连续时间系统的时域分析经典法

连续时间系统的时域分析时域分析是对连续时间系统进行分析和研究的一种方法。

通过时域分析，可以了解系统的时间响应特性、稳定性以及系统的动态行为。

本文将从连续时间系统的时域分析方法、常用的时域参数以及时域分析在系统设计中的应用等方面进行详细介绍。

一、连续时间系统的时域分析方法连续时间系统的时域分析方法主要有两种：解析法和数值法。

1. 解析法：通过解析方法可以得到系统的解析表达式，从而分析系统的时间响应特性。

常用的解析方法包括微分方程法、拉普拉斯变换法和傅里叶变换法等。

- 微分方程法：对于线性时不变系统，可以通过设立系统输入和输出之间的微分方程，然后求解微分方程来得到系统的时间响应。

- 拉普拉斯变换法：通过对系统进行拉普拉斯变换，将微分方程转化为代数方程，从而得到系统的传递函数，进而分析系统的时间响应。

- 傅里叶变换法：通过对系统输入和输出进行傅里叶变换，将时域信号转化为频域信号，从而分析系统的频率响应。

2. 数值法：当系统的解析表达式难以获得或无法求解时，可以通过数值方法进行时域分析。

常用的数值方法包括欧拉法、中点法和四阶龙格-库塔法等。

- 欧拉法：通过差分近似，将微分方程转化为差分方程，然后通过计算差分方程的递推关系来得到系统的时间响应。

- 中点法：在欧拉法的基础上，在每个时间步长内，通过计算两个相邻时间点上的导数平均值来改进估计值，从而提高精度。

- 四阶龙格-库塔法：在中点法的基础上，通过对导数进行多次计算和加权平均，从而进一步提高精度。

二、常用的时域参数时域分析除了对系统的时间响应进行分析外，还可以提取一些常用的时域参数来描述系统的性能和特性。

1. 零点：系统的零点是指系统传递函数中使得输出为零的输入值。

2. 极点：系统的极点是指系统传递函数中使得输出无穷大的输入值。

3. 零极点图：零极点图是用来描述系统传递函数中的零点和极点分布情况的图形。

4. 频率响应：频率响应是指系统对不同频率的输入信号的响应。

连续时域分析方法什么是连续时域分析方法？连续时域分析方法是指对连续时间信号在时域上进行分析的方法。

通常采用微积分及微分方程的方法来处理信号的变化和传递，可以用来处理线性信号和非线性信号。

连续时域分析方法是信号处理领域中的基础，其应用广泛，如在信号源编码和数字信号处理方面等。

连续时域分析方法常见的技术1. 微分方程方法通过利用微分方程来描述信号的传递和变化，来获得信号的时域特征。

该方法以微分方程为基础，通过对微分方程的求解，得到信号的时域响应。

比如我们可以用一阶微分方程来描述电路中的电压变化：V(t)=RC（dv(t)/dt）+i(t)，其中R，C为电阻和电容，i(t)是电路中的电流。

通过对这个微分方程求解，可以得到信号的时域响应。

2. 傅里叶分析法傅里叶分析法是指把信号分解成若干个基本频率的正弦信号或余弦信号，来描述信号的时域特征。

傅里叶分析法将信号沿时间轴上的变化分解成不同频率的正弦波，用频域中的谱图表示信号。

其基本思想是将信号分解成一系列基本频率的正弦波，使得每个波形的能量都可以在频谱中表示出来，而且可以对每个基频的信号进行进一步的处理。

3. 差分方程法差分方程法是指通过对信号采样和量化，然后应用差分方程求解来处理信号的时域响应。

差分方程法可以把连续时间信号通过采样与量化处理后得到离散时间信号，对这个离散化的信号应用差分方程来得到其时域响应。

差分方程法常用于数字信号处理中，比如数字滤波和数字控制等领域。

4. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是指将时域信号转换成在复平面上的拉普拉斯变量表示，然后对其进行变换操作，得到在拉普拉斯空间中的响应，并通过反变换将其转换回时域。

拉普拉斯变换法的基本思想是将时域信号转换为复平面上的拉普拉斯变量表示，再对其进行变换操作，将其变换为在拉普拉斯空间中所代表的信号的响应。

这种方法可以用于线性和非线性信号处理，广泛应用于线性系统和控制理论等领域。

5. 各种传输函数模型在连续时域分析方法中，还有一些常见的模型用于表示信号的传递和变化。

第二章 连续时间系统的时域分析经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） •例题2：求冲激响应（n >m ） •例题3：求冲激响应（n ＜m ） •例题4：求系统的零状态响应 •例题5：卷积 •例题6：系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： ：起始状态，它决定零输入响应；()()()()()()()()()强迫响应。

状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知 系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型：跳变量，它决定零状态响应； ：初始条件，它决定完全响应；这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。

解：方法一：利用 先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。

方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。

本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。

方法一1. 完全响应 该完全响应是方程 （1）方程（1）的特征方程为 特征根为 方程（1）的齐次解为因为方程（1）在t >0时，可写为 （2）显然，方程（1）的特解可设为常数D ，把D 代入方程（2）求得 所以方程（1）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程（1）可设代入方程（1），得匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得 所以，所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ，()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα，()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应 （3）（3）式的特征根为 方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为 下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即 因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述 代入（5）式 根据在t =0时刻，微分方程两端的 及其各阶导数应该平衡相等，得 于是t >0时，方程为 齐次解为 ，特解为3，于是有所以，系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零，零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解．，且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα，()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得，代入，由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数，，故t r zs "()将发生跳变，即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的．在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应，即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。

连续时间系统的时域分析连续时间系统是一种基础性的数学模型，用于描述物理系统、电路和控制系统等的行为。

在实际应用中，我们经常需要对连续时间系统进行时域分析，以更好地理解它们的行为特性和设计控制系统。

时域分析是指在时间域上通过观察时域响应，分析系统的动态特性和稳态特性，进而对系统行为进行描述和分析的一种方法。

对于连续时间系统，一般采用微分方程或者传递函数的形式来描述系统，从而进行时域分析系统的微分方程形式为：$$\frac{d^n y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)$$其中，$y(t)$代表系统的输出，$x(t)$代表系统的输入，$a_i$和$b_j$是系数。

时域分析的主要目的是求解系统在单位施加输入的情况下的输出响应$y(t)$。

为了简单起见，我们这里主要关注一阶和二阶连续时间系统。

$$\frac{dy(t)}{dt}+ay(t)=bx(t)$$应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：其中，$G(s)$代表系统的传递函数，$s$代表变换域变量。

通过求解系统的传递函数，我们可以得到系统的单位施加输入下的响应，进而进行时域分析，研究系统的动态和稳态特性。

$$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi \omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega_n^2 y(t)=x(t)$$其中，$\omega_n$代表系统的固有频率，$\xi$代表系统的阻尼比。

应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数：。