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机械系统的多体动力学分析与控制机械系统是由多个刚体组成的复杂系统，其运动行为由力学学科中的多体动力学进行描述和分析。
多体动力学研究的是多个刚体在给定约束下的运动规律和相互作用，为了对机械系统进行准确的分析和控制，多体动力学的理论和方法显得尤为重要。
在研究机械系统的多体动力学之前，我们需要先了解多体系统的基本概念和关键元素。
一个多体系统由多个刚体组成，每个刚体都有自己的质量、几何形状和运动状态。
这些刚体之间通过关节、轴承等约束相互连接，形成一个整体的运动系统。
多体动力学的分析过程通常分为建模、动力学方程的建立和求解三个步骤。
在建模阶段，我们需要确定系统的质量分布、几何形状和约束条件。
通过采用刚体的质心坐标系或者自定义坐标系，可以方便地描述刚体的位置、速度和加速度。
同时，刚体之间的相互作用力和力矩也是建模过程中需要考虑的重要因素。
在动力学方程的建立阶段，我们利用牛顿定律、运动学关系等基本原理，推导出描述机械系统运动行为的动力学方程。
这些方程通常是由刚体的平动方程和转动方程组成，并包含了刚体之间的约束方程。
对于一个N个自由度的多体系统，动力学方程的求解通常需要采用数值计算方法。
在多体动力学的求解过程中，为了准确地描述和控制系统的运动行为，我们还需要考虑刚体的非线性特性和约束的刚性度。
在现实系统中，刚体的非线性特性常常会导致系统的频率分布和模态特征的变化，而约束的刚性度则会影响系统的动力学性能和稳定性。
针对机械系统的多体动力学分析和控制，现代工程学科提供了丰富的方法和工具。
有限元方法、多体仿真系统以及控制理论和方法等等，都为机械系统的分析和控制提供了一定的支持。
有限元方法可以对系统进行准确的建模和分析，多体仿真系统则可以对系统的运动行为进行模拟和验证。
而控制理论和方法则可以针对系统的动力学特性进行优化和调节，以达到所需的运动控制目标。
机械系统的多体动力学分析和控制在各个领域中都具有广泛的应用。
在机械工程领域，对机械系统进行多体动力学分析可以帮助设计师理解和改进系统的结构和性能。
多体动力学仿真介绍
多体动力学仿真是一种基于计算机技术的模拟方法，用于分析和预测机械系统中的运动和力学行为。
它广泛应用于机械工程、航空航天、汽车、船舶、兵器等领域，成为产品设计和性能评估的重要手段。
多体动力学仿真的基本原理是建立在牛顿第二定律和刚体动力学理论的基础上的。
它通过建立系统的数学模型，对系统中的各个刚体进行运动学和动力学分析，得出它们的运动轨迹和受力情况。
这种方法可以模拟复杂的机械系统在不同条件下的动态性能，帮助工程师更好地理解系统的运动特性和力学行为，从而进行优化设计。
多体动力学仿真的主要步骤包括建立模型、定义约束和载荷、进行仿真计算和结果分析。
在模型建立过程中，需要将实际系统抽象化为若干个刚体，并定义它们之间的连接关系和相互作用。
约束和载荷则用于描述刚体之间的相对运动和外部作用力。
通过设定适当的初始条件和边界条件，可以进行仿真计算，得出每个刚体的位置、速度、加速度等运动参数以及作用力、反作用力等力学参数。
最后，通过对结果的数值分析和后处理，可以得出系统的性能指标和优化方向。
多体动力学仿真的优点在于其能够模拟复杂系统的动态行为，可以预测系统在不同工况下的性能表现，帮助工程师提前发现和解决潜在的设计问题。
同时，这种方法还可以大大缩短产品的研发周期和降低试验成本，提高产品的可靠性和安全性。
柔体动力学介绍一、KED （Kineto-Elastodynamics ）法KED 法，即运动弹性动力学，由美国学者Erdman 和Sandor 提出。
该方法的研究始于上个世纪60年代，早期研究者仅把部件（一般是一个，如四杆机构的连杆）看作是柔性的，并且只考虑其一种变形（如杆件的弯曲变形），方程中也引入较多假设。
70年代初期，Erdman 和Sandor 将结构动力学中的有限元方法移植到机构分析中来，克服了模型过于简单的缺陷。
我国自80年代初开始研究机构弹性力学，学者张策对KED 法做了大量研究。
KED 法在分析机构的真实运动时，均假设：与采用刚性机构的运动分析法的到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移很小；这种弹性位移不会影响机构的名义运动。
依据上述假设，机构真实运动的位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加。
