概率论与数理统计11 随机试验

第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B .运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,当P(A)>0, P(B i )>0时,. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件. (1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kki i i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n 相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX k k P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0)三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数).2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(x x dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 . 3.三种重要的连续型随机变量的分布(1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布 ⎩⎨⎧=-0)(1a b x f 其它b x a << .(2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0).(3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布 222)(21)(σμσπ--=x e x f -∞<x<∞, σ>0.特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数 ⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(z α)=1-α , z 1- α= -z α. 四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.离散型随机变量的函数若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为 ()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y 其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 . (3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质 (1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性 ∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-y xdudv v u f ),( 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y)关于X 的边缘分布律 P{X= x i }= ∑∞=1j ij p = p i · ( i =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p ·j ( j =1,2,…) 归一性 11=∑∞=•j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X 关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dy y f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j = p i ··p ·j ( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j 成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X (x)f Y (y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立. 六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称P{X=x i |Y=y j } 为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称 P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X) ∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2} []∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .,}{},{jji j j i p p y Y P y Y x X P •=====,}{},{•=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2 D(X) .2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0⇔ P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X) 1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) n pn p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/125.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ26.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E{[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l }第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i X X n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==ni k i k X X n B 1)(1( k=1,2,…)二.抽样分布 即统计量的分布1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n . 特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2 /n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2). ③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P 的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点.3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1 ),Y~ χ2 (n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) . ③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2 Y S 22则 212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意: .).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111kk k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p(x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,X n 的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧k θθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由似然方程组 0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量. 二.区间估计1.求参数θ的置信水平为1-α的双侧置信区间的步骤(1)寻找样本函数W=W(X 1 ,X 2 ,…,X n ,θ),其中只有一个待估参数θ未知,且其分布完全确定. (2)利用双侧α分位点找出W 的区间(a,b),使P{a<W <b}=1-α. (3)由不等式a<W<b 解出θθθ<<则区间(θθ,)为所求. 2.单个正态总体待估参数 其它参数 W 及其分布 置信区间μ σ2已知 nX σμ-~N (0,1) (2/ασz n X ±) μ σ2未知 nS X μ-~ t (n-1) )1((2/-±n t n S X α σ2 μ未知 22)1(σS n -~ χ2(n-1) ))1()1(,)1()1((22/1222/2-----n Sn n S n ααχχ 3.两个正态总体 (1)均值差μ 1-μ 2其它参数 W 及其分布 置信区间已知2221,σσ22212121)(n n Y X σσμμ+--- ~ N(0,1) )(2221212n n z Y X σσα+±-未知22221σσσ== 212111)(n n S Y X w +---μμ～t(n 1+n 2-2) )11)2((21212n n S n n t Y X w+-+±-α 其中S w 等符号的意义见第六章二. 3 (2)③.(2) μ 1,μ 2未知, W=22212221σσS S ~ F(n 1-1,n 2-1),方差比σ12/σ22的置信区间为))1,1(1,)1,1(1(212/12221212/2221----⋅-n n F S S n n F S S αα注意:对于单侧置信区间,只需将以上所列的双侧置信区间中的上(下)限中的下标α/2改为α,另外的下(上)限取为-∞ (∞)即可.。

