概率论与数理统计7

第七章 统计假设

一、教学目的

1检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两种错误。

2了解单个与两个正态总体的均值与方差的假设检验。

3了解总体分布假设的2X检验法，F检验法，t检验法

二、教学重点

1假设检验的基本步骤，2x检验法

2单个正态总体的均值与方法的假设检验

三、教学难点

1非参数的假设检验

2正态母体总数的置信区间。

3柯尔莫歌洛夫拟合检验nD检验

§7.1假设检验的基本思想和概念

1. 统计假设：有关未知分布的假设 40000,N

①原假设：第一个假设（陈述的否定） 1500:0H

②备择假设：第二个假设（陈述本身） :1H›1500

（1） 参数假设 ：及到未知参数本身的统计假设

（2） 非参数假设：未知分布函数的类型或者它的某些特征提出假设

如 对数正态分布簇xFH:0

正态分布簇：xFH1

母体具体形式复合统计假设：不指定分布计假设完全确定母体的简单统计假设：一个统

3． 计假设问题：在给定备择假设LH的前提下，对原假设0H作出判断 。

（1）拒绝0H ，则接受1H 。

（2）接受0H ，则拒绝1H

该法则称为0H对1H 的一个检验法则，有时简称检验。

4． 拒绝域（临界域）：将子样空间划分为两个互不相交的子集21cc和 当子样观测值点121........Cxxxn），（则拒绝0H

当子样观测值点221........Cxxxn），（则拒绝1H

5.假设检验可能发生的两类错误。

1第一类错误（风险）“弃真”：原假设0H正确，却错误的拒绝0H

为真拒绝00|HHP 即011|....CxxPn

2第二类错误（风险）“收伪”：原假设0H不正确，却错误的接受0H

为假接受00|HHP 即021|......CxxPn

6.显著性检验问题。

对犯第一类错误加以控制，而不考虑第二类错误。在这一原则下，寻找临界域C只涉及到原假设0H，不涉及备择假设1H

7显著性水平

在进行显著性检验时，给定的犯第一类错误概率

二、小概率原理（实用统计原理）

小概率事件在一次实际实验中是不可能发生的。如果在一次实验中，居然发生了，人们宁愿认为该事件的前提条件起了变化（或发生了错误，或人为安排，或属于一种反常现象）。

三、假设检验的一般步骤：

1． 根据问题提出原假设H0和备择假设H1，要明白根据样本值x1，x2，„，xn去检验什么样的问题。

2． 寻找检验H0的合适统计量。

3． 由给定的显著水平，根据统计量的分布，查表定出相应的分位数的值，即临界值。（确定拒绝域）

4． 根据实测的样本值，具体计算出所统计量的值。视此值是否落入拒绝域。做出H0是否成立的判断。

作业P3661.2.3

§7.2参数假设检验

一、U-检验：

1、 双边检验：设1，2，„n取自正态母体N（，2）的一个样本，022为已知常数。

（1）检验假设H0：0 H1：0 （2）构造U统计量 n/0～N（0，1）

（3）给定显著性水平，查正态分布表，使P {n/00k}=

即 P{n/00k=1－ P（ku）=1－

211)(k 21)(k

上侧分位点k21 使P（21）=1－

确定拒绝域D：{（－,－21）（21，+）}

（4）计算子样的值，判断其是否落入拒绝域。

Eg1。P3157.2

2．单边检验

（1） 检验假设H0：0，H1：0

此时拒绝域确定方法有差别

P{n/00k}=为小概率事件

即P{k}= )(k 1)(k

查正态分布表，k=1 拒绝域D（－，1）

（2） 检验H0：0，H1：0

（3） 确定拒绝域，分两种情况：

（I）0 拒绝域D（－，1）

（ii）0，对于任何样本观测有：

n/0n/

 n/～N（0，1）

 在给定条件下，使P（n/00k）= 即1)(1

由于事件{n/00k}{n/k}

所以P（n/00k）P（n/k）

对假设H0而言，拒绝域仍为D

（3） 验H0：0，H1：0

此时拒绝域为D=（1，+）

（4） 检验H0：0，H1：0

拒绝域为D=（1，+）

二、t-检验

