2020届二轮复习 解析几何综合问题 作业

解析几何(12)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2019·贵州遵义期中]已知直线l ：x ＋y ＋2 017＝0，则直线l 的倾斜角为( )3A ．150° B ．120°C ．60° D ．30°答案：B解析：设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)．则tan α＝－，可得α＝120°.故选B.32．[2019·浙江金华模拟]过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( )A ．x －y ＝0B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0答案：C解析：该直线经过原点即横截距与纵截距均为0时，它的方程为＝，即x ＋y ＝0.当它y －010－0x －0－10－0不经过原点时，设它的方程为＋＝1，把点(－10,10)代入可得＋＝1，求得a ＝.x 4a y a －104a 10a 152此时它的方程为＋＝1，即x ＋4y －30＝0.x302y15综上可得，直线方程为x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0，故选C.3．[2019·浙江宁波调研]已知圆C 的圆心坐标为(2，－1)，半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝4B ．(x －2)2＋(y －1)2＝4C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝16答案：C解析：根据圆C 的圆心坐标为(2，－1)，半径长是方程(x ＋1)(x －4)＝0的解，可得半径为4，故所求的圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝16，故选C.4．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0答案：A解析：由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－＝－＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，1kPQ 14－21－3所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．[2019·广东江门一模]“a ＝2”是“直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行的充要条件为Error!即a ＝2或a ＝－3.又“a ＝2”是“a ＝2或a ＝－3”的充分不必要条件，所以“a ＝2”是“直线ax ＋3y ＋2a ＝0和2x ＋(a ＋1)y －2＝0平行”的充分不必要条件，故选A.6．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 B ．86C ．4 D ．106答案：C解析：通解　设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝＝－2.3－72再由|PA |＝|PB |，得a ＝1.则P (1，－2)，|PA |＝＝5，于是圆P 的方程为(x －1)(1－1)2＋(3＋2)22＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±2，6则|MN |＝|(－2＋2)－(－2－2)|＝4.666优解　由题意可知AC 为圆的直径，|AC |＝10，∴r ＝5.AC 的中点(1，－2)为圆心，到y 轴距离为1.∴|MN |＝2＝4.52－1267．[2019·湖南益阳模拟]点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1C ．a ＜－1或a ＞1 D ．a ＝±1答案：A解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以点(1,1)到圆心(a ，－a )的距离小于2，即＜2，两边平方得(1－a )2＋(a ＋1)2＜4，化简得a 2<1，解得－1＜a ＜1，故选A.(1－a )2＋[1－(－a )]28．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为，则直线l 的方程是( )10A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0答案：C解析：由已知，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以＝|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0.109．[2019·安徽皖东四校联考]若直线l ：4x －ay ＋1＝0与圆C ：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4相切，则实数a 的值为( )A. B.15282815C.或1 D.或115282815答案：A解析：据题意，得圆心C (－2,2)到直线l ：4x －ay ＋1＝0的距离d ＝＝2，解得a ＝.故选A.|－2×4＋(－a )×2＋1|16＋a 2152810．[2018·全国卷Ⅲ]直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[，3]D ．[2，3]2222答案：A解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为2，可得22d max ＝2＋r ＝3，d min ＝2－r ＝.由已知条件可得AB ＝2，所以△ABP 面积的最大值为22222×AB ×d max ＝6，△ABP 面积的最小值为×AB ×d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]．故选A.121211．[2019·湖南省湘东五校联考]圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.|3×3＋4×3－11|32＋4212．[2019·南昌市NCS0607摸底调研考试]已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足＝，若M 是线段AB 的中点，则·的值为( )CB → 52CA → OC → OM→A ．3B ．23C．2 D ．－3答案：A 解析：解法一　动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接OA ，OB .