习题 1.11. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.(4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2,,6}i j i j Ω===L L ; (2){|0,1,,9}i i Ω==L ;(3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … };(4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次,正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)};(5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤.2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”.(2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”.解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=;(2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =.3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件: (1) 事件“,,A B C 中至少有一个事件发生”.(2) 事件“,,A B C 中至少有两个事件不发生”. (3) 事件“,,A B C 中至多有一个事件不发生”. (4) 事件“,,A B C 中至少有一个事件不发生”. (5) 事件“,A B 至少有一个发生,而C 不发生”. 解:(1)A B C U U ;(2)()()()A B A C B C U U 或 ()()()()A B C A B C AB C A B C U U U ; (3)()()()()ABC A BC AB C AB C U U U 或()()()AB AC BC U U ; (4)A B C U U ;(5)()A B C U I 或()()()ABC ABC ABC U U . 4. 指出下列命题哪些成立,哪些不成立?(1) ()A B AB B =U U . (2) ()A B A AB =U U . (3) ()()A AB AB =U . (4) ()A B C A B C =U . (5) A B A B =U . (6) ()()AB AB =∅I . (7) A B ⊂等价于A B B =U 或AB A =或B A ⊂. (8) 若AB =∅,则A B ⊂.解:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)正确;(5)错误;(6)正确;(7)正确;(8)正确.5. 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A 表示被选学生是女生, 事件B 表示被选学生是三年级学生, 事件C 表示被选学生是运动员. (1)叙述ABC 的意义.(2)在什么条件下ABC A =成立? (3)什么时候A C =成立?解: (1)被选学生是三年级男运动员;(2)因为ABC A =等价于A BC ⊂,即数学系的女生全部都是三年级运动员;(3)数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.6. 试用维恩图说明,当事件A ,B 互不相容,能否得出A ,B 也互不相容? 解: 不能.7. 设样本空间{}010x x Ω=≤≤, 事件{}27A x x =≤≤,{}15B x x =≤≤,试求: ,,,A B AB B A A B -U U .解:{}17A B x x =≤≤U ;{}25AB x x =≤≤;{}12B A x x -=≤<;[0,2)(5,10]A B AB ==U U .习题 1.2(6) 设A B ⊂,()()0.2,0.3,P A P B ==求(1)()P A B U ; (2)()P BA ;(3)()P A B -. 解: ()()0.3P A B P B ==U ;()()()0.1P B A P B P A =-=;()()0P A B P -=∅=.(7) 设()(),P AB P A B = 且()2,3P A =求()P B .解:注意到()()1()1()()()P A B P A B P A B P A P B P AB ==-=---U U . 从而由()()P AB P A B =得()()1P A P B +=.于是1()1()3P B P A =-=.(8) 设,,A B C 为三个随机事件, 且1()()(),2P A P B P C ===1()(),3P AB P BC ==()0P AC =,求()P A B C U U .解: 由()0P AC =知()0P ABC =. 于是由广义加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+U U325236=-=. (9) 设,A B 为两个随机事件,且()0.7,()0.9P A P B ==,问:(4)在什么条件下, ()P AB 取到最大值,最大值是多少? (5)在什么条件下, ()P AB 取到最小值,最小值是多少?解:(1)由于()()()()P AB P A P AB P B ≤≤且.由此可见在A B ⊂条件下,()P AB 取到最大值()0.7P A =. (6)注意到()()()()P AB P A P B P A B =+-U . 