聪明的蚂蚁走“捷径”——一道课本例题的变式探究
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专题论析 ＺＨＯＮＧＸＵＥ ＪＩＡＯＸＵＥ ＣＡＮＫＡＯ
聪明的蚂蚁走“捷径＂
一道课本例题的变式探究
广东东莞市东莞中学松山湖学校（５２３８０８） 汪朝阳
一、例题呈现 华东师范大学版八年级上册《数学》教材５７页的一 道例题中描述了一只聪明的蚂蚁，相信这只聪明的蚂蚁
一定给大家留下了深刻的印象． 【例】如图１４．２．１，一圆柱体的底面周长为２０ ｃｍ， 高ＡＢ为４ ｃｍ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点Ａ出 发，沿着圆柱的侧面爬行到点Ｃ，试求出爬行的最短路
程．
Ｃ
Ｄ
图１４．２．１ 图１４．２．２ 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如 果将这半个侧面展开（如图１４．２．２），得到矩形ＡＢＣＤ，
根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面 展开图矩形对角线ＡＣ之长．（精确到０．０１ ｃｍ）
解：如图１４．２．２，在ＲｔＡＡＢＣ中，ＢＣ的长等于底面 周长的一半，即１０ ｃｍ，
．‘．ＡＣ一 ＡＢ ＋Ｂ 一￣／４。＋１０ ≈１０．７７（ｃｍ）．
答：最短路程约为】０．７７ ｃｍ．
二、深挖思考 不知大家是否注意到，题目中“沿着圆柱的侧面爬
行到点Ｃ”这个条件是否可有可无呢？下面我们来研究 这个问题． 如果题中少了“沿着圆柱的侧面爬行到点Ｃ”的条 件，蚂蚁还可以如图１４．２．１沿着圆柱的棱从Ａ—Ｂ—Ｃ， ０ｎ 此时的距离为：４＋ ≈１０．３７＜１０．７７，显然沿着Ａ—Ｂ ７１： 一Ｃ的距离更短，而并不是沿侧面爬到点Ｃ的距离最 短． 那么什么时候沿侧面爬更近，什么时候沿Ａ—Ｂ—Ｃ 爬行更近呢？是否存在一般性的结论呢？
一般地，设圆柱体的底面直径为ｄ，高为ｈ． 沿Ａ—Ｂ—Ｃ爬行的距离为Ｌｌ，则Ｌ１一＾十ｄ；
②沿侧面爬时最短距离为Ｌ 一Ａｃ一√＾。＋（ ）。．
．‘Ｌ 一（ ＋ ） ＝＝＝＾ ％－２ｈｄ＋ｄ ，
Ｌ；一 ｚ十（ ）ｚ一 。＋ 。，
．・．Ｌ —Ｌ；一ｈ。＋２ｈｄ％－ｄ 一ｈ。一 。一２ｄ（ｈ一
（１）当 一 ＞ｏ，即当寺＞ ≈０．７３３７时，
Ｌ１＞Ｌ２；
（２）当 一 一０，即当砉＝＝＝ ≈ｏ．７３３７时，
Ｊ １一Ｌ２；
（３）当＾一 ＜。，即当≥＜ ≈。．７３３７时，
Ｌｌ＜Ｌ２． Ｅｈ此可见，蚂蚁按照哪种方式爬行距离最近是由这 个圆柱的身材（高与底面直径的比）决定的． （１）当这个圆柱的身材是“细长苗条”型（ｈ／ｄ＞
０．７３３７）时，沿侧面爬到Ｃ点距离最短，最短距离是Ｌ 一
ＡＣ＝√抖（
（２）当这个圆柱的身材是“标准”型（ｈ／ｄ￣Ｏ．７３３７）
时，沿侧面爬到Ｃ点和沿着Ａ—Ｂ—Ｃ距离都是最短，最
短距离是Ｌ 一 ％－ｄ＝Ｌ 一√矗。＋（ ）。．
（３）当这个圆柱的身材是“臃肿矮胖”型（Ｏ＜ｈ／ｄ＜ ０．７３３７）时，沿着Ａ—Ｂ—Ｃ距离最短，最短距离是Ｌ ＝＝＝
