高考数学专题：函数的单调性

第二讲 函数的单调性【套路秘籍】1．函数的单调性 (1)单调函数的定义自左向右看图象是上升的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 2．函数的最值【套路修炼】考向一 单调区间求解【例1】（1）下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )A.y ＝2－xB.y ＝xC.y ＝log 2xD.y ＝－1x(2)函数f (x )＝ln (x 2－2x －8) 的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) (3)求函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|的单调区间． (4)求函数f (x )＝x －ln x 的单调区间．(5)函数33y x x =-的单调增区间为__________．【举一反三】1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是( )A ． f(x)=lnxB ． f(x)=(x −1)2C ． f(x)=2−xD ． f(x)=x 3 2．函数f (x )=log 2(4+3x −x 2)的单调递减区间是（ ） A ． (−∞,32] B ． [32,+∞) C ． (−1,32] D ． [32,4)3．函数()| g x x =的单调递增区间是 ( )A ． [)0+∞，B ． (]0-∞，C ． (]2-∞-，D ． [)2+-∞，考向二 单调性的运用一---比较大小【例2】定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【举一反三】1.已知f (x )＝2x－2－x，117459279,,log 97a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A.f (b )<f (a )<f (c ) B.f (c )<f (b )<f (a ) C.f (c )<f (a )<f (b )D.f (b )<f (c )<f (a )2.已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c 3．设a =ln22，b =ln33，c =1e ，则( )A ． c <a <bB ． c <b <aC ． a <b <cD ． b <a <c 4．已知x =1.10.1，y =0.91.1，z =log 2343，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ． x >y >zB ． y >x >zC ． y >z >xD ． x >z >y考向三 单调性的运用二---解不等式【例3】（1）f(x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)（2）已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]【举一反三】1．若log a 23<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ． (0,23)B ． (0,23)∪(1,+∞) C ． (1,+∞) D ． (0,1)2．设函数f (x )={2x ， x ≥0x ， x <0 ，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A ． (−∞ ， −1]B ． (1 ， +∞)C ． (−1 ， 0)D ． (−∞ ， 0)3．定义在R 上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，则满足f(log 12x)>0的x 的集合为______．4．设函数f(x)=x 3+1,若f(1−2a)<f(a),则实数a 的取值范围是 _______。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第5讲函数的单调性通关一、函数单调性的定义及几何意义图像描述自左向右看，图像是下降的自左向右看，图像是上升的要点诠释(1)函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致，一致则为增函数，不一致则为减函数.(2)函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小，“形”的表现是函数图像的上升与下降⊆.(3)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M(4)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“”连接.(5)增(减)函数定义中,x x的三个特征：12①任意性；②有大小，即12x x <或12x x >； ③同属于一个单调区间.通关二、函数的最值结论一、定义法证明函数单调性【例1】已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时()0f x >.试判断()f x 的单调性，并说明理由.【解析】设12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，故()210f x x ->.所以()()()()()()()212111211210f x f x f x x x f x f x x f x f x x -=-+-=-+=->⎡⎤⎣⎦.所以()()12f x f x <.故()f x 在(),-∞+∞上为增函数.【变式】已知给定函数()f x 对于任意正数,x y 都有()()()f xy f x f y =⋅，且()0f x ≠，当1x >时()1f x <.试判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并说明理由.【解析】对于()0,x ∈+∞有()20f x ff⎡⎤==≥⎣⎦，又()0f x ≠，所以()0f x >.设()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()2211211211111x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===< ⎪⎝⎭，所以 ()()12f x f x >. 故()f x 在(0,)+∞上为减函数.结论二、函数单调性的正向与逆向理解1. 正向结论:若 ()y f x = 在给定区间上是增函数,则当 12x x < 时, ()()12f x f x <; 当 12x x > 时, ()()12f x f x >;2. 逆向结论:若 ()y f x = 在给定区间上是增函数,则当 ()()12f x f x < 时, 12x x <; 当 ()()12f x f x > 时, 12x x >.【例2】已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数, ,a b ∈R 且0a b +…,则下列表达正确的是（）. A. ()()[()()]f a f b f a f b +-+… B.()()()()f a f b f a f b +-+-…C. ()()[()()]f a f b f a f b +-+…D.()()()()f a f b f a f b +-+-…【答案】B【解析】0a b +…可转化为a b -…和b a -…，因为()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数, 所以()()f a f b -…且()()f b f a -…,根据同向不等式相加性质得()()f a f b +…()()f a f b -+-. 故选B.【变式】已知()y f x =是定义在(2,2)-上的增函数,若(1)(12)f m f m -<-,则m 的取值范围是_________. 【答案】12,23I ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由已知可得122112223m m m -<-<-<⇒-<<，故m 的取值范围是12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.结论三、单调性结论设 1212,[,],x x a b x x ∈≠ 那么 ()()()()()1212121200f x f x x x f x f x x x -⎡⎤-->⇔>⇔⎣⎦-()f x 在[,]a b 上是增函数; ()()()()()1212121200()f x f x x x f x f x f x x x -⎡⎤--<⇔<⇔⎣⎦- 在[,]a b 上是减函数.【例3】定义在R 上的函数()f x 满足:对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠, 有()()21210f x f x x x -<-,则（）. A.