线性代数证明题

27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=332322131211000a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-=a a A ，00002213=-=a A ，00121123=-=a aA ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-3332223121111||1A A A A A A A A 是上三角矩阵． 四、证明题（本大题6分）27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-． 四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．四、证明题（本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．四、证明题（本大题6分）27．设α为0=Ax 的非零解，β为b Ax =（0≠b ）的解，证明α与β线性无关． 证：设021=+βαk k ，则0)(21=+βαk k A ，021=+βαA k A k ，0021=+b k k ，由此可得02=k ，从而01=αk ，又0≠α，可得01=k ，所以α与β线性无关．27．设η为非齐次线性方程组Ax =b 的一个解，r ξξξ,,,21 是其导出组Ax =0的一个基础解系．证明r ξξξη,,,,21 线性无关．证：设02211=++++r r k k k k ξξξη ， 则0)(2211=++++r r k k k k A ξξξη ， 02211=++++r r A k A k A k kA ξξξη ，000021=++++r k k k kb ，0=kb ， 由0≠b ，得0=k --（1） 从而02211=+++r r k k k ξξξ ， 由r ξξξ,,,21 线性无关，得021====r k k k -（2） 由（1）（2）可知r ξξξη,,,,21 线性四、证明题（本大题共1小题，6分）27．设向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=，证明：向量组321,,βββ线性无关． 证：设0332211=++βββk k k ，即0)()()(133322211=+++++ααααααk k k ， 0)()()(332221131=+++++αααk k k k k k ，因为321,,ααα线性无关，必有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k ，021111110110101110011101||≠=-=-==A ，方程组只有零解：0321===k k k ，所以321,,βββ线性无关．四、证明题（本题6分）27．已知A 是n 阶矩阵，且满足方程022=+A A ，证明A 的特征值只能是0或2-．证： 设a 是A 的特征值, 则 a^2+2a 是 A^2+2A 的特征值而 A^2+2A =0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 a^2+2a = 0 所以 a(a+2)=0 所以 a=0 或 a=-2 即A 的特征值只能是0或-2.四、证明题（本大题共1小题，6分）27．证明：若向量组n ααα,,,21 线性无关，而n n n n ααβααβααβααβ+=+=+=+=-132321211,,,, ，则向量组n βββ,,,21 线性无关的充要条件是n 为奇数．证：设02211=+++n n k k k βββ ，即0)()()(1232121=+++++++n n k k k k k k ααα ，由n ααα,,,21 线性无关，可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+0013221n k k k k k k ，其系数行列式110000100110001)1(10001100001001110001110000010001100011||1nA +-+== n +-+=1)1(1，当且仅当n 为奇数时，0||≠A ，齐次方程组只有零解，n βββ,,,21 线性无四、证明题(本题6分)27．设向量组321,,ααα线性无关，且332211αααβk k k ++=．证明：若01≠k ，则向量组32,,ααβ也线性无关．证：设033221=++ααβx x x ，即0)()(33132212111=++++αααx x k x x k x k ．由321,,ααα线性无关，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=00031321211x x k x x k x k ．若01≠k ，则方程组的系数行列式01001001321≠=k k k k ，只有0321===x x x ，所以32,,ααβ 四、证明题（本大题6分）27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无 证明：设存在不全为0的实数k1,k2,k3,k4,k5使得k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0 则(k1+k5)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4+(k4+k5)α5=0 因为向量组α1.α2.α3.α4,α5线性无关，所以k1+k5=0，k1+k2=0，k2+k3=0，k3+k4=0，k4+k5=0 解得k1=k2=k3=k4=k5=0所以不存在不全为0的实数使k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α5)+k5(α5+α1)=0， 所以向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α5,α5+α1线性无关。

《线性代数》常见证明题型及常用思路二、证明题题型1关于-「m线性相关性的证明中常用的结论(1)设'' m> m = °，然后根据题设条件，通过解方程组或其他手段：如果能证明U，'m必全为零，则…「m线性无关；如果能得到不全为零的-厂，’m使得等式成立，贝，1厂「m线性相关。

(2)i厂「m线性相关当且仅当其中之一可用其他向量线性表示。

(3)如果〉i厂「m F n，则可通过矩阵的秩等方面的结论证明。

(4 ) 如果我们有两个线性无关组，〉1厂，5，W i，1，,「W且W「W 是同一个线性空间的两个子空间，要证>1,…「m「i，_「t线性无关。

这种情况下，有些时候我们设-°1 1 mm 11 t t1 1 mm， 1 1 t t根据题设条件往往能得到----° ,进而由〉1，_「m・W「」…，1 W的线性无关得到系数全为零。

题型2・关于欧氏空间常用结论(1)内积的定义(2)单位正交基的定义U B二(X i， ,X n)，B 二(y「，y n)。

则(u,v)二人％人丫“5 题型3.关于矩阵的秩的证明中常用的结论(1)初等变换不改变矩阵的秩(2)乘可逆矩阵不改变矩阵的秩(3)阶梯形的秩(4)几个公式(最好知道如何证明)：常用来证明关于秩的不等式r(A Bp r(A) r(B);r(AB)乞min{ r(A),r(B)};r(A) = r(A T) = r(A T A);max{r(A), r(B)}乞r(A, B) = r I T乞r(A) r(B);6丿Ar = r(A) + r(B);< B丿(A、r(A) + r(B)兰r | 兰r(A) + r(B) + r(C);<C B丿A m nB 二0= r(A) r(B尸n(5)利用分块矩阵的初等变化不改变矩阵的秩(常用来证明关于秩的不等式)例：证明：r(A m n) r(B厂n r(AB)。

线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ⨯⨯，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。

10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ⨯矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =⇔)( 16.向量组A 能 用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ⨯⨯,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

考研线代证明题摘要：1.考研线代证明题概述2.线性无关组的概念及性质3.证明题的解题思路和方法4.举例说明5.结论正文：一、考研线代证明题概述线性代数是考研数学的重要组成部分，其中证明题是历年考研数学试卷中必考的内容。

