2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形1.在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线C2经过点A （﹣3，0），B（1，0），与y轴的交点为E．（1）求抛物线C2的函数解析式；（2）点P（m，n）（﹣3＜m＜0）是抛物线C2上的动点，设四边形OAPE的面积为S，求S与m的函数关系式，并求四边形OAPE的面积的最大值；（3）若y＝x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，在抛物线C2的对称轴上，是否存在一点M，使得以M，O，D为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴，y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，直线x＝﹣1与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB上是否存在一点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q在第三象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．4．已知直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，抛物线y＝﹣+bx+c过点A、C，且与x轴交于另一点B，在第一象限的抛物线上任取一点D，分别连接CD、AD，作DE⊥AC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）求△ACD面积的最大值；（3）若△CED与△COB相似，求点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线y ＝﹣x2+bx+c过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）求△ABE面积的最大值．（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由．6．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．7．如图所示，抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，（1）求cos∠CAO的值；（2）求直线AC的函数关系式；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，求P点坐标．8．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（2，0），与y轴相交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点E是第一象限的抛物线上的一个动点，当四边形ABEC的面积最大时，求点E 的坐标，并求出四边形ABEC的最大面积；（3）若点M在抛物线上，且在y轴的右侧．⊙M与y轴相切，切点为D．以C，D，M 为顶点的三角形与△AOC相似，求点M的坐标．9．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、点C，与y轴交于点B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标，并求出△ABP周长的最小值；（3）在线段AC上是否存在点E，使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y＝kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB 上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x的代数式表示）；（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点M，连接AC．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接AH、CH，当△AHC周长最小时，求此时点H 坐标．（3）设对称轴与x轴交于点E，在对称轴上是否存在点G，使以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于A，B两点，与y 轴相交于点C，OA＝4，OB＝2，点D是抛物线上一动点，且在y轴的左侧，连接AD，BC，AC，CD．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线m：y＝kx+8（不经过点B），同时与x轴和y轴相交，若直线m与x轴和y轴围成的三角形与△BCO相似，求k的值；（3）连接OD，若△ACD的面积是△ABC的面积的时，求△DOC的面积．14．如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+1与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点E是直线BC上一动点，求出△ADE周长的最小值；（3）点P，M分别是抛物线和直线BC上的动点，是否存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，点A（0，2），B（1，0），连接AB并将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A 转到点C处．一抛物线经过C、B两点，与x轴交于另一点D（3.5，0）．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式．（2）在BC上方抛物线上是否存在一点P，使得四边形PBDC的面积最大？若存在，求出P的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由．（3）连接CD，①求证：CD∥AB；②直线CD上是否存在一点M，使得△MBC与△AOB相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，且4CO＝2BO＝OA＝4，点D是线段AB 上的动点，过点D作DF⊥x轴，交x轴于点F，交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D的坐标是多少时，DE最长，最长是多少？（3）当DE最长时，在直线DE上是否存在点P，使得以P、A、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．17．已知抛物线与直线AC相交于A、C两点，且A（﹣2，0）、C（4，3）．（1）填空：b＝，c＝；（2）长度为的线段DE在线段AC上移动，点G与点F在上述抛物线上，且线段DG 与EF始终平行于y轴．①连接FG，求四边形DEFG的面积的最大值，并求出对应点D的坐标；②CH⊥AB，垂足为点H，线段DE在移动的过程中，是否存在点D，使△DEG与△ACH相似？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，试说明理由．18．