(3)(2)(4)f f f << B.(1)(2)(3)f f f <<C. (2)(1)(3)f f f -<<D. (3)(1)(0)f f f <<【答案】D【解析】因为对任意的()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠,有()()21210f x f x x x -<-, 所以函数()f x 在[0,)+∞上是减函数, 因为013<<, 所以(3)(1)(0)f f f <<. 故选 D.【变式】已知函数32()2f x x x mx =-++,若对任意12,x x ∈R , 均满足()()121x x f x⎡--⎣()20f x ⎤>⎦,则实数m 的取值范围是__________.【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦可知()f x 在R 上为增函数, 所以()0f x '…在R 上恒成立,而2()32f x x x m '=-+, 所以4120m ∆=-…, 即13m …. 故m 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.结论四、单调性性质若函数()f x 在区间I 上具有单词性,则在区间I 上具有以下性质:1. ()f x 与()(f x c c +为常数 )具有相同的单调性.2. 当()f x 非负时, ()f x具有相同的单调性.3. ()f x 与()a f x ⋅在0a > 时具有相同的单调性,在0a <时具有相反的单调性.4. 当()f x 恒不为0时,函数()f x 与1()f x 单调性相反. 【例4】已知函数1()33xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 则()f x （）.A. 是偶函数,且在R 上是增函数B. 是奇函数,且在R 上是增函数C. 是偶函数,且在R 上是减函数D. 是奇函数,且在R 上是减函数【答案】B【解析】1()3333xxx x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 所以()33()x xf x f x --=-=-, 即函数()f x 为奇函数,以函数3xy =为增函数, 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,故函数1()33xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数. 故选 B.【变式】若函数1()2ax f x x +=+在(2,)-+∞上为增函数,则实数a 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】解法一：112()22ax af x a x x +-==+++. 任取122x x -<<, 则()()12f x f x a -=+()()21121212121212121211(12)(12)22222222x x a a a a a a a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫------+=-=--=- ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭因为122x x -<<, 所以122120,20,0x x x x +>+>->, 以()()2112022x x x x ->++. 已知函数在(2,)-+∞上单调递增, 故()()120f x f x -<, 所以120a -<, 解得12a >.所以a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.解法二：112()22ax a f x a x x +-==+++, 因为12x +在(2,)-+∞上单调递减, 1()2ax f x x +=+在(2,)-+∞上单调递增, 所以120a -<, 解得12a >.所以a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 结论五、单调性求最值1. 若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最小值为()f a , 最大值为()f b ；2. 若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最小值为()f b ,最大值为()f a . 【例5】函数()2()log 31x f x =+的值域为（）.A.(0,)+∞B.[0,)+∞C.(1,)+∞D. [1,)+∞【答案】 A【解析】根据对数函数的定义可知, 310x +>恒成立,解得x ∈R . 因此, 该函数的定义域为R , 原函数()2()log 31x f x =+是由对数函数2log y t =和31x t =+组合成的复合函数. 由复合函数的单调性定义(同增异减) 知道,原函数在定义域R 上是单调递增的. 根据指数函数的性质可知,30x >, 所以,311x +>,所以()22()log 31log 10x f x =+>=. 故选A.【变式】已知函数3()2sin (0,0)x f x ax b x a b =++>>, 若[0,1]x ∈时,()f x 的最大值为3 ,则[1,0)x ∈-时,()f x 的最小值是__________.【答案】12-【解析】因为32,,sin xy y x y x ===在区间[1,1]-上均为单调递增函数, 又0,a b >> 0 , 所以3()2sin x f x ax b x =++在区间[1,1]-上为单调递增函数. 当[0,1]x ∈时, ()f x 的最大值为3(1)21sin13,sin11f a b a b =+⋅+=+=; 当[1,0)x ∈-时,()f x 的最小值为1311(1)2(1)sin(1)(sin1)22f a b a b --=+⋅-+-=-+=-.。

第15专题训练 函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质单调性是函数的一个重要性质,,对函数作图起到决定性的作用对函数作图起到决定性的作用,,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。

求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领间的一个便利工具。

求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。

要学会一些方法和技巧。

一、基础知识一、基础知识: :1、函数的单调性、函数的单调性::设()f x 的定义域为D ,区间I D Í,若对于1212,,x x I x x "Î<,有()()12f x f x <,则称()f x 在I 上单调递增上单调递增,,I 称为单调递增区间。

若对于1212,,x x I x x "Î<,有()()12f x f x >,则称()f x 在I 上单调递减上单调递减,,I 称为单调递减区间。

称为单调递减区间。

2、导数与单调区间的联系、导数与单调区间的联系(1)(1)函数函数()f x 在(),a b 可导可导,,那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x Þ"γ，此结论可以这样理解此结论可以这样理解::对于递增的函数对于递增的函数,,其图像有三种类型其图像有三种类型: ,: ,: ,无无论是哪种图形论是哪种图形,,其上面任意一点的切线斜率均大于零。

等号成立的情况等号成立的情况::一是单调区间分界点导数有可能为零一是单调区间分界点导数有可能为零,,例如例如::()2f x x =的单调递增区间为[)0+¥，,而()'00f =,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,,典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0,0,但是但是()0,0位于单调区间内。