因此当()1P A B =U 时,()P AB 取到最小值0.70.910.6+-=.思考: 有人说(2),在AB =∅时,()P AB 取到最小值0. 你能指出错误在什么 地方吗?(10) 设,A B 为两个随机事件,证明: (1) ()1()()()P AB P A P B P A B =--+.(2) 1()()()()()()P A P B P AB P A B P A P B --≤≤≤+U .证明:(1)由广义加法公式可得()1()1()()()P AB P A B P A P B P A B =-=--+U .(2)由(1)立得1()()()P A P B P AB --≤. 其余不等式是显然的.(11) 设,,A B C 为三个随机事件,证明:()()()()P AB P AC P BC P A +-≤. 证明:由广义加法公式可得()(())(()())()()()()()().P A P A B C P AB AC P AB P AC P ABC P AB P AC P BC ≥==+-≥+-I U U(12) 设12,,,n A A A L 为n 个事件,利用数学归纳法证明: (1) (次可加性) ()121()nn k k P A A A P A =≤∑U UL U .(2) ()121()(1)nn k k P A A A P A n =≥--∑L .证明: (1) 当2n =时, 由广义加法公式有()21212121()()()()k k P A A P A P A P A A P A ==+-≤∑U .即对2n =成立.假设对n k =成立, 于是()12112111()()()()().k k k k k k P A A A A P A A A P A P A P A P A +++≤+≤+++U UL U U U UL U L即对1n k =+成立. (1)得证.(2)当2n =时, 由广义加法公式有()12121212()()()()()1P A A P A P A P A A P A P A =+-≥+-U . 即对2n =成立.假设对n k =成立, 即()121()(1)kk i i P A A A P A k =≥--∑L .于是()1211211111()()1()(1)()1().k k k k ki k i k i i P A A A A P A A A P A P A k P A P A k +++=+=≥+-≥--+-=-∑∑L L即对1n k =+成立. (2)得证. (13) 设12,,A A L为一列事件，且1,1,2,n n A A n +⊂=L，证明:1()lim ()n n n n P A P A +∞→+∞==I .证明:(利用性质6(1)的结论)显然12,,A A L 为一列事件，且1,1,2,n n A A n +⊂=L ，即性质6(1)的条件成立,因此1()lim ()n n n n P A P A +∞→+∞==U .于是11()1()1lim ()lim ()n n n n n n n n P A P A P A P A +∞+∞→+∞→+∞===-=-=I U .习题 1.3(7)掷两颗均匀的骰子,求下列事件概率: (1)两颗骰子的点数相同;(2)两颗骰子的点数之和为偶数;(3)一颗骰子的点数恰是另一颗骰子的点数的两倍.解:(1)16; (2) 12; (3)318.(8)有五条线段,长度分别为1,3,5,7,9(单位cm),从这五条线段中任取三条,求所取的三条线段能拼成三角形的概率. 解:由古典概型可得所求的概率为353310C =. (9)一个小孩用13个字母:A 、A 、A 、C 、E 、H 、I 、I 、M 、M 、N 、T 、T 做组字游戏.如果字母的各种排列是随机的,问组成”MATHEMATICIAN ”一词的概率为多少?解:由古典概型可得所求的概率为3!2!2!2!13!. (10)n 个人随机地排成一列,甲、乙是其中的两个人,求甲、乙两人之间恰好有r 个人的概率, 这里0,1,,2r n =-L .解:由古典概型可得所求的概率为2(1)!!2!!rn C n r r n -⋅--.(11) n 个男孩和m 个女孩(1m n ≤+)随机排成一列,求任意两个女孩都不相邻的概率.解:n 个男孩和m 个女孩(1m n ≤+)随机排成一列共有()!n m +种排法. 任意两个女孩都不相邻可按如下方式进行: 先将n 个男孩排好,共有1n +个间隔,从1n +个间隔中选出m 个位置进行女生排列.因此排法总数为1!!m n C n m +.从而由古典概型可得所求的概率为1!!()!m n C n m n m ++.(12) 从n 双尺码不同的鞋子中任取2(2)r r n <只,求下列事件的概率:a) 所取的2r 只鞋子中没有两只成对的; (2) 所取的2r 只鞋子中只有两只成对的; (3) 所取的2r 只鞋子恰成r 对.解:(1)2222r r n r n C C ⋅;(2)12(1)2(1)1222r r n n rnC C C ---⋅⋅;(3)22r n r n C C . (13) 掷一枚均匀的硬币n 次,求出现的正面次数多于反面次数的概率.解:设A 表示硬币出现的正面次数多于反面次数,B 表示硬币出现的反面次数多于正面次数,C 表示硬币出现的反面次数等于正面次数.易见()()()1P A P B P C ++=, ()()P A P B =.当21n m =+时,易见()0P C =,从而1()2P A =. 当2n m =时,易得21()2n n nP C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.从而211()122n n n P A C ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.