2020年高中数学第二章函数2.2.2二次函数的性质与图象练习新人教B版必修1
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1 2.2.2 二次函数的性质与图象
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[A组 基础过关]
1．二次函数y＝－2x2＋4x－5，它的对称轴、顶点坐标分别是( )
A．直线x＝1，(1，－3)
B．直线x＝－1，(－1，－3)
C．直线x＝1，(1,3)
D．直线x＝－1，(－1,3)
解析：y＝－2x2＋4x－5＝－2(x－1)2－3，∴对称轴为x＝1，顶点为(1，－3)．
答案：A
2．已知二次函数y＝－2x2＋6x－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )
A．92 B．92，＋∞
C．{9} D．(－∞，9)
解析：由题意得Δ＝36－4×2m＜0，即m＞92.
答案：B
3．已知f(x)＝ax2＋(b－3)x＋3，x∈[a2－2，a]是偶函数，则a＋b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题可知 a2－2＝－a，b－3＝0，a>0，
∴ a＝1，b＝3.∴a＋b＝4，故选D．
答案：D
4．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是( )
A．f(x)＝x2＋6x
B．f(x)＝x2＋8x－7
C．f(x)＝x2＋2x－3
D．f(x)＝x2＋6x－10
解析：f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1＋1)2＋4(x－1)＋4－5＝(x－1)2＋2(x－1)＋1＋4(x－1)－1＝(x－1)2＋6(x－1)．
∴f(x)＝x2＋6x.故选A． 2 答案：A
5．如果函数y＝|x2－1|的图象与直线y＝x＋k的交点恰为3个，则k的值为( )
A．1 B．54
C．1或54 D．0或1
解析：在同一坐标系中作出y＝|x2－1|与y＝x＋k的图象，如图所示：
当直线过(－1,0)点时，有3个交点，
即0＝－1＋k，∴k＝1.
当直线y＝x＋k与y＝1－x2相切时，有3个交点．
由1－x2＝x＋k，
得x2＋x＋k－1＝0，
Δ＝1－4(k－1)＝0，∴k＝54.故选C．
答案：C
6．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
解析：A中，图象开口向下，a<0，对称轴－b2a<0，∴b<0，又f(0)＝c<0，∴abc<0，不符合题意； 3 B中， a<0，－b2a>0，f0＝c>0，∴a<0，b>0，c>0，abc<0，不符合题意；
C中， a>0，－b2a<0，f0＝c<0，∴a>0，b>0，c<0，abc<0，不符合题意；
D中， a>0，－b2a>0，c<0.∴a>0，b<0，c<0，abc>0，故选D．
答案：D
7．函数f(x)为奇函数，且x∈(－∞，0)时，f(x)＝x(x－1)，则x∈(0，＋∞)时，f(x)＝________.
解析：若x∈(0，＋∞)，则－x∈(－∞，0)，
∴f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，
∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝x(x＋1)＝－f(x)，
即f(x)＝－x(x＋1)，x∈(0，＋∞)．
答案：－x(x＋1)
8．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积是________．
解析：令y＝0，则－x2－2x＋3＝0解得x1＝1，x2＝－3.
所以两交点坐标为(－3,0)，(1,0)．∵y＝－x2－2x＋3＝－(x2＋2x＋1)＋4＝－(x＋1)2＋4，
∴C点的坐标为(－1,4)．
∴S△ABC＝12×4×4＝8.
答案：8
[B组 技能提升]
1．设函数f(x)＝ x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x＜0，则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) 4 D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析： f(1)＝1－4＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6＞3，∴x2－4x＋3＞0，
∴x＞3或x＜1，
∴0≤x＜1或x＞3；
当x＜0时，x＋6＞3，∴x＞－3.
∴－3＜x＜0.
∴不等式f(x)＞f(1)的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A．
答案：A
2．已知函数f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若对于任意实数x，f(x)与g(x)至少有一个为正数，则实数a的取值范围是( )
A．0≤a≤3 B．0≤a<9
C．1 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1，g(x)＝x，符合条件，排除C； 当a＝3时，f(x)＝3x2＋1，g(x)＝x，符合条件，排除D； 当a＝4时，f(x)＝4x2＋x＋1>0恒成立，g(x)＝x，符合条件，故选B． 答案：B 3．若二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(a)≤f(0)＜f(1)，则实数a的取值范围是________． 解析：由f(2＋x)＝f(2－x)，知函数f(x)关于x＝2对称， 由f(0)＜f(1)知，f(x)在x＜2时为增函数，在x＞2时为减函数， 若f(a)≤f(0)，则a≤0或a≥4. 答案：a≤0或a≥4 4．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值为________． 解析：当a＝0时，y＝3x＋1，显然与x轴只有一个交点； 当a≠0时，须满足Δ＝(3－a)2－4a＝0，得a＝1或a＝9. 答案：0或1或9 5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时f(x)＝x2＋4x. (1)求函数f(x)的解析式； (2)画出函数的大致图象，并求出函数的值域． 5 解：(1)∵f(x)为偶函数， 当x＞0时，－x＜0， ∴f(－x)＝x2－4x， ∴f(x)＝x2－4x， ∴f(x)＝ x2－4x，x＞0，x2＋4x，x≤0. (2)f(x)的图象如图． 函数的值域为[－4，＋∞)． 6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． 用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值． 解：函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a. ①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上单调递增，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a， f(x)min＝f(－5)＝27－10a； ②当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图象如图(1)所示．由图象可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2， f(x)max＝f(5)＝27＋10a； ③当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图象如图(2)所示， 由图象可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a， f(x)min＝f(－a)＝2－a2； ④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上单调递减，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a. 6
