(双线性变换法) ( 4.6 ) 从而 G( z) G(s) (4.4)式由s平面到z平面的映射 (4.5)式由s平面到z平面的映射 (4.6)式由s平面到z平面的映射 可以看出: • 使用前向差分法有可能把一个稳定的连续时间系统映射为 一个不稳定的离散时间系统。 • 使用后向差分近似时,一个稳定的连续时间系统将总是给 出一个稳定的离散系统。但是一些不稳定连续时间系统也可 能被转换成稳定的离散时间系统。而且运用后向差分法时频 率被严重压缩了,不能保证频率特性不变。 • 使用双线性变换(塔斯廷近似)将s平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内。因此把连续时间系统的稳定性与离散时 间系统的稳定性不变。 5.2.3.2 离散化 PID 控制器在连续 - 时间工业控制系统中是由硬件设备实现的。 而在计算机控制系统中,PID控制器是通过计算机PID控制算法 程序实现的。 进入计算机的连续时间信号,必须经过采样和整量化后,变成 数字量,方能进入计算机的存贮器和寄存器,而在数字计算机 中的计算和处理,不论是积分还是微分,只能用数值计算去逼 近。因此在数字计算机中,PID控制规律的实现,也必须用数值 逼近的方法。当采样周期相当短时,用求和代替积分,用差分 代替微分,使PID算法离散化,将描述连续时间PID算法的微分 方程,变为描述离散时间PID算法的差分方程。 ( I c ) x0 c Muc 和 ~ ~ (I ( L ))x0 Muc 从T幂到T2幂,上述两个关系式左边的级数展开式是相等的。 现在来确定以使上述两个关系式右边的级数展开式对T和T2也 是相等的。假设: ~ M M0 M1T / 2 那么: c M BMT ( A BL) BMT 2 / 2 则模拟频率ω与离散频率ω'之间有如下关系: 2 T tan( ) T 2 即: (T ) 2 2 1 T tan ( ) 1 T 2 12 (4.7) 双线性变换造成的频率畸变 ω与ω´的非线性关系 由(4.7)式可知,在ω =0处没有频率畸变,并且ω T小时畸 变也小。如果系统要求变换后的某些特定频率不能畸变时, =exp(sT)。这两个差分近似相应于级数展开: z e sT 1 sT (前向差分法/欧拉法)(4.1) z e sT 1 e sT
1 1 sT (后向差分法)(4.2) 另一种与数值积分的梯形法相对应的近似法是: ze sT e sT / 2 1 sT / 2 sT / 2 e 1 sT / 2 和 ~ L I ( A BL0 )T ( A2 ABL0 BL1 )T 2 / 2 取 L0 L L1 LA LBL 即当 ~ L L(I ( A BL)T / 2) ( 5.18 ) 时,直到 T2 阶为止,系统( 5.16 )式和( 5.17)式都具有同 样的极点。当直到并包括T阶时,在不修改L的情况下各极点 也是相同的。 假设( 5.16)式和( 5.17 )式的稳态值相同可确定 M 的修正 式。令参考值是常数并假设状态的稳态值是 x0 ,这可以得到 如下关系: (4.13) 如果系统(4.12)是能控的,那么使用形式为: u(t ) Muc (t ) Lx(t ) (4.14) 的控制器就可任意配置该闭环系统的极点。 对状态采样并在采样周期内保持控制信号恒定就可以实 现数字形式( 4.14 )的控制器。随着采样周期的增加, 离散闭环系统的特性开始恶化,不过,可以修改控制器 以改进闭环系统的性能。假定离散时间控制器形式如下: ~ ~ (4.15) u(kT ) Muc (kT ) Lx(kT ) Leabharlann Baidu统的控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定,这 时应用PID控制技术最为方便。因此,PID控制具有很大的适应 性和灵活性。 当今,数字计算机广泛地应用于控制系统中。数字PID控制比 连续PID控制更为优越,因为计算机程序的灵活性,很容易克 服连续PID控制中存在的问题,经修正而得到更完善的数字PID 闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。 首先必须指出,状态空间中,任意极点配置的充 分且必要的条件是,系统必须是完全状态可控的。 4.2.1 状态反馈 假设连续系统由方程: dx Ax Bu dt 描述。只讨论单输入-单输出情况。对该系统按一定周期进行 零阶保持采样得到的离散系统为: x(kT T ) x(kT ) u(kT ) 1 t d (e(t )) u (t ) K p [e(t ) e( )d TD ] 0 TI dt KP—比例放大系数; (5.23) 式中 TI—积分时间; TD—微分时间。 比例控制能迅速反应误差,从而减小稳态误差。但是,比例控 制不能消除稳态误差。比例放大系数的加大,会引起系统的不 稳定。 积分控制的作用是,只要系统有误差存在,积分控制器就不断 地积累,输出控制量,以消除误差。因而,只要有足够的时间, 积分控制将能完全消除误差,使系统误差为零,从而消除稳态 误差。积分作用太强会使系统超调加大,甚至使系统出现振荡。 微分控制可以减小超调量,克服振荡,使系统的稳定性提高, 同时加快系统的动态响应速度,减小调整时间,从而改善系统 的动态性能。 应用PID控制,必须适当地调整比例放大系数KP,积分时间TI 和微分时间TD,使整个控制系统得到良好的性能。 其中矩阵Ф和Г由: e AT e As dsB 0 T 给出。为简化起见,将系统写为: x(k 1) x(k ) u(k ) 4.2.1.1 差分法和双线性变换法 连续控制器D(s)在时间域里用微分方程来表示,把微分运算用 等效差分来近似,就可得到逼近微分方程的差分方程。 