线代证明题主要涉及到向量空间、线性变换、特征值与特征向量、二次型等知识点。

这类题目不仅考查考生的数学知识，还考查考生的逻辑思维和推理能力。

二、线性无关组的概念及性质线性无关组是线性代数中一个基本概念，是指一组向量线性无关。

线性无关组的性质有：1.线性无关组中的向量可以线性表示其他向量；2.线性无关组中的向量数量是最大的；3.线性无关组中的向量具有线性无关性，即任意一个向量都不能由其他向量线性表示。

三、证明题的解题思路和方法解线代证明题，首先要理解题目所给出的已知条件，然后找到解题的思路。

具体方法如下：1.利用已知条件，通过线性组合将向量表示出来；2.利用线性无关组的性质，判断向量是否线性无关；3.利用矩阵的性质，如行列式、秩等，推导出所需结论。

四、举例说明假设有一个线性无关组a(1), a(2),..., a(s)，现在需要证明这个线性无关组是极大线性无关组。

我们可以按照以下步骤进行证明：1.假设a(1), a(2),..., a(s) 不是极大线性无关组，即存在一个向量a(i) 可以表示为a(1), a(2),..., a(s) 的线性组合，其中i 不属于{1, 2,..., s}。

2.根据线性组合的定义，可以得到一个矩阵方程，即a(i) = A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)，其中A、B、...、D 为待定系数。

3.由于a(1), a(2),..., a(s) 线性无关，所以矩阵方程中系数矩阵的行列式不为0，即|A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)| ≠0。

4.根据矩阵的秩的定义，系数矩阵的秩等于矩阵方程中未知数的个数，即r(A * a(1) + B * a(2) +...+ D * a(s)) = s。

线性代数习题和答案好东西第一部分选择题(共28分）一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内.错选或未选均无分。

1.设行列式=m,=n，则行列式等于（）A. m+nB. -（m+n）C. n-mD. m—n2。

设矩阵A=，则A—1等于( ）A. B。

C。

D.3。

设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵,则A＊中位于(1，2)的元素是( )A. –6B. 6C. 2 D。

–24。

设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A。

A =0 B. BC时A=0C. A0时B=CD. ｜A｜0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T）等于（)A。

1 B。

2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2,…,αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1)+λ2(α2+β2）+…+λs(αs+βs）=0 C。

有不全为0的数λ1，λ2,…，λs使λ1（α1—β1）+λ2(α2—β2）+…+λs（αs-β）=0sD.有不全为0的数λ1，λ2,…，λs和不全为0的数μ1,μ2,…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsα=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0s7.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r—1阶子式都不为0 B。

所有r—1阶子式全为0C。

至少有一个r阶子式不等于0 D。

所有r阶子式都不为08。

设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解,则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解C。

η1—η2是Ax=0的一个解D。

2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（)A。

线性代数证明题练习线性代数证明题是线性代数课程中的一部分，通过解答这些证明题可以加深对线性代数理论的理解和掌握。

本文将提供一些线性代数证明题的练，帮助读者提高他们的证明能力。

1. 向量空间的性质证明1.1 证明向量空间的加法交换律要证明向量空间的加法交换律，需要证明对于任意的向量a和b，有a + b = b + a。

下面是证明的步骤：* 步骤1：首先考虑向量的定义。

向量可以表示为a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)，其中ai和bi分别是实数。

根据向量的定义，a + b可以表示为(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

* 步骤2：考虑向量加法的交换性质。

根据实数的加法交换律，可以推导出向量加法的交换律。

因此，可以得出(a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn) = (b1 + a1, b2 + a2, ..., bn + an)。

* 步骤3：得出结论。

根据步骤2的结果，可以得出a + b = b + a。

通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的加法交换律成立。

1.2 证明向量空间的数乘结合律要证明向量空间的数乘结合律，需要证明对于任意的实数k和向量a，有k(a) = (ka)。

下面是证明的步骤：* 步骤1：考虑向量和数的定义。

向量a可以表示为a = (a1,a2, ..., an)，其中ai是实数。

数k可以表示为一个实数k。

* 步骤2：考虑数乘的定义。

数乘k(a)可以表示为(k * a1, k *a2, ..., k * an)。

* 步骤3：考虑数乘的结合性质。

根据实数的乘法结合律，可以推导出数乘的结合律。

因此，可以得出(k * a1, k * a2, ..., k * an) = (ka1, ka2, ..., kan)。

* 步骤4：得出结论。

根据步骤3的结果，可以得出k(a) = (ka)。

通过以上的证明步骤，可以证明向量空间的数乘结合律成立。

线性代数证明题线性代数证明题1．设1234,,,αααα是非零的四维列向量，1234(,,,),*A A αααα=为A 的伴随矩阵，已知0Ax =的基础解系为(1,0,2,0)T ，证明234,,ααα是方程组*0A x =的基础解系.2.设A 是n 阶矩阵，且0nA =，则A E n -必是可逆矩阵。

3．,,A B C 均是n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，证明：BCA E = 4．设3级方阵,A B 满足124A B B E -=-，证明：2A E -可逆，并求其逆.5．设A 是一个n 级方阵，且()R A r =，证明：存在一个n 级可逆矩阵P 使1PAP -的后n r -行全为零.6．设矩阵,m n n m A B ??，且,m n AB E <=，证明：A 的行向量组线性无关.7．如果,2A A =称A 为幂等矩阵.设B A ,为n 阶幂等矩阵，证明：B A +是幂等矩阵的充要条件是.0==BA AB8.如果对称矩阵A 为非奇异,试证:1-A 也是对称矩阵 9.设A ，B ，C 都是n 阶方阵，且C 可逆，T --+=A E B C C ）（11,证明：A 可逆且T-+=）（C B A 1。

10.设0=kA，其中k 为正整数，证明：121)(--++++=-k A A A E A E11.设方阵A 满足A 2-A-2E=O ，证明A 及A+2E 都可逆，并求112--+）及（E A A 12.试证：对任意方阵A ，均有 T A A +为对称矩阵， TA A -为反对称矩阵。

13.证明 1)(=A R 的充分必要条件是存在非零列向量α和非零行向量Tβ，使TA αβ= 14.设A 为列满秩矩阵，C AB =，证明方程0=BX 与0=CX 同解 15.设A 为n m ?矩阵，证明方程m E AX =有解m A R =?)( 16.向量组A 能用向量组B 表示，则R(A)<=R(B)17.设B A ,分别为m n n m ??,矩阵，则齐次方程组O =ABx 当n m >时必有非零解。

