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第1讲 集合的概念和运算(学生)

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第1讲 集合的概念和运算

【2013年高考会这样考】

1．考查集合中元素的互异性．

2．求几个集合的交、并、补集．

3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力．

基础梳理

1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、 、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示．

(3)集合的表示法：列举法、 、图示法、区间法．

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 ．

2．集合间的基本关系

(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A B(或B⊇A)．集合是它本身的一个子集。

(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A ____B(或B_____A)．

(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．

(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有 个．

(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则 .

3．集合的基本运算

(1)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(3)补集：∁UA＝{x| }

(4)集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔ ；

②A∩A＝A，A∩∅＝ ；

2 ③A∪A＝A，A∪∅＝A；

④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.

一个性质

要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．

两种方法

____________和____________是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用_____________要特别注意端点是实心还是空心．

三个防范

(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．

(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．

双基自测

1．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )．

A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}

C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}

2． (2011·浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )．

A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁RP⊆Q D．Q⊆∁RP

3．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )．

A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.2i∈S

4．(2011·北京)已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )．

A．(－∞，－1] B. [1，＋∞)

C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

5．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.

考向一 集合的概念

3 【例1】►已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

【训练1】 设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．

考向二 集合的基本运算

【例2】►(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝x∈R|x＝4t＋1t－6，t∈0，＋∞，则集合A∩B＝________.

【训练2】 (2011·江西)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x x－2x≤0，则A∩B＝( )．

A．{x|－1≤x<0} B．{x|0

C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}

考向三 集合间的基本关系

【例3】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．

4

一、集合与排列组合

【示例】► (2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )．

A．57 B．56 C．49 D．8

二、集合与不等式的解题策略

【示例】► (2011·山东)设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( )．

A．[1,2) B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]

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第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)

第1讲 集合的概念,集合的表示方法集合之间的关系(学生版)

第1讲 集合的概念，集合的表示方法集合之间的关系

【基础知识】

一、集合的意义

1.集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。

2.元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

3.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

4.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作Aa

5.有限集：含有有限个元素的集合。

6.无限集：含有无限个元素的集合。

7.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

8.数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集

9.空集：我们把不含任何元素的集合，记作。

二、集合的表示方法

1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。通常元素个数较少时用列举法。

2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．

闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示

半开半闭区间在数轴上表示

这里的实数a,b统称为这些区间的端点．

三、集合之间的关系

1、子集：

定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。 即：BABxAx，则若任意

记作：ABBA或；读作：A包含于B或B包含A；

注意:BA有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合

2、真子集：

【考点剖析】

考点一：集合的意义

例1．下列所给对象不能构成集合的是________．

高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上运算

高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上运算

高中数学竞赛辅导第一讲集合概念及集合上运算

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高中数学竞赛辅导第 4讲

集合概念及集合上的运算(1)

高中一年级数学〔上〕〔试验本〕课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件〔或

具有某种性质〕的对象集中在一起就成为一个集合.

在此根底上，介绍了集合的元素确实定性、互异性、无序性 .深入地逐步给出了有限集、

无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十

余个新名词或概念以及二十几个新符号 .由此形成了在集合上的运算问题， 形成了以集合为背

景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，外表平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述

排列组合，用集合的性质进行组合计数等综合型题目.

Ⅰ．集合中待定元素确实定

充分利用集合中元素的性质和集合之间的根本关系，往往能解决某些以集合为背景的高

中数学竞赛题.请看下述几例.

例1：求点集 {(x,y)|lg(x 3 1

y 3 1) lg

x lg }

3 9 y 中元素的个数.

【思路分析】应首先去对数将之化为代数方程来解之.

【略解】由所设知 x 0,y 0,及x3 1y3 1 xy,

3 9

由平均值不等式，有 x3 1y3 1 33 (x3) (1y3) (1) xy,

3 9 3 9

当且仅当x3 1y3 1,即x 3 1,y 3 1 〔虚根舍去〕时，等号成立.

3 9 9 3

故所给点集仅有一个元素.

司马红丽高中数学必修一第一讲集合的概念

司马红丽高中数学必修一第一讲集合的概念

第 1 页 共 2 页 司马红丽高中数学必修一第一讲集合的概念

【实用版】

目录

1.集合的定义

2.集合的表示方法

3.集合的运算

4.集合的关系

5.集合的应用

正文

一、集合的定义

集合是数学中一个基本的概念，它是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。集合的元素可以是数字、字母、符号，甚至可以是其他集合。集合的元素具有确定性、互异性和无序性三个基本特性。

二、集合的表示方法

集合可以用大写字母表示，如 A、B 等。集合的元素可以用列举法或描述法表示。

1.列举法：将集合的元素一一列出。例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}表示由 1、2、3、4、5 这五个元素组成的集合。

2.描述法：用一定的条件来描述集合的元素。例如，集合{x | x > 0}表示由所有大于 0 的实数 x 组成的集合。

三、集合的运算

集合的运算包括并集、交集、差集和补集。

1.并集：两个集合的所有元素组成的集合。例如，A ∪ B 表示集合 A

和集合 B 的并集。 第 2 页 共 2 页 2.交集：两个集合共有的元素组成的集合。例如，A ∩ B 表示集合 A

和集合 B 的交集。

3.差集：一个集合中除去另一个集合的元素后组成的集合。例如，A -

B 表示集合 A 与集合 B 的差集。

4.补集：一个集合中除去另一个集合的所有元素后组成的集合。例如，A"表示集合 A 的补集。

四、集合的关系

集合之间的关系包括包含关系、相等关系和真包含关系。

1.包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，但另一个集合可能还有其他元素。例如，A B 表示集合 A 包含于集合 B。

2.相等关系：两个集合的元素完全相同。例如，A = B 表示集合 A 与集合 B 相等。

3.真包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，且另一个集合还有其他元素。例如，A B 表示集合 A 真包含集合 B。

五、集合的应用

第01讲 集合的概念与运算(解析版)

第01讲 集合的概念与运算(解析版)

1 第 1 讲：集合的概念与运算

一、课程标准

1、通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

2、.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．了解全集与空集的含义．

3、.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

4、.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

二、基础知识回顾

1、元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉。

2、集合间的基本关系

(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A。

(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA。

(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。

(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

3、集合的基本运算

(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

4、集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A。A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB

(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A。

（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)。

1 5、相关结论：

(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个。