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点为（1，），抛物线交x轴于A，B两点（A在B 的左边），交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿射线AC方向平移抛物线y＝ax2+bx+4，分别记A、C两点的对应点为E、F，在平移过程中，是否存在以A，E，B为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，请求出此时平移后的E的横坐标；若不存在，请简要说明理由；（3）如图3，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M处，且∠ANM+∠ACM＝180°，求N点坐标．19．如图，二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）（a＞0）的图象与x轴交于点A，B（A在B的左边），与y轴交于点C，点P是二次函数图象上一动点．（1）若点C的坐标为（0，﹣3），求二次函数及直线BC的函数关系式．（2）如图①，在（1）的条件下，若点P在第四象限，过P作PQ∥AC，交直线BC于点Q，求线段PQ长的最大值．（3）如图②，若点P在第一象限，且△ABP有△ABC相似，求点P的坐标．20．如图，若抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C，直线y＝﹣x+3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线位于第二象限上的一点，连接BP交线段AC于点Q，若△AQB与△AOC相似，求点P的坐标；（3）若点D为抛物线位于第一象限上的一点，过点D作x轴的垂线，垂足为F，直线DF交直线BC于点E，若△CDE为等腰三角形，请直接写出点D的坐标．参考答案：1．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝8，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．2．【分析】（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入上式，即可求解；（2）S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）即可求解；（3）分、，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）设抛物线C2的函数解析式为y＝x2+bx+c，把A、B的坐标代入得，解得：，故抛物线C2的函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）连接OP，作PH⊥x轴，作PQ⊥y轴，把P（m，n）代入y＝x2+2x﹣3得n＝m2+2m ﹣3，由抛物线y＝x2+2x﹣3得：点E（0，﹣3），则S＝S△OAP+S△OEP＝（﹣m2﹣2m+3）+×3（﹣m）＝﹣（m+）2+，所以四边形OAPE的面积最大值是；（3）由y＝x2+2x﹣3得对称轴是直线x＝﹣1，所以D（﹣1，1），则DF＝OF＝1，则△DOF为等腰直角三角形，∴∠DOF＝∠ODF＝45°，OD＝，BD＝，∠BOD＝135°，∴点M只能在点D上方，∵∠BOD＝∠ODM＝135°，∴当时，以M、O、D为顶点的三角形与△BOD相似．①，则解得DM＝2，此时点M坐标为（﹣1，3）；②若，则解得DM＝1，此时点M坐标为（﹣1，2）；综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．3．【分析】（1）利用对称性和待定系数法求函数关系式；（2）分类讨论三角形相似情况即可；（3）由已知，满足条件的Q点在以A、D、F（﹣1，﹣1）的圆E在第三象限的部分，连接CE交圆于Q，则CQ最小．【解答】解：（1）由已知，点A坐标为（﹣3，0）∵直线x＝﹣1为对称轴∴点C坐标为（1，0）∴抛物线解析式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3（2）存在由已知点D坐标为（﹣1，0）设点P的横坐标为（a，﹣a﹣1）当△AOB∽△ADP时∴a＝﹣1点P坐标为（﹣1，）当△AOB∽△APD时过点P作PE⊥x轴于点E则△APE∽△APDE∴PE2＝AE•ED∴（﹣a﹣1）2＝（a+3）（﹣a﹣1）解得a1＝﹣3（舍去），a2＝﹣∴点P坐标为（﹣，﹣）（3）存在，CQ最小值为如图，取点F（﹣1，﹣1），过点ADF作圆，则点E（﹣2，﹣）为圆心．∵tan∠AFD＝2∴（A、D除外）上的点都是满足条件的Q点．连CE交⊙E于点Q，则CQ为满足条件的最小值此时CE＝，⊙E半径为∴CQ最小值为4．【分析】（1）根据题意求得点A、C的坐标，将它们分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F．利用三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答；（3）需要分类讨论：①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC；②当∠DCE＝∠CBO 时，∠DCE＝∠OCA．根据相似三角形的对应边成比例求得相关线段的长度，从而得到点D的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A（4，0），C（0，2），OA＝4，OC＝2，（1分）将A（4，0），C（0，2）分别代入y＝﹣+bx+c中，解得，∴y＝﹣+x+2；（2）如图1，过点D作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，设D（t，﹣t2+t+2），其中0＜t＜4，则F（t，﹣t+2）∴DF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2tS△ACD＝S△CDF+S△ADF＝DF•OG+DF•AG＝DF•（OG+AG）＝DF•OA＝×4×（﹣t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4．∴当t＝2时，S△ACD最大＝4．（3）设y＝0，则﹣t2+t+2＝0，解得x1＝4，x2＝﹣1，∴B（﹣1，0），OB＝1∵tan∠OCB＝＝，tan∠OAC＝＝＝∴∠OCB＝∠OAC∴∠OCA＝∠OBC；①当∠DCE＝∠BCO时，∠DCE＝∠OAC，∴CD∥OA，点D的纵坐标与点C纵坐标相等，令y＝2，则﹣t2+t+2＝2，解得x1＝0，x2＝3，∴D1（3，2）；②如图2，当∠DCE＝∠CBO时，∠DCE＝∠OCA，将△OCA沿AC翻折得△MCA，点O的对称点为点M，过点M作MH⊥y轴于点H，AN⊥MH于点N，则CM＝CO＝2，AM＝AO＝4，设HM＝m，MN＝HN﹣HM＝OA﹣HM＝4﹣m，由∠AMC＝∠AOC＝∠ANM＝∠MHC＝90°易证△CHM∽△MNA，且相似比＝，∴AN＝2MH＝2m，CH＝MN＝2﹣m，在Rt△CMH中，由勾股定理得：m2+（2﹣m）2＝22，解得m1＝0，m2＝∴MH＝，OH＝，M（，）．设直线CM的表达式为y＝kx+n，则，解得，∴y＝x+2，由解得，∴D2（，）综上所述，点D的坐标为D1（3，2）、D2（，）．5．