2014年清华大学丘成桐精英培训中心数学夏令营

清北学堂2014暑假集中培训课程模拟试题

清北学堂2014年暑假数学联赛模拟试题二

（李建泉老师命制）

1.已知ABC∆

的三条高线分别为,,ADBECF

，,PQ

为CF

上的两个点，且,PQ

在AD

的异侧，,CP

在AD

的同侧，并满足CAPDAQ∠=∠

，,APAQ

与,EFFD

分别交于点

11,PQ

，证明

11,PQPQ

的交点在AB

上。

2.求所有函数:f++

→

，使得对于任意正整数m

和任意素数p

，均有

()()()

1313fpmpfmfp+=−+

。①

3.求所有整数k

的值，使得存在正整数()

,abab<

满足()

3

1akabk=++

。

4.若空间中有n

个点，任意三点不共线，过任意三点作一个平面，若不同平面的个数恰

有2014

个，求n

的最小值。

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清北学堂2014暑假集中培训课程模拟试题

清北学堂2014年暑假数学联赛模拟试题二答案

1.已知ABC∆

的三条高线分别为,,ADBECF

，,PQ

为CF

上的两个点，且,PQ

在AD

的异侧，,CP

在AD

的同侧，并满足CAPDAQ∠=∠

，,APAQ

与,EFFD

分别交于点

11,PQ

，证明

11,PQPQ

的交点在AB

上。

证明 由PAQCADCFDCFE∠=∠=∠=∠

，可得

1,,,PAFQ

四点共圆，设为

1O

， （10分）

1,,,PAFQ

四点共圆，设为

2O

， （20分）

于是有

1190,90AQPAFPAPQBFQ∠=∠=°∠=∠=°

，

从而可得

11,,,PQQP

四点共圆，设为

3O

。 （30分）

因为

123,,OOO

两两的根轴分别为

11,,PQPQAB

，所以由蒙日定理，

11,,PQPQAB

三线交于一点。 （40分）

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清北学堂2014暑假集中培训课程模拟试题

2.求所有函数:f++

→

，使得对于任意正整数m

和任意素数p

，均有

()()()

1313fpmpfmfp+=−+

。①

解 对于任意素数,pq

，有

()()()()()()

31311313pfqfpfpqfqpqfpfq−+=+=+=−+

来源于网络 2002年北京国际数学家大会

（ICM 2002 北京）

一 ICM2002 我国做45分钟报告的数学家

第24 届国际数学家大会于2002 年8 月20 日至28 日在北京举行，有101 个国家和地区的4270

余名数学家参加了会议，其中1%来自澳洲，3%来自非洲，56%来自亚洲，16%来自美洲，24%来自欧洲。

ICM2002大会其间，马宁（Y.Manin）领导的程序委员会以及19个国际专家组选出20个大会报告和174个特邀报告，代表了近期数学科学领域中的前沿成果与重大发展。菲尔兹奖和奈瓦林纳奖获得者的报告无疑将是大会学术活动中最精彩的部分。作1小时大会报告的20 名国际知名数学家来自美国、法国、英国、日本、意大利、丹麦、俄罗斯等国，他们的报告代表了当今国际数学发展的最高水平。ICM2002大会45分钟分组报告共有逻辑、代数、拓扑、数论等19 个学科组，学术交流内容涵盖十分广泛，有174名学者在各学科组作了邀请报告。

此外，为了充分利用这个4年一次的难得的大聚会，大会提供一切可能的学术交流条件。凡已注册登记者均可报名作15分钟的专题报告，大会予以安排。1114人作了15 分钟的小组分组报告，张贴了93 篇墙报，报告（含张贴墙报者）总人数超过1400 人。

在往届国际数学家大会上，我国大陆被邀请作45分钟报告的数学家有华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、张恭庆、马志明等。陈省身、丘成桐等华人数学家曾被邀请作1小时大会报告。

ICM2002大会有3名华裔数学家作1 小时大会报告，他们分别是：美国麻省理工学院教授、北京大学“长江学者”田刚，华人数学家美国哈佛大学教授肖荫堂和普林斯顿大学教授张圣容，有12位我国大陆数学家作45分钟邀请报告，他们分别是：丁伟岳、王诗宬、龙以明、曲安京、严加安、张伟平、陈木法、周向宇、洪家兴、郭雷、萧树铁和葛力明，ICM2002会议是历史上华人数学家作大会报告和邀请报告人数最多的一次大会。

丘XX教练的讲坐巜求真游目》

《求真游目》讲座在遵义举行。

中新网遵义7月18日电“培养中国本土数学人才，培养出第一流数学家的时候到了。我们要走一条长远的道路，扎扎实实做好学问，让中国各省看到数学历史的重要性。”丘XX说。

