2019-2020学年新教材人教A版数学必修第一册课后作业39三角函数的概念 Word版含解析

根据已知数据作出散点图，如下图所示．
y
由数据表和散点图可 22
知，振子振动时位移的最 20
18
大值为20mm，因此A＝20；16
14
振子振动的周期为0.6s，


即 = 0.6 解得ω＝ ；


再由初始状态(t＝0)振子
的位移为-20，可得sinφ

=－1，因此φ ＝- ．

所以振子位移关于时间
的函数解析式为

y=20sin( t

-

),

12
10
8
6
4
2
–2 O
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
–18
–20
–22
t∈[０，＋∞）．
x
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这
些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正
然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最
后利用这个函数模型来解决相应的实际问
题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往
往需要使用信息技术．
课堂
小结
1.知识清单：
(1)简谐运动.
(2)函数的“拟合”.
(3)三角函数在物理中的应用.
2.方法归纳：数学建模、数形结合.
3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归
6
7
8
9
10
11
水
5.00 6.21 7.12 7.49 7.24 6.42 5.25 4.01 3.02 2.52 2.65 3.37

2
2
上都是增函数，其值从－1增大到1；
而在每个闭区间
[
2
2k ,
3
2
2k ](k Z )
上都是
减函数，其值从1减小到－1。
5.正弦函数的最值
探究：正弦函数的最大值和最小值
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值：当 x 2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
正弦函数 y sin x(x R)
y
最小正周期是2
· · -2
-
o
· · · ·x
2 3
4
x 结合图像：在定义域内任取一个 ，
由诱导公式可知： sin(x 2k ) sin x
即 f (x 2k ) f (x)
☺正弦函数y sin x(x R)是周期函数，周期是2k
函数 y Asin(x ), x R 的周期
2
T 2
（其中 A,, 为常数且A≠0)
y Asin(x ), x R的周期仅与自变量的系 数有关
练习：
求下列函数的周期
(1)y sin 3 x, x R 4
(2)y sin 4x, x R
(3)y 1 sin x, x R 2
(4)y sin(1 x ), x R
34
T 2 2 4 8
都有x D ，且f(x+x T)T=f(Dx)，那么函数f(x)就
叫做周期函数
非零常数T叫做这个函数的周期
2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周 期中存在一个最小的正数，那么这个最小

1 A.2
B.－12
2 C. 2
D.－
2 2
解析
cos
405°＝cos(45°＋360°)＝cos
45°＝
2 2.
(2)sin－116π＋cos125π·tan
1 4π＝____2____.
解析 原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋25π·tan(4π＋0)
＝sinπ6＋cos25π×0＝12.
(2)cos
94π＝cosπ4＋2π＝cos
π4＝
2 2 >0.
(3)tan
－116π＝tan
－161π＋2π＝tan
π6＝
3 3 >0.
(4)sin 1 480°10′＝sin(4×360°＋40°10′)＝sin 40°10′>0.
(5)tan －178π＝tan －π8－2π＝tan －π8<0.
三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求.
训练1 判断下列三角函数值的符号：
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin
αα α·cos2·tan2(α
为三角形的内角).
解 (1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π，
∴3，4，5分别是第二、三、四象限角，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
3.做一做 若角θ是第四象限角，判断sin θ与tan θ的符号. 提示 sin θ<0且tan θ<0.
二、诱导公式一
1.问题 当角α分别为60°，420°，－300°时，它们的终边有什么特点？它
们的三角函数值呢？ 提示 终边重合，它们的三角函数值相等.

