北师大版高一数学必修4课件1.3弧度制(共23张PPT)

1 2
1 2
是弧长.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 弧度制和角度制的区别和联系
1.弧度制是以“弧度 ”为单位度量角的单位制,角度制是以 “度 ”为单位 度量角的单位制,因此弧度制和角度制一样,都是度量角的方法. 2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度 ”两字可以省略不写;以度数为 单位表示角的大小时,度(° )不能省略不写. 3.弧度制比角度制有以下优点 :其一是在进位制上,角度制在度、分、 秒 上是 60 进位制,不便于计算,而弧度制是十进位制,给运算带来方便 ;其二是 在弧长公式与扇形面积公式的表达上,弧度制下的公式远比角度制下的公 式简单,运算起来也方便.
1 1 所对的圆心角,1 弧度的角是圆周的 所对的圆 360 2π
点评 分析判断概念问题,深刻地理解概念的内涵与实质是解决问
题的关键.
探究一
探究二
探究三
探究四

探究二 弧度制和角度制的互化
将角度制化为弧度制时,应用公式 1° =
π 180
rad;
180 π
将弧度制化为角度制时,应用公式 1 rad=
180 π π 180
rad 转化为弧度即可,
° 转化为度即可,单位“° ”不能省略.
(3)当角 α 用度表示时,终边与角 α 终边相同的角的集合可以表示为 S={β| β=α+k×360° ,k∈ Z},当角 α 是用弧度表示时,终边与角 α 终边相同的角 的集合可以表示为 S={β|β=α+2kπ,k∈ Z}.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列说法不正确的是(
)
A.“度”与“弧度 ”是度量角的两种不同的度量单位 B.1 度的角是圆周的 心角 C.根据弧度的定义,180° 一定等于 π rad D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关 解析:根据角度、弧度的定义,无论是角度制还是弧度制,角的大小都与 圆的半径长短无关,而与弧长和半径的比值有关,所以 D 选项错误. 答案:D

S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__的4_0_圆__中__，__圆心角为周角的
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
2k，k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360

弧度 6

4

3

2


3
2

2
弧度 度
弧度 度




0
12
6
4
3

故α＝24＝12(rad)，即扇形的圆心角为12 rad.
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目，已知哪 些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求 解．
[再练一题] 3.(1)已知扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积； (2)已知扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
l＝|α|r
扇形面积公式 S＝|3n6|π0r°2 S＝12l·r＝12|α|r2
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) (2)1度的角是周角的3160，1弧度的角是周角的21π.( ) (3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．( ) (4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有 关．( )
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我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【解】 (1)∵α＝30°＝π6，∴l＝|α|r＝π6×1＝π6(cm)， S＝12|α|r2＝12×π6×12＝1π2(cm2)， 故扇形的弧长为π6 cm，面积为1π2 cm2.
(2)设扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，由题意得