名义运动可以用刚体机构运动和动力学分析方法求出，弹性位移则用弹性动力学分析方法求出。
为了使所建模型较准确反应原机构系统的特性，现在普遍采用“子结构分析方法”，即把系统按结构划分为子结构单元，然后建立单元和子结构的运动方程，最后将单元和子结构的运动方程组合成系统的运动方程。
对于连续体的离散，有1）集中参数模型2）有限元模型两种建模方法。
以一个简单例子为例： 一般弹性动力学方程为：()()()()+=++=+-rr r rf f e v r rff f ff f e v fr rf f M y M y q q M y K y q q M y其中，第一个方程描述的是机构的刚体动力学方程，第二个方程描述的是机构的结构振动方程。
r y 表示机构广义刚体位移，f y 表示机构广义弹性位移，e q 表示机构所受外力，v q 表示机构的科氏力和离心力。
对于KED 方法，变形对刚体运动的影响忽略不计，因此，忽略耦合项，上述方程变为：()()()=+=+-rr r e rff f ff f e v fr rf f M y q M y K y q q M y从上式可以看出，由于KED 方法的假设，使方程得到很大的化简，提高了计算效率，此方法对于作大范围刚体运动，机构刚度大（即弹性变形小的系统）适用。
刚柔耦合动力学模型刚柔耦合动力学模型是一种描述刚体和柔性结构相互作用的数学模型。
这种模型可以用来研究各种复杂的力学问题，例如机械振动、机器人动力学、运动控制等。
本文将从刚柔耦合动力学模型的基本原理、应用领域和建模方法等方面进行介绍。
刚柔耦合动力学模型的基本原理是通过将刚体和柔性结构的运动方程进行耦合，描述刚体与柔性结构之间的相互作用。
在该模型中，刚体通常被描述为质点或刚性体，具有确定的质量、形状和运动状态。
而柔性结构则被描述为连续介质，其形状和运动状态受到刚体的作用影响。
刚柔耦合动力学模型可以应用于多个领域，其中最常见的应用是机械振动。
在机械振动中，刚柔耦合动力学模型可以用于研究机械系统的自由振动和强迫振动。
例如，模拟汽车行驶过不平坦道路时车身和悬挂系统的振动，或者研究机器人手臂在运动过程中的柔顺性。
在建立刚柔耦合动力学模型时，需要考虑刚体和柔性结构的几何特性、材料性质和力学行为。
为了描述柔性结构的运动，在模型中通常采用有限元法或杆模型等方法进行建模。
这些方法可以将柔性结构离散成为许多小的单元，在每个单元内求解位移和应力等参数，从而得到整个系统的运动方程。
刚柔耦合动力学模型的求解通常涉及到数值方法。
常用的数值方法有有限元法、迭代法和离散化方法等。
这些方法在模型求解过程中，会生成大量的矩阵方程，需要用计算机进行求解。
数值方法的选择将影响模型求解的精度和计算速度。
刚柔耦合动力学模型可以有多种扩展和应用。
例如，可以将多个柔性结构耦合起来进行分析，研究多体动力学问题。
还可以加入控制系统，用于实现对刚柔耦合系统的运动控制。
另外，还可以将刚柔耦合动力学模型与其他领域的模型进行耦合，例如流体力学模型，研究复杂的多物理场耦合问题。
总之，刚柔耦合动力学模型是一种重要的数学模型，用于描述刚体和柔性结构之间的相互作用。
它在机械振动、机器人动力学、运动控制等领域有着广泛的应用。
建立刚柔耦合动力学模型需要考虑几何特性、材料性质和力学行为等因素，并采用适当的数值方法进行求解。
南京理工大学硕士学位论文柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学姓名:刘俊申请学位级别:硕士专业:一般力学与力学基础指导教师:章定国20060531摘要随着机器人朝着高速化、精密化、轻质化和大跨度化方向发展,部件的柔性效应交得日益突出。
柔性部件在作大范围运动时,柔性变形与其大范围运动的相互耦合,以及由此而产生的“动力刚化”效应等问题增加了正确分析系统动力学性态的难度,并成为了机器人工程领域的普遍问题和关键技术。
本文在前人研究的基础上,对柔性杆柔性铰机器人刚柔耦合动力学进行了探讨。
同时考虑机器人杆件和铰的柔性变形,其中,柔性杆件变形不仅包括拉伸变形、弯曲变形,还含有扭转变形。
得到一个较完善的多杆全柔机器人模型。
采用4X4的齐次交换矩阵描述部件的位姿,并程式化地计入了杆件“动力刚化”项和铰的质量带来的影响,首次建立了多杆全柔机器人的一次刚柔耦合动力学理论模型,推导出矩阵形式的Lagrange动力学方程。
所得到的方程形式优美,结构清晰,便于计算机编程。
在建模过程分析了矩阵间的递推关系,利用这些关系进行矩阵计算,提高计算效率。
