最新人教版高一数学必修四测试题(含详细答案)

高一必修四数学题（答案）第一题不知道2. 【解析】T= 2冗3=2冗12 = 4 n.【答案】D3. 【解析】sin(9 n —a + cos( —9 冗2 —a) = sin( n —a + cos(冗2 +a) —sina —sin a—).【答案】 D4. 【解析】由题意知截得线段长为一周期，二T —n4 ,.••3—n 4 —4,•'•f( n4) —tan (4 XM) —0.【答案】 A5. 【解析】'-sin 2 n3>0 , cos 2 n3<0 ,•••点(sin 2 n3 , cos 2 n3)在第四象限.又ttan a—cos 2 n3sin 2 n3 ——33 ,•a的最小正值为2 n—16 n—116 n. 【答案】D6. 【解析】由于y = sin(4x —n3) = sin[4(x —n12)]，所以只需把y = sin 4x的图像向右平移n 12个单位长度，故选D.【答案】 D7. 【解析】f( n3) = sin(2 x^3+n3) = sin n=0，故A 错；f(冗4) = sin(2 XM+n3) = sin(冗2 +n3) = cos n3 = 12 却，故B 错；把f(x)的图像向左平移n 12个单位长度，得到y = cos 2x的图像，故C正确.【答案】 C8. 【解析】法一•••正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x —n4 = k n + d2，k € Z，—x = k n+3 冗4，k € Z.取k = —1，贝U x =—n4.法二x =n4 时，y = sin( n4 —n4) = 0，不合题意，排除A ; x =冗2 时，y= sin( n 2 —n4) = 22，不合题意，排除B; x =—n4 时，y = sin( —n4 —n4) = —1，符合题意，C项正确；而x =一冗2时，y = sin( —n2 —n4) = —22，不合题意，故D 项也不正确.【答案】 C9. 【解析】C、D中周期为n. A、B不满足T=n.又y = —tan x在(0，n2)为减函数，C错.y = —cos 2x在(0，n2)为增函数.•'•y = —cos 2x满足条件.【答案】 D10. 【解析】T= 6，则5T4 <t，如图：•'•t >152 ,：tmin = 8.故选C.【答案】 C11. 【解析】根据题意平移后函数的解析式为y = sin 3(x —冗4)，将(3冗4, 0) 代入得sin 3冗2 = 0，则3 = 2k , k € Z,且3 >0 ,故3的最小值为2.【答案】 D12. 已知圆的半径是 6 cm，贝U 15。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知0＜α＜π2＜β＜π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β＝( ) A ．0B ．0或2425C.2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0＜α＜π2＜β＜π且sin α＝35，cos(α＋β)＝－45， ∴cos α＝45，π2＜α＋β＜32π，∴sin(α＋β)＝±35， 当sin(α＋β)＝35时，sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－⎝⎛⎭⎫－45×35＝2425； 当sin(α＋β)＝－35时， sin β＝－35×45－⎝⎛⎭⎫45×35＝0. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin β＞0，故sin β＝2425. [点评] (1)可用排除法求解，∵π2＜β＜π，∴sin β＞0.故排除A ，B ，D. (2)由cos(α＋β)＝－45及sin α＝35可得sin β＝43(1＋cos β)代入sin 2β＋cos 2β＝1中可解得cos β＝－1或－725，再结合π2<β<π可求sin β. 2．若sin θ＜0，cos2θ＜0，则在(0,2π)内θ的取值范围是( )A ．π＜θ＜3π2B.5π4＜θ＜7π4C.3π2＜θ＜2π D.π4＜θ＜3π4[答案] B[解析] ∵cos2θ＜0，∴1－2sin 2θ＜0，即sin θ＞22或sin θ＜－22， 又已知sin θ＜0，∴－1≤sin θ＜－22， 由正弦曲线得满足条件的θ取值为5π4＜θ＜7π4. 3．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位得到 B ．向右平移π8个单位得到 C ．向左平移π4个单位得到 D ．向右平移π4个单位得到[答案] C[解析] y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4) ＝2sin2(x ＋π8) y ＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)＝2sin2(x －π8) 其中x ＋π8＝(x ＋π4)－π8∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象． 4．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15°B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°[答案] B[解析] 2sin15°cos15°＝sin30°＝12，排除A. cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32，故选B. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值是( ) A.62B.54C.32D.23[答案] B[解析] 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋12×12＝54.6．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值是( )A ．－433B ．－4 3C ．4 3D ．8[答案] D[解析] f (x )＝2tan x ＋cos x12sin x＝2⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos xsin x＝2·1sin x ·cos x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sin π6＝8.7．若－π2≤x ≤π2，则函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值和最小值分别是( )A ．1，－1B ．1，－12C ．2，－1D ．2，－2[答案] C[解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，∴x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，∴f (x )最小值为－1，最大值为2.8．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－4，那么a 的值等于() A ．4B ．－6C ．－3D ．－4[答案] D[解析] f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋1＝－4，∴a ＝－4. 9．(09·重庆理)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝3sin A cos B ＋sin B ·3cos A ＝3sin(A ＋B )＝3sin C ＝1－cos C ，∴sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12， 又∵0<C <π，∴C ＋π6＝5π6，故C ＝2π3. 10．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( ) A.32B. 3C.158 D.157[答案] D[解析] 如图，令BD ＝1，则AB ＝4，AD ＝15，tan θ＝115，tan A ＝tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2151－115＝157，故选D.11．(09·江西理)若函数 f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)．又∵0≤x <π2，∴当x ＝π3时，y 取最大值为2.12．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是() A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧ sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59，∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145，故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝________.[答案] 3[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°∴原式＝tan60°·(1－tan20°·tan40°)＋3tan20°·tan40° ＝3－3tan20°·tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3.14.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4[解析] 原式＝cos10°－3sin10°sin10°·cos10°＝2(cos60°·cos10°－sin60°·sin10°)12sin20°＝4cos70°sin20°＝4. 15．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [答案] －5665[解析] ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∵sin(α＋β)＝－35，∴cos(α＋β)＝45. ∵β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－5665. 16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合． 其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)[答案] ①②③[解析] 化简f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12 ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π2＝π，即②正确． 由2k π≤2x －π12≤2k π＋π得， k π＋π24≤x ≤k π＋13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos2x 的图象向左平移π24个单位得 y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24≠f (x )，∴④不正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(09·广东理)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求cos φ的值． [解析] (1)∵a 与b 互相垂直，则a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1得，sin θ＝±255，cos θ＝±55， 又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵0<φ<π2，0<θ<π2，∴－π2<θ－φ<π2，则 cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010， cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝210. 18．(本题满分12分)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2. (1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值，所以m ＝－12或m ＝32， 由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2， 所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2. (2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.19．