【20xx精选】最新高中物理第六章万有引力与航天习题课2变轨问题双星问题教学案新人教版必修2[学习目标] 1。
理解赤道物体、同步卫星和近地卫星的区别。
2。
会分析卫星(或飞船)的变轨问题。
3。
掌握双星的运动特点及其问题的分析方法。
一、“赤道上物体”“同步卫星”和“近地卫星”的比较例1 如图1所示，A为地面上的待发射卫星，B为近地圆轨道卫星，C为地球同步卫星。
三颗卫星质量相同，三颗卫星的线速度大小分别为vA、vB、vC，角速度大小分别为ωA、ωB、ωC，周期分别为TA、TB、TC，向心加速度分别为aA、aB、aC，则( )图1B。
TA＝TC<TBA。
ωA＝ωC<ωBD。
aA＝aC>aBC。
vA＝vC<vB答案A 解析同步卫星与地球自转同步，故TA＝TC，ωA＝ωC，由v＝ωr及a＝ω2r得vC>vA，aC>aA 同步卫星和近地卫星，根据＝m＝mω2r＝mr＝ma，知vB>vC，ωB>ωC，TB<TC，aB>aC。
故可知vB>vC>vA，ωB>ωC＝ωA，TB<TC＝TA，aB>aC>aA。
选项A正确，B、C、D错误。
同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较同>T近，根据v＝ωr可知v赤<v同，则线速度关系为v赤<v同<v近，故C项正确。
二、人造卫星的变轨问题1。
卫星的变轨问题卫星变轨时，先是线速度v发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r发生变化。
(1)当卫星减速时，卫星所需的向心力F向＝m减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变迁。
(2)当卫星加速时，卫星所需的向心力F向＝m增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变迁。
以上两点是比较椭圆和圆轨道切点速度的依据。
2。
飞船对接问题(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图2甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接。
4．万有引力理论的成就[学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2.掌握计算天体的质量和密度的方法．(重点) 3.掌握解决天体运动问题的基本思路．(重点、难点)一、计算天体的质量 1．地球质量的计算(1)依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝G MmR2.(2)结论：M ＝gR 2G ，只要知道g 、R 的值，就可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算(1)依据：质量为m 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝4π2mrT2.(2)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道行星绕太阳运动的周期T 和半径r ，就可以计算出太阳的质量．3．其他行星质量的计算(1)依据：绕行星做匀速圆周运动的卫星，同样满足G Mm r 2＝4π2mrT 2(M 为行星质量，m 为卫星质量)．(2)结论：M ＝4π2r 3GT 2，只要知道卫星绕行星运动的周期T 和半径r ，就可以计算出行星的质量．二、发现未知天体 1．海王星的发现英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．2．其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力． (×) (2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力． (√) (3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量．(×)(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性． (√) (5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析． (√) (6)冥王星被称为“笔尖下发现的行星”． (×)2．下列说法正确的是( )A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的B ．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星D [由行星的发现历史可知，天王星并不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．由此可知，A 、B 、C 错误，D 正确．]3．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T ，已知引力常量为G ，半径为R 的球体体积公式V ＝43πR 3，则可估算月球的( )A ．密度B ．质量C ．半径D ．自转周期A [由万有引力提供向心力有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，由于在月球表面轨道有r ＝R ，由球体体积公式V ＝43πR 3，联立解得月球的密度ρ＝3πGT2，故选A.]计算天体的质量和密度1.(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径R 及其表面的重力加速度g ，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg ＝G MmR2，解得天体的质量为M ＝gR 2G ，g 、R 是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”．(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”．常见的情况如下：若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M 43πR 3，将M ＝4π2r 3GT 2代入上式可得ρ＝3πr 3GT 2R 3. 特殊情况：当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r 可认为等于天体半径R ，则ρ＝3πGT 2. 【例1】 (多选)若宇航员在月球表面附近自高h 处以初速度v 0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L .已知月球半径为R ，万有引力常量为G .则下列说法正确的是( )A ．月球表面的重力加速度g 月＝2h v 20L 2B ．月球的质量m 月＝2hR 2v 20GL 2C ．月球的自转周期T ＝2πRv 0D ．月球的平均密度ρ＝3h v 202πGL 2AB [根据平抛运动规律，L ＝v 0t ，h ＝12g月t 2，联立解得g 月＝2h v 20L2，选项A 正确；由mg 月＝G mm 月R 2解得m 月＝2hR 2v 20GL 2，选项B 正确；根据题目条件无法求出月球的自转周期，选项C 错误；月球的平均密度ρ＝m 月43πR 3＝3h v 202πGL 2R ，选项D错误．]求解天体质量和密度时的两种常见误区(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量．(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝3πr3GT2R3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R.1．