本文在最后还对不同情况下的机器人具体算例进行动力学仿真和分析。
关键词:柔性杆柔性铰机器人一次刚柔耦合动力学AbstractWith the uend of high speed,high precision,light weight and large scale ofmanipulators,the effects of flexible components become moreimportant than before.While the component is undergomg large overall motion,its elastic deformations couples with the motion,which brings some problems such as‘'dynamic stiffening" effect to increase the accuracy of dynamic analysis.These problems become the general problems and key tcchnolo#es in the area of manipulator engineering.ne discussing about the manipulators with flexible links and flexible joints is based on the former researches.m flexible effects of links and joints arc both taken into account.To the deformation ofthe links,not only the mnsinn and bending deflection are considered,but also the torsion deflection.Then the model of flexible manipulatorswith more consideration is giVeIL 4x4homogeneous transformation matrices ale used to describe the positions and orientations of components.111e dynamic stiffeningitem and the mass ofjoints Can be brought into the matric嚣.The first-order rigid-flexible coupling dynamic model of flexible manipulators is built for the first time.劬m which the Lagrange dy砌nic equations in the form of matrices have been deduced.111e equations with a nice form and clear arrangement are effective for proFamming.During the modeling,the re;cursive relation among thematrices isanalyzed,SO that the matricesCan be calculated in an ef=|[icient way. Several examples are simulated and analyzed under different conditions.Key words:flexible link,flexible joi鸸manipulator,first-order rigid-flexible coupling dynamics.Ⅱ声明本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果,尽我所知,在本学位论文中,除了加以标注和致谢的部分外,不包含其他人已经发表或公肖过的研究成果,也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历箍使耀过的材料。
hamilton’s原理Hamilton's Principle（哈密尔顿原理）哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它是由物理学家威廉·哈密尔顿于1834年提出的。