第一章多项式1.(P16)证明：当n= 6/?? + 5 时，多项式F+与+尸整除多项式(x+y)n-x n-y n；当n = 6m+l 时,多项式(x2+xy + y2)2整除多项式E)” 7” - / •这里朋是使“ > 0的整数，而兀,y是实数.2.(P16)求最低次数的多项式「心)与咻)，使得(1)(x4一2x3一4x2+6x + Y)u(x) + (x3一5x-3)v(x) = x4 ;(2 ) (x4 + 2X3+x+V)u(x) + (x4 +x3 -2x2 +2x-l)v(x) = -2x3.(Pl 6)求次数最低的多项式/(A),使得/G)被多项式X4-2X3-2X2+10A-7除时余式为F+x + i ,被多项式X4-2X3-3X2+13A-10除时余式为2A:2-3.4(P22)把下列复系数多项式分解为一次因式的乘积：(1)x" -C討“ +C族“ +... +(_曲；(2)x2n +C^x2n-2(x2 -\) + C^x2n'4(x2 -\)2 +... + (x2 -\)n；(3)0+1 +cU”」(x2 _]) + (7；”+用心(十_1)2 + +心2 _1)” .5.(P22)证明：复系数多项式爪)对所有的实数兀恒取正值的充分必要条件是，存在复系数多项式0(x),处V)没有实数根，使得/W =10(x)1’・6.(P22)证明：实系数多项式/⑴对所有实数X恒取非负实数值的充分必要条件是，存在实系数多项式卩⑴和叽X),使得f(x)=[(p(x)]2 + [1//M]2.7.(P26)设/⑴巳疋+“严+…+““+吗是整系数多项式，且素数〃满足：pRo，pg,...,pM，plq,i = k+l,k+2,...,/i ,而p2 )a n，证明：f(x)具有次数的整系数不可约因式.8・(P26)设 f(x) = a Q x 2n+l +... + y" +a n+l x n+... + %v + %i 是整系数多项 式，且素数 p 满足:p !«,,/ = 1,2 . n t p 2\a it i = n + l,n +2，…,2n + \ ,但P”2”+i •证明：/(x)在Q 上不可约.z, jA<iJ<n ,均有/(乳…总，…芒厂……,◎，…，勺，…,匕)9则/(勺吕…总)称为对称的擞域F"上规范对称“重线性函数称为川阶积和式()，记为阳6局，…&) •记 勺=(%%…％)JT2…丿,并记"阶方阵A 为9. (P26)设时2，...®是〃个不同的整数.证明：多项式f(x) = (x-a l )2(x-a 2)2...(x-a n )2+1在Q 上不可约.第二章行列式1O.(P54)计算下列行列式：0 a b cabed/ I 、 -a 0 d €(°、 _d a b _c-b -d 0 / -c -d a b -c -e 一 f 0-d c _b u11. (P54)设/(沿2，…,L )是F”上£元函数•如果对任意 -Ut±*则"阶积和式阳(勺局也记为P"A •证明:Per^= E %%・・・％•(1 2 ・.・ /? '1 bl Q ・•• A J12. (P66)给定〃阶方阵A =(知).证明：其中A v 是行列式3 A 中元素知的代数余子式，1「J S •13. (P84)计算下列〃阶行列式:a } +x 2 ・・・ a } + x n \ + a 2+ x 2 ・・・ a 2 + x n • 1+勺+心11 (1)a2l ~a i\ “22 — ^12…a 2n ~a \na3\ ~a \\a32 ~a \2…①” 一细Cln\ ^a\\ d“2 _"12・・・%一％=工八八1 0 0 011 C ： 叫CA 1• • • ,n l1 C ； 0 ...0 A(3) 1 C ； 叫 C ；、 • • •«■丿•“m ；(4) 1 C ； • • • c ； • • ...0 • • ■ • • • ?x~• • • • ■ • C ； • • •1• • •1 Cl C ；… 5-2 严1 * C 二 厂口・2 …C/i-lz-1厂—1 '-zvi+;r-la i +bn ]&2 +b n•・• ^r?r+;r-l1 + q + 召 a + xn-1 X -2/7 + 2-1%h2\，其余未写出的元素都•n -U是零.14. (P86)设•••，"”是正整数•证明：行列式1 q af ・・・4穿1 o, cd ... a"~]••• •••能被 l fl -*2n -2...(n -2)2(“ 一 1)整除.15. (P86)()设"阶方阵A = 0)满足Qij=-aji ，\Si,jS ,则方阵A 称为 斜对称方阵.把％看成未定元，证明：奇阶斜对称方阵的行列式sin n0x sin(n-l)^ ・・・1 + Xj 1 +石...1 (7) sin n02 sin(/z-l)^2 (i)02 ；(8) 1 + X 〉 1 + X ；・・・ 1 +sin n0n sin(n-l)^ … sinQ1 + X n 1 + X ；・・.cos (n-i )q cos 20n .V 1 一 n x 一 2_(n _ 1)1 cos qcos 20\ cos ・ cos(x-l )q 1 cos 0n(9)(10) 计算2“阶行列式bln恒为零，而偶阶斜对称方阵的行列式是一个完全平方.16.(P86)()设〃阶方阵A =(q)的元素都是实的，并且ng >0q V OJ H人力知>0 •证明:r-l17.(P86)()设"阶方阵A = q)的元素都是复数，并且41>£|呦|,心12...,“，则方阵A称为主角占优矩阵•证明：主角占优矩阵的行列式不为零.18.(P87)把〃阶行列式几一41 -a i2... 一q”—a 212_勺2 …• ■ •• • •~Cl n\_。