(本题满分12分)函数f (x )＝2a sin 2x －23a sin x cos x ＋a ＋b ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，值域为[－5,1]，求a ，b 的值．[解析] ∵f (x )＝a (1－cos2x )－3a sin2x ＋a ＋b＝－2a ·⎝⎛⎭⎫32sin2x ＋12cos2x ＋2a ＋b ＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ， ∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1b ＝－5，∴a ＝2，b ＝－5， 当a ＜0时，有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13a ＋b ＝－5，∴a ＝－2，b ＝1. 20．(本题满分12分)已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小．[解析] 方法一：由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin B (sin A －cos A )＝0.因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，从而cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)知，A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4，由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＋cos2(3π4－B )＝0， 即sin B －sin2B ＝0.即sin B －2sin B cos B ＝0.由此得cos B ＝12，B ＝π3.所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12. 方法二：由sin B ＋cos2C ＝0得sin B ＝－cos2C ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－2C . 因为0<B 、C <π，所以B ＝3π2－2C 或B ＝2C －π2. 即B ＋2C ＝3π2或2C －B ＝π2. 由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0.所以sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin B (sin A －cos A )＝0.因为sin B ≠0，所以cos A ＝sin A .由A ∈(0，π)，知A ＝π4. 从而B ＋C ＝34π，知B ＋2C ＝3π2不合要求． 再由2C －B ＝12π，得B ＝π3，C ＝5π12. 所以A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∴函数f (x )最小正周期T ＝π，在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6、⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)∵当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，f (x )递增， ∴当x ＝π6时，f (x )的最大值等于m ＋3. 当x ＝0时，f (x )的最小值等于m ＋2.由题设知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4m ＋2>－4解之得，－6<m <1. 22．(本题满分14分)已知锐角三角形中，sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15. (1)求tan A tan B； (2)设AB ＝3，求AB 边上的高．[解析] (1)sin(A ＋B )＝35，sin(A －B )＝15， ∴⎩⎨⎧ sin A cos B ＋cos A sin B ＝35sin A cos B －cos A sin B ＝15⇔⎩⎨⎧ sin A cos B ＝25cos A sin B ＝15，⇔tan A tan B ＝2. (2)∵π2<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝35，∴tan(A ＋B )＝－34，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－34，将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得2tan 2B －4tan B －1＝9，解得tan B ＝2±62，舍去负值得，tan B ＝2＋62，∴tan A ＝2tan B ＝2＋ 6.设AB 边上的高为CD ，则AB ＝AD ＋DB ＝CD tan A ＋CD tan B ＝3CD 2＋6，由AB ＝3得CD ＝2＋6， 所以AB 边上的高为2＋ 6.[点评]第(1)小题除了考查两角和与差的三角函数公式外，还考查了方程的思想．第(2)小题除了上述解法还可以通过设AB边上的高CD为x，利用tan A＝2tan B，求出AD＝1，BD＝2后，列出x的方程求解．。

高一数学必修四测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1、已知sin()0,cos()0πθπθ+<-<，则角θ所在的象限是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、cos ,[,]62y x x ππ=∈-的值域是 （ ）A 、[0,1]B 、[1,1]- C、[0,2D 、1[,0]2-3、在ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ；若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B =（ ）A 、14B 、34 CD４、“12a =”是“函数22cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期委π”的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 ５、若角θ的终边过点P (4,3)(0)a a a -≠，则sin cos θθ+等于( ) A 、15-B 、15C 、15± D 、不能确定，与a的值有关6、函数()sin()6f x x π=+在(0,2)π上的图象与x 轴的交点的横坐标为（ ）A 、1166ππ-或B 、566ππ或C 、51166ππ或D 、766ππ或7、下列判断正确的是( )A 、若向量AB CD 与是共线向量，则A,B,C,D 四点共线B 、单位向量都相等C 、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同D 、模为0是一个向量方向不确定的充要条件8、如图，在菱形ABCD 中，下列式子成立的是 （ ） A 、AB CD = B 、AB BC = C 、AD CB = D 、AD BC =9、设s ，t 是非零实数，,i j 是单位向量，当两向量,s i t j ti s j +-的模相等时，,i j 的夹角是（ ） A 、6π B 、4πC 、3π D 、2π 10、点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =- （即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为||v 各单位）。

高一数学人教版必修4第一章测试题及答案（时间：90分钟.总分150分）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.-300°化为弧度是 （ ） A.34π- B.35π- C ．32π- D ．65π-2.为得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数)62sin(π+=x y 的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度B ．向右平移4π个单位长度C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度3.函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=4．若实数x 满足㏒x2=2+sin θ,则 =-++101x x ( )A. 2x-9B. 9-2xC.11D. 95.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则x y值为( )A.3B. - 3C.33 D. -336. 函数)32sin(π-=x y 的单调递增区间是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k Z k ∈ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1252,122ππππk k Z k ∈C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-65,6ππππk k Z k ∈ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-652,62ππππk k Z k ∈ 7．sin(－310π)的值等于（ ） A ．21 B ．－21C ．23D ．－238．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角9.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A ．0B ．[]1,1-C ．[]1,0D ．[]0,2-10.函数x x y sin sin -=的值域是 （ ）A ．[]1,1-B ．[]2,0C ．[]2,2-D ．[]0,2-11.函数x x y tan sin +=的奇偶性是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数12.比较大小，正确的是（ ） A ．5sin 3sin )5sin(<<- B ．5sin 3sin )5sin(>>-C ．5sin )5sin(3sin <-<D ． 5sin )5sin(3sin >->第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题6分，共30分） 13.终边在坐标轴上的角的集合为_________.14.时针走过1小时50分钟，则分钟转过的角度是______.15. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是________________.16.已知角α的终边经过点P(-5,12),则sin α+2cos α的值为______.17.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________________.三、解答题：本大题共4小题，共60分。