1． 方差未知,对正态总体N（2,）中参数进行检验

1． 1双边检验

①H0：0 H1：0

②构造t统计量 。t=n/00～t（n－1）

其中s= 1)(21nnii ，即用子样方差s，替代原来的总体方差

③给定显著性水平，确定拒绝域

P（kt）=，P（kt）=1－

查t-分布表，自由度取n-1，确定分位点21t（n-1）

确定拒绝域D=（－,－t21（n-1））（t21，+）

1．2 单边检验

（1） H0：0，H1：0

拒绝域D=（-,-t1（n-1））

（2） H0：0，H1：0 拒绝域D=（-,-t1（n-1））

（3） H0：0，H1：0

拒绝域D=（t21，+）

（4）H0：0，H1：0

拒绝域D=（t21，+）

2．双正态总体N（1，21） N（),222在假使方差2122条件下

（1） 检验H0：21， H1：21

（2） 构造t统计量t=2111nnSw ～t(n1-n2)

其中2)1()1(21221121nnSnSnSnnW 特别n1=n2时 22211nSnSSw

可以推广至检验 c21 此时将t统计量分子换成c

(3) 给定显著性水平 确定拒绝域

))2((21120nnttPH=

查t-分布表 拒绝域D=),(),(2211tt

（3） 求子样观测值的t-值，判断tD与否

P319例7.4（略）

三．X2-检验

单个正态总),(2N 有关方差假使检验

3.1 均值0已知

1． 双边检验

H0：202 H1=202

构造x2统计量 201202)(niix ～x2（n）

③给定，确定拒绝域c 使1)(2210kxkPH 由于c的结构形式为}{}{2212kxkx

即 112)(0kxPH 222)(0kxPH且21

为了计算方便，取221

查x2-分布表知，上侧分位点)(212nx 使 2))((212nxxP

)(22nx

使2))((22nxxP

拒绝域c)),(())(,0(221nxnx

类似地，可给出单边检验的拒绝域

（1）H0：202 H1：202

欲拒绝H0，即接受H1， Sn2/20必过分地大

x2=nSn2/20必过分地大，又由于E x2=n

 x2远离n的可能性较小

即 )(2kxP

确立临界值)(21nxk

拒绝域)),((1nxc

（2）H0：202 ， H1：202

查x2-分布表：临界值)(2nxk

拒绝域))(,0(2nxc

3.2 均值未知

此时构造x2统计量

0122022)()1(niisnx ～x2（1-n）

类似地确定双边检验：临界值)1(212nx

，)1(22nx

临界域)),1(())1(,0(21222nxnxc

单边检验：临界值 )1(21nx或)1(2nx 例7.5．P322

四．F-检验

双正态总体),(211N ),(222N

4.1 均值21,已知， ①22210:H。 22211:H

②21211221212221)()(niiniinnSSF ～ F（n1，n2）

③给定 确定临界域

双边检验：),(2112nnF

至于),(212nnF也可利用F-分布的性质

),(212nnF=1/),(2112nnF 特别地 n1=n2时 两者互为倒数

4.2 均值未知

双边检验：①22210:H。 22211:H

构造F=2*22*121nnSS ～ F（n1-1，n2-1）

其中 21112*1111nnSnnS 22222*2221nnSnnS

给定显著性水平，类似地运用F-分布表确定临界点

§7.3 正态总体参数的置信区间

一．置信区间．

设总体具有概率函数f（x，），为未知参数，n......1为取定这个总体的字样，若对于,10两个统计量).......(1^1n ).......(1^2n 使1}{^2^1p

则称区间),(^2^1为参数的置信度为1-的置信区间 ，^1称为置信下限，^2称为置信上限

注：①置信区间),(^2^1是一个随机区间，它的两端点是不依赖为的统计量

②其意义指在重复抽样下，许多不同的置信区间中大约100（1-)%的区间包含未知参数