ｈ＋ｄ． 三、变式探究 进一步研究蚂蚁在其他立体图形上的捷径问题．
变式１：如图１所示，一正方体的边长是４ ｃｍ，一只 饥饿的蚂蚁在Ａ点，它要尽快吃到处在Ｂ点的食物，这 只蚂蚁沿着这个正方体的表面爬行的最短距离是多少？
３ Ｅ。ｍａ ｘｉｘｃｋ ｋ＠１６３・ｃ
ｏｍ －学教学参考 专题论析 解：任意展开相邻的两个侧面得到图２，此时易求得
．ＡＢ一、， 一４ ．
图１ 图２
变式２：若将上面的正方体改为长、宽、高分别是 ８ ｃｍ、６ ｃ１ＴＩ、５ Ｃ１ＴＩ的一个长方体（如图３所示），蚂蚁怎样
爬行距离最短呢？
Ｂ Ｉ ＿Ｉ
／ …………… Ａ ——
图３ 解：从不同的面到达Ｂ点，本题情况有三：
（１）沿前、上面爬行时的最短距离ＡＢ＝＝＝
干 一何≈１３．６； （２）沿左、上面爬行时的最短距离ＡＢ—
ｖ／ 干 可一 ≈１４．３２； （３）沿前、右面爬行的最短距离ＡＢ一
、／，ｉ 干 ＝＝＝ １４．８７． 所以，蚂蚁应沿前、上面爬行，此时最短距离约是
１３．６． 变式３：若变式１中的长方形的长、宽、高分别是ａ、
ｂ．ｃ，那么最短距离又是多少呢？ （１）沿前、上面爬行时的最短距离ＡＢ—Ｌ 一
、／／（６＋ｆ） ＋ｎ ； （２）沿左、上面爬行时的最短距离ＡＢ—Ｌｚ一
￣／ｒ 干 ； （３）沿前、右面爬行时的最短距离ＡＢ—Ｌ。一
￣／（ｎ十６）。＋Ｃ ．
则Ｌ 一Ⅱ。＋６ ＋ｃ ＋２ｂｃ， Ｌ；＝＝＝ｎ ＋ｂ。＋ｆ ＋２ａｃ，
Ｌ：一ｎ ＋６。＋ｃ －４：－２ａｂ．
．‘．Ｌ；一Ｌ；一２口ｃ一２６ｆ一２ｃ（ｎ一６）． 若。＞６，那么Ｌ１＜Ｌ２； 若ａ＝ｂ，那么Ｌ 一Ｌ２；
若ｎ＜６，那么Ｌ ＞Ｌ２．
４ 中学教学参考 中旬 。¨・ 总第 期 同理，Ｌ；一Ｌ；＝２ａｂ－－２ａｃ＝２ａ（ｂ－－ｃ）．
若６＞ｃ，那么Ｌ ＜Ｌ３； 若６：＝＝Ｃ，那么Ｌ２一Ｌ３； 若６＜ｃ，那么Ｌ ＞ ． 所以，（１）当ａ＝ｂ＝ｃ时（即它为正方体），沿任何相
邻的两个面爬行距离都可以最短，
即Ｌｌ—Ｌ２一Ｌ３； （２）当口＞ｂ＞ｃ时，Ｌ 最小； （３）当ａ￣ｂ％ｃ时，Ｌ。最小．
综上所述，应将ｎ、ｂ、Ｃ中较小的两条棱展开成直角 三角形的一条直角边，而使最长的棱成为该直角三角形
的另一条直角边，这样，所构成的直角三角形的斜边就
是最短的路径． 变式４：如图４，已知圆锥的底面半径ｒ一１０ ｃｍ，母 线长为３０ ｃｒｎ．若一只蚂蚁从Ａ点出发沿着圆锥侧面爬
行一周，所走的最短路程是多少？
Ｓ
图４ 图５ 解：把圆锥的侧面沿着母线ＳＡ展开，如图５所示， 则蚂蚁从Ａ点出发沿圆锥侧面爬行一周所走的最短路
程就是线段ＡＡ 的长．
因为ＡＡ 一２７ｃｒ一２０ｒｔ，ＳＡ＝３０，
所以 一２０ｎ，所以ｎ一１２０，
即 ＡＳＡ 一１２Ｏ。． 在等腰三角形ＡＳＡ 中，过点Ｓ作ＳＢ上ＡＡ 于点Ｂ，
则 ＡＳＢ＝６０。． 在ＲｔＡＡＢＳ中，由勾股定理或三角形函数的知识
均可求出ＡＢ＝１５ ，故ＡＡ ＝２ＡＢ＝３０ 因此，蚂蚁爬行的最短路程为ＡＡ 一３０４５．
参考文献 王伟．数学变式百例精讲ＩＮ］．宁波：宁波出版社，
２００６． （责任编辑金铃）