第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 -5.1.1 任意角 ......................................................................................................... - 1 - 5.1.2 弧度制 ....................................................................................................... - 10 - 5.2 三角函数的概念................................................................................................... - 18 -5.2.1 三角函数的概念 ........................................................................................ - 18 - 5.2.2 同角三角函数的基本关系 ........................................................................ - 28 - 5.3 诱 导公式(1) ........................................................................................................ - 36 - 5.3 诱 导公式(2) ........................................................................................................ - 44 - 5.4 三角函数的图象与性质 ....................................................................................... - 51 -5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 .................................................................... - 51 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 60 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 67 - 5.4.3 正切函数的性质与图象 ............................................................................ - 76 - 5.5 三角恒等变换..................................................................................................... - 101 -5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................................. - 101 - 5.5.2 简单的三角恒等变换 .............................................................................. - 108 - 5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ......................................................................................... - 116 - 5.7 三角函数的应用................................................................................................. - 135 -5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角内 容 标 准学 科 素 养1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理2.能区分正角、负角和零角．3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角.授课提示：对应学生用书第76页[教材提炼]知识点一 角的概念预习教材，思考问题⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？知识梳理(1)角的概念角描述定义角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形表示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α(2)角的分类按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转称它形成了一个零角(3)相等角与相反角①把角的概念推广到了任意角(any angle)，包括正角、负角和零角．设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O′A′绕端点O′旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β.②设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β.③把射钱OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.知识点二象限角预习教材，思考问题角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非半轴重合，如何借助象限来定义角？知识梳理角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．分别为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．知识点三终边相同的角预习教材，思考问题30°与390°、－330°的终边有什么关系？知识梳理所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[自主检测]1．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}D．{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}解析：由终边相同的角的定义可知与30°角终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}．答案：A2．把－1 485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°答案：D3．若α是锐角，则180°＋α是第________象限角．解析：若α是锐角，则0°<α<90°，所以180°<α＋180°<270°，从而α＋180°是第三象限角．答案：三4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得13≤k<43.又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.答案：240°授课提示：对应学生用书第77页探究一任意角的概念[例1](1)下列说法正确的有________．(填序号)①零角的始边和终边重合．②始边和终边重合的角是零角．③如图，若射线OA为角的始边，OB为角的终边，则∠AOB＝45°；若射线OB为角的始边，OA为角的终边，则∠BOA＝－45°.④绝对值最小的角是零角．(2)经过5小时25分钟，时钟的分针和时针各转多少度？[解析](1)根据角的概念知①③④正确，②不正确，因为360°角的始边和终边也重合．(2)时针走一周用12小时，即12小时转－360°，那么时针每小时应转－30°，而5小时25分钟为5512小时，而分针每小时转－360°，所以，时针转过的角度为－(5＋512)×30°＝－162.5°；分针转过的角度为－⎝⎛⎭⎪⎫5＋512×360°＝－1 950°.[答案](1)①③④(2)见解析求解任意角问题的步骤(1)定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．(2)定大小：根据旋转角度的绝对量确定角的大小．写出下列说法所表示的角：(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角；(3)向右转体3周．解析：(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分钟，分针转过的角为900°.(3)向右转体即按顺时针方向旋转，因此向右转体3周，表示的角为－1 080°.探究二象限角与终边相同的角[例2][教材P170例1、例2拓展探究](1)与－2 010°终边相同的最小正角是________．(2)下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角β的集合S，并求出S中适合不等式－360°≤β<360°的元素．①60°；②－21°.(3)写出终边在x轴上的角的集合．