【分析】（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），从而得出OC＝﹣m、OF＝﹣m2﹣3m+4、BF＝﹣m2﹣3m，根据S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF 得出S＝﹣2（m+2）2+8，据此可得答案；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得：b＝﹣3，c＝4，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4．（2）如图，连接AE、过点E作EF⊥y轴于点F，设点C坐标为（m，0）（m＜0），则点E坐标为（m，﹣m2﹣3m+4），则OC＝﹣m，OF＝﹣m2﹣3m+4，∵OA＝OB＝4，∴BF＝﹣m2﹣3m，则S△ABE＝S梯形AOFE﹣S△AOB﹣S△BEF＝×（﹣m+4）（﹣m2﹣3m+4）﹣×4×4﹣×（﹣m）×（﹣m2﹣3m）．＝﹣2m2﹣8m＝﹣2（m+2）2+8，∵﹣4＜m＜0，∴当m＝﹣2时，S取得最大值，最大值为8．即△ABE面积的最大值为8．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED＝90°，则BE＝DE，∵BE＝OC＝﹣m，∴DE＝BE＝﹣m，∴CE＝4+m﹣m＝4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y＝﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝0（不合题意，舍去）或m＝﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．6．【分析】（1）设交点式y＝a（x+1）（x﹣4），再展开可得到﹣4a＝2，解得a＝﹣，然后写出抛物线解析式；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），用t表示出PM＝﹣t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ＝﹣t2+t，然后利用二次函数的性质解决问题；②讨论：当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△ABC，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，则∠CPQ＝∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，则PC＝PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标．【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），即y＝ax2﹣3ax﹣4a，则﹣4a＝2，解得a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，BC＝＝2，当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把C（0，2），B（4，0）得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），则M（t，﹣t+2），∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，∵∠NBM＝∠NPQ，∴△PQM∽△BOC，∴＝，即PQ＝，∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；②当∠PCQ＝∠ABC时，△PCQ∽△ABC，此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称，∴此时P点坐标为（3，2）；当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△ABC，∵∠OBC＝∠NPQ，∴∠CPQ＝∠MPQ，而PQ⊥CM，∴△PCM为等腰三角形，∴PC＝PM，∴t2+（﹣t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，解得t＝，此时P点坐标为（，），综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．7．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，可以求得A、B、C三点的坐标，从而可以求得OA、OC、AC的长，进而可以得到cos∠CAO 的值；（2）根据点A、C两点的坐标，可以求得直线AC的函数关系式；（3）根据第三问的条件，可知符合要求的三角形OP A存在三种情况，然后分别画出相应的图形，即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B两点，交y轴于点C，∴x2﹣4x+3＝0，得x＝1或x＝3，x＝0时，y＝3，∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴，∴cos∠CAO＝；（2）设直线AC的解析式为：y＝kx+b，∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），∴解得k＝﹣3，b＝3．即直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3；（3）如果有动点P是y轴上，且△OP A与△OAC相似，则有如下三种情况，第一种情况如下图1所示，当∠OP A＝∠OCA，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），∴OP＝OC＝3，∴点P的坐标为（0，﹣3）；第二种情况如下图2所示，点P位于y轴正半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，即点P的坐标为（0，）；第三种情况如下图3所示，点P位于y轴负半轴，当∠OP A＝∠OAC，∠AOC＝∠AOP时，△OP A∽△OAC，∴，∵点C的坐标为（0，3），点A的坐标为（1，0），∴OA＝1，OC＝3，∴，即点P的坐标为（0，﹣）．由上可得，点P的坐标为：（0，﹣3），（0，），（0，﹣）．8．【分析】（1）根据题意把点A（﹣1，0），B（2，0）代入二次函数解析式，得到b和c 的二元一次方程组，求出b和c的值即可；（2）设E（a，b），且a＞0，b＞0，首先用a和b表示出S四边形ABEC，再结合点E在二次函数的图象上，得到S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3，即可求解；（3）首先画出图形，以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，得到，或，根据n的取值范围求出m的值即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0），B（2，0），∴，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）如图1．∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2与y轴相交于点C，∴C（0，2）．设E（a，b），且a＞0，b＞0．