1.3 弦度制教案(北师大必修4)

1.3 弧度制备课资料一、密位制度量角度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的60001所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为360°=6 000密位,所以1°=3606000密位≈16.7密位, 1密位=6000360︒=0.06°=3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如7密位写成0—07,读作“零,零七”,478密位写成4—78,读作“四,七八”.二、备用习题 1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.3πB.6π C.1 D.π 2.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则( )A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍3.下列表示的为终边相同的角的是( )A.kπ+4π与2kπ+4π(k∈Z ) B.2πk 与kπ+2π(k∈Z ) C.kπ-32π与kπ+3π(k∈Z ) D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z ) 4.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形的中心角的弧度数.5.若α∈(-2π,0),β∈(0,2π),求α+β,α-β的范围,并指出它们各自所在的象限. 6.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图3所示).图37.(1)角α,β的终边关于直线y=x 对称,写出α与β的关系式;(2)角α,β的终边关于直线y=-x 对称,写出α与β的关系式.参考答案:1.A 2.B 3.C4.解:设扇形所在圆的半径为R,扇形的中心角为α,依题意有αR+2R=6,且21αR 2=2, ∴R=1,α=4或R=2,α=1.∴α=4或1.5.解:-2π＜α+β＜2π, ∴α+β在第一象限或第四象限,或α+β的终边在x 轴的非负半轴上.-π＜α-β＜0, ∴α-β在第三象限或第四象限,或α-β的终边在y 轴的非正半轴上.6.解:(1){θ|2kπ-6π＜θ＜2kπ+125π,k∈Z }; (2){θ|2kπ-43π＜θ＜2kπ+43π,k∈Z }; (3){θ|2kπ+6π＜θ＜2kπ+2π,k∈Z }∪{θ|2kπ+67π＜θ＜2kπ+23π,k∈Z } ={θ|nπ+6π＜θ＜π+2π,n∈Z }. 7.解:(1)β=2π-α+2kπ,k∈Z ; (2)β=2π+α+2kπ,k∈Z. 三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角2π (rad),30π(rad),1800π(rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨.例题 在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了x 弧度,则分针转过了2π+x 弧度,而时针走1弧度相当于经过π6h=π360min,分针走1弧度相当于经过π30min,故有π360x=π30(2π+x),得x=112π, ∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是112π+π2+2π=1124π(rad). 乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为α,则α=12(α-2π)(因为再一次重合时,时针比分针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的12倍),得α=1124π, ∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是1124π(rad). 点评:两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α-2π与时针所转过的弧度数相等,利用弧度数之间的关系列出方程求解.。

学中的角，是否也有多种不同的度量制呢？ 学完本节内容你就明白了．
1．度量角的单位制
(1)角度制
规定周角的
1 360
为1度的角，用度作为单位来度量角的单位
制叫角度制．
(2)弧度制
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角，
称为_1_弧_度__的_角____，它的单位符号是_r_ad___，读作__弧__度____．这
• [思路分析] 正确理解“角度”与“弧度”的 概念，从而进行正确的判断．
• [答案] D
[规范解答] “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度
量单位，A正确；1度的角是周角的
1 360
，1弧度的角是周角的
1 2π
，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确；
根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度
量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和角的比
值有关，所以D错误．
• [规律总结] 对于概念类的题目，要从定义入 手，仔细分析每一句话，并注意题中的叙述 与定义的异同点，从而把握住各种叙述的实 质．
• 下列叙述中，正确的是( ) • A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 • B．1弧度是长度等于半径的弧 • C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 • D．1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆
规律总结对于概念类的题目要从定义入手仔细分析每一句话并注意题中的叙述与定义的异同点从而把握住各种叙述的实d1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角弧度是角的一种度量单位解析根据弧度定义知选d
第一章 三角函数
第一章 §3 弧度制
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为 1节，用代号“kn”表示．国际上承认的标准 海里是1 852米，我国也承认这个标准，海里 的代号为“M”．而汽车的时速单位是千米/时， 用代号“km/h”表示．由此看来，同样是速度 问题，有两种不同的单位计量方法．那么数