(14) 从一个装有a 个白球,b 个黑球的袋中逐一将球不放回地随机取出,直至留在袋中的球都是同一颜色的球为止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此题设想将袋中的a 个白球和b 个黑球全部摸出,则最后一次(第a b +次)摸出白球与本题所述的事件相同.因此由抽签原理可得所求的概率为aa b+. (15)口袋中有5个白球、3个黑球,从中任取两个,求至少取到一个白球的概率.解:所求的概率为23281C C -.(16)某人有m 把钥匙，其中只有一把能打开门,他一把接一把地试开门,不能开门的就扔掉．求他恰好在第k 次把门打开的概率． 解:所求的概率为()()1(2)(1)111(1)m m m k m m m k m-⋅--+⨯=⋅--+L L .(17)任取一个正整数,求下列事件的概率:a) 该数平方的个位数是1; (2)该数立方的个位和十位都是1.解:(1)我们知道一个数平方的个位数只与该数的个位数有关.因此我们观察取出数的个位数,其样本空间为{0,1,2,,9}Ω=L .易知其是古典概型.设A 表示该数平方的个位数是1, 则{1,9}A =,于是2()10P A =. (2)一个数立方的个位和十位与该数的个位和十位有关.因此我们观察取出数的个位和十位数,其样本空间为{00,01,02,,99}Ω=L ,B 表示该数立方的个位和十位都是1.则{71}B =,于是1()100P B =. (18)某人忘记了一个电话号码的最后一位数字，因此只能试着随意地拨这位数，假设拔完规定电话位数算完成一次拨号，且假设对方电话不占线，试问他拨号不超过四次就能接通电话的概率是多少?解:所求的概率为191981987141010910981098710⨯⨯⨯⨯⨯⨯+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯. (19)一公司批发出售服装，每批100套．公司估计某客商欲购的那批100套服装中有4套是次品，12套是等级品，其余是优质品，客商在进货时要从中接连抽出2套做样品检查，如果在样品中发现有次品，或者2套都是等级品，客商就要退货．试求下列事件的概率：(1)样品中1套是优质品，1套是次品；(2)样品中1套是等级品，1套是次品；(3)退货；(4)该批货被接受；(5)样品中恰好有1套优质品． 解:(1)样品中1套是优质品，1套是次品的概率为2100844C ⨯; (3))样品中1套是等级品，1套是次品的概率为2100124C ⨯; (4)退货的概率为229612221001001C C C C ⎛⎫+- ⎪⎝⎭;(5)该批货被接受的概率为22229696121222210010010011C C C C C C C ⎡⎤⎛⎫--+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦; (6)样品中恰好有1套优质品的概率为21008416C ⨯. (20)在桥牌比赛中,把52张牌(不包括大小王)任意地分给东、南、西、北四家(每家13张牌),求下列事件的概率:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花;(2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃；(3) 南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃.解:(1)北家的13张牌中恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率为54311313131339!13!13!13!52!13!13!13!13!C C C C ⋅或54311313131352!13!39!C C C C ;(2)南家及北家共有9张黑桃,东、西两家各有2张黑桃的概率为13!39!9!2!2!17!11!11!52!26!13!13!⋅;(3)南家及北家共有9张黑桃,东家有1张黑桃,西家有3张黑桃的概率为13!39!9!1!3!17!12!10!52!26!13!13!⋅.(21)将3个球随机地放入4个杯子,求4个杯子中球的个数最大值为2的概率.解: 3个球随机地放入4个杯子共有34种放法. 4个杯子中球的个数最大值为2相当于先从3个球中任意地选出2个球作为一个整体和另外一个球放到4个杯子(注意不能同时放入同一个杯子)的放法总数为24A .于是所求的概率为2434A . (22) 设集合A 有4个元素, 集合B 有3个元素,随机地作集合A 到集合B的映射,求该映射为满射的概率.解:该映射为满射的概率为2443!3C ⋅.(23)将m 个球随机地放入n ()n m ≤个盒子中,求下列事件的概率:(14) 每个盒子中均有球; (2)恰好有1个盒子空着的概率. 解:设i A 表示第i 个盒子无球,1,2,,i n =L .(6) 设A 表示每个盒子中均有球.则1212n n A A A A A A A ==L U UL U .注意到(1)()mi mn P A n -=, 1,2,,i n =L , (2)()mi j mn P A A n -=,1i j n ≤<≤,M1212()(),1,1,2,,.k m i i i k mn k P A A A i i i n k n n-=≤<<<≤=L L L 于是由广义加法公式有()112121112111()()(1)()(1)(2)1().nn n i i j n i i j nm mn nn nm m mm n k n mk P A A A P A P A A P A A A n n C C C n n n n k C n +=≤<≤--==-++---=+++-=∑∑∑U UL U L L L从而()()112121()()11mn kn n nmk n k P A P A A A P A A A C n -=-==-=-∑U UL U U UL U . (7) 恰好有1个盒子空着可以这样理解,先从n 个盒子任意选定1个空盒,然后将m 个球随机地放入1n -个盒子,使得1n -个盒子都有球. 