连续时间LTI系统的时域分析(新)
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湖南文理学院 系统建模与设计报告
专业班级：电信08104 学生姓名：湛 江 丰 学生学号：5 指导教师：曹 斌 芳 设计时间：2010年12月16日 一、课程设计题目： 基于 MATLAB的连续时间LTI系统的时域分析 二、基本要求： ① 掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法； ② 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法； ③ 学会用 MATLAB 对信号进行分析和处理； ④ 编程实现卷积积分或卷积和，零输入响应，零状态响应； ⑤ 撰写课程设计论文，用信号处理基本理论分析结果。
三、设计方法与步骤： 一般的连续时间系统分析有以下几个步骤: ①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.
1．连续时间系统的零输入响应
描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为：
已知y及各阶导数的初始值为y(0),y(1)(0)，… y(n-1)(0)， 求系统的零输入响应。
建模 当LIT系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）
其中p1,p2,…,pn是特征方程a1λn+a2λn-1+…+anλ+an=0的根，它们可以用root(a)语句求得。各系数 由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有
……………………………………………………………………………………… 写成矩阵形式为: P1n-1C1+ P2n-1C2+…+ Pnn-1Cn=Dn-1y0
1121111nnmnnmmnnmdydydyduduaaaaybbbudtdtdtdtdt
1212()nptptptn
ytCeCeCe
120nCCCy11220nnpCpCpCDy
111111220nnnnnnpCpCpCDy1012201111120111n
nnnnnnCypppCDypppCDy
即 V•C=Y0 其解为：C=V\Y0 式中
V为范德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有vander。 以下面式子为例：
y(0_)=1,y(0_)=5； MATLAB程序： a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]='); n=length(a)-1; Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]='); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0'; dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t)); for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t,y);grid xlabel('t') ;ylabel('y'); title('零输入响应');
程序运行结果： 用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入 a=[1,5,4] Y0=[1,5] dt=0.01 te=6
结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。随着时间的推移，最后零输入响应的值无限的趋近于0。
1211112111nnnnnpppVppp
12nCCCC1000nCyDyDy
''''()5()4()2()4()ytytytftft012345600.20.40.60.811.21.41.61.8ty零输入响应
2．卷积的计算 连续时间信号1()ft和2()ft的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即：
1212120()()*()()()lim()()kftftftftftdfkftk
如果只求当t n（n为整数）时f (t)的值f (n) ，则上式可得： 1212()()()()[()]kkfnfkftkfkfnk
式中的12()[()]kfkfnk 实际上就是连续时间信号1()ft和2()ft经等时间间隔 均匀抽样的离散序列1()fk和2()fk的卷积和。当足够小时，()fn就是卷积积分的结果——连续时间信号f (t)的较好数值近似。
建模 下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序conv()，该程序在计算出卷积积分的数值近似的同时，还绘制出f (t)的时域波形图。应注意，程序中是如何设定f (t)的时间长度。
MATLAB程序： f1=input('输入函数f1='); f2=input('输入函数f2='); dt=input('dt='); y=conv(f1,f2); plot(dt*([1:length(y)]-1),y);grid on; title('卷积'); xlabel('t'); ylabel('f1*f2') 程序运行结果： 输入以下数据： f1=sin(3*t) f2=cos(3*t+2) dt=0.01 得出图形如下：
024681012-300-200-1000100200300400卷积
tf1*f2
3．连续时间系统零状态响应的数值计算 我们知道，LTI连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述， ()()00()()NMijijijaytbft
例如，对于以下方程: ''''''''''''32103210()()()()()()()()aytaytaytaytbftbftbftbft
可用32103210[,,,],[,,,],aaaaabbbbb输入函数()uft，得出它的冲击响应h ，再根据LTI系统的零状态响应y（t）是激励u（t）与冲击响应h（t）的卷积积分。 注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a或b中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。 求函数的零状态响应
及初始状态'(0)(0)0zszsyy。输入函数()sin(3*)cos(2*)fttt。 建模 先求出系统的冲击响应，写出其特征方程
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求出其特征根为p和p，及相应的留数r，r；则冲击响应为
''''()5()4()2()4()ytytytftft 1212()ptpthtrere 输入y（t）可用输入u（t）与冲击响应h（t）的卷积求得。 MATLAB程序： a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]='); b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]='); dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te; u=input('输入函数u='); te=t(end); dt=te/(length(t)-1); [r,p,k]=residue(b,a); h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t); subplot(2,1,1),plot(t,h);grid title('冲击函数'); y=conv(u,h)*dt; subplot(2,1,2), plot(t,y(1:length(t)));grid title('零状态响应');
程序运行结果 执行这个程序，取a=[1,5,4] b=[2,4] dt=0.01 te=6
sin(3*)cos(2*)utt
得出图形如下： 由于初始状态为零，所以零状态的起始值也为零，即h(t)包含了连续系统的固有特性，与系统的输入无关。只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同输入时产生的输出。因此，求解系统的冲激响应h对进行连续时间系统的分析具有非常重要的意义
012345600.511.52冲击函数
0123456-1-0.500.51零状态响应