因为|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形，于是不妨设动直线l 为y ＝(x ＋2)，如图所示，根据题意可得B (－2,0)，A (－1，)，33因为M 是线段AB 的中点，所以M (－，)．设C (x ，y )，因为＝，所以(－2－x ，－y )3232CB → 52CA→＝(－1－x ，－y )，所以Error!523解得Error!所以C ，所以·＝·＝＋＝3.故选A.(－13，533)OC → OM → (－13，533)(－32，32)1252解法二　连接OA ，OB ，因为直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以△AOB 为等边三角形．因为＝，所以＝＋＝＋＝＋－＝－，又M 为AB 的中点，CB → 52CA → OC → OA → AC → OA → 23BA → OA → 23OA → 23OB → 53OA → 23OB→所以＝＋，且与的夹角为60°，则·＝·OM → 12OA → 12OB → OA → OB → OC → OM → (53OA → －23OB → )(12OA → ＋12OB →)＝－＋||||cos60°＝×4－×4＋×2×2×＝3.56OA 2→ 13OB 2→ 12OA → OB→ 56131212二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2019·江苏扬州期末]若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则l 1，l 2间的距离为________．答案：52解析：因为两直线平行，所以＝，解得m ＝2.在直线x －2y ＋4＝0上取一点(0,2)，点(0,2)到直m 412线l 2：2x －4y ＋3＝0的距离d ＝＝.|0－8＋3|22＋(－4)25214．与直线x －y －4＝0和圆A ：x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：如图，易知所求圆C 的圆心在直线y ＝－x 上，故设其坐标为C (c ，－c )，半径为r ，又其直径为圆A 的圆心A (－1,1)到直线x －y －4＝0的距离减去圆A 的半径，即2r ＝－＝2⇒r ＝，262222即圆心C 到直线x －y －4＝0的距离等于，2故有＝⇒c ＝3或c ＝1，|2c －4|22当c ＝3时圆C 在直线x －y －4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.15．[2019·浙江舟山模拟]已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是________．答案：{1，－1,3，－3}解析：因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1，外切时，|a |＝3，所以实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．16．[2019·昆明市高三复习教学质量检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案：5解析：通解　∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤＝＝5，|PA |2＋|PB |22102当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．优解　直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A (0,0)，B (1,3)且两直线垂直．∴当P 与A ，B 不重合时，形成直角三角形PAB ，|AB |＝，而S △PAB ＝|PA ||PB |＝|AB |·h .101212当P 到AB 的距离h ＝|AB |时，S 最大，12∴(|PA |·|PB |)max ＝|AB |2＝5.12。

（8）立体几何1、用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )A．棱锥B．圆柱C．球D．圆锥2、某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，三棱锥表面上的点M在俯视图上的对应点为A三棱锥表面上的点N在左视图上的对应点为B则线段MN的长度的最大值为( )A.23B.32C.42D.333、若圆锥的侧面展开图的圆心角为90︒，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．2π16rB．23π16rC．2π4rD．25π16r4、已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成，则该几何体的体积为（）A．28π3+B．π86+C．π43+D．π83+5、如图,已知,,,A B C D 四点不共面,且,AB CD ααP P ,,,,AC E AD F BD H BC G αααα⋂=⋂=⋂=⋂=,则四边形EFHG 的形状是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形 6、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：(1)BM 与ED 平行；(2)CN 与BE 是异面直线； (3)CN 与BM 成ο60；(4)CN 与AF 垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是( ) A ． (3)(4)B ． (2)(4)C ． (3)D ．(1)(2)(3)7、一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论: ①AB EF ⊥;②AB 与CM 所成的角为60︒; ③EF 与MN 是异面直线; ④//MN CD . 其中正确的是( )A.①②B.③④C.②③D.①③8、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ,满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥,则下列结论一定正确的是( )A. 14l l ⊥B. 14//l lC. 1l 与4l 既不垂直也不平行D. 