线性代数证明题

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文档页数：15

1 1、试题序号：321

2、题型：证明题

3、难度级别：3

4、知识点：第二章矩阵及其运算

5、分值：8

6、所需时间：8分钟

7、试题关键字：矩阵秩的性质

8、试题内容：

设A为一个n阶方阵，E为同阶单位矩阵且2AE，证明：RAERAEn.

9、答案内容：

证明:

2220()()0,()()()().().()().AEAEAEAERAERAERAEREAnRAEREARAEEAnRAERAEn由矩阵秩的性质则有同时,有(+)+(-)

10、评分细则：由题设推出0AEAE得2分;由矩阵秩的性质推出

RAERAEn得2分;推出RAERAEn得2分;因而推出RAERAEn得2分.

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1、试题序号：322

2、题型：证明题

3、难度级别：3

4、知识点：第五章相似矩阵及二次型

5、分值：8

6、所需时间：6分钟

7、试题关键字：正交矩阵的特征值

8、试题内容：

设A为一个n阶正交矩阵，且1A.证明：1是A的特征值.

9、答案内容：

证明： 2 ,.1,(1)()()0(1)0.1.TTTTTTTTAAAEAAEAEAAAEAAEAAEAEAEAEAAEAEA是正交矩阵又是的特征值

10、评分细则：推出1TAEAAA(2分)TEA(2分)EA(2分)

推出10AE并说明1是A的特征值(2分).

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1、试题序号：323

2、题型：证明题

3、难度级别：4

4、知识点：第五章相似矩阵及二次型

5、分值：8

6、所需时间：10分钟

7、试题关键字：二次型的正定性

8、试题内容：

已知,AB均为n阶正定矩阵，试证明：分块矩阵00AB也为正定矩阵.

9、答案内容： 3 12112212,00.000000000.00TTTTTABABAABBABXAAfXXXBBXXXfAXBXABTT12TT12证明是正定矩阵，，是对称矩阵.A00B是对称矩阵.令=,此为所确定的二次型.0,X中至少有一个不为0,则有=X+X此二次型为正定二次型，则为正定矩阵.

10、评分细则：由题设中条件推出00AB是对称矩阵(2分);令

112200TTXAfXXXB(2分);由120TTXX推出12,XX中至少有一个不为零

(2分).则有11220TTfXAXXBX,推出f1122TTXAXXBX为正定二次型(2分).

因而有00AB为正定矩阵(2分).

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1、试题序号：324

2、题型：证明题

3、难度级别：3

4、知识点：第五章相似矩阵及二次型

5、分值：8

6、所需时间：8分钟

7、试题关键字：二次型的正定性

8、试题内容：

设,AB均为n阶正定矩阵，试证明：AB也为正定矩阵.

9、答案内容：

证明： 4 ,.()().0,.,,.0.()TTTTTTTTTTTTTABAABBABABABABfxABxxfxAxxBxABxAxxBxfxAxxBxfxABx都是正定矩阵,=,=为对称矩阵.令则有是正定矩阵是正定二次型则有为正定二次型.则A+B也为正定矩阵.

10、评分细则：由题设中条件推出AB为对称矩阵(2分);令TfxABx(2分);00TTxfxAxxBx(2分);推出TfxABx为正定二次型(2分);因而有AB为正定矩阵(2分).

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1、试题序号：325

2、题型：证明题

3、难度级别：2

4、知识点：第四章向量组的线性相关性

5、分值：8

6、所需时间：8分钟

7、试题关键字：向量组的线性关系

8、试题内容：

若向量可由向量组12,,,r线性表示，但不能由121,,,r线性表示，试证：r可由121,,,,r线性表示.

9、答案内容：

证明：

2.0,.1.,.rrrrrrrrr１２１２r１１２２r１１２２r-１１１２１１２r-１r１１rrrr１２１可以由，，线性表示，存在一组数Ｋ，Ｋ，Ｋ,使得Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ＝若Ｋ则Ｋ＋Ｋ＋＋Ｋ这与不能由，，线性表示矛盾.ＫＫＫＫ０ＫＫＫＫ可由，，线性表示

10、评分细则：由题设中条件令1122rrkkk(2分);假设0rk推出不能 5 由121,,,r线性表示矛盾(2分);0rrk可以由121,,,r,线性表示(4分).

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1、试题序号：326

2、题型：证明题

3、难度级别：4

4、知识点：第四章向量组的线性相关性

5、分值：8

6、所需时间：10分钟

7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩

8、试题内容：

如果向量组12,,,s线性无关，试证：向量组11212,,,s线性无关.

9、答案内容：

证明：

,..111011.001111011.001BRRAS12S11212S12S12S11212S12S令A=

,,线性无关，

令C=则有B=AC，显然C可逆.

10、评分细则：令12sA,11212sB(1分);由题设条件推出RAs(1分);

令1111011001C推出BAC(2分);推出1ABCRBRAs(2分)

又1121,,sRBsRBs线性无关(2分).

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1、试题序号：327

2、题型：证明题 6 3、难度级别：3

4、知识点：第二章矩阵及其运算

5、分值：8

6、所需时间：8分钟

7、试题关键字：奇异矩阵

8、试题内容：

已知矩阵22,AEBE，且0AB证明：AB为奇异矩阵.

9、答案内容：

证明：

22221,1.01,1.().()..0,AEABEBABABAABABABBAAABBBAAABBABABAB又若则而则为奇异矩阵.

10、评分细则：由题设中条件推出1,1AB(1分);推出AABBBA(3分);推出AABBBA(2分);推出0ABAB为奇异矩阵(2分).