8、试题内容：设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，n m <,若AB E =，证明B 的列向量组线性无关.9、答案内容：证明:A 为n m ⨯矩阵,B 为m n ⨯矩阵,且AB E =,E 为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有 ()()R B R E n ≥=.又(),.n m R B n <∴≤()R B n ∴=B ∴ 的列向量组线性无关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设121,,,n ααα- 为1n -个线性无关的n 维列向量，12,ηη与121,,,n ααα- 均正交，证明：12,ηη线性相关.9、答案内容：证明:12,ηη 分别与121,,,n ααα- 均正交,()1121200T n T ηαααη-⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()121n A ααα-= ,12T T B ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭,()()011BA R A n R B =⇒=-⇒≤ 12,ηη∴线性相关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：已知n 阶实矩阵A 为正交矩阵，12,,,n ααα 为n 维正交单位向量组，证明：12,,,n A A A ααα 也是n 维正交单位向量组.9、答案内容：证明:A 是阶正交矩阵,则有12,,,n ααα 是维正交向量组()()0,0,0T i i j TT T T i j i j i i jA A A A ααααααααα∴≠=≠=== 12,,n A A A ααα∴ 是正交向量组.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设12,,,s ααα 是0Ax =的一个基础解系，β不是0Ax =的解，证明：12,,,,s ββαβαβα+++ 线性无关.9、答案内容：证明:假设()121s R s βααα<+ .这与β不是0Ax =的解矛盾()121s R s βααα∴=+()11s R s ββαβα++=+即1,,s ββαβα++ 线性无关.----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设A 是m n ⨯矩阵，D 是m n ⨯矩阵，B 为m m ⨯矩阵，求证：若B 可逆且BA 的行向量的转置都是0Dx =的解，则A 的每个行向量的转置也都是该方程组的解.9、答案内容：证明：设A 的行向量组为12,,,m ααα （I ）设B 的行向量组为12,,,m βββ （II ）则向量组（I ）与（II ）均为n 维向量组,BA C B =可逆1A B C -⇒=令1112121222112m m m m mm k k k k k k B k k k -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有 1111211221222212m m m m m mm m k k k k k k k k k αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴向量组（I ）可以由（II ）线性表示向量组（II ）是0Dx =的解∴向量组（I ）也是0Dx =的解----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为r ，12,,,n r ηηη- 是其导出组的一个基础解系，η是Ax b =的一个解，证明：12,,,,n r ηηηη- 线性无关.9、答案内容：证明：假设12,,,,n r ηηηη- 线性相关，12,,,n r ηηη- 是0Ax =的基础解系，12,,,n r ηηη-∴ 是线性无关的.由以上可得η可以由12,,,n r ηηη- 线性表示.则η是0Ax =的解,与η是Ax b =的解矛盾.∴假设不成立,即,η12,,,n r ηηη- 线性无关.10、评分细则：假设12,,,n r ηηηη- 线性相关,由题设推得η可以由121,,r ηηη- 线性表示(3分);所以η是0Ax =的解与η是Ax b =的解矛盾(3分);所以12,,,n r ηηηη- 线性无关(2分).----------------------------------------------------------------------------8、试题内容：设*A 为A 的伴随矩阵，若A 为正定的，试证*A 及1A -均为正定的.9、答案内容：证明：∵A 为正定矩阵，∴A 的特征值全为正数。

四、证明题：1、（本题6分）设n 阶实方阵2A A =，E 为n 阶单位矩阵，证明：()()n E A R A R =−+。

2、（本题10分）设r ααα,,,21⋯)2(≥r 是数域P 上的线性空间V 中线性无关的向量组，任取P k k k r ∈−121,,⋯，求证：,111r k ααβ+=,222r k ααβ+=,⋯r r r r r r k αβααβ=+=−−−,111线性无关。

3、（本题8分）试证明：n 阶矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1112⋯⋮⋯⋮⋮⋮⋯⋯b b b b b b b b b a A 的最大特征值为])1(1[2b n a −+，其中10<<b 。

4、（本题8分）试证明：x xx a a a a x a x a x a x a n n n n n n n −−−+=++++−−−−1000010000011221111⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。

5、（本题10分）设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明：(1)若|A |=0，则|A *|=0(2)|A *|=|A |n -16、（本题16分）证明：（1）若方阵X 满足X 2–X –2E =0，则X ，X +2E 都可逆，并求X –1，(X +2E )–1。

（2）若A 、B 为同阶可逆矩阵，则(AB )*=B *A *。

7、（本题8分）证明：若n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +…+c n x n 对于n +1个不同的x 值都等于0，则f (x )=0。

8、（本题16分）（1）设A 和B 为n 阶方阵，试证：⇔=)()(B R AB R 方程组0=x AB 与0=x B 有完全相同的解。

（2）设线性方程组(I)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n b x a x a x a b x a x a x a ⋯⋯⋯⋯221111212111和(II)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++n n nn n n n n c x A x A x A c x A x A x A ⋯⋯⋯⋯221111212111，其中ij A 为ij a 在行列式||||ij a A =中的代数余子式，i i c b ,不全为零，试证：方程组(I)有唯一解的充要条件是方程组(II)有唯一解。

线性代数一些证明题 1 题目设n 阶可逆矩阵A 满足A 2=A ，求A 的特征值。

知识点特征值与特征向量矩阵的行列式解题过程解：因为A 2=A所以A 2－A =0所以det(A 2－A )=det[A (A －E )]=det(A )det(A －E )=0 A 为可逆矩阵，所以det(A )≠0 所以det(A －E )=0所以A 的特征值为1.常见错误设存在λ，使Ax =λx 成立 则 det(Ax )=det(A )det(x )=det(λx )=n λdet(x ) (错误在于向量取行列式)所以 有)det(A n =λ成立.又因为A 2=Adet(A )2=det(A), 即det(A )=0或det(A )=1.由于A 为可逆矩阵，det(A)≠0. 所以 det(A )=1 1=n λ当n 为奇数时，λ=1. 当n 为偶数时，λ=±1.相关例题设A 为n 阶矩阵,若A 2=E ，试证A 的特征值是1或-1. 2题目设A 是奇数阶正交矩阵，且det(A )=1，证明det(E -A )=0. 知识点①正交矩阵的定义：A T A=E②单位矩阵的性质：EA=AE=A E T =E③矩阵运算规律④转置矩阵的性质：(A+B )T =A T +B T⑤det(A )=det(A T )⑥det(AB )=det(A )det(B ) ⑦det(-A )=(-1)n det(A )解题过程∵A 是正交矩阵∴E －A= A T A －A= A T A －EA=( A T －E )A ∵det(A )=1∴det(E－A)=det((A T－E)A)=det(A T－E)det(A)=det(A T－E)∵det(E－A)=det(E－A)T=det(E－A T)∴det(A T－E)= det(E－A T)= det(－(A T－E))= (－1)n det(A T－E) ∵n为奇数∴(－1)n=－1∴det(A T－E)=0∴det(E－A)=0常见错误①误以为det(E－A)= det(E)－det(A)，于是det(E－A)=1－det(A)=1－1=0②∵det(A)=1∴a·2a·…·n a=1(其中1a,2a,…,n a为A作初等变换变为上三角形1后对角线上的元素).∴det(E－A)=（1-a）（1-2a）…（1-n a）.1∵det(E-A)=det((A T-E)A)=det(A T-E)det(A)=det(A T-E)且det(A T-E)= （a-1）（2a-1）…（n a-1）.1∴（1-a）（1-2a）…（1-n a）=（1a-1）（2a-1）…（n a-1）1= (-1)n（1-a）（1-2a）…（1-n a）1∵n为奇数∴(－1)n=－1∴（1－a）（1－2a）…（1－n a）=01∴det(E －A )=0以上证法先把A 变为上三角，再用E 减去变化后的A ，再求行列式，这是错误的。