高一数学必修4模块测试题（人教A 版）时刻：120分钟 总分值：150分班级： 姓名： 学号：第I 卷（选择题, 共50分）一 、选择题（本大题共10小题，每题５分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的） 1．0sin 390=( ) A ．21 B ．21- C ．23 D ．23-2．以下区间中，使函数sin y x =为增函数的是 A ．[0,]π B ．3[,]22ππC ．[,]22ππ-D ．[,2]ππ3．以下函数中，最小正周期为2π的是( ) A ．sin y x = B ．sin cos y x x = C ．tan2xy = D ．cos 4y x = ４．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 那么x 等于 ( )A ．－1B ．－9C ．9D ．1 ５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- ６．要取得2sin(2)3y x π=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )A ．向左平移23π个单位B ．向右平移23π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位7．已知a ，b 知足：||3a =，||2b =，||4a b +=，那么||a b -=( )A B C ．3 D ．10８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 那么点P 的坐标为 ( ) A ．(2,7)-B ．4(,3)3C ．2(,3)3D ．(2,11)-9．已知2tan()5αβ+=, 1tan()44πβ-=, 则tan()4πα+的值为 ( ) A ．16 B ．2213 C ．322 D ．131810．函数)sin(ϕω+=x y 的部份图象如右图，那么ϕ、ω能够取的一组值是（ ）A. ,24ππωϕ==B. ,36ππωϕ==C. ,44ππωϕ==D. 5,44ππωϕ==第II 卷（非选择题, 共60分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．已知扇形的圆心角为0120，半径为3，那么扇形的面积是 12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，那么Ｄ点坐标为 13．函数y =的概念域是 .14. 给出以下五个命题： ①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=； ②函数tan y x =的图象关于点(2π,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数 ④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，那么12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有 （填写正确命题前面的序号）三、解答题（本大题共6小题，共80分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤） 15（本小题总分值12分） (1)已知4cos5，且为第三象限角，求sin 的值 (2)已知3tan =α，计算 ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值16（此题总分值12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----．（１）化简()fα（２）假设31cos()25πα-=，求()f α的值17（本小题总分值14分）已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =, (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.18（本小题总分值14分）已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时， (1) ka b +与3a b -垂直？(2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向仍是反向？19（本小题总分值14分）某口岸的水深y （米）是时刻t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是天天时刻与水经太长期观测， ()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+（1）依照以上数据，求出()y f t =的解析式（2）假设船舶航行时，水深至少要11.5米才是平安的，那么船舶在一天中的哪几段时刻能够平安的进出该港？20（本小题总分值14分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b = (1) 求函数()f x 的解析式; (2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求现在函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.参考答案:一、ACDAD DDDCC二、11.3π 12.(0,9) 13. [2,2]k k πππ+k Z ∈ 14. ①④ 三、15.解：（1）∵22cos sin 1αα+=，α为第三象限角∴ 3sin 5α===- （2）显然cos 0α≠∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337cos αααααααααααα---⨯-====++++⨯16.解：（1）()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )(tan )sin cos αααααα--=-=- （2）∵31cos()25πα-= ∴ 1sin 5α-= 从而1sin 5α=-又α为第三象限角∴cos α== 即()f α的值为5-17.解： (1) 1||||cos602112a b a b ==⨯⨯= (2) 22||()a b a b +=+22242113a ab b=-+=-⨯+=因此||3a b +=18.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥(3)a b -，得()ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-== （2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3k k k --=+=- 现在1041(,)(10,4)333ka b +=-=--，因此方向相反。

高一数学（人教版）必修四单元测试三角函数部分一、选择题（每题5分）1. 集合|,24k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，|,42k N x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭（ ） (A)M N = (B)M N ≠⊂ (C) N M ≠⊂ (D)M N φ= 2．下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ ）（A ）sin ||y x =-（B ）cos ||y x =（C ）sin(2)2y x π=+ （D ）cos(2)2y x π=+3．如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+的值是 （ ）（A ）．12-（B ）12 （C ）4．已知1sin 1a a θ-=+，31cos 1a aθ-=+，若θ为第二象限角，则下列结论正确的是（ ） （A ）.1(1,)3a ∈- （B ）. 1a = (C). 119a a ==或 (D). 19a = 5. 方程cos x x =在(,)-∞+∞内 （ ）(A).没有根 (B).有且只有一个根 (C).有且仅有两个根 (D).有无穷多个根 6. 设将函数()cos (0)f x x ωω=>的图像向右平移3π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）13（B ） 3 （C ） 6 （D ） 9 7.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位8.已知函数()sin(2),f x x ϕ=+其中ϕ为实数. 若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （ ）A ． ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B. ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ C ． 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ． ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题4分）9.函数sin y x ω=和函数tan (0)y x ωω=>的最小正周期之和为π,则ω=________ 10．已知α、β∈[－π2，π2]且α＋β<0，若sin α＝1－m ，sin β＝1－m 2，则实数m 的取值范围是_________________11．令ta n a θ=，sin b θ=，cos c θ=，若在集合π3π,44θθθ⎧-<<≠⎨⎩ππ0,,42⎫⎬⎭中，给θ取一个值，,,a b c三数中最大的数是b ，则θ的值所在范围是____________ 12.若函数()2sin (01)f x x ωω=<<在闭区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω的值为______ 13.22sin120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒=_______三、解答题（每题10分）14. 已知tan 2α=，计算①2cos()cos()2sin()3sin()2παπαπαπα+----+ ②33sin cos sin 2cos αααα-+15. 已知函数3)62sin(3)(++=πx x f（1（2）指出(x f16.已知在ABC ∆中,17sin cos 25A A +=①求sincos A A②判断ABC ∆是锐角三角形还是钝角三角形 ③求tan A 的值17.已知函数lg cos(2)y x =，（1）求函数的定义域、值域； （2）讨论函数的奇偶性；（3）讨论函数的周期性 （4）讨论函数的单调性高一数学（人教版）必修四单元测试三角函数部分参考答案一、选择题（每小题3分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分）9． 3 10.11． 3(,)24ππ 12. 3413. 1三．解答题：(本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14.解 (1)tan 2α=2sin cos 2tan 13cos 3sin 13tan 7αααααα-+-+∴==-++原式=（5分）(2)322322sin cos (sin cos )sin 2cos sin cos αααααααα-+=++原式（）3232tan tan 11tan 2tan 26αααα--==++ （10分） 15解：（1）图略 （5分） （2）04,3,6T A ππϕ===，22()3x k k Z ππ=+∈对称轴 3ππ对称中心（-+2k ,3）， （10分）16解：（1）17sin cos 25A A +=两边平方得 21712sin cos 25A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭336sin cos 625A A =-.......（3分） (2)17sin cos 125A A +=< 2A π∴>,ABC ∆为钝角三角形 ..................（6分）（3）2217sin cos 25sin cos 1A A A A ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 得24sin 257cos 25A A ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩24tan 7∴=- ....（10分）17. 解（1）定义域(,)()44k k k Z ππππ-++∈ 值域(,0]-∞ ....（3分）(2) 偶函数 ........（5分） （3）T π= ........（8分） （4）增区间(,)()4k k k Z πππ-+∈减区间(,)()4k k k Z πππ+∈ ........（10分）。

