小升初高思杯 第一试
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小升初高思杯 第一试
一、 填空题Ⅰ
1. 有一个等差数列，各项依次为1，4，7，10，13，16，19，22，……．从中取出第1项、第4项、
第7项、第10项……组成一个新数列．这个新数列前5项的和是________．
「答案」 95．
「简答」 本题考验的是学生对等差数列的理解．在这个题目中，由于只需要求出新数列的前五项，
那我们完全可以将前五项一一列出来，然后加起来求和：新数列第一项1，第二项10，第三
项19，第三项28，第五项37，那么11019283795++++=就是所求的答案．
这个时候我们要庆幸出题者只要我们求前五项，如果要求前五十项那岂不累死了．有的同学
可能已经发现新的数列其实也是一个等差数列，并且公差是9．更一般的做法，依据等差数
列求和公式：()()()()2115195295=+×÷=++−××÷=和首项末项项数．
2. 某一类自然数是由数字3和4组成（3、4至少出现一次），而且同时是3和4的倍数．比如
333344334444就是一个满足要求的数．这样的自然数最小是________．
「答案」 3444．
「简答」 本题考验的是整除的性质以及尝试枚举法．读完该题，首先要明确的有这个一个事情，
要想让一个自然数最小，那数位自然是越少越好．这样我们就自然而然的产生一种思路：从
一位数开始枚举，一位数不行两位数，两位数不行三位数…
那我们先看一位数的情况：但题目说3、4至少出现一次，所以至少是个两位数，直接跳过
看两位数；
两位数：要能被4整除，那只有44,这一种可能，但这样不符合被3整除的条件，接着枚举；
三位数：要能被4整除，后两位只能是44，同时要被3整除，那傻子都能看出来，百位数必
须只能是4了，这个三位数444满足条件吗？想起题目括号中的话（3、4至少出现一次）果
断否决了；
四位数：思路与三位数类似，后两位只能是44，然后要被三整除，前两位必须是34或者43
（这样才能保证各位数字之和是3的倍数），所以有3444和4344这两种可能．取最小值，
用脚趾甲想想都知道要取3444．
3. 某国的教改委员会是由一群学者和教育官员所组成的，学者人数与教育官员的人数之比为
2:7．如果所有委员会成员的平均智商为98，其中学者的平均智商为126，那么教育官员们的平
均智商为________．
「答案」 90．
「简答」 本题考察应该是对浓度问题的理解．而实际上这个题目的做法很多．先说一种最简单的：
学者人数与教育官员的人数之比为2:7，那不妨假设学者人数2人、教育官员7人．那很容
易得出()()9892126790=−÷=×−×÷=教育官员智商总智商学者智商教育官员人数．
将这个问题类比为浓度问题，利用浓度十字也是可以做的，
如右图所示： 得到126982
987x−=−，求得90x=
4. 如图，1l、2l、3l、4l这四条直线互相平行，且相邻两
条平行线间的距离都等于3，若正方形ABCD的四个顶
点分别在这四条直线上，则它的面积等于________．
「答案」 45．
「简答」 本题考察的就是分割图形求面积了．分割方式
如图所示，为四个完全一样的直角三角形和一个小
正方形，大正方形的面积()6323345××÷+×=大正方形的面积=4
5. 8个朋友均匀地围坐在圆桌前玩卡牌游戏《三国杀》．每个人担当一个角色，8个角色分别是：1
个主公，1个内奸，2个忠臣和4个反贼．已知：
（1）没有两个反贼是面对面坐的；
（2）恰有一个忠臣的左右邻座都是反贼；
（3）主公到两个忠臣的距离相等；
（4）内奸的左邻座位是忠臣．
请问主公和内奸之间相隔________人．
「答案」 1
「简答」 本题考察的是逻辑分析能力，也就是不断尝试，同时利用条件进行判断．如下图所示，
一个圆桌，有八个位置．首先要满足第一个条件：没有两个反贼是面对面坐的．四个反贼排
在一起（如下左图）肯定是满足条件的；在此基础上变化，只有将一个反贼放到其对应的区
域才可能满足条件（这是解题的关键），看起来有很多种情况，而经过尝试后发现其实只有
如下右图一种可能（不信的同学可以尝试一下）．对于左图这种情形显然是没法满足第二个
条件的，直接pass；而对于右图，要满足条件（2），忠臣就只能放在1或者2的位置．可以
先看条件（4），那说明另一个忠臣必须放在4，而内奸必须放在3．这时结合条件（2）（3）
就很容易得出，主公放在1，忠臣放在2．由此看出主公和内奸之间隔了1个人．
先
看
反贼忠臣
内奸
主公1269827xA BC D l1l2l3l4反贼忠臣
内奸
主公1
23 4二、 填空题Ⅱ
6. 将数字1~16填入4×4的方格表内，使每行、每列和每条对角
线上的数字之和，从小到大排列后恰好是十个连续自然数，这
样的数表被称为4×4的反幻方．如图是一个尚未完成的反幻
