第7讲 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)∀x∈I，都有 ；
(2)∃x0∈I，使得 (1)∀x∈I，都有 ；
(2)∃x0∈I，使得
结论 M为最大值 M为最小值
➢ 考点1 函数的单调性
[名师点睛]
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数2()23fxxx的单调递增区间是（ ）
A．(,1] B．[3,) C．(,1] D．[1,)
2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数()1axfxx（0a）在(11)，上的单调性.
[举一反三] 1．（2022·全国·高三专题练习）函数222xxy的单调递增区间是（ ）
A．1,2 B．(,1]
C．112， D．12，
2．（2022·全国·高三专题练习）函数213log412yxx单调递减区间是（ ）
函数的单调性和奇偶性
经典例题透析
类型一、函数的单调性的证明
1.证明函数上的单调性.
证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)， 令△x=x2-x1＞0
则
∵x1＞0，x2＞0，∴
∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0
∴上递减.
总结升华：
[1]证明函数单调性要求使用定义；
[2]如何比较两个量的大小？(作差)
[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)
举一反三：
【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.
证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则
∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1
∵0＜x1x2＜1 故，即f(x1)-f(x2)＞0
∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)
上是减函数.
总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.
类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
解：(1)由图象对称性，画出草图
∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.
(2)
∴图象为
∴f(x)在上递增.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|x+1|； (2) (3).
解：(1)画出函数图象，
∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；
(2)定义域为，
其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，
2021届高考数学（理）考点复习
函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f (x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f (x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M (1)对于任意的x∈I，都有f (x)≥M；
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
概念方法微思考
1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对∀x1，x2∈D，x1≠x2，f x1－f x2x1－x2>0⇔f (x)在D上是增函数；对∀x1，x2∈D，x1≠x2，(x1－
x2)·[f (x1)－f (x2)]>0⇔f (x)在D上是增函数．减函数类似．
2．写出函数y＝x＋ax(a>0)的增区间．
提示 (－∞，－a]和[a，＋∞)．
1．（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22单调递减
C. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2单调递减
【答案】D
【解析】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，
又ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx，
1 高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
一、函数的单调性：
1、定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,当x1
f(x2)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f(x)的单调区间。121200fxfxxx增减 任意x1,x2∈D
2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x1，x2∈D，且x1
有时也根据导数。//,0D0DxDfxfxfxfx在上递增，在上递减。（注：逆命题不成立）
3、常见函数的单调性：
（1） 一次函数y=kx+b（k≠0） 1）当k>0时，f(x)在R上是增函数。2）当k<0时，f(x)在R上是减函数。
（2） 二次函数y=ax2+bx+c 1）当a>o时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－ab2）上是减函数，在[－ab2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－ab2）上是增函数，在[－ab2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=0kxk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
（4） 对钩函数：0,0byaxabx,增区间为,,,bbaa，
2 减区间为,0,0,bbaa图象如右：
可采用导数法判断。
（5）,xyaaa指数函数单调递增，0时，单调递减
（6）log,1,0ayxaa对数函数时单调递增时单调递减。
（7）三角函数：
32,22,222,22,2,,,kkkkkZkkkkkZkkkky=sinx的增区间是-,减区间是222y=cosx的增区间是-的减区间是y=tanx的增区间是-,cotx的减区间是22
