第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的公式

两角和（差）公式包括两角和差的正弦公式、两角和差的余弦公式、两角和差的正切公式。两角和与差的公式是三角函数恒等变形的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的。

两角和的正弦公式：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋sinαcosβ

两角差的正弦公式：sin（α－β）＝sinαcosβ－sinαcosβ

两角和的余弦公式：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

两角差的余弦公式：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

两角和的正切公式：tan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）／（1-tanαtanβ）

两角差的正切公式：tan（α－β）＝（tanα－tanβ）／（1＋tanα·tanβ）

两角和差的正弦余弦正切公式

两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式

sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)

其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：

sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)

cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)

通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式

cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)

其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式

tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))

其中A和B为任意两个角。 这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。以下是一些常见的应用示例：

1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。

例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。

根据两角和差的正弦公式，我们可以有：

sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【课前回顾】

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；

cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．公式的常用变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

【课前快练】

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )

A．－32 B.32

C．－12 D.12

解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.

2．设角θ的终边过点(2,3)，则tanθ－π4＝( )

A.15 B．－15

C．5 D．－5

解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tanθ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.

3．(2017·山东高考)已知cos x＝34，则cos 2x＝( )

A．－14 B.14

C．－18 D.18

解析：选D ∵cos x＝34，∴cos 2x＝2cos2x－1＝18.

4．化简：2sinπ－α＋sin 2αcos2α2＝________.

最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.

知识点一 两角和的余弦公式

cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．

知识点二 两角和与差的正弦公式

名称 简记符号 公式 使用条件

两角和

的正弦 S（α＋β） sin（α＋β）＝

sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R

两角差

的正弦 S（α—β） sin（α—β）＝

sin_αcos_β—cos_αsin_β α，β∈R

错误! 公式的记忆方法

（１）理顺公式间的联系．

C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）

（２）注意公式的结构特征和符号规律．

对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．

对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），

sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），

cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），

cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．

知识点三 两角和与差的正切公式

名称 公式 简记符号 使用条件

两角和

的正切 tan（α＋β）＝

错误! T（α＋β） α，β，α＋β≠

kπ＋错误!（k∈Z）

两角差

的正切 tan（α—β）＝

错误! T（α—β） α，β，α—β≠

kπ＋错误!（k∈Z）

错误! 公式T（α±β）的结构特征和符号规律

（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．

（２）

符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．

[教材解难]

１．教材P２１7思考

能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．

２．教材P２１9思考

成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.