从而由(1)及乘法原理可知"恰好有1个盒子空着"共有2111(1)(1)n m k m nn k C n C n k --=⎡⎤----⎢⎥⎣⎦∑样本点,于是其概率为2111(1)(1)n m k m nn k m C n C n k n --=⎡⎤----⎢⎥⎣⎦∑. (24)某班有m 个同学参加面试,共有n ()n m ≤张考签,每人抽到考签用后即放回,在面试结束后,求至少有一张考签没有被抽到的概率.(8) 解:设i A 表示第i 张考签没有被抽到,1,2,,i n =L .设A 表示至少有一张考签没有被抽到. 则12n A A A A =U UL U .注意到(1)()mi mn P A n -=, 1,2,,i n =L , (2)()mi j mn P A A n -=,1i j n ≤<≤,M1212()(),1,1,2,,.k m i i i k mn k P A A A i i i n k n n-=≤<<<≤=L L L 于是由广义加法公式有()112121112111()()()(1)()(1)(2)1().nn n i i j n i i j nm mn nn nm m mm n k n mk P A P A A A P A P A A P A A A n n C C C n n n n k C n +=≤<≤--===-++---=+++-=∑∑∑U UL U L L L (25)从n 阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率为多少?解:设i A 表示所取的项含第i 行第i 列主对角线元素,1,2,,i n =L .设A 表示所取的项包含主对角线元素. 则12n A A A A =U UL U . 注意到(1)!()!i n P A n -=, 1,2,,i n =L , (2)!()!i j n P A A n -=,1i j n ≤<≤, M1212()!(),1,1,2,,.!k i i i k n k P A A A i i i n k n n -=≤<<<≤=L L L 于是由广义加法公式有()1121211121()()()(1)()(1)!(2)!1!!!1.!nn n i i j n i i j nn nn nnk P A P A A A P A P A A P A A A n n C C C n n n k +=≤<≤===-++---=+++=∑∑∑U UL U L L L习题 1.51. 已知111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,求()P B ; ()P A B U ;()P A B . 解：注意到1()()(|),12P AB P A P B A ==故 ()1/121()(|)1/26P AB P B P A B ===. 1()()()()3P A B P A P B P AB =+-=U .1()()()6P A B P A P AB =-=. □2. 设()0.4,()0.7,P A P B ==试证:(|)0.5.P B A ≥证明: 因为()()()()()0.3P A B P B P AB P B P A =-≥-=, ()1()0.6P A P A =-= . 故 ()0.3(|)0.5.0.6()P A B P B A P A =≥= □ 3. 设N 件产品中有M 件不合格品,从中逐一不放回地取出两件产品, (6)已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率;(7)已知所取的两件产品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:(1)设i A 表示"第i 次取出不合格品",1,2i =. 于是所求的概率为211()1M P A A N -=-. (2)设A 表示所取的两件产品中有一件是不合格品, B 表示另一件也是不合格品. 于是所求的概率为2222222()().()1MN M N M N N MNC C C P AB P B A C P A C C C --===-- □ 4. 掷两颗均匀的骰子,(1)已知点数和为偶数,求点数和等于8的概率;(2) 已知点数和为奇数,求点数和大于6的概率;(3) 已知点数和大于6,求点数和为奇数的概率.解: (1)所求的概率为518; (2)所求的概率为1218; (3)所求的概率为1221. □ 5. 一个家庭中有三个小孩,已知其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率. 解: A 表示三个小孩中有一个是女孩, B 表示三个小孩中至少有一个是男孩, 于是所求的概率为()6/86().()7/87P AB P B A P A === □ 6. 为防止意外事故，在矿井内同时安装两种警报系统A 与B ，每种系统单独使用时，其有效率A 为0.92,B 为0.93，在A 失灵条件下B 有效概率为0.85．求：(1)发生事故时，这两种警报系统至少有一个有效的概率；(2)在B 失灵条件下，A 有效的概率.解:A 表示系统A 有效, B 表示系统B 有效. 由题意知()0.92,()0.93,(|)0.85P A P B P B A ===,从而()(|)()0.850.080.068,P A B P B A P A ==⨯= ()()()0.862P AB P B P A B =-=.