这一原理在分析力学和物理学研究中具有重要的地位和应用价值。
哈密尔顿原理描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化一个称为“作用量”的量来确定。
作用量是一个描述系统运动的物理量，它由系统的拉格朗日函数和时间间隔构成。
在哈密尔顿原理中，我们通过比较不同可能的运动路径的作用量来确定系统的真实运动轨迹。
哈密尔顿原理的核心思想是，对于一个力学系统，在给定初始和末态的情况下，真实的运动路径是使作用量取极值的路径。
具体来说，对于一个固定时间间隔的运动问题，哈密尔顿原理可以表述为：物理系统的真实运动轨迹是使作用量取极值的路径。
这个路径可以通过对系统的拉格朗日函数进行变分得到。
在哈密尔顿原理中，拉格朗日函数起着关键的作用。
拉格朗日函数是一个描述系统运动的函数，它由系统的动能和势能构成。
动能描述了系统的运动状态，势能描述了系统的相互作用。
通过对拉格朗日函数进行变分，我们可以得到系统的运动方程，进而确定系统的真实运动轨迹。
哈密尔顿原理的应用范围广泛，涉及力学、物理学和工程学等多个领域。
在力学中，哈密尔顿原理可以用来推导运动方程和确定系统的平衡态。
在物理学中，哈密尔顿原理可以用来研究量子力学和统计力学问题。
在工程学中，哈密尔顿原理可以用来分析和设计复杂的力学系统。
哈密尔顿原理的重要性不仅在于它提供了一种处理力学问题的方法，更在于它揭示了自然界的一种基本原理。
通过最小化作用量，哈密尔顿原理能够描述系统的真实运动轨迹，从而揭示了自然界中的运动规律和物理定律。
哈密尔顿原理是固体力学和流体力学中的一种经典原理，它描述了一个力学系统的运动轨迹可以通过最小化作用量来确定。
哈密尔顿原理在物理学和工程学中具有广泛的应用价值，它不仅为力学问题的求解提供了一种方法，更揭示了自然界中的运动规律和物理定律。
收稿日期:2005-05-25 ＊基金项目:国家自然科学基金资助项目(059905019)作者简介:何柏岩(1973-),男,中国汽车技术研究中心博士后研究人员工学博士,主要研究方向为机械多体系统动力学与控制等,(E -mail )hebaiyan @ 。
文章编号:1001-2265(2005)07-0005-04含有随机参数的机械多体系统动力学建模与仿真＊何柏岩1,2,朱志辉3,王树新4,韩崇昭2(1.中国汽车技术研究中心,天津 300162;2.西安交通大学电信学院,西安 710049;3.河北工业大学,天津 300130;4.天津大学机械学院,天津 300072)摘要:在工程中,机械多体系统的参数往往具有不确定性,如设计公差、制造和装配误差、磨损等因素导致零件的几何尺寸具有随机性;工作温度的影响使得弹性模量、泊松比等参数产生变异。
传统的多体系统动力学研究往往忽略了参数的随机性,因此存在局限性。
文章基于Kane 方程,采用随机理论处理参数的不确定性问题,讨论了含随机参数的多体系统建模问题;并采用Monte -Carlo 方法进行解算,最终得到统计意义上的结果。
对一含随机参数的柔性机械臂进行了仿真计算,验证了本方法的正确性和有效性。
关键词:多体系统;随机参数;Monte -Carlo 方法;柔性机械臂中图分类号:TU311.3 文献标识码:ADynamic Modeling and Simulation of Mechanical Multibody Systems with Probabilistic ParametersHE Bai -yan 1,2,ZHU Zhi -hui 3,WANG Shu -xin 4,H AN Chong -zhao 2(1.China Automotive Technology and Research Center ,Tianjin 300162,China ;2.School of Electronic and Infor mation Engineering ,Xi 'an Jiaotong University ,Xi 'an 710049,ChinaA bstract :In engineering ,uncertain characteristics exist in nearl y all the mechanical multibody systems .The d ynamic parameters of me -chanical parts such as dimension ,Youn g 's Modulus ,density ,Poisson 's ratio etc is usually probabilistic due to design tolerance ,assembly errors ,wear and operating temperature .Previous modeling methods of mechanical multibody systems usually ignored the probabilistic char -acteristics of the dynamic parameters .So they have some limitations .In this paper probabilistic parameters are considered in modeling and si mulating of mechanical multibody systems and they are treated as probabilistic variables ,probabilistic process and probabilistic fields re -spectivel y .Thus the responses of the mechanical s ystem are also probabilistic ones .Based on Kane equation and Monte -Carlo method ,computer code called XJ -MB S is developed to simulate general mechanical multibody systems with probabilistic parameters .The simulation results are expressed in statistic .As an illustrative example ,a flexible mechanical arm with probabilistic parameters is simulated b y XJ -MBS and some useful results were obtained .The accuracy and validity of the theory presented in the paper is proved .Key words :multibody system ;probabilistic parameter ;Monte -Carlo method ;flexible mechanical arm0 引言多体系统[1,2]是指多个物体通过一定的方式相互连接构成的系统,系统中的物体可以是刚体,也可以是柔体。
基于Karnopp摩擦的柔性滑移铰的建模与仿真章杰;王琪【摘要】对含Karnopp摩擦的柔性滑移铰系统进行动力学建模和仿真.将滑移铰中的滑块视为柔性体,滑道视为刚性接触面,考虑滑道与滑块之间的间隙.由于柔性滑块与滑道的接触状态和摩擦情况比较复杂,采用有限元方法建立了柔性滑块的力学模型,基于罚函数方法建立含Karnopp摩擦柔性滑移铰接触力模型,通过试算迭代法判断柔性滑块各节点的接触状态,基于KED方法和Newmark方法给出了含该滑移铰机械系统动力学方程的数值算法.最后,以含Karnopp摩擦的柔性滑移铰和驱动摆杆构成的机械系统为例进行动力学仿真,分析了其动力学特性,验证了本文给出的方法的有效性.【期刊名称】《动力学与控制学报》【年(卷),期】2016(014)003【总页数】6页(P263-268)【关键词】柔性滑移铰;Karnopp摩擦;间隙;有限元【作者】章杰;王琪【作者单位】北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100191;北京航空航天大学航空科学与工程学院,北京100191【正文语种】中文引言滑移铰在机械系统中被广泛应用,但滑移铰中双边约束、摩擦等非线性因素的存在使得相关动力学问题的求解变得复杂,以往的研究常将滑移铰简化为理想铰,即不考虑滑块与滑道之间的摩擦、间隙、碰撞等因素,但这些因素在实际的含滑移铰机械系统中广泛存在[1].近年来不少关于滑移铰动力学行为的研究开始考虑其间隙、摩擦和碰撞等因素对系统动力学行为的影响.文献[1-2]考虑滑块与滑道之间的间隙,用非光滑动力学方法对含滑移铰的平面多刚体系统进行了建模仿真.