第一章 行列式21 证明: 设112210)(----++++=n n n n x c xc x c c x f Λ )1()(n i b a f i i ≤≤=Θ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++∴------------n n n n n n n nn n n n n n n n ba c a c a c cb ac a c a c c b a c a c a c c 11221021212222101111212110ΛM ΛΛ (1)（1）式是一个关于1210,,,--n n c c c c Λ的线性方程组，系数行列式∏≤<≤----==ni j j in nn n n a aa a a a a a D 11122111)(111ΛMM ΛΛ因为1221,,,--n n a a a a Λ是互不相同的实数，所以0≠D ，根据克拉默法则知（1）式有唯一解，即存在唯一的满足题意的多项式.第二章矩阵6 证明: 令ij E 是只有第i 行第j 列元素为1，其他全为0的n 阶方阵，则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000001ΛΛM M M ΛΛM M ΛΛni ii i ij a a a AE ,只有第j 列元素分别为ni i i a a a ,,,21Λ，其它元素全为0； 而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000001ΛΛM M M ΛΛMM ΛΛjn jj j ij a a a A E ,只有第i 行元素分别为jn j j a a a ,,,21Λ, 其它元素全为0；A E AE ij ij =Θ01,1,1,1,11============∴+-+-jn j j j j j ni i i i i i a a a a a a a a ΛΛΛΛ且jj ii a a =；取n j n i ,,1;,,1ΛΛ==，则可知：⎩⎨⎧≠====)(0),,1;,,1(j i a n j n i a a ijjj ii ΛΛ即A 为数量阵；若A 为数量阵，则kE A =，任给一n 阶方阵B ，则有： BA BkE kB kEB AB ==== 即A 与任一n 阶方阵B 可交换，综上所述,与任一n 阶方阵B 可交换的矩阵为数量阵。