(1)所求的概率为()()()()0.988P A B P A P B P AB =+-=U .(2)所求的概率为()()()(|)0.8291()()P A B P A P AB P A B P B P B -===-. □7. 口袋中有1只红球和1n -只白球,现从中一个一个不放回地取球, (1) 已知前1()k k n -≤次都没有取到红球,求第k 次取出红球的概率. (2) 求第k 次取出红球的概率. 解: (1)所求的概率为11n k -+;(2)所求的概率为1n. □ 8. 口袋中有a 只白球、b 只黑球和3个红球,现从中一个一个不放回地取球,试求白球比黑球出现得早的概率. 解:设A 表示白球比黑球出现得早,i B 表示第i 次取出白球, i C 表示第i 次取出黑球, i D 表示第i 次取出红球, 则1121231234()()()A B D B D D B D D D B =U U U , 且1121231234,,,B D B D D B D D D B 两两互斥,于是1121231234()()()()()P A P B P D B P D D B P D D D B =+++aa b=+. □ 9. 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手1人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.5，0.2. 求任取一位射手，他能通过选拔进入比赛的概率. 解: 设i B 表示选出i 级射手,1,2,3,4i =. A 表示选出的射手能通过选拔进入比赛.于是由全概率公式得41()(|)()0.645.iii P A P A B P B ===∑ □10. 12个乒乓球中有9个新球，3个旧球，第一次比赛，取出3个球，用完放回，第二次比赛又取出3个球.求第二次取出的3个球中有2个新球的概率. 解:设i B 表示第一次比赛取出3个球中有i 个新球, 0,1,2,3i =. A 表示第二次取出的3个球中有2个新球. 由全概率公式知21333939333001212()(|)().i i i ii i i i C C C C P A P A B P B C C --+====⨯∑∑g g □ 11. 某商店出售尚未过关的某电子产品，进货10件，其中有3件次品，已经售出2件,现要从剩下的8件产品中任取一件，求这件是正品的概率. 解: 设i B 表示已经售出2件产品中有i 件次品,0,1,2i =.A 表示从剩下的8件产品中任取一件产品是正品.则由全概率公式知222372001057()(|)().810i i i i i i C C i P A P A B P B C -==⋅+==⨯=∑∑ □ 12. “学生参加选择题的测验,每一个题目有5个备选答案，其中有一个正确．若该学生知道答案，则他一定能选出正确的答案，否则他随机地从5个答案中选一个．若该学生知道所有试题的70％的正确答案，求：(1)对一试题，该学生选得正确答案的概率是多少?(2)若该学生对一试题已选得正确答案，问他真正知道此题答案的概率是多少?13. 设有来自3个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生报名表的概率.(2) 已知后抽到的一份是男生报名表,求先抽到的一份是女生报名表的概率. 14. 口袋中有一球,不知它的颜色是黑的还是白的,假设”该球是白球”的可能性为12.现再往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只,已知取出的是白球,求口袋中原来那只球是白球的概率.解: 设B 表示"往口袋中放入一只白球,然后从口袋中任意取出一只是白球," A 表示口袋中原来那只球是白球. 则由贝叶斯公式知11(|)()22(|)1113(|)()(|)()1222P B A P A P A B P B A P A P B A P A ⨯===+⨯+⨯. □15. 甲、乙两人轮流掷一颗骰子,甲先掷.每当某人掷出1点时,则交给对方掷,否则此人继续掷.试求第n 次由甲掷的概率. 解:设i A 表示第i 次由甲掷, 1,2,,i n =L . 显然125()1,()6P A P A ==, 1151(|),(|)66i i i i P A A P A A ++==,1,2,,i n =L . 于是由全概率公式有111()(|)()(|)()51()(1())6614(),1,2,,.66i i i i i i i i i i P A P A A P A P A A P A P A P A P A i n +++=+=⋅+⋅-=+⋅=L从而112()123i i P A -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 2,,i n =L . □ 16. 设()0P A >,证明:()(|)1()P B P B A P A ≥-. 证明:注意到()()()()()P AB P A P AB P A P B =-≥-, 不等式两边同除以()P A 得()()()()(|)1()()()P AB P A P B P B P B A P A P A P A -=≥=-. □ 17. 设0()1P B <<,证明: (|)()P A B P A ≤的充要条件是(|)()P A B P A ≥. 证明:(|)()()()()()()()()()()()()(|)().P A B P A P AB P A P B P AB P A P AB P A P A P B P A P B P A B P A ≤⇔≤⇔=-≥-=⇔≥ □。