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1、试题序号：328

2、题型：证明题

3、难度级别：2

4、知识点：第四章向量组的线性相关性

5、分值：8

6、所需时间：6分钟

7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩

8、试题内容：

设n维基本单位向量组12,,,n可由n维向量组12,,,n线性表示，证明：12,,,n线性无关.

9、答案内容：

证明：

121,.,,,,..,,,naBABRRnRAnRAn12nnn2n12nn12n令A=且E

,,可以由线性表示.存在一个n阶方阵使得EAE同时线性无关.

10、评分细则：令1212,nnAE(2分);由题设条件推出 7 存在一个n阶矩阵B(2分);使得ABERAn(4分).

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1、试题序号：329

2、题型：证明题

3、难度级别：4

4、知识点：第四章向量组的线性相关性

5、分值：8

6、所需时间：10分钟

7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩

8、试题内容：

设12,,,m线性无关，1可由12,,,m线性表示，2不可由12,,,m线性表示，证明：1212,,,,m线性无关（其中为常数）.

9、答案内容：

证明:

11122mmkkk，

1212122mm.

假设122MRm,则有

122,,,,m线性相关,因而与2不能由12,,,m线性表示矛盾.

122mRm,12121mRm

1212,,,,m线性无关.

10、评分细则：由题设中条件推出1212122mm(2分);假设122mRm由题设推出2能由12,,m线性表示,与题设矛盾(2分);122mRm推出12121mRm(3分);推出1212,,,m线性无关(1分).

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1、试题序号：330

2、题型：证明题

3、难度级别：2

4、知识点：第四章向量组的线性相关性

5、分值：8

6、所需时间：6分钟

7、试题关键字：向量组与矩阵的秩

8、试题内容：

线性代数复习题带参考答案(一)

1 线性代数考试题库及答案

第三章向量

一、单项选择题

1. 321,,， 21,都是四维列向量，且四阶行列式m1321,n2321,则行列式)(21321

nma)( nmb)( nmc)( nmd)(

2. 设A为n阶方阵，且0A,则（）。

成比例中两行（列）对应元素Aa)(

线性组合中任意一行为其它行的A)b(

零中至少有一行元素全为Ac)(

线性组合中必有一行为其它行的A)d(

3. 设A为n阶方阵，nrAr)(，则在A的n个行向量中（）。个行向量线性无关必有ra)(

个行向量线性无关任意r)b(

性无关组个行向量都构成极大线任意rc)(

个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r)d(

4. n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）

nrAra)()( 2 nAb的列秩为)(

零向量的每一个行向量都是非）（Ac

的伴随矩阵存在）（Ad

5. n维向量组s,,,21线性无关的充分条件是( )

)(as,,,21都不是零向量

)(bs,,,21中任一向量均不能由其它向量线性表示

)(cs,,,21中任意两个向量都不成比例

)(ds,,,21中有一个部分组线性无关

6. n维向量组)2(,,,21ss线性相关的充要条件是( )

)(as,,,21中至少有一个零向量

sb,,,)(21中至少有两个向量成比例

sc,,,)(21中任意两个向量不成比例

sd,,,)(21中至少有一向量可由其它向量线性表示

7. n维向量组)3(,,,21nss线性无关的充要条件是( )

skkka,,,)(21存在一组不全为零的数使得02211sskkk

考研线代证明题

摘要：

1.考研线代证明题概述

2.线性无关组的概念及性质

3.证明题的解题思路和方法

4.举例说明

5.结论

正文：

一、考研线代证明题概述

线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。

二、线性无关组的概念及性质

线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。线性无关组的性质有：

1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；

2.线性无关组中的向量数量是最大的；

3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。

三、证明题的解题思路和方法

解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。具体方法如下：

1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；

2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；

3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。

四、举例说明

假设有一个线性无关组 a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。我们可以按照以下步骤进行证明：

1.假设 a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量 a(i) 可以表示为 a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中 i 不属于{1, 2,..., s}。

2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即 a(i) = A * a(1) + B *

a(2) +...+ D * a(s)，其中 A、B、...、D 为待定系数。

3.由于 a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为 0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠ 0。

线性代数试题及答案

1 线性代数习题和答案

好东西

第一部分选择题 (共28分）

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。

1.设行列式=m,=n，则行列式等于（）

A. m+n B. -（m+n）

C. n-m D. m—n

2。设矩阵A=，则A—1等于( ）

A. B。

C。 D.

3。设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A ＊中位于(1，2)的元素是( )

A. –6 B. 6

C. 2 D。 –2

4。设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A。 A =0 B. BC时A=0

C. A0时B=C D. ｜A｜0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(AT）等于（ )

A。 1 B。 2

C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1，α2,…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2(α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0

C。有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（）

线性代数考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：

A. 可逆的

B. 不可逆的

C. 正定的

D. 负定的

答案：B

2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：

A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +

k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)

B. 所有向量都为零向量

C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +

k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量

D. 所有向量都为非零向量

答案：A

3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：

A. A和B都是零矩阵

B. A和B中至少有一个是零矩阵

C. A和B的秩之和小于A的列数

D. A和B的秩之和小于B的行数

答案：C

4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则： A. m > n

B. m ≤ n

C. m ≥ n

D. m < n

答案：B

5. 若矩阵A和B合同，则：

A. A和B具有相同的行列式

B. A和B具有相同的秩

C. A和B具有相同的特征值

D. A和B具有相同的迹

答案：B

二、填空题（每题3分，共15分）

1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。

答案：λ

2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。

答案：1/|A|

3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。

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