已知地球和月球半径的比值为4，地球和月球表面重力加速度的比值为6，则地球和月球密度的比值为( )A ．23B ．32C ．4D ．6B [设月球的半径为R 0，地球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，地球表面的重力加速度为g ，在地球表面，重力等于万有引力，故mg ＝G MmR 2，解得M ＝gR 2G ，故密度ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g 4πGR .同理，月球的密度ρ0＝3g 04πGR 0，故地球和月球的密度之比ρρ0＝gR 0g 0R ＝6×14＝32，B 正确．]1一般行星或卫星的运动可看成匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G MmR 2＝ma ，式中a 是向心加速度．2．四个重要结论另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一．现有两个这样的天体，它们的质量分别为m 1和m 2，绕太阳运行的轨道半径分别是r 1和r 2，求：(1)它们与太阳间的万有引力之比；(2)它们的公转周期之比．[解析] (1)设太阳质量为M ，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比F 1F 2＝G Mm 1r 21G Mm 2r 22＝m 1r 22m 2r 21.(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，所以，天体绕太阳运动的周期 T ＝2πr 3GM ，则两天体绕太阳的公转周期之比 T 1T 2＝r 31r 32. [答案] (1)m 1r 22m 2r 21(2)r 31r 32上例中，若r 1＞r 2，则两行星的运行的角速度ω1、ω2和线速度v 1、v 2的关系怎样？提示：ω1＜ω2，v 1＜v 2.2．设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有()A．土星线速度的大小B．土星加速度的大小C．土星的质量D．太阳的质量C[根据已知数据可求：土星的线速度大小v＝2πRT、土星的加速度a＝4π2T2R、太阳的质量M＝4π2R3GT2，无法求土星的质量，所以选C.]如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动．双星具有以下特点：(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同．(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等．(3)轨道半径与质量的关系由F ＝mrω2和L ＝r 1＋r 2，可得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，则r 1r 2＝m 2m 1. 【例3】 (多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．]3．(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统．它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T ，两星到某一共同圆心的距离分别为R 1和R 2，那么，双星系统中两颗恒星的质量关系描述正确的是( )A ．这两颗恒星的质量必定相等B ．这两颗恒星的质量之和为4π2(R 1＋R 2)3GT 2C ．这两颗恒星的质量之比为m 1∶m 2＝R 2∶R 1D ．必有一颗恒星的质量为4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2BCD [对于两星有共同的周期T ，由牛顿第二定律得Gm 1m 2(R 1＋R 2)2＝m 14π2T 2R 1＝m 24π2T 2R 2，所以两星的质量之比m 1∶m 2＝R 2∶R 1，C 正确；由上式可得m 1＝4π2R 2(R 1＋R 2)2GT 2，m 2＝4π2R 1(R 1＋R 2)2GT 2，D 正确，A 错误；m 1＋m 2＝4π2(R 1＋R 2)3GT 2，B 正确．]1．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法中正确的是( )A ．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律、经过大量计算后发现的B．在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差C．第八颗行星，是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经大量计算而发现的D．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的B[由行星的发现历史可知，天王星并不是根据引力定律计算出轨道而发现的；海王星不是通过观测发现，也不是直接由万有引力定律计算出轨道而发现的，而是人们发现天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发现了海王星．冥王星是克莱德·汤博发现的．由此可知，A、C、D错误，B正确．]2．土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为 1.2×106km，已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为()A．5×1017 kg B．5×1026 kgC．7×1033 kg D．4×1036 kgB[卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力．设土星质量为M，则有GMmR2＝m4π2T2R，解得M＝4π2R3GT2，带入计算可得：M＝4×3.142×(1.2×106×103)36.67×10－11×(16×24×3 600)2kg≈5×1026 kg，故B正确，A、C、D错误．] 3．2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A．5×109 kg/m3B．5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3D．5×1018 kg/m3C[毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G MmR2＝m4π2RT2，M＝ρ·43πR3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确．]4．(多选)宇宙观测发现，在宇宙中甲、乙两个星体组成的双星系统，它们同时绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，已知甲、乙的质量之比为7∶1，由此可知()A．甲、乙的线速度大小之比为7∶1B．甲、乙的向心力大小之比为1∶1C．甲、乙的运行轨道半径之比为1∶7D．甲、乙的周期之比为1∶7BC[作为双星系统，甲乙两星体周期是相等的，角速度也是相等的，它们之间的万有引力提供各自的向心力得：mω2r＝Mω2R，甲乙质量比为7∶1，所以甲乙运行轨道半径之比为1∶7，根据v＝ωr可知，线速度之比为1∶7，故A错误，C正确；它们之间的万有引力提供各自的向心力，则甲乙向心力大小相等，故B正确；甲乙两星体可视为双星系统，周期是相等的，故D错误．]。