1.3 弧度制课堂导学三点剖析1.角度与弧度之间的换算【例1】化下列角度为弧度制：（1）540°;(2)112°30′;(3)36°.思路分析：根据1°=rad就可将角度化为弧度.解:(1)∵1°= rad,∴540°=3π rad.(2)∵1°= rad,∴112°30′=×112.5 rad= rad.(3)∵1°= rad,∴36°=×36 rad=.友情提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.各个击破类题演练 1把130°,-270°化为弧度为________，____________-.解析：∵1°= rad,∴130°=×130 rad×π rad-270°=-×270 rad= rad.答案：π变式提升 1(1)将-225°化为弧度；（2）将 rad化为度.解：（1）∵1°=rad,∴-225°=-×225 rad= rad.(2)∵1 rad=()°,∴ rad=-()°=-75°.2.弧度的综合应用【例2】集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=+,k∈Z},则有（）A.M=NB.M NC.M ND.M∩N=思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M、N所表示的角的终边的位置.解：对集合M中的整数k依次取0,1,2,3,得角.于是集合M中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N中的角与0,,,,π,π,3,,2π角的终边相同，如图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C类题演练 2已知某角是小于2π的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同,求此角的大小.解析：设这个角是α,则0≤α＜2π.∵5α与α终边相同,∴5α=α+2kπ(k∈Z),∴α=(k∈Z).又∵α∈［0,2π),令k=0,1,2,3.得α=0,,π,π.即为所求值.变式提升 2(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.解析：（1）在0到2π之间，终边落在OA位置上的角是+,终边落在OB位置上的角是+=,故终边落在OA上的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z},终边落在OB上的角的集合为{β|β=2kπ+,k∈Z}.(2)终边落在阴影部分角的集合为{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}.【例3】一条弦的长度等于半径r，求：(1)这条弦所对的劣弧长；(2)这条弦与劣弧所组成的弓形的面积.思路分析:由已知可知圆心角的大小为，然后用弧长和扇形面积公式求解即可.注意弓形面积等于扇形面积减去对应的三角形面积.解:(1)如右图，因为半径为r的圆O中弦AB=r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB=.则弦AB所对的劣弧长为r.(2)∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2，S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2，∴S弓形=S扇形OAB-S△AOB=r2-r2=(-)r2.友情提示图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例是把弓形看成是扇形与三角形的差组成的，即可运用已有知识解决要求解的问题.类题演练 3求解：（1）已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数.(2)已知一扇形的圆心角是72°,半径等于20 cm,求扇形的面积.解析：(1)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π),弧长为l,半径为r,依题意有①代入②得r2-5r+4=0,解之得r1=1,r2=4.当r=1时，l=8(cm),此时，θ=8 rad＞2π rad舍去.当r=4时，l=2(cm),此时，θ= rad.(2)设扇形弧长为l,∵72°=72×(rad),∴l=αR=×20=8π(cm).∴S=lR=×8π×20=80π(cm2).变式提升 3一扇形圆心角为150°，半径为10,则扇形面积为多少？解析：150°=,S=|α|r2=××102=π.3.弧度的意义【例4】下列各命题中，假命题是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关思路分析:由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选D.答案：D友情提示掌握定义的准确表述，弧度是角的单位，不是弧的单位.类题演练 4下列各命题中，真命题是（）A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位解析：根据一弧度的定义：把长度等于半径长的弧所对圆心角叫做一弧度的角，由选项知，D为真命题.答案：D变式提升 4在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的…（）A.弦长相等B.弧长相等C.弦长等于所在圆的半径D.弧长等于所在圆的半径解析：由弧度的定义可知选D.答案：D。

90°
120°
弧度
角度
135°
150°
180°
210°
225°
240°
弧度
角度
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
5.扇形面积公式：．
二师生互动
例1把 化成弧度.
变式：把 化成度.
小结：在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可省略，如：3表示3rad，sin表示rad角的正弦.
例2用弧度制表示：
3下午正2点时，时针和分针的夹角为（）.
A. B. C. D.
4.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 .
5. 化为度表示是.
6．在 中，若 ，求A，B，C弧度数。
四课后反思
五课后巩固练习
1.用弧度制表示终边在下列位置的角的集合：
（1）直线y=x；（2）第二象限.
2.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，求其圆心角的弧度数，并化为度表示.
年级高一
学科数学
课题
弧度制
授课时间
撰写人
学习重点
了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算
学习难点
弧度的概念及其与角度的关系.
学习目标
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
（1）终边在 轴上的角的集合；
（2）终边在 轴上的角的集合.
变式：终边在坐标轴上的角的集合.
例3、知扇形的周长为8 ，圆心角 为2rad，，求该扇形的面积。