高一数学必修4任意角和弧度制课件高一数学必修4任意角和弧度制课件第一课时1.1.1任意角教学要求：理解任意大小的角正角、负角和零角，掌握终边相同的角、象限角、区间角、终边在坐标轴上的角.教学重点：理解概念，掌握终边相同角的表示法.教学难点：理解角的任意大小.教学过程：一、复习准备：1.提问：初中所学的角是如何定义角的范围（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；0°～360°）2.讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？→说明研究推广角概念的必要性（钟表；体操，如转体720°；自行车车轮；螺丝扳手）二、讲授新课：1.教学角的概念：①定义正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，未作任何旋转所形成的角叫零角.②讨论：推广后角的大小情况怎样（包括任意大小的正角、负角和零角）③示意几个旋转例子，写出角的度数.④如何将角放入坐标系中？→定义第几象限的角.（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.）⑤练习：试在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别在第几象限？⑥讨论：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？结论：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.口答：锐角是第几象限角第一象限角一定是锐角吗再分别就直角、钝角来回答这两个问题.⑦讨论：与60°终边相同的角有哪些都可以用什么代数式表示与α终边相同的角如何表示？⑧结论：与α角终边相同的角，都可用式子×360°＋α表示，∈Z，写成集合呢？⑨讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？注意：终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍2.教学例题：①出示例1：在0°～360°间，找出下列终边相同角：－150°、1040°、－940°.（讨论计算方法：除以360求正余数→试练→订正）②出示例2：写出与下列终边相同的`角的集合，并写出－720°～360°间角.120°、－270°、1020°（讨论计算方法：直接写，分析的取值→试练→订正）③讨论：上面如何求的值（解不等式法）④练习：写出终边在x轴上的角的集合，轴上呢坐标轴上呢第一象限呢⑤出示例3：写出终边直线在=x上的角的集合S,并把S中适合不等式的元素写出来.（师生共练→小结）3.小结：角的推广；象限角的定义；终边相同角的表示；终边落在坐标轴时等；区间角表示.三、巩固练习：1.写出终边在第一象限的角的集合第二象限呢第三象限呢第四象限呢直线=-x呢2.作业：书P6练习3③④、4、5题.第二课时：1.1.2弧度制（一）教学要求：掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R一一对应关系的概念.教学重点：掌握换算.教学难点：理解弧度意义.教学过程：一、复习准备：1.写出终边在x轴上角的集合.2.写出终边在轴上角的集合.3.写出终边在第三象限角的集合.4.写出终边在第一、三象限角的集合.5.什么叫1°的角计算扇形弧长的公式是怎样的二、讲授新课：1.教学弧度的意义：①如图：∠AOB所对弧长分别为L、L’，半径分别为r、r’，求证：＝.②讨论：是否为定值其值与什么有关系→结论：＝=定值.③讨论：在什么情况下为值为1是否可以作为角的度量④定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角.用rad 表示，读作弧度.⑤计算弧度：180°、360°→思考：－360°等于多少弧度？⑥探究：完成书P7表1.1-1后，讨论：半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数=？⑦规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.半径为r的圆心角α所对弧长为l，则α弧度数的绝对值为|α|＝.用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制.⑧讨论：由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？⑨讨论：1度等于多少弧度1弧度等于多少度→度表示与弧度表示有啥不同－720°的圆心角、弧长、弧度如何看？2.教学例题：①出示例1：角度与弧度互化：；.分析：如何依据换算公式（抓住：180°=prad）→如何设计算法→计算器操作：模式选择MODEMODE1(2)；输入数据；功能键SHIFTDRG1(2)=②练习：角度与弧度互化：0°；30°；45°；；；120°；135°；150°；③讨论：引入弧度制的意义（在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系）④练习：用弧度制表示下列角的集合：终边在x轴上；终边在轴上.3.小结：弧度数定义；换算公式（180°=prad）；弧度制与角度制互化.三、巩固练习：1.教材P10练习1、2题.2.用弧度制表示下列角的集合：终边在直线=x；终边在第二象限；终边在第一象限.3.作业：教材P115、7、8题.第三课时：1.1.2弧度制（二）教学要求：更进一步理解弧度的意义，能熟练地进行弧度与角度的换算.掌握弧长公式，能用弧度表示终边相同的角、象限角和终边在坐标轴上的角.掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式教学重点：掌握扇形弧长公式、面积公式.教学难点：理解弧度制表示.教学过程：一、复习准备：1.提问：什么叫1弧度的角1度等于多少弧度1弧度等于多少度扇形弧长公式2.弧度与角度互换：－π、π、－210°、75°3.口答下列特殊角的弧度数：0°、30°、45°、60°、90°、120°、135°、…二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：用弧度制推导：S＝LR；.分析：先求1弧度扇形的面积（πR）→再求弧长为L、半径为R 的扇形面积？方法二：根据扇形弧长公式、面积公式，结合换算公式转换.②练习：扇形半径为45，圆心角为120°，用弧度制求弧长、面积.③出示例：计算sin、tan1.5、cs（口答方法→共练→小结：换算为角度；计算器求）②练习：求、、的正弦、余弦、正切.2.练习：①.用弧度制写出与下列终边相同的角，并求0～2π间的角.π、－675°②用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在轴上角的集合终边在第三象限角的集合③讨论：α＝×360°＋与β＝2π＋30°是否正确？④α与－的终边相同，且－2π⑤已知扇形AOB的周长是6c，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.解法：设扇形的半径为r，弧长为l，列方程组而求.3.小结：扇形弧长公式、面积公式；弧度制的运用；计算器使用.三、巩固练习：1.时间经过2小时30分，时针和分针各转了多少弧度？2.一扇形的中心角是54°，它的半径为20c，求扇形的周长和面积.3.已知角α和角β的差为10°，角α和角β的和是10弧度，则α、β的弧度数分别是.4.作业：教材P10练习4、5、6题.。