等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又称为 欧拉法,是用前向差分近似导数: 和 ~ M BM0T (BM1 ABM0 )T 2 / 2 令 M0 M M1 LBM 这得出: ~ M ( I LBT / 2)M ( 5.19 ) 故修正的离散时间控制器为(重新列写): ~ ~ u(kT ) Muc (kT ) Lx(kT ) 其中: ~ L L(I ( A BL)T / 2) 第4章 极点配置设计:状态空间方法 • 主要内容 • • • • (1) 状态反馈极点配置 (2) 状态观测器 (3) 带状态观测器的调节器设计 (4) 输入系统的极点配置 4.1 引言 状态空间中的极点配置设计方法是基本的设计方法之一。 如果系统是完全状态可控的,那么,要求的z平面上闭环极点可 以选择,并且,以这些极点为闭环极点的系统可以设计。这种 在z平面设置期望的闭环极点的设计方法,称为极点配置设计法。 在极点配置设计方法中,将反馈全部状态变量,使得全部 闭环极点均设置在各期望的位置上。然而,实际的控制系统中, 量测到全部状态变量是不可能的,不是全部状态变量都可以用 于反馈。为了实现状态反馈,估计这些未知的状态变量是很必 要的,这种估计可以用状态观测器进行。 4.2.2 基于状态模型的近似法 在某些情况下,已知连续时间状态空间模型描述的控制器, 希望将它离散化成离散时间近似式。可以把状态反馈控制器 看作广义的P控制器。假设连续时间系统方程为: dx Ax Bu dt (4.12) y Cx 且所有的状态都是可量测的。对应的离散系统方程为: x(kT T ) x(kT ) u (kT ) y(kT ) Cx(kT ) dx (t ) x(t T ) x(t ) q 1 x(t ) dt T T 得到差分方程; 后向差分法用后向差分近似导数: dx(t ) x(t ) x(t T ) q 1 x(t ) dt T qT 来得到差分方程。 在上述变换变量中,相当于用(z-l)/T或者(z-l)/(zT)代替s。前 面的章节已经表明,可把变量z和s 用自然指数关联起来,即z (5.15) (5.18) (5.19) ~ M ( I LBT / 2)M 5.2.3 数字PID控制器 在连续时间控制系统中,PID控制器应用得非常广泛。其设计 技术成熟,长期以来形成了典型的结构,参数整定方便,结构 更改灵活,能满足一般的控制要求。特别是PID控制技术有其 突出的优点,当被控对象的结构和参数不能完全掌握,或得不 到精确的数学模型时,控制理论的其他设计技术难以使用,系 (4.3) 这种近似也常常叫做双线性变换,或者塔斯廷(Tustin)近似。 使用上述近似方法时,可用下述s´直接代替G(s)中的自变量s 而得到脉冲传递函数G(z),其中: z 1 T z 1 s zT s s 2 z 1 T z 1 (前向差分法 / 欧拉法)( 4.4 ) (后向差分法) ( 4.5 ) ~ ~ x(kT T ) ( L ) x(kT ) Muc (kT ) ( 5.17 ) 一般说来不可能选择使得: ~ c L 但可以利用级数展开,并使T的不同幂次项相等,以使二者非 常接近。假设: ~ L L0 L1T / 2 那么: c I ( A BL)T ( A2 BLA ABL (BL)2 )T 2 / 2 若在采样周期内保持uc(t)不变,就可以对状态方程积分,得出: x(kT T ) c x(kT ) c Muc (kT ) ( 5.16 ) 其中: c e AcT c e Ac s dsB 0 T 如果使用离散时间控制器( 5.15 )式控制( 5.13 )式所示的 离散系统,则有: 可以采用预畸变方法来补偿。要在规定的频率ω 1处没有畸变, 只要把(4.6)式的双线性变换修改为下列变换即可: s 1 z 1 tan( 1T / 2) z 1 (频率预畸变的双线性变换) (4.8) 根据(4.8)式,可以得出: G(ei1T ) G(i1 ) 即该连续时间滤波器及其近似式在频率 ω 1处具有同样值。不 过,该方法仅仅能在规定的频率处保证不发生畸变,在其他 频率处仍会有畸变。 4.2.1.2 频率畸变现象的预防 经过双线性近似变换后,模拟频率与离散频率之间存在着非 线性关系。设模拟频率为 ω ,变换后得到的离散频率为 ω' , 现在将s' = iω,z = eiω´T代入双线性变换式,得到: 2 ei T 1 i i T T e 1 2 ei T / 2 e i T / 2 2i T i T / 2 i T / 2 tan( ) T e e T 2 算法。 5.2.3.1 连续PID控制器 在连续时间系统的实际应用中,常常根据受控对象的特性和控 制的性能要求,灵活地采用不同的控制组合,构成比例( P) 控制器 u(t ) K pe(t ) 比例+积分(PI)控制器 1 u (t ) K p [e(t ) TI e( )d ] 0 t 和比例+积分+微分(PID)控制器 可以采用离散状态空间的极点配置设计方法来实现上述 离散时间控制器(后续章节详细讨论)。这里讨论的是, 如何使用近似方法把( 4.14 )式控制器转换成离散时间 形式。 用连续时间控制器( 5.14 )式来控制连续系统( 5.12 )式, 得到的闭环系统为: dx ( A BL) x BMuc Ac x BMuc dt y Cx 状态反馈极点配置问题,可以分成为两个部分: 首先假定系统的全部状态都可能用于反馈,设计一个 全状态反馈的控制系统;然后,再设计一个状态观测 器,用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据 的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。 4.2 状态反馈极点配置 假设系统的全部状态变量都可以量测,并且都能用 于反馈。如果系统是完全状态可控的,那么,用状态 反馈的方法,适当地选择状态反馈增益矩阵,可以将