第九章综合测试一、选择题1.在ABC △中，若AB =3BC =，120C Ð=°，则AC =（ ）A .1B .2C .3D .42.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，若a =，2A B =，则cos B =（ ）A B C D3.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，若c =b =，120B =°，则a 等于（ ）A B .2C D 4.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =（ ）A .2pB .3pC .4pD .6p5.ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，则“ABC △为锐角三角形”是“222a b c +＞”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于（）A .1) m -B .1) mC .1) m -D .1) m7.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，若ABC △为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A .2a b=B .2b a=C .2A B=D .2B A=8.已知ABC △中，a b c ，，分别为角A ，B ，C 所对的边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++tan A B =×，则ABC △的面积为（ ）A B .C D9.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a b c ，，若22()6c a b =-+，3C p=则ABC △的面积（ ）A .3B C D .10.将一根长为12 m 的铁管AB 折成一个60°的角ACB Ð，然后将A 、B 两端用木条封上，从而构成三角形ACB 在不同的折法中，ABC △面积S 的最大值为（ ）A .9B .C .18D .11.已知ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a b c ，，，ABC △的外接圆的面积为3p ，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则ABC △的最大边长为（ ）A .2B .3C D .12.如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120 km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60 km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距，一架飞机从城市D 出发以360 km/h 的速度向城市C 飞行，飞行了15 min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B有（）A .120 kmB .C .D .二、填空题13.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，已知sin cos 0b A a B +=，则B =________.14.如图，在离地面高200 m 的热气球M 上，观察到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知60BAC Ð=°，则山的高度BC 为________m .15.如图在平面四边形ABCD 中，75A B C Ð=Ð=Ð=°，2BC =，则AB 的取值范围是________.16.在ABC △中，60ACB Ð=°，2BC ＞，1AC AB =+，当ABC △的周长最短时，BC 的长是________.三、解答题17.在ABC △中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-.（1）求b ，c 的值；（2）求sin()BC +的值.18.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，已知sin 0A A +=，a =2b =.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ^，求ABD △的面积.19.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别是a b c ，，，且cos cos sin A B Ca b c+=.（1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B .20.在ABC △角中，角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若sin cos a B A =.（1）求角A ；（2）若ABC △的面积为，5a =，求ABC △的周长.21.在ABC △中，a b c ，，分别为角A ，B ，C cos sin tan c B b C a C ö-=÷ø.（1）求角A ；（2）若ABC △的内切圆面积为4p ，求ABC △面积S 的最小值.22.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径，一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？第九章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】余弦定理2222cos AB BC AC BC AC C =+-×将各值代入，2340AC AC +-=，解得1AC =或4AC =-（舍去）选A 。

高一数学必修四第一章测试题及答案第一单元命题人：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分（时间：90分钟.总分150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本答题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

4&#61552;2&#61552;5&#61552;5&#61552;°化为弧度是（） A.&#61485; B.&#61485; C．&#61485; D．&#61485; 33362.为得到函数y&#61501;sin(2x&#61485;)的图象，只需将函数y&#61501;sin(2x&#61483;)的图像（） 36&#61552;&#61552;A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 44&#61552;&#61552;C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 223.函数y&#61501;sin(2x&#61483;)图像的对称轴方程可能是（） 3A．x&#61501;&#61485;&#61552;&#61552;&#61552;&#61552;6 B．x&#61501;&#61485;&#61552;12 C．x&#61501;&#61552;6 D．x&#61501;&#61552;12x4．若实数x满足㏒2=2+sin&#61553;,则 x&#61483;1&#61483;x&#61485;10&#61501;( ) A. 2x-9 B. 9-2x D. 9y5.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则值为( ) xB. - 3C.D. - 336. 函数y&#61501;sin(2x&#61485;)的单调递增区间是（） 3&#61552;&#61552;5&#61552;&#61689;&#61673;A．&#61674;k&#61552;&#61485;,k&#61552;&#61483; &#61690; k&#61646;Z 1212&#61675;&#61691;&#61552;5&#61552;&#61689;&#61673;B．&#61674;2k&#61552;&#614 85;,2k&#61552;&#61483;&#61690; 1212&#61691;&#61675;k&#61646;Z&#61552;5&#61552;&#61689;&#61673;C．&#61674;k&#61552;&#61485;,k&#61552;&#61483; &#61690; k&#61646;Z 66&#61691;&#61675;7．sin(－&#61552;5&#61552;&#61689;&#61673;D．&#61674;2k&#61552;&#61485;,2k&#61552;&#6148 3;&#61690; k&#61646;Z 66&#61691;&#61675;31011π)的值等于（） A． B．－ C． D．－223228．在△ABC中，若sin(A&#61483;B&#61485;C)&#61501;sin(A&#61485;B&#61483;C)，则△ABC 必是（）A．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 B．直角三角形 D．等腰直角三角9.函数y&#61501;sinx&#61485;sinx的值域是（）A．0 B．&#61531;&#61485;1,1&#61533; C．&#61531;0,1&#61533;D．&#61531;&#61485;2,0&#61533;10.函数y&#61501;sinx&#61485;sinx的值域是（）A．&#61531;&#61485;1,1&#61533; B．&#61531;0,2&#61533; C．&#61531;&#61485;2,2&#61533; D．&#61531;&#61485;2,0&#61533;11.函数y&#61501;sinx&#61483;tanx的奇偶性是（）A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数12.比较大小，正确的是（）A．sin(&#61485;5)&#61500;sin3&#61500;sin5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题6分，共30分）13.终边在坐标轴上的角的集合为_________.14.时针走过1小时50分钟，则分钟转过的角度是______.15. 已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是C．sin3&#61500;sin(&#61485;5)&#61500;sin5 B．sin(&#61485;5)&#61502;sin3&#61502;sin5 D． sin3&#61502;sin(&#61485;5)&#61502;sin5 ________________.16.已知角&#61537;的终边经过点P(-5,12),则sin&#61537;+2cos&#61537;的值为______.17.一个扇形的周长是6厘米，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是________________.三、解答题：本大题共4小题，共60分。

最新人教版高中数学必修4各单元检测试题（全册共3单元附解析）第一单元评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y＝tan x2是()A．最小正周期为4π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为4π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：该函数为奇函数，其最小正周期T＝π12＝2π.答案：B2．角α终边经过点(1，－1)，则cos α＝() A．1 B．－1C.22D．－22解析：角α终边经过点(1，－1)，所以cos α＝112＋（－1）2＝22.答案：C3．函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图象是()解析：取x ＝0，则y ＝1，排除C 、D ；取x ＝π2，则y ＝0，排除A ，选B.答案：B4．把函数f (x )＝sin 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g (x )的图象，则g (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4解析：由题意知g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×12x ＋1＝sin x ＋1.故T ＝2π. 答案：A5．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．b >c >aD ．a >c >b解析：a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos 234π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－334π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－8π－π4＝－sin π4＝－22，所以b >a >c . 答案：A6．设g (x )的图象是由函数f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A ．1B ．－12C ．0D ．－1解析：由f (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位得到的是g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π＝－1.故选D. 答案：D7．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的扇形面积是( )A.1sin 1B.1sin21C.1cos21D ．tan 1解析：作OC ⊥AB ，垂足为C ，在△AOC 中，sin 1＝1r ，所以r＝1sin 1，所以S ＝12r 2α＝12×1sin21×2＝1sin21，故选B.答案：B8．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D.答案：A9．设f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于( )A. 2 B ．－22C ．