方，请问“？”处的方格应该填入的数字是________．
「答案」 2．
「简答」 本题还是考察枚举以及逻辑推导能力．
根据幻方已经给出的信息可以计算第四行的和为37，第
四列的和为38，有一个对角线的和为29，稍微有些嗅觉的同学都可以观察到38299−=，这
是什么意思？不正是说明这是连续的自然数就是29、30……38．另外，不难看出还有1、2、
9、15、16这几个数没有填．为了方便，我们将没有填的空标记为a、b、c、d、e．一般而言
我们没有办法之间看出来每个空填什么，这个时候就需要一些尝试．而尝试往往是从比较极
端的情况开始的．我们先考虑16，显然，16不能放在a、b、c、e的位置，那就只能放在d．接
着考虑15．类似的，15就只能放在a．再考虑9，只能放在位置c．在考虑2，发现只能放在
位置e，那1就放在位置b．
7. 某加油站有两位员工，第一位员工每工作3天后休息1天，第二位员工每工作5天后休息2天．加
油站规定：当两人都休息时，必须另聘一位临时工；但只有一人休息时，则不需要另聘临时工．如
果去年12月31日两位员工都恰好休息完，今年1月1日两人均来加油站工作．该加油站今年共
需聘请临时工________次．
「答案」 5．
「简答」 本题考察的是最小公倍数及余数方面的知识．员工1一次工作到休息的周期是4天，而
员工2一次工作到休息的周期是7天，那经过7428×=天后，他们又和1月1号一样了． 那
这28天内，他们有几次休息时间会重合呢？如下图，橘红色表示工作，黄色表示假期，从
图上容易看出，28天内，他们有2天假期是重合的．36528131÷="，那一年中有13个28．故
需请临时工13226×=次临时工（多余的1天不需要聘临时工）．
8. 将一个长方形切去一个角后可以得到一个五边形，这个五边形的边长分别为13、19、20、25、31．这
个五边形的面积是________．
「答案」 745．
「简答」 尝试枚举法．观察图形可以发现图形中()()222acedb=−+−
通过尝试可以发现，13a=，19b=，25c=，31d=，20e=
故面积为31251252745×−×÷=．
c+d+e+3
32+b
21+a
37 ？ 3
8 14 10
5 4 12
7 6 11 13a b cd e
38 29+e 19+d 29
a+b+c+7 25+c
a b
c
d e 9. 一个只由1、2、3、4、7组成的多位数 ，如果它的任意相邻两位数都够成一个质数，则称之为
“奇妙数”．例如1311的任意相邻两位13、31、11都是质数，所以1311是一个奇妙数．那么四
位的奇妙数一共有________个．
「答案」 63．
「简答」 对于这种题，没有定式，依然是万能的枚举试误法．首先要发现两个二位数拼在一起就
是一个四位数，根据题意，这些两位数应该是质数．将所有由1、2、3、4、7组成的两位的
质数枚举出来就是：11、13、17、23、31、37、41、43、47、71、73．然后题目就简化为所
有的四位数都有这些两位数拼成，但并不是这些数拼成的四位数就满足条件，还有一个要判
断的就是中间的两位数是不是质数．我们发现末位是1的数后只能接1、3、7；末位数3的
数只能接1、7；末位数7的数只能接1、3．这11个数中有四个末位是1，四个末位是3，
三个末位是7，首位是1的有3个，首位是3的有2两个，首位是7的有2个．那最终结果
就是()()()432243233263×+++×++×+=．
10. 在3×3的方格表的格子内分别填入数字1~9，再将有公共边的两个格子内的数字相加，可以得到
12个和．这些和最少有________种不同的值．
「答案」 4．
「简答」 本题考察的是想象力以及构造能力．对于3×3的方格表的格子中间的数
与其相邻的有四个不同的数，那中间的数与其他四个数的和必然不同，这说明
不同的和不可能少于四个．如果能够构造出一种只有四个不同和的填入方式，
就说明最少的确实是4种．如右图，给出了满足条件的填法．
三、 解答题
11. 甲、乙、丙三人经常沿同一条路线匀速晨跑．甲跑得最快，丙跑得最慢．某日三人同向奔跑，乙
超过丙6分钟后，甲超过丙．又过了2分钟，甲超过乙．另一日，他们也是同向奔跑，甲先超过
乙．6分钟后，甲又超过了丙．请问，再过几分钟乙可以超过丙？
「简答」 左飞2米．继续下去，每过96秒飞行器回到出发点，故L博士不可能到达目的地．
解：第一次从乙追上丙算起，此时甲到乙、丙的距离相等．
再过6分钟后甲追上丙，再过8分钟后甲追上乙，故甲乙的速度差与甲丙的速度差之比为3:4．
于是乙丙的速度差与甲丙的速度差之比为1:4
第二次从甲追上乙算起，此时甲、乙到丙的距离相等．
甲需要6分钟追上丙，故乙需要61424÷×=分钟追上丙．
则再过24618−=分钟，乙可以追上丙． 9 2 7
4 5 6
3 8 1
