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专题十四 数系的扩充与复数的引入第四十讲 复数的计算

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林老师编辑整理 专题十四 数系的扩充与复数的引入

第四十讲 复数的计算

2019年

1.（2019全国II理2）设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2.（2019北京理1）已知复数12iz，则zz

（A）3 （B）5 （C）3 （D）5

3.（2019浙江11）复数11iz（i为虚数单位），则||z=___________.

4.（2019天津理9）i是虚数单位，则5i1i的值为 .

5.（2019全国III理2）若(1i)2iz，则z

A．1i B．1+i C．1i D．1+i

6.（2019全国I理2）设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A．22+11()xy B．221(1)xy

C．22(1)1yx D．22(+1)1yx

7．（2019全国II理2）设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

8．（2019江苏2）已知复数(2i)(1i)a的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是 .

2010-2018年

一、选择题

1．(2018北京)在复平面内，复数11i的共轭复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．(2018全国卷Ⅰ)设1i2i1iz，则||z

A．0 B．12 C．1 D．2 林老师编辑整理

林老师编辑整理 3．(2018全国卷Ⅱ)12i12i

A．43i55 B．43i55 C．34i55 D．34i55

4．(2018全国卷Ⅲ)(1i)(2i)=

A．3i B．3i

C．3i D．3i

5．(2018浙江)复数21i (i为虚数单位)的共轭复数是

A．1i B．1i C．1i

D．1i

6．（2017新课标Ⅰ）设有下面四个命题

1p：若复数z满足1zR，则zR；

2p：若复数z满足2zR，则zR；

3p：若复数1z，2z满足12zzR，则12zz；

4p：若复数zR，则zR．

其中的真命题为

A．1p，3p B．1p，4p C．2p，3p D．2p，4p

7．（2017新课标Ⅱ）3i1i

A． B． C． D．

8．（2017新课标Ⅲ）设复数z满足(1i)2zi，则||z=

A．12 B．22 C．2 D．2

9．（2017山东）已知aR，i是虚数单位，若3iza，4zz，则a=

A．1或1 B．7或7 C．3 D．3

10．（2017北京）若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是

A．(,1) B．(,1) C．(1,) D．(1,)

11．(2016年山东) 若复数z满足232zzi 其中i为虚数单位，则z= 林老师编辑整理

林老师编辑整理 A．1+2i B．12i C．12i D．12i

12．(2016年全国I)设(1)1ixyi，其中,xy是实数，则i=xy

A．1 B．2 C．3 D．2

13．(2016年全国II)已知(3)(1)izmm在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

A．31， B．13， C．1,+ D．3-，

14．(2016年全国III)若12zi，则41izz

A．1 B．1 C． i D．i

15．（2015新课标1）设复数z满足11ziz，则||z=

A．1 B．2 C．3 D．2

16．（2015广东）若复数32zii（i是虚数单位），则z

A．23i B．23i C．32i D．32i

17．（2015安徽）设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

18．（2015山东）若复数z满足1zii，其中i为虚数单位，则z=

A．1i B．1i C．1i D．1i

19．（2015四川）设i是虚数单位，则复数32ii=

A．i B．3i C．i D．3i

20．（2015湖北）i为虚数单位，607i的共轭复数为

A．i B．i C．1 D．1

21．（2015湖南）已知211iiz（i为虚数单位），则复数z=

A．1i B．1i C．1i D．1i

22．（2014新课标1）设iiz11，则||z

A． 21 B． 22 C． 23 D． 2 林老师编辑整理

林老师编辑整理 23．（2014新课标1）32(1)(1)ii=

A．1i B．1i C．1i D．1i

24．（2014新课标2）设复数1z，2z在复平面内的对应点关于虚轴对称，12zi，则12zz

A．5 B．5 C．4i D．4i

25．（2014新课标2）131ii

A．12i B．12i C．1-2i D．1-2i

26．（2014山东）已知iRba,,是虚数单位，若ia与bi2互为共轭复数，则2）（bia

A．i45 B．i45 C．i43 D．i43

27．（2014广东）已知复数z满足(34)25iz，则z=

A． 34i B．34i C．34i D．34i

28．（2014安徽）设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若,1iz则zizi

A．2 B．2i C．2 D．2i

29．（2014福建）复数(32)zii的共轭复数z等于

A．23i B．23i C．23i D．23i

30．（2014天津）i是虚数单位，复数734ii+=+

A．1i- B．1i-+ C．17312525i+ D．172577i-+

31．（2014重庆）实部为2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的

A．第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

32．（2013新课标1）若复数z满足(34i)|43i|z，则z的虚部为

A．－4 B．45 C．4 D．45

33．（2013新课标2）设复数z满足12izi，则z=

A．1i B．1i C．1i D．1i

34．（2013山东）复数z满足325zi (i为虚数单位)，则z的共轭复数z为

A．2+i B．2i C． 5+i D．5i 林老师编辑整理

林老师编辑整理 35．（2013安徽）设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若22zziz，则z=