专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f (x )在区间(a ，b )上可导，(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增；(2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递减；(2)如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内是常数函数．注意：1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一 不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D四点的横坐标依次为－12，－16，1，43，则函数y ＝f (x )e x 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－16，43B ．⎝⎛⎭⎫－12，1C ．⎝⎛⎭⎫－12，－16 D ．(1，2) 答案 B 解析 若虚线部分为函数y ＝f (x )的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x 轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数y ＝f (x )的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x 轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数y ＝f (x )e x 求导得y ′＝f ′(x )－f (x )e x，由y ′<0，得f ′(x )<f (x )，由图象可知，满足不等式f ′(x )<f (x )的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1，因此，函数y ＝f (x )e x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12，1．故选B ． (2)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )答案 C 解析 根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f ′(x )的图象可知，原函数 f (x )先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C 符合题意，故选C ．(3)函数f (x )＝x 2＋x sin x 的图象大致为( )答案 A 解析 函数f (x )＝x 2＋x sin x 的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋(－x )sin(－x )＝x 2＋x sin x ＝ f (x )，即函数f (x )为偶函数．当x ＞0时，x ＋sin x ＞0，故f ′(x )＝x (1＋cos x )＋(x ＋sin x )＞0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故选A ．(4)函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．答案 (－∞，0) (0，1) 解析 f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x．令f ′(x )＝0，得x ＝0．当0<x <1时，f ′(x )<0．当x <0时，f ′(x )>0．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)．(5)设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 答案 (－∞，－1)，(0，＋∞) [－1，0] 解析 ∵f (x )＝x (e x －1)－12x 2，∴f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x － 1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝0．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0．当x ∈[－1，0]时，f ′(x )≤0．当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0．故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．(6)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 B 解析 y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′＜0，得0<x ＜1，∴递减区间为(0，1)．(7)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案 B 解析 由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x－2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )＜0可得(4x －2)ln x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＞0，ln x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＜0，ln x ＞0，解得12＜x ＜1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，选B ．(8)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为 ．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π6，⎝⎛⎭⎫5π6，π 解析 f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π6时，f ′(x )>0，当π6<x <5π6时，f ′(x )<0，当5π6<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6和⎝⎛⎭⎫5π6，π上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上单调递减．(9)函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( ) A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 答案 A 解析 由题意，因为f (－x )＝2|sin(－x )|＋cos(－2x )＝2|sin x |＋cos2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，当0≤x ≤π2时，f (x )＝2sin x ＋cos2x ，则f ′(x )＝2cos x －2sin2x ，令f ′(x )≥0，得sin x ≤12，所以0≤x ≤π6，由f (x )为偶函数，可得当－π6≤x ≤0时，f (x )单调递减，则在[－π2，－π6]上单调递增，故选A ． (10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x答案 B 解析 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0，1)上单调递增．故选B ． [例2] 已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x (x ＞0)．又由题意知f ′(1)＝1－k e＝0，所以k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x (x ＞0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，所以f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，所以f ′(x )＜0．综上，f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．【对点训练】1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上f (x )单调递增1．答案 C 解析 在(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．答案 D 解析 设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3，由导函数y ＝f ′(x ) 的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，所以函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上单调递减，在(x 1，x 2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D 选项符合．3．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f (x )的图象的是( )3．答案 BCD 解析 由导函数图象可得：当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0<x <2 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(0，2)上单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增．