14章勾股定理常考题和典型题(好资料)

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3 ）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角 等于30°。

5.勾股定理的作用:（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3） 用于证明线段平方关系的问题。

（4） 利用勾股定理，作出长为j n 的线段6、2、勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法八下第18章《勾股定理》勾股定理知识点导航一、勾股定理:1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a 2+ b 2= C 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2+ b 2= c 2,那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：满足 a 2+ b 2= C 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么 ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）* 附：常见勾股数：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,13 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:（1）确定最大边（不妨设为 C ）； （2）若c 2= 3 +孑，则^ ABC 是以/ C 为直角的三角形;若a 2+ b 2< C 2,则此三角形为钝角三角形（其中若a 2+ b 2> C 2,则此三角形为锐角三角形（其中4. 注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半a ，b ，斜边长为C ，那么3.判断直角三角形: 其他方法：（1） 有一个角为90°的三角形是直角三角形。

1.2.3.勾股定理单元测试（时间：100分钟总分：、相信你一定能选对！（每小题3分，共24分）三角形的三边长分别为6, 8, 10,它的最短边上的高为A. 6B. 4.5C. 2.4下面几组数：①7, 8, 9:②12,9, 15;③m2 + n2, m2120分)④ a2, a21,A.①②三角形的三边为A . a: b:c=8 :a2B.a、16:()D. 8n2, 2mn (m, n均为正整数，m()n);C. a2=（b+c）（b-c）三角形的三边长为（a b）2c2A.等边三角形B.钝角三角形已知一个直角三角形的两边长分别为A . 5 B. 25已知Rt△ ABC 中，/ C=90°,若2 2A. 24cmB. 36cm直角三角形中一直角边的长为A. 121 B . 120放学以后，小红和小颖从学校分手，走的速度都是40米/分，距离为（）A . 600 米 B.二、你能填得又快又对吗？4.5.6.7.8.2.其中能组成直角三角形的三边长的是②③ C.①③ D.③④b、C,由下列条件不能判断它是直角三角形的是（17 B . a2-b2=c2D . a:b:c =13 : 5 : 122ab ,则这个三角形是（）C.直角三角形3和4，则第三边长是（C . 7?D . 5 或巧a+b=14cm, c=10cm，贝U Rt △ ABC 的面积是（C. 48cm2D. 60cm29，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（C . 90D .不能确定分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线小红用800米(每小题3分，共24 分)AB = 5」AB2+AC2+ BC2D.锐角三角形.）C. 1000米D. 不能确定9.在^ ABC 中，/ C=90 ° ,10.如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4,那么一个直角三角形的两直角边的11.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的咼为_________ .12.直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为________________ .13.如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有____________ 米.14.如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A和B的距离为____________ .15.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端 A到墙根0的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端 A向外移动到A '使梯子的底端 A '到墙根0的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B'那么BB '的值：①等于1米；②大于1 米5;③小于1米.其中正确结论的序号是________________________________ .16.小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边 1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为.三、认真解答，一定要细心哟！ （共72分）17、已知：每个小方格是边长为1的正方形，求△ ABC 的周长。