0D.22解析：f (n )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π4的周期T ＝4；且f (1)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝cos 3π4＝－22，f (2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－22，f (3)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋π4＝22，f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝22.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝－22. 答案：B10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：由y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝0，即3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0， 所以8π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，所以φ＝k π＋π2－8π3(k ∈Z)，|φ|的最小值为π6.答案：A11．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，则下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的周期是π4B ．函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π3C ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6上为减函数 D ．函数f (x )是偶函数解析：当x ＝π3时，f (x )＝1，所以x ＝π3是函数图象的一条对称轴．答案：B12．函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，则满足此条件的一个φ值为( ) A.π12 B.π6 C.π3D.5π6解析：令2x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，解得x ＝k π2＋π4－φ2(k ∈Z)，因为函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎪⎫π6，π3内，所以令π6＜k π2＋π4－φ2＜π3(k ∈Z)，解得k π－π6＜φ＜k π＋π6(k ∈Z)，四个选项中只有A 符合，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P (tan α，cos α)在第三象限， 所以tan α<0，cos α<0，则α是第二象限角． 答案：二14．已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________．解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－4315．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 答案：－116．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．解析：f (x )有两个零点，即m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的实根．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，结合正弦曲线知m ∈[1，2)．答案：[1，2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0<α<π2，sin α＝45.(1)求tan α的值；(2)求sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）的值．解：(1)因为0<α<π2，sin α＝45，所以cos α＝35，故tan α＝43.(2)sin （α＋π）－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin （－α）＋cos （π＋α）＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝ sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝4.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a ，a 为常数．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋a . 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以x ＝0时，f (x )取得最小值，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋a ＝－2，故a ＝－1.19．(本小题满分12分)(2015·湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，||φ<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎪2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因此g (x )＝5sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0.20．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最大值为3， 所以A ＋1＝3，即A ＝2，因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12，因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，故α＝π3.21．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|ω|<π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在(－2π，2π)上的递增区间． 解：(1)由图可知，其振幅为A ＝23， 由于T2＝6－(－2)＝8，所以周期为T ＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8，此时解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.因为点(2，－23)在函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ的图象上，所以π8×2＋φ＝2k π－π2，所以φ＝2k π－3π4(k ∈Z)．又|φ|<π，所以φ＝－3π4. 故所求函数的解析式为y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4. (2)由2k π－π2≤π8x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得16k ＋2≤x ≤16k ＋10(k ∈Z)，所以函数y ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4的递增区间是[16k ＋2，16k ＋10](k ∈Z)．当k ＝－1时，有递增区间[－14，－6]，当k ＝0时，有递增区间[2，10]，与定义区间求交集得此函数在(－2π，2π)上的递增区间为(－2π，－6]和[2，2π]．22．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z.因此－π<φ<0，所以当k ＝－1时得φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4.由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π8≤x ≤k π＋58π，(k ∈Z)所以函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.(3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4知：令z ＝2x －34π，x ∈[0，π]①列表如下：第二单元评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·四川卷)向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：因为a ∥b ，所以2×6－4x ＝0，解得x ＝3. 答案：B2．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(1，x )，若2b －a 与a 垂直，则|a |＝( )A ．1 B. 2 C ．2D ．4解析：由题意得，2b －a ＝2(1，x )－(－1，x )＝(3，x )， 因为(2b －a )⊥a ， 所以－1×3＋x 2＝0，即x 2＝3，所以|a |＝（－1）2＋3＝2. 答案：C3．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于( ) A.BC → B.AB → C.AC →D.AM →解析：原式＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＋BC →＝AC →. 答案：C4．已知O (0，0)，A (2，0)，B (3，1)，则(OB →－OA →)·OB →＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2D ．－4解析：由已知得OA →＝(2，0)，OB →＝(3，1)，OB →－OA →＝(1，1)，则(OB →－OA →)·OB →＝(1，1)·(3，1)＝3＋1＝4.答案：A5．已知OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，OP →＝(x ，0)，则当AP →·BP →最小时，x 的值是( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1解析：AP →＝OP →－OA →＝(x －2，－2)，BP →＝OP →－OB →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1当x ＝3时，AP →·BP →取到最小值． 答案：B6．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)∪(－1，1)解析：由条件知，a ·b ＝λ－1＜0，所以λ＜1， 当a 与b 反向时，则存在负数k ，使b ＝ka ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝－k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1.所以λ＜1且λ≠－1.答案：D7．(2015·课标全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →. 答案：A8．若四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则该四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形解析：由AB →＋CD →＝0即AB →＝DC →可得四边形ABCD 为平行四边形，由(AB →－AD →)·AC →＝0即DB →·AC →＝0可得DB →⊥AC →，所以四边形一定是菱形．答案：C9．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝50，则|b |＝( ) A ．0 B ．2 C ．5 D ．25解析：因为a ＝(2，1)，则有|a |＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b |＝50， 所以|a |2＋2a·b ＋|b |2＝50， 5＋2×10＋|b |2＝50. 所以|b |＝5.答案：C10．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC →.答案：D11．