·1·习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。

（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。

结论：随机现象是不确定现象之一。

2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。

E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。

E3：记录110报警台一天接到的报警次数。

E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。

E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。

E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。

随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。

样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。

所有样本点的集合称为样本空间，记作。

举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。

3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。

只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。

必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。

（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。

性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。

注：与集合包含的区别。

相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。

（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。

《概率论与数理统计》作业集及答案第 1 章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形 . 样本空间是： S= ；(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ；2.(1) 丢一颗骰子 . A ：出现奇数点，则A= ； B：数点大于 2，则 B=.(2) 一枚硬币连丢 2 次， A ：第一次出现正面，则 A= ；B：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C=.§1 .2随机事件的运算1.设 A、 B、 C 为三事件，用 A、 B、 C的运算关系表示下列各事件：(1)A 、 B、C 都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：.(3)A 与 B 都不发生 , 而 C 发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：. (5)A 、B、C 中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.2. 设S{ x : 0 x 5}, A { x :1 x 3}, B { x : 24} ：则（ 1）A B，（2）AB，（3）A B，（ 4）A B =，（5）A B=。

§1 .3概率的定义和性质1.已知 P( A B) 0.8, P( A) 0.5, P(B)0.6 ，则(1)P( AB),(2)(P( A B) )=,(3) P( A B) =.2.已知P( A)0.7, P( AB ) 0.3,则P( AB)=.§1 .4古典概型1.某班有 30 个同学 , 其中 8 个女同学 , 随机地选 10 个 , 求:(1) 正好有 2 个女同学的概率 ,(2) 最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率 .2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中 , 求有三个盒子各一球的概率 .§1 .5条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为 1 的概率是。

概率论与数理统计参考答案（附习题）第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度.解： 所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生；（2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生；（6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解： 所求的事件表示如下(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B CA B C A B C A B CA B C AB CA B B C A CA BB CC A3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC =C 成立？ （3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？解： 所求的事件表示如下（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ⊂是正确的. （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3, 所以 P (AB )=0.4, 故 ()P AB = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 1111500044488=++---+=6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜色相同}，B ＝{两球颜色不同}.解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B的事件数为1111112ab b a a b A A A A A A +=, 则 2211222()()a b a ba b a bA A A A P A PB A A +++==7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则333333101016()()120720或者====C A P A P A C A . （2）设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语}根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2) ()()()P ABC P AB P ABC =-()01()P A B P A B =+-=-+ 1()()()P A P B P AB =--+433532541100100100100=--+=9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求： （1） 取到的都是白子的概率；（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C . (3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.74=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则500500364()1()10.746365=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)412612611()0.007312⨯⨯==C C P B11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有2222770.000794A A p A ==12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有⋅4452C 中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有⋅==445410280()210C P A C13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+ 所以 ()11i i i P A p i=-=+ 123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =11112111311,(2)23423423424P x ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式12()()()()()(|)()(()|)P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84因此P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件}, 由题意01914911050192482105019347310501944611050(|)01(|)516(|)4939(|)98988(|)2303=========P B A C C P B A C C C P B A CC C P B A C C C P B A C由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 40()()(|)0.196===∑i i i P B P A P B A 由Bayes 公式000111222()(|)(|)0()()(|)(|)0.255()()(|)(|)0.333()======P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 故20()(|)0.588===∑i i P C P A B16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解 设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05.因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式31333()()(|)0.80.980.150.900.050.100.8624===⨯+⨯+⨯=∑i i i P B P A P B A由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为313233()(|)0.80.98(|)0.8731()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268()0.8624()(|)0.050.10(|)0.0001()0.8624⨯===⨯===⨯===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B 由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收}则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：042314244222424(|)1,5(|),695(|)138P A H C P A H C C P A H C =====(1)由全概率公式20()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H(2)由Bayes 公式 得00()(|)0.81(|)0.83()0.96β⨯====i P H P A H P H A P A18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C (2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？ 解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为332213333(2)(3)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.648=+=+=A P P P C C在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为55533244155555(3)(4)(5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.682=++=++=B P P P P C C C因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大.20. 4次重复独立试验中事件A 至少出现一次的概率为6581，求在一次试验中A出现的概率.解 设在一次独立试验中A 出现一次的概率为p, 则由题意00444465(0)(1)181==-=-P C p q p 解得p=1/3.21.（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为解 设=B “取出白球”，=i A “球取自第i 个箱子”，.3,2,1=i 321,,A A A 是一个完全事件组，.3,2,1,3/1)(==i A P i 5/1)|(1=A B P ，2/1)|(2=A B P ，8/5)|(3=A B P ，应用全概率公式与贝叶斯公式,12053)852151(31)|()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P.5320)()|()()|(222==B P A B P A P B A P22.（89，2分）已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)|(=A B P ，则和事件B A ⋃的概率=⋃)(B A P 解 7.0)|()()()()()()()(=-+=-+=⋃A B P A P B P A P AB P B P A P B A P .23.（90，2分）设随机事件A ，B 及其和事件B A ⋃的概率分别是4.0，3.0和6.0. 若B 表示B 的对立事件，那么积事件B A 的概率=)(B A P解 B A 与B 互不相容，且.B B A B A ⋃=⋃ 于是.3.0)()()(=-⋃=B P B A P B A P24.（92，3分）已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ，则事件A ，B ，C 全不发生的概率为 解 从0)(=AB P 可知，0)(=ABC P .)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +--++=⋃⋃.8501611*********=+---++=25.（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为解 设事件=i B “第i 次抽出次品”，.2,1=i 则,12/2)(1=B P 12/10)(1=B P ，.11/2)|(,11/1)|(1212==B B P B B P 应用全概率公式)|()()|()()(1211212B B P B P B B P B P B P +=.611121210111122=⨯+⨯=26.（94，3分）已知A ，B 两个事件满足条件)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则=)(B P解 ).()()(1)()(AB P B P A P B A P B A P +--=⋃=因)()(B A P AB P =，故有.1)(1)(,1)()(p A P B P B P A P -=-==+27.（06，4分）设A ，B 为随机事件，且0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ ） A ．)()(A P B A P >⋃ B ．)()(B P B A P >⋃ C ．)()(A P B A P =⋃ D ．)()(B P B A P =⋃解 选（C ）28.（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从1，2，…，X 中任取一个数，记为Y ，则==)2(Y P 解 填.481329.（96，3分）设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为%1和%2，现从由A 和B 的产品分别占%60和%40的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品属A 生产的概率是解 设事件=C “抽取的产品是次品”，事件=D “抽取的产品是A 生产的”，则D 表示“抽取的产品是工厂B 生产的”. 依题意有.02.0)|(,01.0)|(,40.0)(,60.0)(====D C P D C P D P D P应用贝叶斯可以求得条件概率.7302.04.001.06.001.06.0)|()()|()()|()()|(=⨯+⨯⨯=+=D C P D P D C P D P D C P D P C D P30.（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黄球，30只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件=i A “第i 个人取得黄球”，2,1=i . 根据题设条件可知.4920)|(,4919)|(,5030)(,5020)(121211====A A P A A P A P A P 应用全概率公式.524920503049195020)|()()|()()(1211212=⋅+⋅=+=A A P A P A A P A P A P31.（87，2分）设在一次试验中，事件A 发生的概率为p 。