[解析](1)因为－2 010°＝－6×360°＋150°，所以与－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)①60°是第一象限角，S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：60°＋(－1)×360°＝－300°；60°＋0×360°＝60°.②－21°是第四象限角，S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β<360°的元素是：－21°＋0×360°＝－21；－21°＋1×360°＝339°.(3)终边在x轴的非负半轴的角的集合S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}．终边在x轴的非正半轴的角的集合S2＝{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}．∴终边在x轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝k·360°，k∈Z}∪{β|β＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝2k·180°＋180°，k∈Z}＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝n·180°，n∈Z}．[答案](1)150°(2)(3)见解析1.判断α是第几象限角的三个步骤第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°，k∈Z}2．求解给定范围内终边相同的角的方法先写出与角α终边相同的角β，即：β＝α＋k·360°(k∈Z)，根据给定的范围建立关于k的不等式，解出k的范围，再根据k∈Z确定β.3．已知角的终边所在直线或射线求角的集合方法先写出0°～360°内的射线所在的角的集合，再将各个集合进行合并．探究三区域角的写法[例3](1)如图，已知角α的终边在图中阴影部分所表示的区域内(包括边界)，用集合表示角α的取值范围为________．(2)写出角的终边落在图中阴影区域内的角的集合(包括边界)．[解析](1)若角α的终边落在OA上，则α＝－60°＋360°·k，k∈Z.若角α的终边落在OB上，则α＝30°＋360°·k，k∈Z.所以角α的终边在图中阴影区域内时，－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z.故角α的取值范围为{α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)在0°～360°范围内，45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，所以S1＝{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}，＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}，S2＝{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}，所以S1∪S2＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．[答案](1){α|－60°＋360°·k≤α≤30°＋360°·k，k∈Z}(2)见解析由角的终边的范围求角的集合的步骤(1)写出临界处终边所对应的角，一般在0°～360°内找一个．(2)按照所给的范围写出角的范围．(3)每个临界角都加上360°·k，即得范围内的角的集合．如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角θ的集合(不包含边界)．解析：(1)如题图(1)所示，以OA为终边的角是75°，以OB为终边的角是330°，也可看成－30°，∴以OA，OB为终边的角的集合分别是：S1＝{x|x＝75°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{x|x＝－30°＋k·360°，k∈Z}，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|k·360°－30°<θ<k·360°＋75°，k∈Z}．(2)如题图(2)所示，以OA为终边的角是135°，以OB为终边的角是225°，也可看成－135°，∴终边落在阴影部分(不包含边界)内的角的集合为{θ|－135°＋k·360°<θ<135°＋k·360°，k∈Z}．授课提示：对应学生用书第78页一、“分”角所在象限的判定方法——“分封制”已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn的范围，然后对n的取值分情况讨论：被n整除，被n除余1，被n除余2，…，被n除余n－1，从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n个区域．从x轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据角α终边所在的象限确定角αn的终边所落在的区域．如此，角αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．[典例]若α是第一象限角，α3是第几象限角？[解析]∵k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，∴k·120°＜α3＜k·120°＋30°(k∈Z)．法一(分类讨论)：当k＝3n(n∈Z)时，n·360°＜α3＜n·360°＋30°(n∈Z)，∴α3是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，n·360°＋120°＜α3＜n·360°＋150°(n∈Z)，∴α3是第二象限角；当k＝3n＋2(n∈Z)时，n·360°＋240°＜α3＜n·360°＋270°(n∈Z)，∴α3是第三象限角．综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在区域，故α3为第一、二或第三象限角．二、角的终边与角的终边旋转方向不明致错[典例]写出角的终边落在OA、OB之间的阴影的角的集合．[解析]由OA逆时针旋转到OB，角是由小变大．OA表示角的终边为k·360°＋210°.则OB的终边为k·360°＋300°阴影中的角的集合为{β|β·360°＋210°≤β≤k·360°＋300°，k∈Z}．纠错心得此题易错为将角的终边随意写一个角的形式不考虑角的旋转方向，如写为[k·360°＋210°，k·360°－60°]写区域角时，务必要明确角的旋转方向，才能写对角的边界．5.1.2弧度制内容标准学科素养1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．数学运算数学抽象2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3.掌握并能应用弧度制下的扇形、弧长公式和面积公式.授课提示：对应学生用书第79页[教材提炼]知识点一角度制与弧度制预习教材，思考问题设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为l.由初中所学知识可知l＝nπr 180，于是lr＝nπ180.如果n°确定，lr的值变化吗？知识梳理(1)度量角的单位制单位制内容角度制周角的1360为1度角，记作1°；用度作为单位来度量角的单位制叫角度制弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad(2)弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．(3)弧度制与角度制的换算公式角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad 1 rad＝(180π)°≈57.30°角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应，如图．知识点二扇形的弧长、面积预习教材，思考问题初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？知识梳理扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝nπ180，则[自主检测] 1．2 rad的角的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B2．若一扇形的圆心角为25π，半径为20 cm，则扇形的面积为()A．40π cm2B．80π cm2 C．40 cm2D．80 cm2解析：因为扇形的圆心角为25π，半径为20 cm，所以扇形的面积为S扇形＝12αR2＝80π cm2，故选B.答案：B3．请将下列角度化为弧度，弧度化为角度．(1)60°＝________，150°＝________；(2)π6＝________，2π3＝________.解析：根据角度与弧度的互化公式知60°＝π3，150°＝5π6，π6＝30°，2π3＝120°.答案：(1)π35π6(2)30°120°4．终边在y轴上的角的集合用弧度表示为________．