A．1+i B．1i C．1+i D．1i

36．（2013广东）若复数z满足24izi,则在复平面内,z对应的点的坐标是

A．2,4 B．2,4 C．4,2 D．4,2

37．（2013江西）已知集合1,2,Mzi，i为虚数单位，3,4N，{4}MN，则复数z=

A．2i B．2i C．4i D．4i

38．（2013湖北）在复平面内，复数21izi（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

39．（2013北京）在复平面内，复数(2)ii对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

40．（2013四川）如图在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是

A． A B．B C．C D．D

41．（2013辽宁）复数的11zi模为

A．12 B．22 C．2 D．2

42．（2012新课标）复数z＝32ii的共轭复数是

A．2i B．2i C．1i D．1i

43．（2012北京）在复平面内，复数103ii对应的点坐标为（ ）

A．（1,3） B．（3,1） C．(1,3） D．31（，）

44．（2012广东）设i为虚数单位，则复数56ii=

A． 65i B．65i C．65i D．65i

45．（2012辽宁）复数2-=2+ii

A．3455i B．34+55i C．415i D．31+5i 林老师编辑整理

林老师编辑整理 46．（2012湖南）复数(1)zii（i为虚数单位）的共轭复数是

A．1i B．1i C．1i D．1i

47．（2012天津）i是虚数单位，复数73ii=

A．2i B．2i C．2i D．2i

48．（2012浙江）已知i是虚数单位，则31ii

A．12i B．2i C．2i D．12i

49．（2012江西）若复数1zi(i为虚数单位) z是z的共轭复数 ， 则22zz的虚部为

A．0 B．1 C．1 D．－2

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复数讲义(含知识点和例题及解析)

复数讲义(含知识点和例题及解析)

1 数系的扩充与复数的引入

1．复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部。若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数。

(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。

(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。

(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。

(5)复数的模：向量OZ→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2。

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi ――→一一对应复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)。

(2)复数z＝a＋bi ――→一一对应平面向量OZ→(a，b∈R)。

3．复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)则：

①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i。

②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i。

③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i。

④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c＋di≠0)。

(2)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。 2

1．复数a＋bi(a，b∈R)数系表

复数 实数ab＝0虚数a＋bib≠0 纯虚数bia＝0，b≠0非纯虚数a＋bia≠0，b≠0

复数的计算公式

复数的计算公式

复数的计算公式

作为高中数学中的数学知识点之一，复数在各种科学领域都有着广泛的应用。那么，什么是复数呢？简单来说，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，书写形式为 a+bi，其中 a 和 b 分别表示实数和虚数部分，i 是虚数单位，满足 i²=-1。

接下来，我们来探讨一下复数的基本计算公式。

1. 复数的加法和减法

对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的加法和减法如下：

a+bi + c+di = (a+c) + (b+d)i

a+bi - (c+di) = (a-c) + (b-d)i

也就是说，复数的加减法，可以将实部和虚部分别相加或相减得到结果。需要注意的是，排序不影响结果，即 a+bi 和 b+ai 是相等的。

2. 复数的乘法

对于两个复数 a+bi 和 c+di，在进行乘法运算时，我们可以使用如下公式：

(a+bi)×(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

也就是说，复数的乘法运算，实部之间互相乘，虚部之间互相乘，再将两个结果相加得到最终的结果。 需要注意的是，复数的乘法满足交换律和结合律，即 ab=ba，a(bc)=(ab)c。

3. 复数的除法

复数的除法可以通过乘以倒数来完成。也就是说，对于两个复数

a+bi 和 c+di，我们可以将它们相除，得到如下结果：

(a+bi)÷(c+di) = (a+bi)×(c-di) ÷ (c+di)×(c-di) =

[(ac+bd)+(bc-ad)i]÷(c²+d²)