1．利用行列式展开定理证明：当时，有L 0 01L 001L 0n1n1D n．MMM O MM00L000 L 1证： 将行列式按第一行展开，得D n()D n 1 D n 2 ，则D nD n 1( D n 1D n2)2(D n2D n 3)n2n22nL n 2(D 2D 1)n 2[()2()]所以 D nD n 1n（1）由D n 关于与 对称， 得D nD n 1n（2）n1n1由 （ 1）与（2）解得 D n证： 构造 5 阶行列式2．已知 1326、2743、5005、3874 都能被 13，不计算行列式的值，证明1 32 6 2 7 43 5 0 0 5 3 8 7 41 32 61 32 13262 7 4 32 7 4 2743 证：5 0 0 5 c41000c 1 5 0 0 5005 c4 100c 23 8 74 c410c 33 8 7 3874所以原行列式能被 13 整除．3．证明 : 111a 2 a 4abc22 bc 44 bc 1 dd 2 d 4(a b)(a c)(a d)(b c)(b d)(c d)(a b c d) ．由已知，得后行列式的第 4 列具有公因子 131111 abcd则 D 5 (b a)( c a )( d 比较( 1) D5 a 2 b 2 c 2 d 23333abcd 4444abcda)(c b)( db)(d c)(x a)(x b)(x c)(x d) ．1 1 111 1 1 1 a b c d4abc d2 2 2 2 x 4 (2222a b 2 c d 2a b 2 c d 2 3 3 3 34 4 4 4a b 3 c d 3a b 4 c d 4 将 D 5 按第 5 列展开， 得与( 2)右边 知结论成立． D 5 )x 33 x 3的系数，1)2)4．证明：当 (a 1)2 4b 时，齐次线性方程组 证： 方程组的系数行列式11 1a12 11D11 3111a a b当 D 0 ，即 (a 1)2 4b 时， 方程组有非零解． 2(a 1)2 4b ，5．若 A 为 n 阶对称矩阵， P 为 n 阶矩阵，证明 P T AP 为对称矩阵． A T A 证： 因为 (P T AP)T P T A T (P T )T P T AP ，所以 P T AP 为对称矩阵． x 1 x 2x 3ax 4 0,x 1 2x 2x 3 x 4 0,有非零x 1 x 2 3x 3x 40, x 1 x 2a x 3 (a b)x 46．设 A,B,C 都是 n 阶矩阵，证明： ABC 可逆的充分必要条件是 A,B,C 都可逆． 证： ABC 可逆 ABC 0 A B C 0 A 0, B 0,C 0 A,B,C 都可 逆．(A 2E) A 2EE ，21A E 所以 A 2E 可逆，且 A 2E A E．22 E 及(E A)(E A A 2) E ，所以 E A 及E A 都是可逆矩阵．9． （1）设P 1AP B ，证明B k P 1A k P ．1 0 01 00（2）设AP PB ，且 P2 1 0 , B0 00 ，求 A 与A20112 1 10 01证：1）k 1 kB k ( P 1AP )kP 11A(PP 1) A(PP1)L ( PP 1 1k)AP P 1A kP ．2） 由 AP PB ，得 APBP 1，且 A 20 11PB 2011P 1 ．又1 0 01 0 0P 121 0 , B 20110 0 0 B，41 10 011 0 0所以 A 20 0 2011,APBP1A ．6 1 110．（ 1）设AO C B O，且 m 阶矩阵 B 和n 阶矩阵 C 均可逆，试证明 A 1 OCB 1 Oa 10 L0 0 a 2L（ 2）设矩阵AM M MM，其中a 1, a 2 ,L ,a n 为非零常数，求A 1．0 0 0 L a n 1a n 0 0 L证： 由 A 2 3A O ，得 (A 2E)(A E) 2E ，即7．设 n 阶方阵 A 满足 A 2 3AO ，证明 A 2E 可逆，并求A 2E8．设 A 为 n 阶矩阵，且 A 3 O ，证明 EA 及 E A 都是可逆矩阵．证：22由 A 2 O ，得 (E A)( E A A 2 )12．证明：（ 1）设 A,B 为矩阵，则 AB BA 有意义的充分必要条件是 A, B 为同阶矩阵．（2）对任意 n 阶矩阵 A, B ，都有 AB BA E ，其中 E 为单位矩阵． 证：（ 1）设A 为 m n 矩阵，B 为 s t 矩阵，则证：O1）因为COB 1C 11BB1OCC 1E ，所以 A 可逆，且2）将矩阵进行如下分块：a n则A 1 ．又 B 1A 1A 1a 1a 2Mdiag (a 1 1,a 2 ,L C 1a n 1L,a n 1),C(a n 1) 所以1a 11 01a 21 1a n 111．设 A 为 n 阶矩阵， 满足 A 25A 6E证明：R(A 2E)R(A 3E) n ．证： 由 A 2 5A 6E O ，得 (A 2E)(A3E) O ，所以所以 R（AR(A 2E)R(A 3E) n .R(A 2E)2E) R(AR(A 3E)3E) R( A 2E) R(A 3E) R(E) n ，n .n s,t m,m n s t ，m s,t n.A A T A A T其中为 对称矩阵， 为反对称矩阵．2与偶函数之和)14．已知 n 阶矩阵 A,B 满足 AB A B ，试证 A E 可逆，并求 (A E) 证： 由 AB A B ，得(A E)(B E) E ，所以 A E 可逆，且 (A E) 1 B E ．1115．设 A 为元素全为 1的 n(n 1)阶方阵，证明： E A 1E A ． n11 n 12 2 证： E A (E A) E A A 2 ．又 A 2 nA ，故 n 1 n 1 n 11 E A (E A) E ， n111 所以 E A 1 E 1A ．AB BA 有意义 即 A,B 为同阶矩阵．2)设 A (a ij )n n ,B(b ij )n n ，则 AB BA 的主对角线上元素之和为nnnna ikb kib st a ts1k1 s1t1n n n na ikb kia tsb st0 ，i 1 k 1 t 1 s1而 E 的主对角线上元素之和为 n ，所以 AB BA E ．证设 A 为任意 n 阶矩阵，则A A AT2 A A T ，2你是否能联系到函数可以表示为奇函数n113．证明：任意 n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．16．设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，且 A 0，证明 B 0．证： A 与B 等价，则存在 n 阶可逆矩阵 P 与Q ，使得 B PAQ ，有B PAQ P A Q 0 ．：此结论告诉我们初等变换不改变矩阵的可逆性．17． 设 A 为 n 阶方阵，且 A 2 A ，证明RARA E n ．证：因为 A(A E)2 A 2A O ，所以 R AR A E n ．又RA R A E RARA E R(E) n ，所以 R A R A En ．18． 设 A 是 n m 矩阵， B 是 m n 矩阵， 其中 nm．若 AB E ，其中 E 为 n 阶单位矩 阵． 证明方程组 BX O 只有零解．证：由 AB E ，得 R(AB) n ．又 n R(B) R(AB) n ，得 R(B) n ，所以方程组BX O 只有零解．19．（ 1）设 R n ，证明：线性相关当且仅当0．