勾股定理一、选择题1．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是( )A. 3B. 5C. 6D.72．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米3．如图，以直角三角形三边a，b，c为边向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数是( )A．1 B．2 C．3 D．44．在△ABC中，AB＝10，AC＝40，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( ) A．10 B．8 C．6或10 D．8或105．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n)，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A．m2＋2mn＋n2＝0 B．m2－2mn＋n2＝0C．m2＋2mn－n2＝0 D．m2－2mn－n2＝06．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2……按照此规律继续下去，则S 9的值为( )A ．(12)6B ．(12)7C ．(12)8D ．(12)9二、填空题7．在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，P 为边BC 的三等分点，连结AP ，则AP 的长为________．8．在底面直径为2 cm ，高为3 cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为________cm.(结果保留π)9．如图，一张三角形纸片ABC ，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，现将纸片折叠，使点A 与点B 重合，那么折痕长等于________ cm.10．如图，是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP )，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是________．三、解答题11．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．作AD⊥BC于点D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD的长→根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x→利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积12．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高．13．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2 cm，BC＝5 cm，量得第四根木条CD ＝5 cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．(2)若固定两根木条AB，BC不动，AB＝2 cm，BC＝5 cm，量得木条CD＝5 cm，∠B＝90°，写出木条AD的长度可能取得的一个值(写出一个即可)．(3)若固定一根木条AB不动，AB＝2 cm，量得木条CD＝5 cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30 cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．详解详析1．B2．[解析] C 如图，在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，BC ＝0.7米，AC ＝2.4米， ∴AB 2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt △A ′BD 中，∵∠A ′DB ＝90°，A ′D ＝2米，BD 2＋A ′D 2＝A ′B 2＝AB 2， ∴BD 2＋22＝6.25， ∴BD 2＝2.25. ∵BD ＞0， ∴BD ＝1.5米，∴CD ＝BC ＋BD ＝0.7＋1.5＝2.2(米)．3．[解析] D 根据直角三角形三边a ，b ，c ，应用勾股定理，可得a 2＋b 2＝c 2. (1)中S 1＝34a 2，S 2＝34b 2，S 3＝34c 2， ∵a 2＋b 2＝c 2，∴34a 2＋34b 2＝34c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.(2)中S 1＝π8a 2，S 2＝π8b 2，S 3＝π8c 2，∵a 2＋b 2＝c 2， ∴π8a 2＋π8b 2＝π8c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.(3)中S 1＝14a 2，S 2＝14b 2，S 3＝14c 2，∵a 2＋b 2＝c 2， ∴14a 2＋14b 2＝14c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.(4)中S 1＝a 2，S 2＝b 2，S 3＝c 2， ∵a 2＋b 2＝c 2， ∴S 1＋S 2＝S 3.综上，可得面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形有4个．故选D. 4．[解析] C 根据已知有两种符合题意的图形，如图所示．如图①所示，AB ＝10，AC ＝40，AD ＝6， 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝2，此时BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10；如图②所示，AB ＝10，AC ＝40，AD ＝6， 在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝2，此时BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为6或10.故选C.5．[解析] C 如图，m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝n 2－2mn ＋m 2，即m 2＋2mn －n 2＝0.故选C.6．[解析] A 在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2＋CE 2＝CD 2，DE ＝CE ， ∴S 2＋S 2＝S 1.观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2＝12S 1＝2，S 3＝12S 2＝1，S 4＝12S 3＝12，…，∴S n ＝(12)n －3.当n ＝9时，S 9＝(12)9－3＝(12)6，故选A.7．[答案] 13或10[解析] 如图①，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，P 为边BC 的三等分点， ∴PB ＝13BC ＝1，∴CP ＝2，∴根据勾股定理得AP ＝AC 2＋PC 2＝32＋22＝13；如图②，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3， ∴PC ＝13BC ＝1，∴AP ＝AC 2＋PC 2＝32＋12＝10. 综上所述，AP 的长为13或10.8.9π2＋9 9．[答案] 154[解析] 在Rt △ABC 中，因为AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，根据勾股定理，得AB ＝10 cm.设折痕与AB ，AC 分别交于点D ，E ，设CE ＝x cm ，由折叠的性质，得BD ＝AD ＝5 cm ，BE ＝AE ＝(8－x )cm.在Rt △BCE 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝74，则AE ＝AC －CE＝254.在Rt △ADE 中，DE ＝AE 2－AD 2＝154. 故答案为154.10．[答案] 50或80或5 [解析] 如图所示，分情况讨论：①当AP ＝AE ＝5时， ∵∠BAD ＝90°，∴△AEP 是等腰直角三角形， ∴底边PE ＝50； ②当PE ＝AE ＝5时，∵BE ＝AB －AE ＝8－5＝3，∠B ＝90°， ∴PB ＝PE 2－BE 2＝4，∴底边AP ＝AB 2＋PB 2＝82＋42＝80； ③当PA ＝PE 时，底边AE ＝5.综上所述，等腰三角形AEP 的底边长为50或80或5. 11．解：设BD ＝x ，∴CD ＝14－x . 由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2， 解得x ＝9， ∴AD ＝12，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84.12．解：(1)∵DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5， ∴DB ＝52－42＝3.(2)如图，延长BD ，过点A 作AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E .∵DB ⊥BC ，AE ⊥BE ， ∴∠DBC ＝∠E ＝90°. ∵D 为AC 边的中点， ∴AD ＝CD .在△DBC 和△DEA 中，∠DBC ＝∠E ，∠BDC ＝∠EDA ，CD ＝AD ， ∴△DBC ≌△DEA ，∴BC ＝EA ＝4. 设BC 边上的高为x ，则S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12DB ·EA ＋12DB ·BC ＝12BC ·x ，即12×3×4＋12×3×4＝12×4×x ， 解得x ＝6，即BC 边上的高为6.13．解：(1)相等．理由：如图，连结AC ，在△ACD和△ACB中，∵AC＝AC，AD＝AB，CD＝CB，∴△ACD≌△ACB，∴∠B＝∠D.(2)∵AB＝2 cm，BC＝5 cm，且∠B＝90°，∴AC＝AB2＋BC2＝22＋52＝29(cm)，根据三角形三边关系可知29－5＜AD＜29＋5，∴AD的长可以为5 cm(答案合理即可)．(3)设AD＝x cm，BC＝y cm，当点C在点D右侧时，由已知得x＋2＝y＋5，x＋(y＋2)＋5＝30，解得x＝13，y＝10，当点C在点D左侧时，由已知得y＝x＋5＋2，x＋(y＋2)＋5＝30，解得x＝8，y＝15，此时AC＝17 cm，CD＝5 cm，AD＝8 cm，5＋8＜17，∴不合题意．综上，AD＝13 cm，BC＝10 cm.。

华师大版八年级上册数学第14章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠得到△AGE，延长AG交CD于点F，已知CF＝2，FD＝1，则BC的长是（）A.3B.2C.2D.22、下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，5D.4，5，63、如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1， S2，则下列结论错误的是（）A.S1+S2＝CP 2 B.AF＝2FD C.CD＝4PD D.cos∠HCD＝4、如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC 的最小值是（）A. B. C.5 D.以上都不对5、如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8，CD=3，则⊙O 的半径为（）A.4B.5C.D.6、在中，，若，，则AB等于A.2B.3C.4D.7、如图，四边形ABCD中∠DAB＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝1，CD＝2，则对角线AC的长为（）A. B. C. D.A.12B.7+C.12或7+D.以上都不对9、如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b 的面积为（A.8B.9C.10D.1110、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.1，2，3B.2，3，4C.3，4，6D.1，，211、在Rt ABC中，∠C= ，则的值为（）A. B. C. D.12、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2．P是AB边上一动点，PD ⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE＝1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S 1+S2的大小变化情况是（）A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小A.13B.13或C.13或15D.1514、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=8，则BC=（）A.2B.4C.6D.15、如图，以O为圆心的两个同心圆中，半径分别为3和5，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的长的取值范围是（）A.8≤AB≤10B.8<AB<10C.8<AB≤10D.6≤AB≤10二、填空题(共10题，共计30分)16、在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB边上的中线CD=________．17、△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=________．18、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度由A向B运动，设运动时间为t秒（t＞0）.在运动过程中，当t为________时，△BCP为等腰三角形.19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则以AB为边长的正方形面积为________.20、如图，已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G。