答案：{β|β＝kπ＋π2，k∈Z}授课提示：对应学生用书第80页探究一 角度与弧度之间的互化[例1] (1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)： α1＝－117π，α2＝5116π，α3＝9，α4＝－855°；(2)把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式：16π3，－315°，－11π7； (3)在0°～720°中找出与2π5终边相同的角． [解析] (1)α1＝－117π＝－117×180°≈－282.86 °； α2＝5116π＝5116×180°＝15 330°； α3＝9＝9×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°≈515.66°；α4＝－855°＝－855×π180＝－194π. (2)16π3＝4π＋4π3；－315°＝－360°＋45°＝－2π＋π4； －11π7＝－2π＋3π7. (3)∵2π5＝25×180°＝72°，∴与2π5终边相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°. ∴在0°～720°中与2π5终边相同的角为72°，432°.1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6π4π3π223π34π56ππ角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度76π54π43π32π53π74π116π2π(1)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝712π，试比较它们的大小．(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？解析：(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12，显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180π)°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.(2)－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．探究二用弧度制表示角[例2]用弧度表示终边落在如图(1)(2)所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解析] 对于题图(1)，225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即π3的终边，∴所求集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－3π4＜α＜2k π＋π3，k ∈Z. 对于题图(2)，同理可得， 所求集合为⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6＜α≤2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＋π6＜α≤2k π＋π＋π2，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π6＜α≤k π＋π2，k ∈Z .首先写出终边所在的角的形式，再根据旋转方向写出所在区域的角的集合，注意单位要统一，注意虚实边．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．解析：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z . 因为2 014°＝214°＋5×360°＝107π90＋10π. 又56π<107π90<3π2， 所以2 014°＝107π90∈S .探究三 扇形的弧长、面积公式的应用[例3] [教材P 174例6拓展探究](1)已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________，圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．[解析] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1. ∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. [答案] 1 cm 2 1 cm 2(2)求半径为2，圆心角为5π3的圆弧的长度． [解析] ∵半径R ＝2，圆心角α＝5π3， ∴弧长l ＝|α|·R ＝10π3.(3)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． [解析] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，所对圆心角为α(0<α<2π)． 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝10，12rl ＝4，解得⎩⎨⎧ r ＝1，l ＝8，或⎩⎨⎧r ＝4，l ＝2.当r ＝1时，l ＝8，此时α＝lr ＝8(rad)>2π，不符合，舍去； 当r ＝4时，l ＝2，此时α＝l r ＝24＝12(rad)．∴所求圆心角的弧度数为12rad.求扇形的弧长和面积的解题技巧(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝12lR＝12|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．授课提示：对应学生用书第81页一、弧度的实际应用生活实际中的“旋转”量都可以用“弧度”来解释，甚至要比用“度”方便．[典例]已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．(1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；(2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？[解析]设大齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r.根据题意设大齿轮的周长L＝48.小齿轮的周长l＝20.故2πR2πr＝4820，即Rr＝4820.(1)当大轮转动一周时，小轮转动的角度为θ，∴θr＝2πR，θ＝Rr×2π＝4820×2π＝245π.(2)大轮的转速v1＝3 r/s，故小轮的转速v 2＝4820×3，1 s 转过的弧长为4820×3×2π×10.5＝151.2π(cm)． 二、角度制与弧度制混用[典例] 把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π)的形式为( ) A ．－3π－16π B ．－4π＋150° C ．－3k π－30°D ．－4π＋56π[解析] －570°＝－2×360°＋150°， 化为弧度为－4π＋56π. [答案] D纠错心得 (1)－3π不是2k π的形式，实际上解答本类题时要时刻注意其形式为2k π＋α的形式，其中α的范围也有限制．故A ，C 错．(2)同一表达式中角度与弧度不能混用，实际上这是最易出错的位置，在做题时要时刻谨慎以防出错，故B 错．5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念内 容 标 准学 科 素 养 1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义． 直观想象 数学抽象 数学运算2.掌握三角函数在各象限的符号．3.掌握诱 导公式(一)及其应用.授课提示：对应学生用书第81页[教材提炼]知识点一 三角函数的定义预习教材，思考问题如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.当α＝π6时，点P的坐标是什么？当α＝π2或2π3时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？知识梳理(1)利用单位圆定义任意角的三角函数．设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine function)，记作sin α，即y＝sin_α；②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(cosine function)，记作cos α，即x＝cos α；③把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tan α，即yx＝tanα(x≠0)．称为正切函数(tangent function)．我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trigonometric function)，通常将它们记为：正弦函数y＝sin_x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.其中r ＝x 2＋y 2.知识点二 三角函数值在各象限的符号 预习教材，思考问题若一个角的终边任意一点为P (x ，y )，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？知识梳理记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 知识点三 诱 导公式 预习教材，思考问题π6与136π终边有什么关系？sin π6与sin 136π.cos π6与cos 136π，tan π6与tan 136π之间有什么关系？知识梳理 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 由此得到一组公式(公式一)： sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α， 其中k ∈Z .[自主检测]1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α等于( )。