故选B 、C 、D ．4．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息：①f ′(x )>0时，－1<x <2；②f ′(x )<0时，x <－1或x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2．则函数f (x )的大致图象是( )4．答案 C 解析 由题意可知函数f (x )在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，故 选C ．5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )5．答案 D 解析 由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以 在(－∞，0)上，f ′(x )＞0；在(0，＋∞)上，f ′(x )＜0，选项D 满足．6．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )A B C D 6．答案 A 解析 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )＝2－2cos x ≥0．所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故 选A ．7．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 7．答案 B 解析 由y ＝4x 2＋1x (x ≠0)，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2 ＋1x的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞．故选B ． 8．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为 ．8．答案 (1，＋∞) 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，＋∞) 时，f ′(x )>0；当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．9．函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．9．答案 (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2) 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x ) ＝0，得x ＝0或x ＝ln 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表，∴f (x )10．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1)10．答案 A 解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0， f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．11．函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－3，1) B ．(0，1) C ．(－1，3) D ．(0，3)11．答案 B 解析 y ′＝1－3x 2＋2x ＝x 2＋2x －3x 2(x ＞0)，令y ′＜0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3＜0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选B ． 12．函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫0，1e 2C ．⎝⎛⎭⎫e e ，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，e e 12．答案 A 解析 因为函数f (x )＝x ln x ＋x (x ＞0)，所以f ′(x )＝ln x ＋2，由f ′(x )>0，得ln x ＋2>0，可得x >1e2，故函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞． 13．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)B ．(0，1)和(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1，2) 13．解析 C 答案 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)． 14．函数f (x )＝x ln x的单调递减区间是________． 14．答案 (0，1)和(1，e) 解析 由f ′(x )＝ln x －1ln x 2<0得⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1<0，ln x ≠0，解得0<x <1或1<x <e ．∴f (x )的单 调递减区间为(0，1)和(1，e)．15．函数f (x )＝e x cos x 的单调递增区间为________． 15．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z ) 解析 f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )，令f ′(x )＞0得cos x ＞sin x ，∴2k π－34π＜x ＜2k π＋π4，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )． 16．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间上单调递增( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π)C ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 16．答案 B 解析 y ′＝－x sin x ，经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y ′>0恒成立，∴y ＝x cos x －sinx 在(π，2π)上单调递增．17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________．17．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ．令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区 间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2． 18．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x ) 具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x 18．答案 ACD 解析 对于A ，f (x )＝1x ，则g (x )＝e xx ，g ′(x )＝e x (x －1)x 2，当x <1且x ≠0时，g ′(x )<0，当 x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)，(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于B ，f (x )＝x 2＋1，则g (x )＝e x f (x )＝e x (x 2＋1)，g ′(x )＝e x (x 2＋1)＋2x e x ＝e x (x ＋1)2>0在实数集R 上恒成立，∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上是增函数；对于C ，f (x )＝sin x ，则g (x )＝e x sin x ，g ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，显然g (x )不单调；对于D ，f (x )＝x ，则g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x ．当x <－1时，g ′(x )<0，所以g (x )在R 上先减后增；∴具有M 性质的函数的选项为B ，不具有M 性质的函数的选项为A ，C ，D ．19．已知函数f (x )＝12x 3＋x 2． (1)求曲线f (x )在点⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程； (2)讨论函数y ＝f (x )e x 的单调性．