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2解析：根据题意可知若a ，b 共线，可得mq ＝np ，所以a ⊙b ＝mq －np ＝0，所以A 正确；因为a ⊙b ＝mq －np ，而b ⊙a ＝np －mq ，故二者不相等，所以B 错误；对于任意的λ∈R ，(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )＝λmq －λnp ，所以C 正确；(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2＋n 2p 2－2mnpq ＋m 2p 2＋n 2q 2＋2mnpq ＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，所以D 正确，故选B.答案：B12．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B >π2，所以A >π2－B ，且A ，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin A >sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，所以p ·q ＝sin A －cos B >0，故p ，q 的夹角为锐角．答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(ta ＋b )，则实数t 的值为________．解析：因为a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，所以ta ＋b ＝(t ＋6，－t －4)．又a ⊥(ta ＋b )，则a ·(ta ＋b )＝0，即t ＋6＋t ＋4＝0，解得t ＝－5. 答案：－514．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析：因为AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)，因为MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →.又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1615．若a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，a ＋c ＝0，则c 在b 方向上的投影为________．解析：a ＋c ＝(2，3)＋c ＝0，所以c ＝(－2，－3)， 设c 与b 夹角为θ，则c 在b 方向上的投影为|c |·cos θ＝ |c |·c·b |c ||b |＝c·b |b |＝（－2，－3）·（－4，7）（－4）2＋72＝－655. 答案：－65516．若两个向量a 与b 的夹角为θ，则称向量“a ×b ”为“向量积”，其长度|a ×b |＝|a ||b |·sin θ，若已知|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4，则|a ×b |＝________．解析：由|a |＝1，|b |＝5，a·b ＝－4得cos θ＝－45，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝35.由此可得|a ×b |＝1×5×35＝3.答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示，平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .试用a ，b 为基底表示向量AM →与HF →.解：因为平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，所以AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12DC →＝AD →＋12AB →＝b ＋12a ；HF →＝AF →－AH →＝AB →＋BF →－12AD →＝a ＋13b －12b ＝a －16b .18．(本小题满分12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．解：|c |2＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°. 所以－12<cos θ<1，所以13<|c |<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．19．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．解：以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)．又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →， 所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5. 20．(本小题满分12分)在四边形ABCD 中，AB →＝(6，1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，BC →∥DA →.(1)求x 与y 的关系式；(2)若AC →⊥BD →，求x 、y 的值以及四边形ABCD 的面积． 解：如图所示．(1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4，y －2)，所以DA →＝－AD →＝(－x －4，2－y )．又因为BC →∥DA →，BC →＝(x ，y )，所以x (2－y )－(－x －4)y ＝0，即x ＋2y ＝0.(2)由于AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6，y ＋1)，BD →＝BC →＋CD →＝ (x －2，y －3)．因为AC →⊥BD →，所以AC →·BD →＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0， 所以y 2－2y －3＝0，所以y ＝3或y ＝－1.当y ＝3时，x ＝－6，于是BC →＝(－6，3)，AC →＝(0，4)，BD →＝(－8，0)．所以|AC →|＝4，|BD →|＝8， 所以S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16.当y ＝－1时，x ＝2，于是有BC →＝(2，－1)，AC →＝(8，0)，BD →＝(0，－4)．所以|AC →|＝8，|BD →|＝4，S 四边形ABCD ＝16.综上可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，S 四边形ABCD ＝16.21．(本小题满分12分)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)．(1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y 使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线．(2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.①由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359.所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |， 此时xy ＝－1或xy ＝359.22．(本小题满分12分)已知三角形ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC 于点F ，连接DF .求证：∠ADB ＝∠FDC (用向量方法证明)．证明：如图所示，建立直角坐标系，设A (2，0)，C (0，2)，则D (0，1)．于是AD →＝(－2，1)，AC →＝(－2，2)． 设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0， 即(x ，y )·(－2，1)＝0， 所以－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x ，2－y )， 因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，所以F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，DC →＝(0，1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos ∠PDC ＝53cos ∠FDC .所以cos ∠FDC ＝55， 又cos ∠ADB ＝DB →·DA →|DB →||DA →|＝15＝55，所以cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ＝55，故∠ADB ＝∠FDC .第三单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2sin 215°－1的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：2sin 215°－1＝－(1－2sin 215°)＝－cos 30°＝－32.答案：D2．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin x ，x ∈R ，则f (x )的最小正周期是( )A ．πB ．2π C.π2D ．2解析：f (x )＝sin 2x －sin x cos x ＝1－cos 2x 2－12sin 2x ＝12－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.答案：A3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝35，－π2＜α＜0，则sin 2α的值是( )A.2425 B.1225 C ．－1225D ．－2425解析：由已知得sin α＝－35，又－π2＜α＜0，故cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×45＝－2425.答案：D4.2cos 10°－sin 20°cos 20°的值为( )A. 3B.62 C ．1 D.12解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2（cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案：A5．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：△ABC 中，C ＝120°，得A ＋B ＝60°， 所以(tan A ＋tan B )＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝ 3(1－tan A tan B )＝233. 所以tan A tan B ＝13.答案：B6．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析：由α为锐角，cos α＝55，得sin α＝255，所以tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝41－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－431＋43＝－17，选B.答案：B7．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( )A.32 B ．－32C ．±32D ．±12解析：因为sin θ－cos θ＝22， 所以(sin θ－cos θ)2＝12，即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12.因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin θ >cos θ， 所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－32.答案：B8．已知sin α－cos α＝－52，则tan α－1tan α的值为( )A ．－5B ．－6C ．－7D ．－8解析：将方程sin α－cos α＝－52两边平方，可得1－sin 2α＝54，即sin 2α＝－14，则tan α＋1tan α＝tan 2＋1tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α2＋1sin αcos α＝2sin 2α＝2－14＝－8. 答案：D9．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( ) A.－43－310B.43－310C.12D.32解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，且0<x <π，得0<x ＋π6<π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝45， 所以sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：B10．