（2）设 1, 2 R n，证明：1,2线性相关当且仅当它们对应的分量成比例．证： （１ ）线性相关 k0,k0 0 ．（2）1, 2 线性相关 k 1 1k 2 2 0 ，其中 k 1,k 2 不全为零．不妨设 k 1 0，则所以1, 2, 3 , 4必线性相关．2 对应的分量成比例．2线性相关20． 任取23R n，又记 1121，证明 4必线性相关．证： 显然134 2 4，即1( 1) 2 3( 1) 4 0，21．设1, 2,L , s R n为一组非零向量，按所给的顺序，每一i(i 1,2,L ,s) 都不能由它前面的i 1个向量线性表示，证明向量组1, 2,L , s 线性无关．证：用数学归纳法证明．s 1时，10，则1线性无关．设s m时成立，即1, 2,L , m 线性无关．当s m 1时，若1, 2,L , m, m 1线性相关，则m1可由1, 2,L , m线性表示，矛盾，所以向量组1, 2,L , s 线性无关．22．设非零向量可由向量组1, 2,L , s 线性表示，证明：表示法唯一当且仅当向量组1 ,2 , L , s 线性无关．证：可由向量组1, 2 ,L , s 线性表示R(1,2,L , s) R( 1, 2 ,L, s| ) ．则表示法唯一x1 1 x2 2 L x s s有唯一解R(1 ,2 ,L , s ) R( 1,2 ,L , s |)sR(1, 2,L , s ) s 1 , 2,L ,s 线性无关．23．设1, 2 ,L,n R ，证明：向量组1 , 2 ,L ,n 线性无关当且仅当任一n 维向量均可由1, 2,L , n 线性表示．证：必要性：1, 2,L , n线性无关，任取R n，则1, 2,L , n, 线性相关，所以可由1, 2,L , n 线性表示．充分性：任一n维向量均可由1, 2,L , n线性表示，则单位坐标向量e1,e2,L ,e n 可由1, 2 ,L , n线性表示，有n R(e1,e2,L ,e n) R( 1, 2,L , n) n ，所以R( 1, 2,L , n ) n ，即1, 2,L , n线性无关．24. 设A：1,L , s和B：1,L , t为两个同维向量组，秩分别为r1和r2 ；向量组C AUB的秩为r3 ．证明：max r1,r2 r3 r1 r2．证：先证max r1,r2 r3．显然A组与B组分别可由C组线性表示，则r1 r3 ，且r2 r3，所以max r1,r2 r3 ．次证r3 r1 r2．设i1,L , ir1为A组的一个极大无关组，i1,L , ir2为B组的一个极大无关组，则C 组可由i1,L , ir1, i1,L , ir2线性表示，有r3 R( i1,L , ir1, i1,L , ir2) r1 r2 ．25．设B为n阶可逆阵，A与C均为m n矩阵，且AB C．试证明R(A) R(C)．证：由AB C ，知C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，则R(C) R(A)．1因为B 可逆，则A CB 1，知A的列向量组可由C 的列向量组线性表示，则R(A) R(C) ．所以R(A) R(C) ．26．设A为m n矩阵，证明：A O当且仅当R(A) 0．证：必要性显然，下证充分性：R(A) 0 A O ．设为A的任一列向量，则R( ) R(A) 0，所以R( ) 0 0 ．由的任意性知A O ．T T T 327．设 1 ( 2,1,3)T , 2 ( 1,0,1)T , 3 ( 2, 5, 1)T．证明向量组1, 2, 3是R3的一组基，并求向量(2,6,3)T在这组基下的坐标．26 MM 257281 MMM 001 010 1003 7 1得1, 2, 3是R3的一组基，且在这组基下的坐标为（ , 8, ）．2228．设1, 2 , , m是齐次线性方程组AX 0 的基础解系，求证 1 2, 2,L , m 也是AX 0 的基础解系．证：显然 1 2, 2,L , m 是AX 0 的解，只需证明它们线性无关．1 0 L 01 1 L 0(12, 2,L , m) ( 1, 2,L , m) ( 1, 2,L , m)K m m．M M M0 0 L 1由K 1 0，得R( 1 2, 2,L , m) R( 1, 2,L , m) m ，所以 1 2, 2,L , m 线性无关．29．设A是n阶方阵．证明：存在一个n阶非零矩阵B，使AB O 的充要条件是Α 0．证：存在B O ，使得AB O AX 0 有非零解30．设A是n阶方阵，B为n s矩阵，且R（B） n．证明：（1）若ABO，则A O ；（2）若AB B，则A E n．证：（1）AB O ，则R(A) R(B)n ．又R( B)nR(A)0 A O（2）AB B (A E)B O ．由（１）得A E O A E ．31．设1,2,, s为n维非零向量，A为n阶方阵，若A 1 2, A 2 3, ,A s 1s，A s 0 ，试证明1,2,, s 线性无关．证：设x11x2 2 L x s 1 s 1 x s s 0 ．该式两边左乘以A，得x1 2 x2 3 L x s 1 s 0依此类推，得x1 s 0．由s 0，得x1 0．同理可证x20,L , x s 0．所以12 s 线性无关．12r可由 1, 2,r线性表示，所以B 组可由 A 组线性表示 .故 A 组与 B 组等32．设 A 11,A 212, A 323，其中 A 为 3 阶方阵，1, 2, 3为 3 维向量，且 1 0 ，证明1, 2 , 3 线性无关．证： 设 x 1 1 x 2 2 x 3 30．（1）（ 1）式两边左乘以 A ， 得(x 1x 2 ) 1(x 2x 3) 2 x 3 3 0．（2） （2）减去（1），得 x 21 x320 ．（3）（3）式两边左乘以 A ，得(x 2x 3) 1x 320 ．（4）（4）减去（3），得 x 3 1 0 ． 因为 10， 所以 x 3 0 ．代入（３），得 x 2 10，所以 x 2 0．代入（ 1），得 x 1 10，所以 x 1 0 ．所以1, 2, 3 线性无关．33．设 A 为n 阶方阵， 为n 维列向量．证明：若存在正整数 m ，使A m 0，而 A m1 0，则 ,A ,L ,A m 1 线性无关． 证： 设 x 0 x 1A L x m 1A0 ，该式两边左乘以 A ，得x 0A m 10 ．因为 A m 10 ，所以 x 0 0．同理可证 x 1 Lx m 1 0．所以 ,A ,L ,A m 1 线性无关．34．设向量组 A 的秩与向量组 B 相同，且 A 组可由 B 组线性表示，证明 A 组与 B 组等价． 证： 设R （A ） R （B ） r ， 1, 2, , r 为 A 组的一个极大无关组， 1, 2, , r 为B 组 的一个极大无关组．由 A 组可由 B 组线性表示，得（ 1, 2, , r ） （ 1, 2, , r ）K r r .又r R （K ） R （ 1, 2,L , r ） r ，则 R （K ） r ，即 K 为可逆矩阵，有1（ 1, 2,L , r ） （ 1, 2,L , r ）K 1，价．35．设向量组 A ： 1, 2, , s 线性无关，向量组 B ： 1, 2,L , r 能由 A 线性表示为 ( 1 , 2 ,L , r ) ( 1 ,2 , L , s ) K s r ，其中 r s ，证明：向量组 B 线性无关当且仅当 K 的秩 R(K) r ． 证： 向量组 B 线性无关 ( 1, 2,L , r )X r 1 0只有零解( 1, 2,L , s )(K sr X r 1) 0只有零解1, 2 ,L , s 线性无关K s r X r 1 0 只有零解 R(K ) r ．