文献[3]考虑碰撞和摩擦,用线性互补方法对含滑移铰和转铰的机械系统进行了研究.文献[4]考察了间隙、摩擦和碰撞等因素对曲柄滑块机构动力学行为的影响.文献[5-6]考虑摩擦,将间隙视为无穷小且忽略块滑与滑道的碰撞,对含滑移铰的单自由度系统动力学解的存在性和唯一性进行了研究.文献[7-8]同样忽略滑移铰的间隙和碰撞,基于线性互补方法对含库仑干摩擦滑移铰的多体系统动力学行为进行了研究.文献[9-11]对平面和空间含摩擦滑移铰的动力学行为进行了研究.这些研究将滑移铰视为刚体,忽略了滑块变形对系统动力学的影响,如果使用修正的库仑摩擦模型时,无法反映粘滞状态；如果使用库仑干摩擦时,可反映粘滞状态,但是滑块处于粘滞状态时,由于滑道的约束和静摩擦力的存在使得系统处于超静定状态,基于刚体模型已无法唯一地求滑道作用于滑块上的接触力.文献[12-13]考虑物体接触点的局部变形,基于接触力学理论和线性互补问题的算法, 给出了含接触、碰撞以及库伦干摩擦, 同时具有理想定常约束和非定常约束的平面多刚体系统动力学的建模与数值计算方法,但该方法不适用用于含双边约束的滑移铰系统.含驱动约束与摩擦的滑移铰在很多机械系统中存在.文献[14]将滑移铰视为柔性体,加入变形协调条件,应用有限元方法系统地研究了间隙、库仑摩擦和滑块变形对曲柄滑块机构动力学行为的影响,但未考虑驱动约束.文献[15-16]对含驱动约束与刚性滑移铰多体系统动力学问题进行了建模和仿真,但该方法无法完全求出处于粘滞状态时接触点的约束力.本文在上述研究的基础上,研究了基于Karnopp摩擦模型[17]的含间隙柔性滑移铰的建模和数值算法.利用有限元方法和罚函数方法,建立柔性滑移铰的力学模型,应用结构动力学方法建立滑移铰的动力学方程,基于KED方法和Newmark方法给出了含该滑移铰机械系统动力学方程的数值算法,最后通过数值仿真分析含驱动约束和柔性滑移铰机械系统的动力学行为,验证该方法的有效性.1.1 滑移铰的接触形式设滑移铰由滑块和滑道构成,且存在有间隙,因此滑块在滑道内的接触形式如图1所示.形式1：单面接触状态,如图1(a) (b)所示；形式2：双面接触状态,如图1(c) (d)所示；形式3：非接触状态,如图1(e)所示.1.2 Karnopp摩擦模型摩擦是一种复杂的物理现象,摩擦力产生的机理以及摩擦对系统动力学行为影响的研究已有几百年的历史,基于经典的库仑摩擦和粘性摩擦模型[17-19],Karnopp提出了Karnopp模型,该模型既能反映静摩擦特征,也能反映摩擦的粘性特征,并且通过定义零速区间<DV,避免了在仿真或控制中的零速度检测问题以及黏滞和滑动摩擦状态方程间的切换问题[17,20].其数学描述如下[17,19]：其中,F是滑道作用于滑块上某一接触面的摩擦力,FN为该接触面的法向力,μ′为静摩擦系数,μ为动摩擦系数,v为滑块质心速度,Fe(t)为作用于滑块上的所有外力(不含滑道与滑块间的作用力)在滑道切向投影的代数和,fvv为粘性摩擦部分,fv为粘性系数,sgn(x)是符号函数1.3 含Karnopp摩擦的柔性滑移铰的接触模型Karnopp摩擦模型中的摩擦力包括干摩擦部分和粘性摩擦部分,首先对干摩擦部分进行建模.罚函数方法是解决接触问题应用最广泛的方法之一[14,20],其物理意义是将接触面上各节点处的接触力用线弹性模型描述[14,21-23].本文基于罚函数方法,建立含Karnopp摩擦的柔性滑移铰的接触模型.应用有限元方法将滑块划分为若干个微小单元,基于文献[14]中接触力和摩擦力的表示方法,将滑块接触面上第i个节点处接触力表述如下：当且,有：其中：Ffi为该节点切向摩擦力,FNi为节点法向接触力,其正方向与图1中坐标系正方向一致.kT和kN分别为切向和法向弹簧的弹簧刚度(罚函数方法中称为罚因子).dTi和dNi分别为该节点在该时刻的微小变形位移在切向和法向上的投影.Surface AB和CD分别为滑块的两个接触面,分别由Area1、2和Area3、4构成,如图1所示.ci为接触状态系数,定义为当且,有：当,有：其中vcτ为滑块质心速度在切向上的投影.式(2)、(3)和(4)建立了节点接触力和节点微小变形位移之间的函数关系,该节点摩擦力所处状态和接触状态系数ci的判断可由文献[14]给出的方法确定.由于Karnopp摩擦模型中包含干摩擦项,因此滑块在滑道内的运动将会出现黏滞-滑移(stick-slip)现象,图2,3为基于罚函数方法和干摩擦的性质建立的柔性滑移铰接触模型示意图[14],分别描述了滑块处于双面接触时的stick状态和slip状态.