∵A（﹣1，0），B（2，0），∴OA＝1，OB＝2，OC＝2．则S四边形ABEC＝＝1+a+b，∵点E（a，b）是第一象限的抛物线上的一个动点，∴b＝﹣a2+a+2，∴S四边形ABEC＝﹣a2+2a+3＝﹣（a﹣1）2+4，当a＝1时，b＝2，∴当四边形ABEC的面积最大时，点E的坐标为（1，2），且四边形ABEC的最大面积为4．（3）如图2．设M（m，n），且m＞0．∵点M在二次函数的图象上，∴n＝﹣m2+m+2．∵⊙M与y轴相切，切点为D，∴∠MDC＝90°．∵以C，D，M为顶点的三角形与△AOC相似，∴，或．①当n＞2时，或，解得m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝﹣1（舍去）．②同理可得，当n＜2时，m1＝0（舍去），m2＝，或m3＝0（舍去），m4＝3．综上，满足条件的点M的坐标为（，），（，），（3，﹣4）．9．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后判断出平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，再联立直线与二次函数解析式，消掉y，利用根的判别式Δ＝0时方程只有一个根求解即可；（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA 和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2），设直线AC的解析式为y＝kx+m（k≠0），则，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，由三角形的面积可知，平行于AC的直线与二次函数图象只有一个交点时△ACP的面积最大，此时设过点P的直线为y＝x+n，联立，消掉y得，﹣x2﹣x+2＝x+n，整理得，2x2+6x﹣6+3n＝0，△＝62﹣4×2×（﹣6+3n）＝0，解得n＝，此时x1＝x2＝﹣＝﹣，y＝×（﹣）+＝，∴点P（﹣，）时，△ACP的面积最大；（3）存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC 相似．理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为（c，﹣c2﹣c+2），BE＝1﹣c，①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，c2+c﹣2＝0，解得c1＝﹣2，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，点Q（﹣2，2）；②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，∴＝，即＝，整理得，4c2﹣c﹣3＝0，解得c1＝﹣，c2＝1（舍去），此时，﹣×（﹣）2﹣×（﹣）+2＝，点Q（﹣，），综上所述，存在点Q（﹣2，2）或（﹣，）使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．10．【分析】（1）利用A（﹣1，0）、点B（0，﹣5）代入解析式求出即可；（2）利用轴对称图形的性质得出P点位置，进而得出直线BC的解析式，进而求出P点坐标；（3）利用相似三角形的性质利用对应边不同分别得出E点坐标即可．【解答】解：（1）根据题意，得，解得，故二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（2）令y＝0，得二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象与x轴的另一个交点坐标C（5，0）．由于P是对称轴x＝2上一点，连接AB，由于AB＝＝，要使△ABP的周长最小，只要P A+PB最小．由于点A与点C关于对称轴x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，则P A+PB＝BP+PC＝BC，根据两点之间，线段最短，可得P A+PB的最小值为BC＝5，故△ABP的周长最小值为：+5．因为BC与对称轴x＝2的交点P就是所求的点．设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据题意，可得：，解得，所以直线BC的解析式为y＝x﹣5．因此直线BC与对称轴x＝2的交点坐标是方程组的解，解得，所求的点P的坐标为（2，﹣3）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（5，0），∴AC＝6，∵P（2，﹣3），C（5，0），∴PC＝3，∵B（0，﹣5），C（5，0），∴BC＝5，当△PEC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝5，∴E（0，0）；当△EPC∽△ABC，∴＝，∴＝，解得：EC＝3.6，∴OE＝5﹣3.6＝1.4，故E点坐标为：（1.4，0），综上所述：以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：（0，0），（1.4，0）．11．【分析】（1）首先设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，由A点坐标为（3，0），则可将A点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式；（2）首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后由P在直线上，将x代入直线方程，即可求得P的纵坐标，又由E在抛物线上，则可求得E的纵坐标，它们的差即为PE 的长；（3）分别从当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP与当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP 两种情况去分析，注意利用相似三角形的对应边成比例等性质，即可求得答案，注意不要漏解．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵A（3，0）在抛物线上，∴0＝a（3﹣1）2﹣2∴a＝，∴y＝（x﹣1）2﹣2，（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣．∵P为线段AB上的一个动点，∴P点坐标为（x，x﹣）．（0＜x＜3）由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），∵0＜x＜3，∴PE＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，（3）由题意可知D点横坐标为x＝1，又D点在直线AB上，∴D点坐标（1，﹣1）．①当∠EDP＝90°时，△AOB∽△EDP，∴．过点D作DQ⊥PE于Q，∴x Q＝x P＝x，y Q＝﹣1，∴△DQP∽△AOB∽△EDP，∴，又OA＝3，OB＝，AB＝，又DQ＝x﹣1，∴DP＝（x﹣1），∴，解得：x＝﹣1±（负值舍去）．∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；②当∠DEP＝90°时，△AOB∽△DEP，∴．由（2）PE＝﹣x2+x，DE＝x﹣1，∴，解得：x＝1±，（负值舍去）．∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．12．【分析】（1）运用待定系数法把点A、B、C的坐标代入求解即可；（2）连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，故△AHC 周长最小，运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，即可求得答案；（3）当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，分两种情况：①△BEG∽△AOC，②△GEB∽△AOC，分别利用相似三角形性质建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∵点A（﹣1，0）和点B（3，0）关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH＝BH+CH＝BC最小，如图，∴AC+AH+CH＝AC+BH最小，即△AHC周长最小，设直线BC的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴点H的坐标为（1，2）；（3）存在．理由如下：由题意得：OA＝1，OC＝3，∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴E（1，0），设G（1，m），则EG＝|m|，∵B（3，0），∴BE＝3﹣1＝2，当以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，①△BEG∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝6，解得：m＝±6，∴点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）；②△GEB∽△AOC，∴＝，即＝，∴|m|＝，解得：m＝±，∴点G的坐标为（1，）或（1，﹣）；综上所述，以B、E、G为顶点的三角形与△AOC相似时，点G的坐标为（1，6）或（1，﹣6）或（1，）或（1，﹣）．13．【分析】（1）由OA和OB的长得到点A和点B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）先求得点C的坐标得到OC的长，然后求得直线m与坐标轴的两个交点的坐标，最后利用相似三角形的性质分类讨论求得k的值；（3）先求得直线AC的解析式，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标得到点E的坐标，从而表示出△ACD的面积，再求得△ABC的面积，从而列出方程求得点D 的坐标，最后求得△COD的面积．【解答】（1）解：∵OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），将点A和点B的坐标代入y＝ax2+bx+8，得，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+8．（2）对y＝﹣x2﹣2x+8，令x＝0，得y＝8，∴点C的坐标为（0，8），∴OC＝8，对直线y＝kx+8，当x＝0时，y＝8，当y＝0时，x＝﹣，∴直线y＝kx+8与y轴的交点为点C（0，8），与x轴的交点为（﹣，0），记为点M，∴OM＝|﹣|，如图1，当△MOC∽△BOC时，∴＝1，∴MO＝BO＝2，∴M1（﹣2，0），代入y＝kx+8中，得﹣2k+8＝0，解得：k＝4；当△MOC∽△COB时，，∴＝＝4，∴MO＝32，∴M2（﹣32，0），M3（32，0），分别代入y＝kx+8中，得﹣32k+8＝0或32k+8＝0，解得：k＝或k＝﹣；综上所述，k＝4或k＝或k＝﹣．（3）设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝2x+8，如图2，当点D在AC之间的抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝﹣x2﹣2x+8﹣（2x+8）＝﹣x2﹣4x，∴S△ACD＝S△AED+S△ECD＝＝，∴S△ACD＝＝﹣2x2﹣8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴﹣2x2﹣8x＝×24，解得：x＝﹣2+或x＝﹣2﹣，∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8﹣4或S△COD＝＝8+4；如图3，当点D在点A左侧抛物线上时，过点D作DE⊥x轴，交AC于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+8），则点E的坐标为（x，2x+8），∴DE＝2x+8﹣（﹣x2﹣2x+8）＝x2+4x，∴S△ACD＝S△ECD﹣S△AED＝＝，∴S△ACD＝＝2x2+8x，∵OA＝4，OB＝2，OC＝8，∴S△ABC＝＝24，又∵S△ACD＝S△ABC，∴2x2+8x＝×24，解得：x＝﹣2﹣或x＝﹣2+（舍），∵S△COD＝，∴S△COD＝＝8+4；综上所述，△COD的面积为8﹣4或8+4或8+4．14．【分析】（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1即可求解；（2）作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，求出A'（3，﹣2），再求A'D＝，AD＝，即可求解；（3）分三种情况讨论：①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，可得△GCM∽△HPC，设M（t，t﹣3），当∠CPM＝∠ACO时，＝，则P（3t，﹣3﹣3t），可求P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，可求P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF ⊥EF交于点F，证明△ECM∽△FMP，设M（t，t﹣3），则P（4t，﹣2t﹣3），可求P （，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，则P（t，t﹣3），可求P（，﹣）；③当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K 点，证明△CLP∽△PKM，设P（m，﹣m2+4m﹣3），则M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），可求P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），可求P（，﹣）．