19．解析 (1)∵f (x )＝12x 3＋x 2，∴f ′(x )＝32x 2＋2x ．∴f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0．又f ⎝⎛⎭⎫－43＝1627， ∴曲线f (x )在⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程为y ＝1627． (2)令g (x )＝f (x )e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x ． 令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4，当x ＜－4时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．20．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．20．解析 (1)∵f (x )＝x e a －x ＋bx ，∴f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e ． (2)由(1)得f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上递增，∴g (x )≥g (1)＝1在R 上恒成立，∴f ′(x )>0在R 上恒成立．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．考点二 比较大小或解不等式【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A 解析 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f (x )单调递增，所以f ′(x )＞0，使xf ′(x )＜0的范围为(－∞，－1)；在(－1，1)上，f (x )单调递减，所以f ′(x )＜0，使xf ′(x )＜0的范围为(0，1)．综上，关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．(2)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A 解析 因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3．又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． (3)已知奇函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝xf (x )，则( )A ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－32)＞g (2－23)B ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32) C ．g (2－32)＞g (2－23)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．g (2－23)＞g (2－32)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 答案 B 解析 由奇函数f (x )是R 上的增函数，可得f ′(x )≥0，以及当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0．由g (x )＝xf (x )，得g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，即g (x )为偶函数．因为g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，当x ＜0时，g ′(x )＜0．故当x ＞0时，函数g (x )单调递增，当x ＜0时，函数g (x )单调递减．因为g ⎝⎛⎭⎫log 314＝g (log 34)，0<2－32＜2－23＜20＝1＜log 34，所以g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32)．故选B ． (4)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＞2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)＜2f (1) D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 答案 A 解析 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．(5)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为 ．答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”，∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)，即2x －3>0，解得x >32，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞． (6)设函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，则不等式f (2x －1)＋f (x －2)>0的解集为( )A ．(－∞，1)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D ．(1，＋∞) 答案 D 解析 根据题意，当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，此时有f ′(x )＝e x ＋sin x >0，则f (x )在[0，＋∞)上为增函数，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在R 上为增函数．f (2x －1)＋f (x －2)>0⇒f (2x －1)>－f (x －2)⇒f (2x －1)>f (2－x )⇒2x －1>2－x ，解得x >1，即不等式的解集为(1，＋∞)．【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为 ．1．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析 由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0， 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上 f ′(x )<0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a2．答案 D 解析 根据题意，函数f (x )＝3x ＋2cos x ，f ′(x )＝3－2sin x ，因为f ′(x )＝3－2sin x >0在R 上恒成 立，所以f (x )在R 上为增函数．又由2＝log 24<log 27<3<32，则b <c <a ．故选D ．3．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a3．答案 A 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝cos x －sin x －2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－2<0，∴f (x )在R 上单调递 减，又2e >1，0<ln 2<1，∴－π<ln 2<2e ，故f (－π)>f (ln 2)>f (2e )，即a >c >b ．4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．答案 C 解析 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C ．5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围 是 ．5．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2 ＋e x ＋1e x ≥0－2＋2＝0，所以函数f (x )为单调递增函数．不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12．6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e －x ，其中e 为自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，12D ．⎣⎡⎦⎤－1，12 6．