2015-2016学年高中数学 2.2.2等差数列的前n项和练习 苏教版必修5

1 2．2.2 等差数列的前n项和

1．(1)对于任意数列{an}，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，叫做数列{an}的前n项的和．

(2)Sn－Sn－1＝an(n≥2)，a1＝S1(n＝1)．

2．(1)等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝n（a1＋an）2或Sn＝na1＋n（n－1）d2．

(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前n项和Sn＝(n＋1)n．

(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前六项和为－12．

3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为k2d的等差数列．

(2)已知等差数列{an}，an＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：6，15，24．它们成等差数列．

4．(1)由Sn的定义可知，当n＝1时，S1＝a1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2．

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an＝1，n＝1，2n－1，n≥2＝2n－1，n∈N*．

5．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）d2可化成关于n的二次式子为Sn＝d2n2＋a1－d2n，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．

(2)已知等差数列的前n项和为Sn＝n2－8n ，则前n项和的最小值为－16，此时n＝4．

6．(1)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则Snn也是等差数列．

(2)已知等差数列{an}的通项公式为：an＝2n－1，则Snn＝n，Snn是等差数列．

7．(1)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0.则Sn存在最大值；a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值(选择“最大值”“最小值”填空)．

(2)已知等差数列{an}的通项公式为：an＝－2n＋8，则等差数列的前n项和Sn＝n(7－n)，Sn的最大值为12．

8．(1)项数为2n的等差数列{an}，公差为d，有S2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1为中间两项)，S偶－S奇＝nd．

(2)已知等差数列{an}共有100项，其通项公式为：an＝－3n＋2，等差数列的前n项和为Sn，则S偶－S奇＝－150．

2 9．(1)项数为2n－1的等差数列{an}，有S2n－1＝(2n－1)an(an为中间项)，S奇－S偶＝an．

(2)已知等差数列{an}共有201项，其通项公式为：an＝3n－2，等差数列的前n项和为Sn，则S奇－S偶＝a101＝301．,☞记录空间

►基础巩固

一、选择题

1．等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10等于(B)

A．12 B．24 C．36 D．48

解析：考查Sn与an关系．

2．在等差数列{an}中，已知前15项的和S15＝90，则a8等于(C)

A．3 B．4 C．6 D．12

解析：a1＋a15＝2a8.

3．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝20，S2＝4，则公差d为(B)

A．2 B．3 C．6 D．7

解析：由S2＝4，S4＝20得2a1＋d＝4，4a1＋6d＝20⇒a1＝12，d＝3.

4．1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)等于(C)

A.n（3n＋8）2 B.（n＋2）（3n＋8）2

C.（n＋3）（3n＋8）2 D.n（3n－1）2

解析：关键是确定好项数n.

5．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝(B)

A．7 B．15

C．20 D．25

解析：∵a2＝1，a4＝5，而a1＋a5＝a2＋a4＝6，

∴S5＝5（a1＋a5）2＝52×6＝15.

二、填空题

6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝12，S2＝a3，则a2＝________．

解析：由S2＝a3⇒a1＋a2＝a3⇒a1＋a1＋d＝a1＋2d，解得d＝12，∴a2＝a1＋d＝12＋12＝1.

3 答案：1

7．等差数列{an}的公差为12，且S100＝145，则奇数项的和a1＋a3＋a5＋…＋a99等于________．

解析：项数为偶数时，奇数项和与偶数项和的关系：S偶－S奇＝50×12，S偶＋S奇＝145，得S奇＝60.

答案：60

8．等差数列{an}中，若a6＝a3＋a8，则S9＝________．

解析：确定出a1，d，求S9.

答案：0

三、解答题

9．已知等差数列51，48，45，….

(1)第几项开始为负？

(2)前多少项的和最大？

解析：(1)易得a1＝51，d＝48－51＝－3，

故an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋54.

由－3n＋54≤0得n≥18.故第19项开始为负．

(2)由a18＝0，且a1>0，d<0，故前17项或前18项的和最大．

10．(2013·四川卷)在等差数列{an}中，a3＋a1＝8，且a24＝a2a9，求{an}的首项、公差及前n项和．

解析：设{an}的公差为d，前n项和为Sn，则2（a1＋d）＝8，（a1＋3d）2＝（a1＋d）（a1＋8d） ⇒

a1＋d＝4，d（d－3a1）＝0⇒a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3.

∴Sn＝4n或3n2－n2.

►能力升级

一、选择题

11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(C)

A．3 B．4 C．5 D．6

解析：am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，

4 ∴公差d＝am＋1－am＝3－2＝1.

由Sm＝m（a1＋am）2＝0得a1＝－am＝－2，

∴am＝－2＋(m－1)·1＝2得m＝5.

12．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于(C)

A．5 B．6 C．7 D．8

解析：由S3＝S11及首项为正可知，d＜0，故知Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n，是一个开口向下的抛物线，S3＝S11告诉我们，抛物线的对称轴n＝3＋112＝7，

故知数列的前n项和最大时的n等于7.

13．等差数列{an}的前m项的和为10，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为(C)

A．130 B．170

C．270 D．260

解析：∵Sm＝10，S2m＝100，故S2m－Sm＝90，故知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m构成首项为10，公差为80的等差数列，∴S3m－S2m＝90＋80＝170.∴S3m＝100＋170＝270.

二、填空题

14．(2013·重庆卷)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1a5＝a22，则S8＝________．

解析：由a1a5＝a22得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，∴S8＝8a1＋8×72d＝8×1＋8×72×2＝64.

答案：64

15．(2014·北京卷)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9＞0，a7＋a10＜0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

解析：利用等差数列的性质求前n项和的最值．

∵a7＋a8＋a9＝3a8＞0，∴a8＞0.

∵a7＋a10＝a8＋a9＜0，∴a9＜－a8＜0.

∴数列的前8项和最大，即n＝8.

答案：8

三、解答题

5 16．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．

解析：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得

a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2.

数列{an}的通项公式为an＝11－2n(n∈N*)．

(2)由(1)知，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝10n－n2.

因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值．