【解答】解：（1）把A（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得：a+1＝0，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1＝﹣x2+4x﹣3，在y＝﹣x2+4x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，作A点关于直线BC的对称点A'，连接A'D交BC于点E，连接AE，A'B，∴AE+DE+AD＝A'E+DE+AD≥A'D+DE，当A'、D、E三点共线时，△ADE的周长最小，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠ABA'＝90°，∵AB＝A'B，∴A'（3，﹣2），∵D（2，1），∴A'D＝，AD＝，∴△ADE周长的最小值为+；（3）存在以P，M，C为顶点的三角形与△AOC相似，理由如下：∵A（1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴tan∠OCA＝，①当∠CMP＝90°时，过点M作MG⊥y轴交于点G，过点P作PH⊥y轴交于点H，∴∠GCM+∠HCP＝90°，∵∠GCM+∠GMC＝90°，∴∠HCP＝∠GMC，∴△GCM∽△HPC，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴GM＝t，GC＝t，当∠CPM＝∠ACO时，＝，∴CH＝3t，HP＝3t，∴P（3t，﹣3﹣3t），∴﹣3﹣3t＝﹣9t2+12t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（5，﹣8）；当∠CMP＝∠ACO时，＝3，∴CH＝t，HP＝t，∴P（t，﹣3﹣t），∴﹣3﹣t＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝15，∴P（5，﹣8）；②当∠CMP＝90°时，过点M作EF∥x轴，交y轴于点E，过点P作PF⊥EF交于点F，∴∠EMC+∠FMP＝90°，∵∠EMC+∠ECM＝90°，∴∠FMP＝∠ECM，∴△ECM∽△FMP，∴＝＝，设M（t，t﹣3），∴EM＝EC＝t，当∠CPM＝∠OCA时，＝，∴MF＝FP＝3t，∴P（4t，﹣2t﹣3），∴﹣2t﹣3＝﹣16t2+16t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；当∠CMP＝∠OCA时，＝3，∴MF＝FP＝t，∴P（t，t﹣3），∴﹣t﹣3＝﹣t2+t﹣3，解得t＝0（舍）或t＝，∴P（，﹣）；③如图3，当∠CPM＝90°时，过点P作KL⊥y轴交于点L，过点M作MK⊥LK交于K点，∴∠CPL+∠MPK＝90°，∵∠CPL+∠PCL＝90°，∴∠MPK＝∠PCL，∴△CLP∽△PKM，∴＝＝，设P（m，﹣m2+4m﹣3），∴LP＝m，CL＝m2﹣4m，当∠CMP＝∠OCA时，＝，∴MK＝3m，PK＝3m2﹣12m，∴M（3m2﹣11m，﹣m2+7m﹣3），∴﹣m2+7m﹣3＝3m2﹣11m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；当∠MCP＝∠OCA时，＝3，∴MK＝m，PK＝m2﹣m，∴M（m2﹣m，﹣m2+m﹣3），∴﹣m2+m﹣3＝m2﹣m﹣3，解得m＝0（舍）或m＝，∴P（，﹣）；综上所述：P点坐标为（5，﹣8）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．15．【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，先求得点C的坐标，然后由点B和点D的坐标设函数的交点式，再将点C的坐标代入求得函数的解析式即可；（2）过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，先求得直线BC的解析式，再设点P的坐标，得到点H的坐标，然后求得△PBC的面积，结合点B、C、D求得△BCD的面积，从而求得四边形PBDC的面积，最后由二次函数的性质求得四边形PBDC的面积最大值，及点P的坐标；（3）①分别求得tan∠ABO和tan∠CDE的大小，从而得到∠ABO＝∠CDE，然后得证CD∥AB；②由∠ABO＝∠CDE，∠ABC＝90°得到BC⊥CD，即∠BCD＝90°，由旋转得BC＝AB，然后分情况讨论，（i）△BCM∽△AOB；（ii）△BCM∽△BOA，先由相似三角形的性质求得CM的长，再求得直线CD的解析式，设点M的坐标，借助两点间的距离公式求得点M的坐标即可．【解答】（1）解：如图1，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠AOB＝90°，由旋转得，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∴∠CBE＝∠OAB，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO，CE＝OB，∵点A（0，2），B（1，0），∴BE＝2，CE＝1，∴点C的坐标为（3，1），由点B（1，0），点D（3.5，0）可设函数的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3.5），将点C（3，1）代入，得a（3﹣1）×（3﹣3.5）＝1，解得：a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣3.5）＝﹣x2+x﹣．（2）解：过点P作PH⊥x轴，交BC于点H，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，设点P的坐标为（x，﹣x2+x﹣），则点H的坐标为（x，x﹣），∴PH＝﹣x2+x﹣﹣x+＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∵S△PBC＝S△PBH+S△PCH＝，∴S△PBC＝×2×[﹣（x﹣2）2+1]＝﹣（x﹣2）2+1，∵B（1，0），C（3，1），D（3.5，0），∴BD＝2.5，CE＝1，∴S△BCD＝＝，∴S四边形PBDC＝S△PBC+S△BCD＝﹣（x﹣2）2+1+＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，四边形PBDC的面积最大值为，此时，点P的坐标为（2，）．（3）①证明：由（1）得，AO＝BE＝2，BO＝CE＝1，BD＝2.5，∴tan∠ABO＝，ED＝BD﹣BE，2.5﹣2＝0.5，∴tan∠CDE＝＝2，∴∠ABO＝∠CDE，∴CD∥AB．②解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，由①得，∠ABO＝∠CDB，∴∠CBD+∠CDB＝90°，∴∠BCD＝90°，由旋转得，BC＝AB＝＝，设直线CD的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+7，设点M（x，﹣2x+7），则CM＝，如图2，（i）当△BCM∽△AOB时，，∴，∴CM＝，∴＝，解得：x1＝，x2＝，∴点M1（，2），M2（，0）；（ii）当△BCM∽△BOA时，，∴，∴CM＝2，∴＝2，解得：x3＝1，x4＝5，∴点M3（1，5），M4（5，﹣3）；综上所述，当点M的坐标为（，2）或（，0）或（1，5）或（5，﹣3）时，△MBC 与△AOB相似．16．【分析】（1）根据线段关系求出A点、B点、C点的坐标，用待定系数法求出解析式即可；（2）求出直线AB的解析式，设出D点坐标，得出DE的表达式，根据二次函数的性质求出最大值即可；（3）根据（2）设出P点的坐标，分请款根据线段比例关系求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵4CO＝2BO＝OA＝4，∴OA＝4，OB＝2，OC＝1，即A（4，0），B（0，2），C（﹣1，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）由（1）知A（4，0），B（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+d，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，设D（t，﹣t+2），则E（t，﹣t2+t+2），∴DE＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴当t＝2时DE有最大值，最大值为2，即D点坐标为（2，1）时，DE有最大值为2；（3）存在，由（2）知F点和P点的横坐标为2，OA＝4，OB＝2，OC＝1，∴F（2，0），AB＝＝2，BC＝＝，AC＝4+1＝5，。