1l 与4l 的位置关系不确定9、如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB 和11A D 的中点分别为,E F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为( )A.55B.306C.66D.25510、如图,已知正四面体D ABC - (所有棱长均相等的三棱锥), ,,P Q R 分别为AB ,BC ,CA 上的点, AP PB =,2BQ CRQC RA==,分别记二面角D PR Q --,D PQ R --,D QR P --的平面角为α,β,γ,则( )A. γαβ<<B. αγβ<<C. αβγ<<D. βγα<<11、某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)），则该几何体的表面积为____________.12、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，则下列命题：①1,,,E C D F 四点共面； ②1,,CE D F DA 三线共点； ③EF 和1BD 所成的角为90︒； ④1//A B 平面1CD E .其中正确的是________（填序号）.13、设,,a b c 是空间中的三条直线,下面给出四个命题: ①若//a b ,//b c 则//a c ; ②若a b ⊥,b c ⊥,则//a c ;③若a 与b 相交, b 与c 相交,则a 与c 相交;④若a ⊂平面α,b ⊂平面β,则a ,b —定是异面直线.上述命题中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号).14、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --,有如下四个结论: ①AC BD ⊥ ②ACD △是等边三角形 ③AB 与平面BCD 成60°的角 ④AB 与CD 所成的角为60° 其中真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)15、如图，AB 是圆O 直径，点C 圆O 异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点．（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l 试判断直线l 平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）证明：直线BC ⊥平面PAC ；（3）设2,1AB PC AC ===,求二面角B PA C --的余弦值.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：用一个平面去截一个棱锥，得到的截面是三角形，不可能是圆，所以A 正确； 用一个平面去截一个圆柱，截面与底面平行，得到的截面是圆面，所以B 不满足题目要求； 用一个平面去截一个球，得到的截面是圆面，所以C 不满足题目要求；用一个平面去截一个圆锥，截面与底面平行，得到的截面是圆面，所以D 不满足题目要求； 故选：A.2答案及解析： 答案：D解析：由题意可知，几何体的直观图如图：M 在AD 上，B N 、重合，则线段MN 的长度的最大值为：()2233233BD =+故选：D ．3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析：答案：D 解析：5答案及解析： 答案：A 解析：6答案及解析：答案：A 解析：7答案及解析： 答案：D解析：把正方体纸盒的平面展开图折叠成正方体纸盒,如图所示, AB EF ⊥,EF 与MN 是异面直线, //AB CM ,MN CD ⊥,只有①③正确,故选D.8答案及解析： 答案：D解析：由1223,l l l l ⊥⊥,可知1l 与3l 的位置关系不确定, 若13//l l ,则结合34l l ⊥,得14l l ⊥,所以排除选项B 、C,若13l l ⊥,则结合34l l ⊥,得1l 与4l 可能不垂直,所以排除选项A,故选D.9答案及解析： 答案：C解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则10(2,0),(1,2),(1,1,2)E F EF =--u u u r， 平面11AA D D 的法向量1(0,0)n =r ，设直线EF 与平面11AA D D 所成角为θ，则||sin ||||EF n EF n θ⋅===⋅u u u r ru u u r r ∴直线EF 与平面11AA D D故选：C10答案及解析： 答案：B解析：设O 为三角形ABC 中心,则O 到P Q 、距离最小, O 到PR 距离最大, O 到RQ 距离居中,而高相等,因此αγβ<<所以选B11答案及解析： 答案： 9214π + 解析：12答案及解析： 答案：①②④解析：由题意1//EF CD ，故E ，C ，D 1，F 四点共面；由112EF CD =，故1D F 与CE 相交，记交点为P ，则P ∈平面11ADD A ，P ∈平面ABCD ，所以点P 在平面11ADD A 与平面ABCD 的交线AD 上，故CE ，1D F ，DA 三线共点；11A BD ∠即为EF 与1BD 所成角，显然1190A BD ∠≠︒；因为1//A B EF ，EF ⊂平面1CD E ，1A B ⊄平面1CD E ，所以1//A B 平面1CD E .13答案及解析： 答案：①解析：由公理4知①正确;当a b ⊥,b c ⊥时, a 与c 可以相交、平行或异面,故②错;当a 与b 相交, b 与c 相交时,a 与c 可以相交、平行,也可以异面,故③错;a α⊂,b β⊂,并不能说明a 与b "不同在任何一个平面内”,故④错.14答案及解析： 答案：①②④ 解析：15答案及解析：答案：(1)直线//l 平面PAC 证明如下：连接EF ，因为,E F 分别是,PA PC 的中点，所以//EF AC . 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC .而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF I 平面ABC l =，所以//EF l .因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线//l 平面PAC . （2）AB ∵圆O 的直径 BC AC ⊥∴又PC ⊥∵平面ABC PC BC ⊥∴PC AC C ⋂=∵,PC ∈平面PAC ,AC ∈平面PAC BC ⊥∴平面PAC(3)BC ⊥∵平面PAC ,∴过C 作CM PA ⊥于M,连接BM ,则BM PA ⊥, BMC ∠∴即为二面角B PA C --的平面角，CM BC ==tan BMC ∠==∴cos BMC ∠=∴ 解析：。

在 Rt△OMN 中，易知△OMP～△NOP，所以|PM|·|PN|＝|OP|2＝2，为定值．
( ) －8km －8km 4k
－4k2 1
4k 1
－，
设 A(x1，y1)，则 x1＝24k2＋1＝ 2m2 ＝－ m ，y1＝kx1＋m＝ m ＋m＝m，即 A m m .
