即若只取有限多个不同的实数值，则中必有无限项取同一实数，从而必有收敛子列.下设取无限多个不同实数值.由反证法假设来构造的一个无限开覆盖:若有子列收敛于，则.{}n a [,]a M M ∈-{}n a {}n a {}n a a {}kn a ],[M M -{}n a {}.),(,0],,[n x x a x x U M M x ∈>∃-∈∀内至多只有在δδ这样，是的一个无限开覆盖.即.{}],[|),(M M x x U H x -∈=δ],[M M -),(],[],[x M M x x U M M δ-∈⊂- 由构造知，内至多只有所属个邻域内至多只有属于.(即只覆盖了中有限个点) .(,)ii x U x δ{}H a x ni ~⇒∈N x x x ,,,21 {}n a H ~{}n a N 于是，存在（含）的有限开覆盖{}n a {}(,)|1,2,,i i x H U x i Nδ==],[M M -(用有限覆盖定理导出矛盾)所以至少有一个收敛子列. □这与是的覆盖和有无限个不同取值相矛盾.H ~{}n a {}n a {}n a三、 开放作业:1. 欧拉常数是有理数或是无理数? (公开问题)2. 讨论一个有序代数结构完备性, 阿基米德性, 稠密性, 加法交换律, 加法结合律, 乘法交换律, 乘法结合律之间的关系.3. 推广某定理、系列习题、或例题结论到更广的情形.4. 结合实数完备性定理说明对极限定义及实数连续性的理解．5. 举新例说明数列及数列极限的应用．。

实数集的完备性介绍实数集是数学中的一个重要概念，它包含了所有的有理数和无理数。

实数集的完备性是指实数集中不存在任何空隙，任何一个实数集合都可以在实数集中找到一个极限值。

本文将介绍实数集的完备性及其相关概念。

一、实数集的定义实数集是由有理数和无理数组成的集合。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数是不能表示为两个整数的比值的数。

实数集包含了所有的有理数和无理数，是一个无限的集合。

二、实数集的有序性实数集具有有序性，即实数集中的任何两个数都可以进行大小比较。

对于任意两个实数a和b，存在以下三种关系：a<b，a=b，a>b。

这种有序性使得实数集可以进行大小的比较和排序。

三、实数集的完备性实数集的完备性是指实数集中不存在任何空隙，任何一个实数集合都可以在实数集中找到一个极限值。

换句话说，实数集中的每一个实数都可以通过有限的运算和操作逼近到其他实数。

四、实数集的稠密性实数集的稠密性是指实数集中的任意两个实数之间都存在一个有理数或无理数。

换句话说，实数集中的任意两个实数之间都可以找到一个实数，使得它们之间没有任何空隙。

五、实数集的连续性实数集的连续性是指实数集中的任意一个区间都包含了无限多个实数。

换句话说，实数集中的任意一个区间都可以找到一个实数，使得它们之间没有任何空隙。

六、实数集的例子实数集包含了所有的有理数和无理数，下面是一些实数集的例子：1. 自然数集：包括0和正整数。

2. 整数集：包括正整数、负整数和0。

3. 有理数集：包括所有可以表示为两个整数的比值的数。

4. 无理数集：包括所有不能表示为两个整数的比值的数，如π和√2等。

七、实数集的应用实数集在数学中有广泛的应用，特别是在分析学和几何学中。

实数集的完备性和连续性是分析学中很重要的概念，它们为微积分和极限理论的发展提供了基础。

实数集的稠密性在几何学中也有重要的应用，它可以用来证明一些几何定理和性质。

总结：实数集是由有理数和无理数组成的集合，具有有序性、完备性、稠密性和连续性等特点。

第七章实数的完备性教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。

教学时数：8学时§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）教学目的：1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；2.明确基本定理是数学分析的理论基础。