在△ABC 中，cos A ＝55，cos B ＝31010，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：因为cos A ＝55，所以sin A ＝255.同理sin B ＝1010.因为cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－55×31010＋255×1010＝－5050<0， 所以C 为钝角． 答案：B11．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12的最大值为( ) A.12 B.14 C ．1D.22解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时函数有最大值，最大值为12，故选A.答案：A12．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R.在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3 C ．πD ．2π解析：由题意得函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)，又曲线y ＝f (x )与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f (x )的最小正周期是T ＝2πω＝π.答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知2cos2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．解析：因为2cos2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，所以A ＝2，b ＝1.答案：2 114．已知向量a ＝(4，3)，b ＝(sin α，cos α)，且a ⊥b ，那么tan 2α＝________．解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 所以4sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 答案：－24715．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， 所以原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tanπ5tan α－tanπ5. 又因为tan α＝2tan π5，所以原式＝2tan π5＋tanπ52tan π5－tanπ5＝3.答案：316.我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于________．解析：题图中小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，故每个直角三角形的面积为6.设直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，则有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝25，12ab ＝6，所以两条直角边的长分别为3，4.则cos θ＝45，cos 2θ＝2cos2θ－1＝725.答案：725三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知0＜α＜π2，sin α＝45.(1)求sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α的值；(2)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4的值．解：(1)由0＜α＜π2，sin α＝45，得cos α＝35.所以sin2α＋sin 2αcos2α＋cos 2α＝sin2α＋2sin αcos α3cos2α－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋2×45×353×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝20.(2)因为tan α＝sin αcos α＝43，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－11＋tan α＝43－11＋43＝17. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.(1)求f (x )的定义域；(2)若角α在第一象限，且cos α＝35，求f (α)．解：(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2≠0，得x ＋π2≠k π(k ∈Z)，故f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π2，k ∈Z .(2)由已知条件得sin α＝1－cos2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45.从而f (α)＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2αcos π4＋sin 2αsin π4cos α＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos2α＋2sin αcos αcos α＝2(cos α＋sin α)＝145.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解：(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减． 20．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(3，－1)且m·n ＝1，且A 为锐角．(1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域．解：(1)由题意得m·n ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1，1]，因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32，当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3，所以所求函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.21．(本小题满分12分)设向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，函数f (x )＝a ·(a ＋b )．(1)求函数f (x )的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f (x )≥32成立的x 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝a ·(a ＋b )＝a ·a ＋a ·b ＝sin 2x ＋cos 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋12sin 2x ＋12(cos 2x ＋1)＝32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最大值为32＋22，最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )≥32⇔32＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥32⇔sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥0⇔2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π⇔k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z)．所以使f (x )≥32成立的x 的取值范围是⎩⎭⎪8822．(2014·福建卷)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解：法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，88所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.。

第一、二章综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32[答案] C[解析] 由AC →＝25AB →知，|AC →||BC →|＝23，且方向相反，∴AC →＝－23BC →，∴λ＝－23.2．要想得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只须将y ＝cos x 的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移5π6个单位D ．向左平移5π6个单位[答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6，∴将y ＝cos x 的图象向右移5π6个单位可得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．3．设e 1与e 2是不共线向量，a ＝k e 1＋e 2，b ＝e 1＋k e 2，若a ∥b 且a ≠b ，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．±1 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴存在实数λ，使a ＝λb (b ≠0)， ∴k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，∵e 1与e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0λk －1＝0，∴λ＝k ＝±1，∵a ≠b ，∴k ≠1.[点评] e 1与e 2不共线，又a ∥b ，∴可知1k ＝k1，∴k ＝±1，∵a ≠b ，∴k ＝－1.一般地，若e 1与e 2不共线，a ＝m e 1＋n e 2，b ＝λe 1＋μe 2，若a ∥b ，则有m λ＝n μ. 4．若sin θ＝m ，|m |<1，－180°<θ<－90°，则tan θ等于( ) A.m1－m2B ．－m1－m2C ．±m1－m2D ．－1－m2m[答案] B[解析] ∵－180°<θ<－90°， ∴sin θ＝m <0，tan θ>0， 故可知tan θ＝－m 1－m2.5．△ABC 中，AB →·BC →<0，BC →·AC →<0，则该三角形为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 [答案] C[解析] 由AB →·BC →<0知，∠ABC 为锐角；由BC →·AC →<0知∠ACB 为钝角，故选C. 6．设α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] ∵α为第二象限角，∴α2为第一或三象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2≤0，∴选C.7．已知点A (2，－1)，B (4,2)，点P 在x 轴上，当PA →·PB →取最小值时，P 点的坐标是( ) A ．(2,0) B ．(4,0) C.⎝⎛⎭⎪⎫103，0D ．(3,0) [答案] D[解析] 设P (x,0)，则PA →＝(2－x ，－1)，PB →＝(4－x,2)，PA →·PB →＝(2－x )(4－x )－2＝x 2－6x ＋6＝(x －3)2－3，当x ＝3时，取最小值－3，∴P (3,0)．8．O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B[解析] ∵|OB →－OC →|＝|OC →＋OB →－2OA →|，∴|CB →|＝|AB →＋AC →|，由向量加法的平行四边形法则知，以AB 、AC 为邻边的平行四边形两对角线长度相等，∴AB →⊥AC →.9．如图是函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)一个周期的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)的值等于( )A. 2B.22C ．2＋ 2D ．