( ) 4 3 4 3
， k＋m
易得 B 3 3
，F( 3，0)，
( ) ( ) F→A
则＝
4k －－
m
1 3，
m
F→B ，＝
于 A，B 两点．若|AQ|＝|BP|，求实数 t 的值．
解析：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，
3
1
于是 c＝asin 60°＝ 2 a，b＝acos 60°＝2a.
( ) 1
1
1
a
所以△MF1F2 的面积 S＝2·(2c)·b＝2·( 3a)· 2 ＝ 3，
解得 a＝2，b＝1.
x2 所以椭圆 G 的方程为 4 ＋y2＝1.
求出该定值；若不是定值，请说明理由．
2
x2 y2
解析：(1)由椭圆的离心率为 2 知，b＝c，a＝ 2b，则椭圆 C 的方程为2b2＋b2＝1.
22 易得 A( 2，0)，则由题意知点( 2， 2)在椭圆 C 上，所以2b2＋b2＝1，
x2 y2
解得Error!所以椭圆 C 的方程为 6 ＋ 3 ＝1.
P→N ∵2 ＝
3
M→N ，∴2(x0－x，－y)＝
3(0，－y0)，
2
即 x0＝x，y0＝ 3y，
又点 M 在圆 C：x2＋y2＝4 上，∴x20＋y20＝4，
2
x2 y2

（8）立体几何1、如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123AA =,,D F ,分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF △的周长的最小值为( )A ．222+B ．232+C ．62+D ．72+2、如图，如果底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下的部分的体积是( )A.21π()3r a b +B.21π()2r a b + C.2π()r a b + D.22()r a b ＋3、如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图,其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一,则该几何体的表面积为( )A.20B.π204+C.3π204+D.5π204+4、已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E F ，分别是PA AB ，的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ） A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π5、如图,已知,,,A B C D 四点不共面,且,AB CD αα,,,,AC E AD F BD H BC G αααα⋂=⋂=⋂=⋂=,则四边形EFHG 的形状是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形 6、如图是正方体的平面展开图,以下四个结论中,正确的序号是( ) (1)BM 与ED 平行; (2)CN 与BE 是异面直线; (3)CN 与BM 成60o 角; (4)DM 与BN 垂直.A.(1)(2)(3)B.(2)(4)C.(3)D.(3)(4)7、已知,m n 两条不重合的直线,,αβ是两个不重合的平面,则下列命题中真命题的个数是( )①若,//m n αα⊂,则//m n ②若//,//m m αβ,则//αβ;③若n αβ⋂=且//m n ,则//m α且//m β； ④若,m m αβ⊥⊥,则//αβ. A.3B.2C.1D.08、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 矩形，侧棱AP ⊥平面ABCD ，1AB =，3AP =,点M 在线段BC 上，且AM M D ⊥，则当PMD △的面积最小时，线段BC 的长度为( )A.3B.322C.2D.329、在四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，点P 为直线BC 上一动点，记直线P A 与平面BCD 所成的角为θ，则 （ ）A. θ的最大值为60B. θ的最小值为60C. θ的最大值为30D. θ的最小值为3010、将直角ABC △沿斜边上的高AD 折成120的二面角，已知直角边43,46AB AC ==，那么下面说法正确的是（ ）A ． 平面ABC ⊥平面ACDB ． 四面体D ABC -的体积是86 C ． 二面角A BCD --的正切值是423 D ． BC 与平面ACD 所成角的正弦值是21711、已知某实心机械零件的三视图如图所示，若该实心机械零件的表面积为664π+，则a=_______.12、如图所示，平面11BCC B ⊥平面ABC ，120ABC =，四边形11BCC B 为正方形，且2AB BC ==，则异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值为__________________．13、正方体1111ABCDA B C D ﹣，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1AD PC ﹣的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C ﹣﹣的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线； 其中正确的命题编号是 ．