教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。

一．确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 .Th 2 单调有界数列必收敛 .三.Cantor闭区间套定理 :1.区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ>对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ>. 即当时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套”区间列.区间套还可表达为:.我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增, 递减.例如和都是区间套. 但、和都不是.2.Cantor区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 :1.基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy列.例1验证以下两数列为Cauchy列 :⑴ .⑵ .解⑴;对，为使，易见只要 .于是取.⑵.当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有,又.当为奇数时 ,,.综上 , 对任何自然数, 有. ……Cauchy列的否定:例2 . 验证数列不是Cauchy列.证对, 取, 有.因此, 取,……2.Cauchy收敛原理:Th 4 数列收敛是Cauchy列.( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的一个聚点.数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.1.列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六.Heine–Borel有限复盖定理:1.复盖: 先介绍区间族.定义( 复盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对,则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为.定义( 开复盖 ) 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复盖, 简称为的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3复盖了区间, 但不能复盖;复盖, 但不能复盖.2.Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明（2学时）证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理单调有界原理区间套定理Cauchy收敛准则确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理致密性定理 Cauchy收敛准则 ;Ⅲ: 区间套定理Heine–Borel 有限复盖定理区间套定理 .一. “Ⅰ”的证明: (“确界原理单调有界原理”已证明过 ).1.用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .证2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有.证系1 若是区间套确定的公共点, 则对, 当时, 总有.系2 若是区间套确定的公共点, 则有↗, ↘, .3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:Th 4 数列收敛是Cauchy列.引理Cauchy列是有界列. ( 证 )Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.4．用“Cauchy收敛准则”证明“确界原理”：Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 .证（只证“非空有上界数集必有上确界”）设为非空有上界数集 . 当为有限集时 , 显然有上确界 .下设为无限集, 取不是的上界, 为的上界. 对分区间, 取, 使不是的上界, 为的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘.有↗.下证.用反证法验证的上界性和最小性.二.“Ⅱ”的证明:1.用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证（突出子列抽取技巧）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证（用对分法）2．用“致密性定理”证明“Cauchy收敛准则”：Th 4 数列收敛是Cauchy列.证（只证充分性）证明思路：Cauchy列有界有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.三.“Ⅲ”的证明:1.用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:证2.用“Heine–Borel 有限复盖定理”证明“区间套定理”:证采用[3]P72例4的证明.§ 3 闭区间上连续函数性质的证明（2学时）教学目的：能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。