18日，国际知名数学家、首位菲尔兹奖华人得主、XX大学求真书院院长、XX大学丘XX数学科学中心主任、北京雁栖湖应用数学研究院院长丘XX一行在贵州遵义开启“求真游目”全国巡讲的首场讲座。

“求真”是指XX大学求真书院追求数学的至真至美；“游目”是指游目骋怀。丘XX及团队成员为在场师生讲数学史，讲科学讲故事，知史以明鉴，查古以知今。

丘XX在讲座中分享数学的广泛运用。

由贵州海外联谊会、贵州省侨务办公室、贵州省数学学会联合发出邀请，XX大学求真书院院长丘XX一行在贵州开展交流访问。“求真游目”全国巡讲便是其中重要的活动之一。

丘XX提出“为国家培育一批基础科学人才，使得中国的科技从根源上改变，成为领导全球科技大国之一。”

丘XX认为，当前是培养中国数学人才、发展中国高等教育的重要时机，为中国数学界培养中国科学界的“领军之人”，引领和带动中国以至世界数学、理论物理等基础学科领域的发展。

“学习数学，天赋只占30%，更多的需要足够浓厚的兴趣，有毅力的努力。要让学生用广阔的角度看数学，熟悉数学历史。”丘XX说。

丘XX提出，最好的学生应当由最顶尖的学术大师培养，要充分挖掘年轻学生的潜力，让学生以对知识的兴趣为真正的导向。

“国家很需要基础数学，基础数学让科技科学可以走到最前沿，培养数学家不能太急功近利”。丘XX在交流中说道。

《求真游目》讲座在遵义举行。求真书院是清华大学在本科人才培养体系中，设立以培养数学领军人才为唯一使命目标，由丘XX担任院长，旨在培养出一批引领世界数学发展的一流人才。

XX求真学院在招收学生的时候，不仅考数学，也考物理学，物理学对于整个数学的发展很重要。培养方案中，物理学是必修。预科施行的是通识教育，此外，书院还设置中国文学、西方文学、环保、水利、天文等方面的讲座。

无问西东 唯学与研 ——访国际著名数学家丘成桐

作者：周丽

来源：《教育家》 2020年第5期

文 | 本刊记者 周丽

丘成桐，美籍华人，现任清华大学丘成桐数学科学中心主任，美国科学院院士、美国艺术与科学院院士、中国科学院外籍院士、俄罗斯科学院外籍院士、哈佛大学数学系和物理系终身教授。曾获菲尔兹奖、麦克阿瑟奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖、中华人民共和国国际科技合作奖等。

2019年冬至上午，阳光下的清华园寒意中带着温煦。记者如约来到清华大学静斋，在门口便碰见了刚下车的丘成桐教授。他褪下手套与记者握手，掌心温暖。来到二楼教授的办公室，一块占据大半墙面的黑板上用粉笔写满了数学公式，办公桌上摆着他标志性成果的“卡拉比-丘成桐空间”模型。对这位国际著名数学家而言，数学是一门什么样的学问？数学人才应如何培养？数学强国又该怎样实现？带着这些问题，记者聆听了丘教授的讲解。

驰骋在数学与物理之间

“我一向把真理看得很重要。数学是颠扑不破的真理，是不容挑战的。”谈起当年弃历史从数学的原因，丘成桐这样说道。

从17岁到如今70岁，丘成桐在艰深的数学领域跋涉了五十余载，几乎囊括了包括菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖、马塞尔·格罗斯曼奖等数学界所有人都梦寐以求的荣誉和奖杯。

丘成桐1949年出生于广东汕头，同年随父母移居香港。17岁考入香港中文大学数学系，后被推荐至美国加州大学伯克利分校深造；22岁数学博士毕业后，他在美国的高校和科研机构从事数学教学和科研工作；25岁，成为斯坦福大学教授；27岁，破解世界级数学难题“卡拉比猜想”；33岁，获代表数学界最高荣誉的菲尔兹奖；38岁，成为哈佛大学数学系教授……

纵观丘成桐的履历，他在数学界成名甚早，似乎是一帆风顺、天造之才。实际上，丘成桐是寒门走出的“贵子”，他的童年是在乡野间度过的。14岁那年，父亲的离世，使得本就贫寒的家庭陷入更深的困顿，但也让他懂得了自立，从此发奋读书。在香港培正中学就读的第二年，因为数学老师“将优美的几何公理系统在课堂上一一解释”，讲解生动，激活了丘成桐天生的“几何直觉”和对数学的迷恋。到中学第三年，丘成桐已经开始自己找寻一些数学问题进行钻研、解答。中学阶段，他翻阅了所有能够看到的数学书，数学成绩几乎都是满分。