14、已知点,E F 分别在正方体1111ABCD A B C D -的棱11,BB CC 上，且12B E EB =,12CF FC =,则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于__________.15、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，60,3,23,3ABC AB AD AP ∠=︒===．(1)求证：平面PCA⊥平面PCD；(2)设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45︒，求二面角E AB D--的余弦值．答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：B 解析：3答案及解析： 答案：B解析：由三视图可得该几何体如图所示，由已知得该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个四分之一圆柱及一个八分之一球体得到的，所以该几何体的表面积211622125π2π44S =⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯1π24π2084+⨯=+.4答案及解析：答案：D 解析：5答案及解析： 答案：A 解析：6答案及解析： 答案：D 解析：7答案及解析： 答案：C解析：对于①，若,//m n αα⊂，则m 与n 平行或异面，故不正确;对于②，若//,//m m αβ,则α与β可能相交或平行，故不正确；对于③，若n αβ⋂=，//m n ，则m 也可能在平面α或β内，故不正确；对于④，垂直于同一直线的两平面平行，若,m m αβ⊥⊥，则//αβ，故④正确.综上，是真命题的只有④，故选C.8答案及解析： 答案：B解析：由题意，设,BM x MC y ==，则BC AD x y ==+因为PA ⊥平面ABCD ,MD ⊂平面ABCD ,所以PA MD ⊥.又AM M D ⊥，所以PA AM A ⋂=，所以,MD ⊥平面PAM ，则MD PM ⊥.易知 221,1AM x MD y =+=+，在Rt AMD △中，222AM DM AD +=,即()22211x y x y +++=+,化简得1xy =,Rt PMD △中， 224,1PM x MD y =+=+,所以22143522PMD S x x =++≥△当且仅当224x x=，即22,2x y ==时，取等号，此时322BC x y =+=9答案及解析： 答案：A 解析：10答案及解析：答案：C 解析：11答案及解析：答案：3 解析：12答案及解析： 答案：64解析：13答案及解析： 答案：①③④ 解析：14答案及解析： 答案：23解析：如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1.平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =.设平面AEF 的法向量为2(,,)n x y z =.所以12(1,0,0),1,1,,0,1,33A E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以10,1,3AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11,0,3EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则2200n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即103103y z x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取1x =，则1,3y z =-=.故2(1,1,3)n =-.所以平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角α满足31122cos ,sin 1111α==，所以2tan 3α=.15答案及解析：答案：(1)在平行四边形ABCD 中，60ADC ∠=︒,3,23CD AD ==， 由余弦定理得2222cos 9AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=， ∴222AC CD AD +=，∴90ACD ∠=︒，即CD AC ⊥， 又PA ⊥底面ABCD CD ⊂，底面ABCD ，PA CD ∴⊥，又ACCD C =，CD ∴⊥平面PCA .又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCA ⊥平面PCD .(2)如图，以A 为坐标原点，AB AC AP ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(0,0,3)A B C D P - 设(,,)E x y z ，(01)PE PC λλ=≤≤， 则(,,3)(0,3,3)x y z λ-=- ∴0,3,33x y z λλ===-， 即点E 的坐标为(0,3,33)λλ- ∴(3,3,33)BE λλ=--又平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n = ∴223345cos ,39(33)BE n λλλ-∴︒==++-解得13λ=∴点E 的坐标为(0,1,2)， ∴(0,1,2),(3,0,0)AE AB ==， 设平面EAB 的法向量为(,,)m x y z = 由00m AB m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z =⎧⎨+=⎩ 令1z =，得平面EAB 的一个法向量为(0,2,1)m =- ∴15cos ,55m n m n m n⋅===. 又二面角E AB D --的平面角为锐角，所以，二面角E AB D --的余弦值为55解析：。