2 2 [答案] A[解析] 由图知：T ＝8＝2πω，∴ω＝π4，又A ＝2，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋(5)＋f (6)＝2sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋sin 4π4＋sin 5π4＋sin 6π4＝2sin 3π4＝ 2.[点评] 观察图象可知f (x )的图象关于点(4,0)中心对称，故f (3)＋f (5)＝0，f (2)＋f (6)＝0，又f (4)＝0，故原式＝f (1)＝ 2.10．已知y ＝A sin(ωx ＋φ)在同一周期内，x ＝π9时有最大值12，x ＝4π9时有最小值－12，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6B ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6D ．y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6[答案] B[解析] 由条件x ＝π9时有最大值12，x ＝4π9时有最小值－12可知，A ＝12，T 2＝4π9－π9，∴T ＝2π3，∴ω＝3，∴y ＝12sin(3x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π9，12代入得，12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ， ∴π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6， 取k ＝0知选B.11．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.13 [答案] B[解析] 如图，以OA 、OB 为邻边作▱OADB ，则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知，OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →，∴OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，∴S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.12．已知sin α＋cos α＝713 (0<α<π)，则tan α＝( )A ．－512B ．－125C.512D ．－125或－512[答案] B[解析] 解法一：∵sin α＋cos α＝713，0<713<1,0<α<π，∴π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0，且|sin α|>|cos α|， ∴tan α<0且|tan α|>1，故选B.解法二：两边平方得sin αcos α＝－60169，∴tan αtan 2α＋1＝－60169，∴60tan 2α＋169tan α＋60＝0， ∴(12tan α＋5)(5tan α＋12)＝0， ∴tan α＝－125或－512，∵0<α<π，sin α＋cos α＝713>0，∴tan α＝－125. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为________． [答案] 8πcm 2[解析] ∵72°＝π180×72＝2π5，∴l ＝2π5×20＝8π，S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．14．已知a ＝(3,4)，b ＝(2，m )且a 与b 夹角为锐角，则m 的取值范围是________． [答案] m >－32且m ≠83[解析] a ·b ＝6＋4m >0，∴m >－32，又当a 与b 同向时，23＝m 4，∴m ＝83，故m >－32且m ≠83.15．集合A ＝{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }，B ＝{x |sin x >12}，则A ∩B ＝________.[答案] {x |π6＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z }∪{x |3π4＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }[解析] B ＝{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．如图可求A ∩B .16．已知θ为第三象限角，1－sin θcos θ－3cos 2θ＝0，则5sin 2θ＋3sin θcos θ＝________. [答案]265[解析] ∵1－sin θcos θ－3cos 2θ＝0， ∴sin 2θ－sin θcos θ－2cos 2θ＝0， ∴(sin θ－2cos θ)(sin θ＋cos θ)＝0， ∵θ为第三象限角，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2，∴5sin 2θ＋3sin θcos θ＝5tan 2θ＋3tan θtan 2θ＋1＝265. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝－12，求cos(θ＋π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ[]cos(3π－θ)－1＋cos(θ－2π)cos(－θ)·cos(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π2的值．[解析] ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2＝－12，∴sin θ＝12，原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ·(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本题满分12分)已知A (－1,2)，B (2,8)． (1)若AC →＝13AB →，DA →＝－23AB →，求CD →的坐标；(2)设G (0,5)，若AE →⊥BG →，BE →∥BG →，求E 点坐标． [解析] (1)∵AB →＝(3,6)，AC →＝13AB →＝(1,2)，DA →＝－23AB →＝(－2，－4)，∴C (0,4)，D (1,6)，∴CD →＝(1,2)．(2)设E (x ，y )，则AE →＝(x ＋1，y －2)，BE →＝(x －2，y －8)，∵BG →＝(－2，－3)，AE →⊥BG →，BE →∥BG →，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2(x ＋1)－3(y －2)＝0－3(x －2)＋2(y －8)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2213y ＝3213.∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2213，3213.19．(本题满分12分)在▱ABCD 中，点M 在AB 上，且AM ＝3MB ，点N 在BD 上，且BN →＝λBD →，C 、M 、N 三点共线，求λ的值．[证明] 设AB →＝e 1，AD →＝e 2，则BD →＝e 2－e 1， BN →＝λBD →＝λ(e 2－e 1)，MB →＝14AB →＝14e 1，BC →＝AD →＝e 2，∴MC →＝MB →＋BC → ＝14e 1＋e 2， MN →＝MB →＋BN →＝14e 1＋λ(e 2－e 1)＝λe 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－λe 1，∵M 、N 、C 共线，∴MN →与MC →共线，∵e 1与e 2不共线，∴14－λ14＝λ1，∴λ＝15.20．(本题满分12分)是否存在实数a ，使得函数y ＝sin 2x ＋a cos x －1＋58a 在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上最大值为1？若存在，求出对应的a 值，若不存在，说明理由．[解析] y ＝－cos 2x ＋a cos x ＋5a 8＝－(cos x －a2)2＋a 24＋5a8，∵0≤x ≤π2，∴0≤cos x ≤1，∵最大值为1，∴(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧0≤a 2≤1a 24＋5a8＝1或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧a2<05a8＝1或(Ⅲ)⎩⎪⎨⎪⎧a2>1－1＋a ＋5a8＝1，由(Ⅰ)解得a ＝89－54，(Ⅱ)(Ⅲ)无解， ∴a ＝89－54. [点评] 此类问题一般把cos x (或sin x )看成未知数整理为二次函数，然后由x 的范围，得出cos x (或sin x )的取值范围A 后，分为①A 在对称轴左侧(或右侧)，用单调性讨论；②对称轴在A 内，在顶点处取得最值．试一试解答下题：是否存在实数λ，使函数f (x )＝－2sin 2x －4λcos x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的最小值是－32？若存在，求出对应的λ值，若不存在，试说明理由．答案为λ＝58或12.21．(本题满分12分)(1)角α的终边经过点P (sin150°，cos150°)，求tan α. (2)角α的终边在直线y ＝－3x 上，求sin α、cos α.[解析] (1)∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴tan α＝－3212＝－ 3.(2)在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝－3x ，P 点到原点距离r ＝x 2＋y 2＝10|x |，当x >0时，r ＝10x ，∴sin α＝y r＝－3x10x＝－31010，cos α＝xr＝x10x＝1010， 当x <0时，r ＝－10x ，∴sin α＝y r ＝31010，cos α＝xr ＝－1010. 22．(本题满分14分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；(3)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ [解析] (1)由图知A ＝3，34T ＝4π－π4＝15π4，∴T ＝5π，∴ω＝25，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ，∵过(4π，－3)，∴－3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π5＋φ，∴8π5＋φ＝2k π－π2，∴φ＝2k π－21π10， ∵|φ|<π2，∴φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 (2)由2k π＋π2≤25x －π10≤2k π＋3π2得， 5k π＋3π2≤x ≤5k π＋4π (k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5k π＋3π2，5k π＋4π (k ∈Z )． 函数f (x )的最大值为3，取到最大值时x 的集合为{x |x ＝5k π＋3π2，k ∈Z }． (3)解法一：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10 ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－3π5 ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25⎝⎛⎭⎪⎫x －3π2， 故至少须左移3π2个单位才能使所对应函数为偶函数． 解法二：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 5－π10的图象的对称轴方程为25x －π10＝k π＋π2，∴x ＝5k π2＋3π2，当k ＝0时，x ＝3π2，k ＝－1时，x ＝－π，故至少左移3π2个单位． 解法三：函数f (x )在原点右边第一个最大值点为2x 5－π10＝π2，∴x ＝3π2，把该点左移到y 轴上，需平移3π2个单位． 解法四：观察图象可知，欲使函数图象左移后为偶函数，由其周期为5π可知，须把⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0点变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4，0或把点(4π，－3)变为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2，－3等，可知应左移3π2个单位．。