答案 D 解析 f ′(x )＝x 2－4＋2e x ＋2e －x ≥x 2－4＋24e x ·e －x ＝x 2≥0，∴f (x )在R 上是增函数．又f (－ x )＝－13x 3＋4x ＋2e －x －2e x ＝－f (x )，知f (x )为奇函数．故f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)，∴a －1≤－2a 2，解之得－1≤a ≤12．7．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为 ．7．答案 (1，2] 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1x ＋e x －cos x ．∵x >0，∴e x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，原不等式的解集为(1，2]． 8．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为 ． 8．答案 ⎝⎛⎭⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )．则原不等式 可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1)．又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，由2＋cos x >0，得当x >0时，f ′(x )>0．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e ．考点三 根据函数的单调性求参数 【方法总结】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间． 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”． (2)函数f (x )在区间D 上递增(减)．方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”． 【例题选讲】[例4](1)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(－∞，2] D ．(－∞，2)答案 C 解析 f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，由已知条件知x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，设g (x )＝6x 2－6mx ＋6，则g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，解法一：若Δ＝36(m 2－4)≤0，即－2≤m ≤2，满足g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立；若Δ＝36(m 2－4)>0，即m <－2或m >2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<1，g (1)＝12－6m ≥0，解得m <2，∴m <－2，综上得m ≤2，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．解法二：问题转化为m ≤x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立，而当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x ＋1x >2，故m ≤2，故选C ．(2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．答案 (1，2] 解析 易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x ．又x >0，由f ′(x )＝x －9x≤0，得0<x ≤3．因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2．(3)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间(0，π)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，1]答案 C 解析 由题意，知f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ＋a )≤0在区间(0，π)内恒成立，即a ≤－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在 区间(0，π)内恒成立．因为x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，所以－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，1)，所以a ≤－2．故选C ．(4)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4a 2x ＋a －4a ，0<x ≤a ，x －x ln x ，x >a 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2]B ．[e ，e 2]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 D 解析 由题意，当x >a 时，f ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，则－ln x ≤0在x >a 时恒成立，则a ≥1；当0<x ≤a 时，f ′(x )＝1－4a 2(x ＋a )2，则1－4a 2(x ＋a )2≤0在0<x ≤a 时恒成立，即－3a ≤x ≤a 在0<x ≤a 时恒成立，解得a >0，且a ＋4a 2a ＋a－4a ≥a －a ln a ，解得ln a ≥2，即a ≥e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >0，a ≥e 2，解得a ≥e 2，故选D ．(5)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ．由题意知，f ′(x )>0 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ．令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞． (6)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ．答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>k －1，k －1≥0，k ＋1>12，k －1<12，解得1≤k <32．[例5] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围．解析 (1)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716且a ≠0，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． (2)h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a ＞1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1， 所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(3)因为h (x )在[1，4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1，4)上有解，即a ＝1x 2－2x 有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1，4)，则－1＜m (x )＜－716，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－716． [例6] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b ．(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2．又因为g (1)＝12a ＋b ＝f (1)＝0，所以b ＝－1．所以g (x )＝x －1．(2)因为φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2m －2≤2，即m ≤2．故实数m 的取值范围是(－∞，2]． 【对点训练】1．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 1．