对数与对数函数知识点及例题讲解教师版
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基础例题
1.函数f（x）=|log2x|的图象是
1
1 1 -1
1 1
1 1
1 x x
x x y
y y
y OOOOA B
C D
解析：f（x）=.10,log,1,log22xxxx
答案：A
2.若f －1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f －1（x）的值域为___________________.
解析：f －1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域.由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞），∴f －1（x）的值域为（－1，+∞）.
答案：（－1，+∞）
3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log21（3－x）］的定义域是__________.
解析：由0≤log21（3－x）≤1log211≤log21（3－x）≤log2121
21≤3－x≤12≤x≤25. 答案：［2，25］
4.若logx7y=z，则x、y、z之间满足
A.y7=xz
B.y=x7z
C.y=7xz D.y=zx
解析：由logx7y=zxz=7yx7z=y，即y=x7z. 答案：B
5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则
A.a＜b＜c B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1. ∴logn（lognm）＜0.
答案：D
6.若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于
A.42 B.22 C.41
D.21
解析：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数.∴logaa=3·loga2a.
∴loga2a=31.∴1+loga2=31.∴loga2=－32.∴a=42.
答案：A
7.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于
A. 21
B.－21
C.2 D.－2
解析：y=log2|ax－1|=log2|a（x－a1）|，对称轴为x=a1，由a1=－2
得a=－21. 答案：B
注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（－4），
可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1.∴4a+1=1或4a+1=－1.
∵a≠0，∴a=－21.
8.函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是 O
x
y
O
x
y
O x y
O x y A B
C D
解析：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）·g（x）也是偶函数，由此可排除A、D.又由x→+∞时，f（x）·g（x）→－∞，可排除B.
答案：C
9.设f －1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若［1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=8，则f（a+b）的值为
A.1 B.2 C.3 D.log23
解析：∵f －1（x）=2x－1，∴［1+ f －1（a）］［1+ f －1（b）］=2a·2b=2a+b.由已知2a+b=8，∴a+b=3. 答案：C
10.方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.
解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x－10=0.
∴x=－5或x=2.∵x＞0，∴x=2. 答案：2
典型例题
【例1】 已知函数f（x）=,4),1(,4,)21(xxfxx则f（2+log23）的值为
A.31 B.61 C.121 D.241
剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4，
∴f（2+log23）=f（3+log23）=（21）3+log23=241. 答案：D
【例2】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.
解：∵｜x｜＞0，∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
1-1Ox y
注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观.
【例3】 已知f（x）=log31［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.
解：∵真数3－（x－1）2≤3，
∴log31［3－（x－1）2］≥log313=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，得1－3＜x＜1+3，∴x∈（1－3，1］时，
3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+3）时，f（x）单调递增.
注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域.
【例4】已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax为减函数.依题意a＞1，又t=3－ax在［0，2］上应有t＞0，∴3－2a＞0.∴a＜23.故1＜a＜23.
【例5】设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和
g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.
解：f（x）、g（x）的公共定义域为（－1，1）.
|f（x）|－|g（x）|=|lg（1－x）|－|lg（1+x）|. （1）当0＜x＜1时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=－lg（1－x2）＞0；
（2）当x=0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=0；
（3）当－1＜x＜0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=lg（1－x2）＜0.
综上所述，当0＜x＜1时，|f（x）|＞|g（x）|；
当x=0时，|f（x）|=|g（x）|；当－1＜x＜0时，|f（x）|＜|g（x）|.
【例6】 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.
解：定义域为x＞3，原函数为y＝lg3)2(2xx.
又∵3)2(2xx＝3442xxx＝31)3(2)3(2xxx＝（x－3）＋31x＋2≥4，
∴当x＝4时，ymin＝lg4.
【例7】 （ 北京宣武第二次模拟考试）在f1（x）=x21，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log21x四个函数中，x1＞x2＞1时，能使21［f（x1）+f（x2）］＜f（221xx）成立的函数是
A.f1（x）=x21 B.f2（x）=x2
C.f3（x）=2x D.f4（x）=log21x
解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x21为“上凸”的函数.
答案：A
探究创新
1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.
（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？
解：（1）∵f（x）=x2－x+b，∴f（log2a）=log22a－log2a+b.
由已知有log22a－log2a+b=b，∴（log2a－1）log2a=0.
∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2.又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4.
∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.故f（x）=x2－x+2，
从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－21）2+47.
∴当log2x=21即x=2时，f（log2x）有最小值47.
（2）由题意2)2(log22loglog22222xxxx 21102xxx或0＜x＜1.
2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点.
（1）求实数k的值及函数f －1（x）的解析式；
（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数
y=g（x）的图象，若2 f －1（x+m－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.
解：（1）∵A（－2k，2）是函数y= f －1（x）图象上的点，
∴B（2，－2k）是函数y=f（x）上的点.∴－2k=32+k.∴k=－3.
∴f（x）=3x－3.∴y= f －1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.
（2）将y= f －1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数
y=g（x）=log3x（x＞0），要使2 f －1（x+m－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+m）－log3x≥1恒成立，所以有x+xm+2m≥3在 x＞0时恒成立，只要（x+xm+2m）min≥3.
又x+xm≥2m（当且仅当x=xm，即x=m时等号成立），
∴（x+xm+2m）min=4m，即4m≥3.∴m≥169.
小结
1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.
2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较.
3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.
