平行四边形的性质与判定
平行四边形是几何学中常见的一个概念，具有一些特殊的性质和判定条件。本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例展示如何判定一组线段或角度是否构成平行四边形。
一、平行四边形的定义
平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。根据定义，我们可以得出平行四边形的性质和判定条件。
二、平行四边形的性质
1. 相对边相等：平行四边形的对边长度相等。即AB=CD，AD=BC。
2. 相对角相等：平行四边形的对角角度相等。即∠A=∠C，∠B=∠D。
3. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。即AC平分BD，BD平分AC。
4. 对角线相等：平行四边形的对角线相等。即AC=BD。
5. 内角和为360度：平行四边形的内角和等于360度。
三、判定平行四边形的条件
要判定一组线段或角度构成平行四边形，需要满足以下条件之一。
1. 对边相等：如果四边形的对边长度相等，即AB=CD，AD=BC，则这个四边形是平行四边形。 2. 对角线互相平分：如果四边形的对角线互相平分，即AC平分BD，BD平分AC，则这个四边形是平行四边形。
3. 相对角相等：如果四边形的相对角度相等，即∠A=∠C，∠B=∠D，则这个四边形是平行四边形。
在实际问题中，我们可以通过测量边长、角度或线段平分关系来判定是否为平行四边形。下面举例说明。
例题一：
已知线段AB与线段CD互相平分，且∠A=∠C，∠B=∠D，判断ABCD是否为平行四边形。
解析：
根据给定条件得知，线段AB与线段CD互相平分，且相对角度相等。根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。
例题二：
在平面直角坐标系中，顶点坐标分别为A(2, 3)，B(7, 3)，C(9, -2)，D(4, -2)的四边形ABCD，判断是否为平行四边形。
解析：
根据给定坐标可以计算出AB的斜率为0，CD的斜率也为0。根据斜率的性质，我们可以得出AB与CD是平行的。另外，根据对边长度可以计算出AB=CD，AD=BC。因此，根据判定平行四边形的条件，我们可以得出这个四边形是平行四边形。
第 1 页 共 7 页 初二数学下册 平行四边形的性质
一、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
二、平行四边形的性质
1. 平行四边形的对边相等； 2. 平行四边形的对角相等； 3. 平行四边形的对角线互相平分
三、两条平行线之间的距离
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等。
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
例题1：如图，若AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，则图中有几个平行四边形？将它们表示出来，并说明理由。
例题3：如图，在ABCD中，F是BC边的中点，连接DF并延长，交AB的延长线于点E，求证：AB=BE
第 2 页 共 7 页 例题6：已知直线a，b，c互相平行，直线a与b的距离是6厘米，直线b与c的距离是10厘米，那么直线
a与c的距离是（ ）
A. 16厘米 B. 4厘米 C. 16厘米或4厘米 D. 不能确定
例题8：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E，F在对角线BD上，AE∥CF，求证 AE= CF
练习：
1.平行线之间的距离是指（ ）
A. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 B. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度
C. 从一条直线上一点到另一条直线的垂线段 D. 从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度
2. 如图2，ABCD中，下列说法一定正确的是（ ）
A. AC=BD B. AC⊥BD C. AB=CD D. AB=BC
图2 图3 图4
平行四边形的概念与性质
平行四边形是几何学中常见的四边形。本文将介绍平行四边形的概念以及其一些重要性质，以帮助读者更好地理解和使用平行四边形。
概念：
平行四边形是指具有两对边分别平行的四边形。即，如果四边形的两对边分别平行，则该四边形可以被称为平行四边形。
性质1：相对边
在平行四边形中，两对相对的边是平行的。这意味着如果我们有一个平行四边形ABCD，那么AB和CD是平行的，同时AD和BC也是平行的。
性质2：相对角
平行四边形中相对的两个内角是相等的。也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A = ∠C，∠B = ∠D。
性质3：对角线
平行四边形的对角线互相平分。即，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么对角线AC和BD相交于点O，并且AO = CO，BO = DO。
性质4：邻边补角 平行四边形中邻接的内角互为补角。也就是说，如果我们有一个平行四边形ABCD，那么∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，∠C +
∠D = 180°，∠D + ∠A = 180°。
性质5：对角线长度关系
平行四边形的对角线长度关系为：对角线AC² + 对角线BD² = 2(边AB² + 边AD²)。这是一个重要的性质，可以在解决平行四边形相关问题时提供便利。
性质6：面积计算
平行四边形的面积可以通过底边长和高的乘积来计算，即面积 = 底边长 × 高。
性质7：重心、中点和垂心的共线性
平行四边形的重心、中点和垂心三个点共线。重心是平行四边形对角线交点的中点，中点是边的中点，垂心是通过连接对边中点的线段与对角线的交点。
以上是一些关于平行四边形的基本概念和重要性质。这些性质可以用于解决平行四边形的证明题、计算题以及相关应用题。在解决这些题目时，我们可以根据平行四边形的定义和这些性质来进行推理和计算。
总结： 平行四边形是具有两对平行边的四边形，具有一些特殊的性质。其中包括相对边平行、相对角相等、对角线互相平分等重要性质。了解和熟悉这些性质可以帮助我们更好地理解和使用平行四边形，并能够在解决相关几何问题时得心应手。
18.1.1 平行四边形及其性质(1)
学习目标：
1、理解平行四边形的概念.
2、探索并掌握平行四边形边、角的性质.
3、初步体会几何研究的一般思路和方法.
学习重点：
平行四边形边角性质的证明和应用.
学习过程：
(一)新课：
1．【平行四边形的定义及表示】
(1)定义：有
的
是平行四边形．
(2)表示：平行四边形用符号“ ”来表示．
平行四边形ABCD记作“ ”，读作“ ”．
(3)几何语言：∵AB//DC ,AD//BC ，
∴四边形ABCD是 .
2．【探究平行四边形的性质】
⑴ 画一画：根据平行四边形的定义画一个平行四边形
(2)看一看：观察这个平行四边形，除了“两组对边分别平行”以外，它的边、角之间有什么关系吗？
猜一猜 ： 平行四边形的对边 、对角 ．
(3)量一量：度量一下，是不是和你的猜想一致？
(4)证明
已知：如图□ABCD，
求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．
证明：连接AC，
∵ □ABCD
∴ AB∥ ，AD∥ ，
∴ ∠1＝ ，∠2＝ ．
又 AC＝CA，
∴ △ ≌△ （ ）．
∴ AB＝ ，CB＝ ，∠B＝ ．
又 ∠1＋∠4＝ ，
∴ ∠BAD＝∠BCD．
由此得到：平行四边形性质1: 平行四边形的 ,性质2: 平行四边形的 ．
几何语言：
（二）例题精练
例 如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
（三）课堂检测
1.平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角______,邻角______.