【中考压轴题专题突破】二次函数中的直角三角形存在性问题1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），且OB＝OC．直线y＝x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点Q是抛物线的顶点，设直线AD上方的抛物线上的动点P的横坐标为m．（1）求该抛物线的解析式及顶点Q的坐标．（2）连接CQ，直接写出线段CQ与线段AE的数量关系和位置关系．（3）连接P A、PD，当m为何值时S△APD＝S△DAB？（4）在直线AD上是否存在一点H，使△PQH为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式．（2）在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标．提示：若平面直角坐标系内有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ＝）．3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为M．（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设△BEC的面积为S，求出S的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）直线y＝x+1与抛物线交于A 点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1），可得出点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，3），用待定系数法求出二次函数解析即可求解；（2）求出CQ和AE的长，可得出CQ＝AE，由两直线的解析式k相等可得出CQ 与AE平行；（3）联立直线y＝x+1与抛物线的表达式，并解得x＝﹣1或2．故点D（2，3），过点P作y轴的平行线交AD于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1），根据面积关系可求出m的值；（4）分∠QOH＝90°、∠PQH＝90°、∠QHP＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】（1）直线y＝x+1与抛物线交于A点，则点A（﹣1，0）、点E（0，1）．∵OB＝OC，C（0，3），∴点B的坐标为（3，0），故抛物线的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），将点C的坐标代入，得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，故点Q的坐标为（1，4）．（2）CQ＝AE，且CQ∥AE，理由：∵Q（1，4），C（0，3），∴CQ ＝＝，CQ的解析式为y＝x+3，又∵AE ＝＝，直线AE的解析式为y＝x+1，∴CQ＝AE，CQ∥AE，（3）∵，∴，，∴点D的坐标为（2，3）．如图1，过点P作y轴的平行线，交AD 于点K，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点K（m，m+1）∴＝＝＝．解得m＝0或1．（4）存在，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．设点H（t，t+1），点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而点Q（1，4），①当∠QPH＝90°时，如图2，过点P作y轴的平行线，过点H、点Q作x轴的平行线，交过点P且平行于y轴的直线于点M、G，∵∠GQP+∠QPG＝90°，∠QPG+∠HPM＝90°，∴∠HPM＝∠GQP，∠PGQ＝∠HMP＝90°，PH＝PQ，∴△PGQ≌△HMP（AAS），∴PG＝MH，GQ＝PM，即4﹣n|＝|t﹣m|，|1﹣m|＝|n﹣（t+1）|，解得m＝2或n＝3．当n＝3时，3＝﹣m2+2m+3，解得m1＝0，m2＝2，∴点P（2，3）或（0，3）．②当∠PQH＝90°时，如图3所示，同理可得m1＝0，m2＝3（舍去），故点P为（0，3）．③当∠PHQ＝90°时，同理可得n＝2，解得（舍去），．故点P 为．综上可得，点P的坐标为（2，3）或（0，3）或．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式），三角形面积，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，正确进行分类是解题的关键．2．【分析】（1）用待定系数法即可求出直线BC和抛物线的解析式；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x ＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．【解答】（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，得，解得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝﹣1+3＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）如图，设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数的解析式，利用轴对称性质确定线段的最小长度，两点间的距离公式的运用，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标；（2）利用待定系数法确定直线BC解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得EF长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标迎刃而解了；（3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案．【解答】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x 轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），∴．解得．∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则M （1，4）；（2）如图，作EF∥y轴交BC于点F∵B（3，0），C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3．设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3）．∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．∴S ＝EF•OB ＝（﹣m2+3m）×3＝﹣（m ﹣）2+．当m ＝时，S最大＝．此时，点E 的坐标是（，）；（3）设P（1，n），A（﹣1，0）、C（0，3），∴AC2＝10，AP2＝4+n2，CP2＝1+（n﹣3）2＝n2﹣6n+10．①当AC⊥AP时，AC2+AP2＝CP2，即10+4+n2＝n2﹣6n+10．解得n ＝﹣．②当AC⊥CP时，AC2+CP2＝AP2，即10+n2﹣6n+10＝4+n2．解得n ＝．③当AP⊥CP时，AP2+CP2＝AC2，即4+n2+n2﹣6n+10＝10．解得n＝1或2．综上所述，存在，符合条件的点P的坐标是（1，﹣）或（1，）或（1，1）或（1，2），【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C坐标代入y＝a（x+3）（x﹣1）即可；（2）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM＝BN＝t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；（4）求出直线BC的解析式，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF＝90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．【解答】（1）∵在抛物线y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x ＝＝﹣1，又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A （﹣3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x ﹣1），将C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得，﹣3a ＝，解得，a ＝﹣，∴此抛物线的解析式为y ＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x +；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC ＝，∴AB＝OA+OB＝4，AC ＝＝2，BC ＝＝2，∵AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC 边运动，∴BM＝BN＝t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM＝PM＝BN＝PN＝t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴＝＝，即＝＝，解得，t ＝，CH ＝，∴OH＝OC﹣CH ＝﹣＝，∴y P ＝，设直线AC的解析式为y＝kx +，将点A（﹣3，0）代入y＝kx +，得，k ＝，∴直线AC的解析式为y ＝x +，将y P ＝代入y ＝x +，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）；（4）设直线BC的解析式为y＝kx +，将点B（1，0）代入y＝kx +，得，k ＝﹣，∴直线BC的解析式为y ＝﹣x +，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB ＝90°，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，在y ＝﹣x +中，当x＝﹣1时，y＝2，∴F1（﹣1，2）；当∠CAF＝90°时，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y＝﹣x+n，将点A（﹣3，0）代入y ＝﹣x+n，得，n＝﹣3，∴直线AF的解析式为y ＝﹣x﹣3，在y ＝﹣x﹣3中，当x＝﹣1时，y ＝﹣2，∴F2（﹣1，﹣2）；∴点F的坐标为F1（﹣1，2），F2（﹣1，﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．。

考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。

而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。

需要考生在复习的时候给予加倍的重视！ 【中考考查重点】 一、比例线段 二、相似三角形的性质 三、相似三角形的判定 四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项； 二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质： 如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8． 故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似 三角 形的 性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的周长之比等于相似比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长． 【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角 （2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角 （3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等 （5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等 【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， 判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1， 故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝ ．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或， 解得：BE ＝4或． 故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形 一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用： 如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。

中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。