《概率论与数理统计》综合复习资料第一章 随机事件与概率一、填空题（请把答案填在题中横线上）：1．一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球，若以A 表示：“取到的两只球均为白球”；B 表示：“取到的两只球同色”； C 表示：“取到的两只球至少有一只白球”。

则=)(A P ；=)(B P ； =)(C P 。

2．一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为 ；取到的两只球颜色相同的概率为 ；取到的两只球至少有一个黑球的概率为 ；取到的两只球没有黑球的概率为 。

3．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，则：取到的是白球的概率为 ；取到的是黑球的概率为 。

4．一个袋子中有5个新球3个旧球，从中取球两次，每次取一个（无放回），若以A 表示：“取到的两个球均为旧球”；B 表示：“取到的两个球恰有一个旧球”； C 表示：“取到的两个球至少有一个旧球”。

则=)(A P ；=)(B P ；=)(C P 。

5．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。

则 第二次取出的是次品的概率为 ；两次都取到正品的概率为 ；第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 ；第一次取到次品，第二次取到正品的概率为 ；恰有一次取到次品的概率为 ；两次都取到次品的概率为 ;恰有一次取到正品的概率为 ；已知第一次取到的是次品，第二次取到正品的概率为 ；已知第一次取到的是次品，第二次取到次品的概率为 。

6．一批产品共有6件正品2件次品，从中任取两件，则：两件都是正品的概率为 ；恰有一件次品的概率为 ；两件都是次品的概率为 ；至少取到一件次品的概率为 。

7．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今由两人依次随机地各取一球，取后不放回，则：第二个人取得黄球的概率是 ；两个人都取得黄球的概率是 ；至少有一人取得黄球的概率是 。