需要注意的是，如果除数等于 0，则无法进行复数除法运算。

除此之外，还有一些常用的复数运算公式，比如幂运算和开方运算。对于幂运算，如 a+bi 的 n 次幂为：

(a+bi)ⁿ = (a+bi)×(a+bi)×...×(a+bi)

可以使用二项式定理进行展开。对于开方运算，如 y = √(a+bi)，则 y² = a+bi，可以通过解二次方程来求解。

综上所述，复数的计算公式包括加减乘除、幂运算和开方运算等多种方法。通过灵活应用这些公式，可以轻松解决各种复杂的复数计算问题，也能更好地理解数学中的抽象概念。

2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练：专题十四数系的扩充与复数的引入含解析

2020版高考数学(理科)大一轮精准复习精练：专题十四数系的扩充与复数的引入含解析

专题十四 数系的扩充与复数的引入

挖命题

【真题典例】

【考情探究】

考点 内容解读 5年考情

预测热度

考题示例 考向 关联考点

1.复数的

概念及几

何意义 ①理解复数的基本概念.

②理解复数相等的充要条件.

③了解复数的代数表示法及其几何意义 2017课标Ⅰ,3,5分 复数的有关概念与命题的综合 复数的四则运算

★★★ 2016课标Ⅱ,1,5分 复数的几何意义 解不等式组

2018课标Ⅰ,1,5分 复数的模 复数的四则运算

2016课标Ⅰ,2,5分 复数的模 复数的四则运算

2.复数的 ①会进行复数代数形式的2018课标Ⅱ,1,5复数的四则运算

运算 四则运算.

②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义 分

2018课标Ⅲ,2,5分

2016课标Ⅲ,2,5分

2014课标Ⅰ,2,5分

分析解读 本专题是高考的热点,主要考查复数的有关概念和复数的四则运算,一般出现在选择题的前3题中,比较简单,属于送分题,分值为5分.主要考查考生的数学运算能力和等价转化思想的应用.

破考点

【考点集训】

考点一 复数的概念及几何意义

1.(2018江西重点中学盟校第一次联考,2)设x∈R,i是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x2-4)+(x+2)i为纯虚数”的( )

A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案 B

2.(2017安徽江淮十校第三次联考,1)在复平面内,复数z=cos 3+isin 3(i为虚数单位),则|z|为( )

A.1

B.2 C.3 D.4

答案 A

考点二 复数的运算

1.(2018河南豫南九校第六次质量考评,2)已知复数

=x+yi(a,x,y∈R,i是虚数单位),则x+2y=( )

A.1 B.

C.-

D.-1 答案 A

第四章第四节数系的扩充与复数的引入

第四章第四节数系的扩充与复数的引入

课下练兵场

^度及题号 容易题 中等题 稍难题

知识点 (题号) (题号) (题号)

复数的基本概念 1、3 4、6、7

复数的代数运算 1 2、8 5

复数的几何意义 9 11 10、12

、选择题

1.复数z= (a2— 2a)+ (a2— a— 2)i(a € R)对应的点在虚轴上，则

解析：由题意知a2— 2a = 0, A a = 2或a = 0.

答案：C

1 + 7i

2.(20佃 安徽高考)i是虚数单位，若= a + bi(a, b€ R),则乘积ab的值是

2— i

=a+ bi,

a=— 1, b = 3,A ab=— 1^3=— 3.

答案：B

1 + i

3.(20佃 厦门模拟)若—^-十(1 + U3i)2= a + bi(a, b€ R)，则 a — b=

D.2V3— 2

解析： 专+ (1 + 73i)2= 1 — i — 2 + 裁i

=—1+ (2 诟—1)i = a+ bi,

答案：B

第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入

A.aM2或 a工1 B.a工2且 a^l C.a = 2 或 a =

0 D.a = 0

4.若复数 z= cos 0+ isin 0

且 z2 + — 2= 1,则 sin2 0=

A； B.； C.3 A. — 15 B. — 3 C.3 D.15

1+ 7i (1 + 7i)(2 + i) 2+ i+ 14i — 7 解析：2 — i (2 — i)(2 + i) 4+ 1 =— 1 + 3i

A.2爲

则 a=— 1, b= 2翻—1, 故 a — b=— 2j3. — 1

解析：z2 + z 2 = (cos0+ isin 0)2 + (cos0— isin0)2= 2cos20= 1? cos20= ©，所以 sin2 0=

1 — cos20 1 2 = 4.

答案：B

5.若sin2 0- 1 + i(72cosB+ 1)是纯虚数，贝U 0的值为n