36．设 A,B 都是 m n 矩阵，试证明： R(A B) R(A|B) R(A) R(B) ．证： 先证 R(A B) R(A|B)．显然 A B 的列向量组可由 A 的列向量组和 B 的列向量 组线性表示，则 R(A B) R(A|B) ．此证 R(A|B) R(A) R(B)．设 R(A) r,R(B) s ，A ?与 B ?分别为 A 与B 的列向 量组的一个极大无关组，则 ( A | B)的列向量组可由 A ?与 B ?线性表示，有R(A| B) r s R(A) R(B)，即 R(A|B) R(A) R(B) ．1)证明 1, 2, 3是 R 3 的一组基； 2)求由基 1, 2, 3 到基 1, 2, 3的过渡矩阵；3)若向量 在基 1, 2, 3 下的坐标为 (1,0,0) ，求向量 在基 1, 2, 3下的坐标．101证：( 1 , 2, 3 ) ( 1, 2 , 3 ) 1 1 001137．设 1, 2, 3是 R 3的一组基，2，2 2 3， 3 3 1 ．１)101(１)由1 1 0011所以1, 2, 3是R3的一组基．1012)由(１)式，得由基1, 2, 3 到基1, 2, 3 的过渡矩阵1 1 0011 3 ) 在基1, 2, 3 下的坐标10111 1 1 1 1111 1 1 TY P 1X 1100 1 1 1 02(12,12,12)0110 1 1 1 038．设A 为m r 矩阵，B 为r n 矩阵，且AB O ．求证：(1) B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0 的解；(2)若R( A) r ，则B O；(3)若B O ，则A 的各列向量线性相关．证： (1)令B ( 1, 2,L , n)．由AB O ，得(A 1,A 2,L ,A n) (0,0, L ,0) ，即A j 0, j 1,2,L ,n，所以B 的各列向量是齐次线性方程组AX 0的解．(2)若R(A) r ，则AX 0只有零解，所以B O．(3)若B O ，则AX 0 有非零解，所以A 的各列向量线性相关．39．设A为n阶方阵( n 2 )，证明：(1)当R(A) n时，R(A ) n； (2)当R(A) n 1时，R(A ) 1；(3)当R(A) n 1时，R( A ) 0．n1证： (1)当R(A) n时，A 0 A* A n 1 0 ，所以R(A ) n ．(2)当R(A) n 1时，由AA*A E O，得R(A) R(A*) n有R(A*) 1．又A中2 0 ，得R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3)3 ，则1, 2, 3线性无关，至少有一个n 1 阶子式不为零，则A O R(A ) 1，所以R(A ) 1 ．(3)当R(A) n 1时，则A中所有一个n 1阶子式全为零，有A* O R(A*) 0 ．240．设矩阵A满足等式A2 3A 4E 0，试证明A的特征值只能取值1或4．证：设为A的特征值．由A2 3A 4E 0 ，得满足2 3 4 0，解得1 或4．41．设方阵A满足A T A E，其中A T是A的转置矩阵，E为单位阵．试证明A的实特征向量所对应的特征值的模等于1．证：设X 为A 的实特征向量，对应的特征值为，则AX X ．由A T A E ，得X T A T AX X T EX X T X ，即(AX)T(AX) X T X，有2X T X X T X ．又X T X 0，则2 1，所以1．42．设矩阵A与B 相似，试证：T T 1 1(1)A T与B T相似；(2)当A可逆时，A 1与B 1相似．证：A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得B P 1AP．T 1 T T T 1 T T T T 1(1) B T(P1AP)T P T A T(P1)T P T A T(P T)1．因为P T也可逆，所以A T与B T相似．(2) B 1 (P 1AP) 1 P 1A 1(P 1) 1 P 1A 1P，所以A 1与B 1相似．43．设A,B 都是n阶实对称矩阵，证明A与B 相似的充要条件是A与B 有相同的特征值．证：必要性：A与B相似，则存在可逆阵P，使得P 1AP B．有|B E| |P 1AP E| |P 1(A E)P| |P 1| | A E| |P| | A E|，所以A与B有相同的特征多项式，即有相同的特征值．充分性：若实对称矩阵A与B有相同的特征值，设1, 2, n 为它们的特征值．令diag ( 1, 2,L , n) ．则A与相似，B与相似，所以A与B相似．44．设 A 为 3 阶矩阵， 1, 2为 A 的分别属于特征值 1,1的特征向量，向量3满足A 3 2 3 ．（1）证明 1, 2 , 3线性无关；(2)令 P ( 1, 2, 3)，求 P 1AP ．证：（ 1）设 x 1 1x 2 2 x 330 ，（1） （1） 式两边左乘以 A ，得x 11(x 2 x 3 ) 2 x 3 3 0 ．（2） （1）- ( 2)，得2x 1 1 x 3 20．显然 1, 2线性无关，则 x 1 0,x 3 0 ．代入（１），得x 220 ，有 x 20 ，所以 1, 2, 3 线性无关．2)AP A( 1, 2, 3)(A 1,A 2,A 3)(1, 2 , 23)1 0 01 0 0( 1 , 2 , 3 ) 0 1 1P 0 1 1，0 0 10 11 0 0 1 0 0即 AP P 01 1 ．由第一部分知 P 可逆，所以 P 1 AP 0 1 1 ．0 0 10 145．设 A,B 均为 n 阶方阵，且 R （A ） R （B ） n ．试证： A, B 有公共的特征向量．A证： 考虑方程组 B A X n 1 0，其系数矩阵的秩AR R(A) R(B) n ， B A则方程组有非零解 ，即 0 ，故BA 0,B 0 ，即 0是 A,B 的公共特征值， 是 A,B 属于特征值0 的公共的特征向量．46．设 A 是n 阶方阵，且满足 R(E A) R(E A) n ．试证: A 2 E ．证： 设 R( E A) r ． (1) 若r 0，则 E A 0，即 AE ，有 A 2 E ．(2)若 r n ，则 R(E A) 0，即 A E ，有 A 2 E ．3)若 0 r n ，则 (A E)X 0的基础解系 1, 2,L1的 线性无 关特征 向量； 又 R(E A) n r ，则 (A E)X48．证明：若矩阵 A 正定，则矩阵 A 的主对角线元素全大于零．证： 设实对称矩阵 A (a ij )n n 正定，则二次型x 1 0,L , x i 1 0,x i 1,x i 1 0,L ,x n 0，则 f a ii 0．由 i 的任意性，所以 A 的主对角线元素全大于零．1 a n 12,L ,r 就是A 的属于特征值 1 的线性无关特征向量；从而 A 有 n 个线性无关特征向量： 2,L , nr 2,L , r，所以 A 能相似对角化． 令P 2 ,L , 1, 2 ,L ,r ，有 1APE n rOOE r， En rOE n rP 1 ，所以 A 2 E ．47． n 阶矩阵 证： 由 ABA,B 满足 AB A 不是 A 的特征值． B ，得(A A E)( B E) E B ，证明 1不是 A 的特征值． ，所以 A E 可逆，有 A E 0 ，所以 1n r 就是A 的属于特征值0的基础解系nnX T AX a ij x i x j 正定．取i 1 j 1。