第八章 实数的完备性1 实数连续性的等价描述1．求数列{Jn}的上、下确界： (1) 11;n x n=-(2) [2(2)];n n x n =+-(3) 2211,1(1,2,3,);k k x k x k k += =+ =(4) 1[1(1)];n n n x n+=+-(5) ;n x = (6) 12cos .13n n n x n π-=+ 2．设()f x 在D 上定义，求证： (1) sup{()}inf ();x Dx Df x f x ∈∈-=-(2) inf{()}sup ().x Dx Df x f x ∈∈-=-3．设s up E β=，且E β∉，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞=；又若E β∈，则情形如何?4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列必有上确界．5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．2 实数闭区间的紧致性1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件1122[,][,]a b a b ⊃⊃ 去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明．5．若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)． 6．有界数列{}n x 若不收敛，则必存在两个子列,)k k n m x a x b b →→ (α≠．7．求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列．8．设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上有界．9．设()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在(,)[,]c c a b δδ-+⋂上无界．10．设()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x ax bf x f x +-→→ 存在． 11．设()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义()|(0)(0)|.x f x f x ω=+--求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个．12．设()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，()f x a =在[0,)+∞上只有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞存在．3 实数的完备性1，设()f x 在(,)a b 连续，求证：()f x 在(,)a b 一致连续的充要条件是lim ()x a f x +→与lim ()x bf x -→都存在， 2．求证数列1n x =+ 当n →∞时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 012(||1,||);nn n k x a a q a q a q q a M =++++<≤(2) 2sin1sin 2sin 1;222n n n x =++++ (3) 11111(1).23n n x n+=-+++- 4．证明0l i m ()x x f x→存在的充要条件是：对任意给定0ε>，存在0δ>，当000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有|(')('')|.f x f x ε-<5．证明()f x 在0x 点连续的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，当000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有|(')('')|.f x f x ε-<6．证明下列极限不存在： (1) 12cos ;13n n n x n π-=+(2) n x =(3) sin(n x =(4) cos ;n x n = (5) t a n .n x n = 7．设()f x 在(,)a +∞上可导，|'()|f x 单调下降，且lim ()x f x →+∞存在，求证lim '()0x xf x →+∞=．8．设()f x 在(,)-∞+∞可导，且|'()|1f x k ≤<，任给0x ，令1()(0,1,2,),n n x f x n += =求证，(1) lim n x x →∞存在；(2) 上述极限为()x f x =的根，且是唯一的． 9．设()f x 在[,]a b 满足条件：(1) |()()|||,,[,],1;f x f y k x y x y a b k -≤- ∀∈ 0<< (2) ()f x 的值域包含在[,]a b 内．则对任意0[,]x a b ∈，令1()(0,1,2,)n n x f x n +== ，有 (1) lim n x x →∞存在；(2)方程()x f x =的解在[,]a b 上是唯一的，这个解就是上述极限值．4 再论闭区间上连续函数的性质1．设()f x 在[,]a b 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使0l i m ()()n x f x f x →∞=，求证0lim n x x x →∞=2．设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设 (1) min ()max ();a x ba x bf x p f x ≤≤≤≤<<(2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠， 求证：()f x p =的根只有有限多个．3．设()f x 在[,]a b 连续，()0f a <，()0f b >，求证：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，且()0()f x x b ξ><≤．4．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证：必存在区间[,]αβ，满足条件：(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =； (2) ()m f x M <<，当(,)x αβ∈．5．()f x 在[0,2]a 连续，且(0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使()()f x f x a =+．6．设()f x 在[,]a b 上连续，且取值为整数，求证：()f x ≡常数． 7．设()f x 在(,)a b 上一致连续，,a b ≠±∞，证明()f x 在(,)a b 上有界； 8．若函数()f x 在(,)a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K ，使得|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b -≤- ∈证明：()f x 在(,)a b 上一致连续．9．试用一致连续的定义证明：若函数()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都一致连续，则()f x 在[,]a b 上也一致连续．10．设()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x →-∞与lim ()x f x →+∞存在．证明；()f x 在(,)-∞+∞上一致连续．11．若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则()f x 在X 中一致连续．12．求证：()f x x 在(0,)+∞上一致连续．13．设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim '()x f x →+∞=+∞，求证：()f x 在(,)a +∞上不一致连续．14．求证：()ln f x x x =在(0,)+∞上不一致连续．5 可积性1．判断下列函数在区间[0,1]上的可积性：(1) ()f x 在[0,1]上有界，不连续点为1(1,2,)x n n= = ；(2) sgn(sin ),(0,1],()0,0;x f x xx π⎧∈⎪=⎨⎪ =⎩ (3) 11,(0,1],()0,0;x f x x x x ⎧⎡⎤- ∈⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪ =⎩(4) 1,(0,1],1()0,0.x f x x x ⎧ ∈⎪⎡⎤⎪=⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪ =⎩2．讨论2(),(),|()|f x f x f x 三者间可积性的关系． 3．设(),()f x g x 都在[,]a b 上可积，证明：()max((),()),()min((),())M x f x g x m x f x g x = =在[,]a b 上也是可积的．4．设()f x 在[,]a b 上可积，且()0f x r ≥>，求证：(1)1()f x 在[,]a b 可积； (2) ln ()f x 在[,]a b 可积．5．设()f x 在[,]a b 可积，求证：任给0ε>，存在逐段为常数的函数()x ϕ，使|()()|.baf x x dx ϕε-<⎰6．设()f x 在[,]a b 上有界，定义[,][,][,]sup ()inf (),f x a b x a b a b f x f x ω∈∈=-求证',''[,][,]sup |(')('')|.f x x a b a b f x f x ω∈=-7．设()f x 在0x 附近有定义且有界，定义00011()lim ,.f n x x x n nω→+∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭求证：()f x 在0x 连续的充分必要条件为0()0f x ω=． 8．若函数()f x 在[,]A B 可积，证明：0lim |()()|0,bah f x h f x dx →+-=⎰其中A a b B <<< (这一性质称为积分的连续性)．9．()0,''()0,f x f x ≥ ≤对任意省仨[,]x a b ∈成立，求证：2()().ba f x f x dxb a≤-⎰ 10．设()f x 在[,]a b 有连续的导函数，求证：1max |()||()||'()|.bb aa a xb f x f x dx f x dx b a ≤≤≤+-⎰⎰11．设()f x 在[,]a b 可积，求证；存在连续函数序列(),1,2,n x n ϕ = ，使lim ()().b bn aan x dx f x dx ϕ→∞=⎰⎰12．设()f x 在[,]a b 黎曼可积，求证： (1) 存在区间序列{[,]}a b 使11[,](,)(,),n n n n a b a b a b ++⊂⊂且1([,])f n n a b nω<； (2) 存在1[,]nnn c a b ∞=∈，使得()f x 在c 点连续；(3) ()f x 在[,]a b 上有无穷多个连续点．。