图中用线性弹簧表示了节点接触力和该时刻节点微小位移之间的线性关系,实线表示该节点与滑道接触,虚线表示该节点未与滑道接触,细方框表示该节点处切向摩擦力与法向接触力成正比例关系.设柔性滑移铰由n个节点构成.该滑移铰接触力向量T和该时刻的滑移铰的微小变形位移d=[dTi,dNi…dTi,dNi…dTn,dNn]T之间的关系可以用矩阵方程的形式表示如下,Fc=Kcd其中,Kc为滑移铰接触刚度矩阵.基于含柔性滑移铰多体系统动力学的试算迭代方法[14],并根据接触状态和运动状态,由(2)-(4)计算可得到该矩阵.考虑Karnopp摩擦模型中的粘性项fv=-kvv, 应用有限元中的动力学方法[23],含Karnopp摩擦的柔性滑块动力学方程为其中M为滑块质量矩阵,q为滑块的广义坐标,为广义坐标对时间的二阶导数,K为滑块的总体刚度矩阵,Fe为作用于滑块的外载荷向量(包含自身重力,主动力,其它构件对其的作用力,但不包括滑道对其的作用力), v为滑块上处于接触状态的节点的速度在切向投影的列向量.应用牛顿欧拉法建立处滑移铰外其它刚体的动力学方程,方程的一般形式如下：其中为广义质量矩阵,为其广义坐标,F′为滑移铰与其它物体间的相互作用力.当用Newmark方法等经典的有限元数值算法联立求解方程(6)和(7),在迭代过程中,由于加速度的震荡和接触状态的判断耦合,会使得迭代过程不收敛.本文利用试算法、柔性滑移铰多体系统动力学方法的KED方法[14]和Newmark方法[23]联立迭代求解方程组(6)和(7)可求出系统的所有运动量和物体间所有的相互作用力.设含柔性滑移铰的机械系统如图4所示,摆杆AB铰接于滑块B并由电机驱动以角速度ω0转动.滑道与滑块间的摩擦为Karnopp摩擦,用本文给出的方法对其进行动力学仿真.在如图4所示系统中,均质滑块长为a,高为b,质量为m2,水平弹簧的刚度系数为k,外激励F=F0sin(Ωt)作用于滑块质心.滑块和滑道之间的动摩擦系数和静摩擦系数分别为μ和μ′.摆杆AB质量为m1,长度为L,摆杆质心C坐标为x1,y1,滑块质心B 的坐标为x2,y2.柔性滑块的弹性模量为E,泊松比为v,滑块被划分为684个平面三节点三角形单元.相关的参数设定如下：m1=2.0kg, m2=1.0kg, a=0.6m, b=0.5m,F0=3.0N, ω0=π/4s-1, k=1.0, L0=0.25m,Ω=π/2s-1, μ=0.03,μ′=0.04, L=2.0m,E=2.1×1011pa, v=0.25系统初始条件为：x1=1.0m, y1=0.0m, θ1=0.0radx2=0.0m, y2=0.0m图5为滑块质心x2的时间历程图,图6为2的时间历程图,由图可以看出系统的稳态运动为周期运动,其周期为8s,滑块呈现出stick-slip运动状态.图7为2的时间历程图,可以看出加速度会有突变,这是因为当速度方向变化时,摩擦力方向也发生变化,从而引起加速度.图8为驱动力矩的时间历程图,可以看到在某几个时刻会发生微小突变.该突变是由于摩擦力的突变引起滑移铰加速度的突变导致驱动力矩的突变.图9给出了柔性滑移铰四个区域摩擦力的时间历程图,其中摩擦力在某段时间区间内恒为零,则表明该区域处于未接触状态.本文提出了含Karnopp摩擦的柔性滑移铰系统的建模与仿真方法,研究了Karnopp摩擦、滑块变形、驱动约束和间隙对滑移铰动力学行为的影响.基于有限元方法和罚函数方法,建立含Karnopp摩擦的柔性滑移铰的接触模型并建立其动力学方程,用试算迭代法确定柔性滑块各节点的接触状态系数并计算各节点摩擦力,基于KED方法和Newmark方法对含Karnopp摩擦的柔性滑移铰和驱动摆杆构成的机械系统进行了数值仿真.仿真结果表明了该方法的有效性,并揭示了滑块的摩擦与变形,以及驱动摆杆对滑移铰动力学行为的影响.与基于滑块刚体模型的方法相比,该方法不但能计算滑块变形对该滑移铰动力学行为的影响,也能求解该滑块处于双面接触且处于stick状态时的接触力.*The project was supported by the National Natural Science Foundation of China (11372018)† Corresponding author E-mail:*********************【相关文献】1 Flores P, Leine R, Glocker C. 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