初中数学尺规作图讲解
初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们(或一部分）所组成的图形,因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法。最简单的尺规作图有如下三条：
⑴ 经过两已知点可以画一条直线;
⑵ 已知圆心和半径可以作一圆;
⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点;
以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆;用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形,这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题。
历史上,最著名的尺规作图不能问题是：
⑴ 三等分角问题:三等分一个任意角;
⑵ 倍立方问题:作一个立方体,使它的体积是已知立方体的体积的两倍;
⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积.
这三个问题后被称为“几何作图三大问题”。直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数)，由此即可推得根号π(即当圆半径1r时所求正方形的边长)不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题.
若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood
Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书。
还有另外两个著名问题：
⑴ 正多边形作法
·只使用直尺和圆规，作正五边形.
基本尺规作图
在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．
尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1） 作射线AP；
（2） 在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
题目二：作已知线段的中垂线。
已知：如图，线段MN.
求作：直线PQ，使PQ┴MN.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则直线PQ就是所求作的ＭＮ的中垂线。
题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3） 作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。
题目四：作一个角等于已知角。
求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．
图（1）图（2）
（1）作射线11MO；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以1O为圆心，OA的长为半径作弧，交11MO于点C；
实用标准文案
精彩文档 BPAaOQPNMONMBPANMBOA③②①A'A'N'O'B'M'O'A'N'M'M'O'尺规作图
【知识回顾】
1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。
2、五种基本作图：
1、作一条线段等于已知线段；
2、作一个角等于已知角；
3、作已知线段的垂直平分线；
4、作已知角的角平分线；
5、过一点作已知直线的垂线；
（1）题目一：作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a .
求作：线段AB，使AB = a .
作法：
（1） 作射线AP；
（2） 在射线AP上截取AB=a .
则线段AB就是所求作的图形。
（2）题目二：作已知线段的中点。
已知：如图，线段MN.
求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.
作法：
（１）分别以M、N为圆心，大于
的相同线段为半径画弧，
两弧相交于P，Q；
（２）连接PQ交MN于O．
则点O就是所求作的ＭＮ的中点。
（3）题目三：作已知角的角平分线。
已知：如图，∠AOB，
求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。
作法：
（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，
分别交OA，OB于M，N；
（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于 的线段长
为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；
（3） 作射线OP。
则射线OP就是∠AOB的角平分线。
（4）题目四：作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB
实用标准文案
精彩文档 cabCbacBAQNDCPPMBABAPABBAPQNDCMαnCBAmmnα
作法：
（1）作射线O’A’；
（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；
专题12 尺规作图题型总结题型解读｜模型构建｜通关试练
本专题主要对初中阶段的一般考查学生对基本作图的掌握情况和实践操作能力,并且在作图的基础上进
一步推理计算(或证明)。尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 尺规作图是中考必考知识点之一，
复习该版块时要动手多画图，熟能生巧！本专题主要总结了五个常考的基本作图题型，（1）作相等角；（2）
作角平分线；（3）作线段垂直平分线；（4）作垂直（过一点作垂线或圆切线）；（5）用无刻度的直尺作图。
模型01 作相等角
①以∠α的顶点O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
②作射线O'A'；
③以O'为圆心，OP长为半径作弧，交O'A'于点M；
④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交③中所作的弧于点N；
⑤过点N作射线O'B'，∠A'O'B'即为所求作的角.
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等
延伸：
作平行线模型02 作角平分线
①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线.
原理：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形对应角相等
延伸：
②到两边的距离相等的点
②作三角形的内切圆
模型03 作线段垂直平分线
①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；
②过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线.
原理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
延伸：
①到两点的距离相等的点
②作三角形的外接圆
③找对称轴（旋转中心）
④找圆的圆心
模型04 作垂直（过一点作垂线或圆切线）
（点P在直线上）
①以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B
两点；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点M；
③过点M，P作直线MP，则直线MP即为所求垂线.
原理：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线