答案 B 解析 f ′(x )＝2x －a x 2，∴当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )＝2x －ax 2≥0恒成立，即a ≤2x 3恒成立，∵x ≥2，∴(2x 3)min ＝16，故a ≤16．2．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋x 在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．2．答案 [1，＋∞) 解析f ′(x )＝ax 2－2x ＋1≥0⇒a ≥－1x 2＋2x＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1在(0，2)上恒成立，即a ≥1．3．若y ＝x ＋a 2x(a ＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．3．答案 (0，2] 解析 由y ′＝1－a 2x 2≥0，得x ≤－a 或x ≥a ．∴y ＝x ＋a 2x 的单调递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤2．又a ＞0，∴0＜a ≤2． 4．若函数f (x )＝x 2＋1＋ax 2x 在[13，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 4．答案 [253，＋∞) 解析 由已知得，f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，若函数f (x )在[13，＋∞)上是增函数，则当x ∈[13，＋∞)时，2x ＋a －1x 2≥0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，即a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max ，设u (x )＝1x 2－2x ，x ∈[13，＋∞)，则u ′(x )＝－2x 3－2<0，即函数u (x )在[13，＋∞)上单调递减，所以当x ＝13时，函数u (x )取得最大值u ⎝⎛⎭⎫13＝253，所以a ≥253．故实数a 的取值范围是[253，＋∞)．5．已知函数f (x )＝sin2x ＋4cos x －ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，3]B ．[3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[0，＋∞)5．答案 B 解析 f ′(x )＝2cos 2x －4sin x －a ＝2(1－2sin 2x )－4sin x －a ＝－4sin 2x －4sin x ＋2－a ＝－(2sin x ＋1)2＋3－a ．由题设，f ′(x )≤0在R 上恒成立，因此a ≥3－(2sin x ＋1)2恒成立，则a ≥3． 6．若函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]6．答案 B 解析 函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 的定义域为(0，＋∞)，且其导数为g ′(x )＝1x ＋x －(b －1)．由g (x )存在单调递减区间知g ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解，即x ＋1x ＋1－b ＜0有解．因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＋1x ≥2．要使x ＋1x ＋1－b ＜0有解，只需要x ＋1x 的最小值小于b －1，所以2＜b －1，即b ＞3，所以实数b 的取值范围是(3，＋∞)．故选B ．7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 7．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，94 解析 由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递 增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以b <⎝⎛⎭⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝⎛⎭⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，94． 8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．8．答案 (0，1)∪(2，3) 解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3．9．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．2 9．答案 BD 解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝36＋12a >0解得a >－3且a ≠0．故选BD ．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．10．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，所以h (x )＝x 2－8x ＋2，f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2． (2)由(1)得f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(－1)(x －3)x ．因为x ＞0，所以f ′(x )，f (x )的变化如表所示．所以f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12 上是单调函数，则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52．故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，52． 11．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．11．解析 (1)由题意，知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0，1)． (2)由题意，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，∵函数g (x )在[1，＋∞)上单调，当g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数时，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2．∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，∴在[1，＋∞)上，φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0．当g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数时，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，易知其不可能成立． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝e x －ax e x －a (a ∈R )．(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围；(2)求证：x 在(0，2)上任取一个值，不等式1x －1e x －1<12恒成立(注：e 为自然对数的底数)．12．解析 (1)由已知得f ′(x )＝e x (x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x ＋1－a ．由函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减得f ′(x )≤0恒成立． ∴11＋x －a ≤0，即a ≥11＋x ，又11＋x∈(0，1)，∴a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)要证原不等式恒成立，即证e x －1－x <12x (e x －1)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0在x ∈(0，2)上恒成立．设F (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，则F ′(x )＝(x －1)e x ＋1．在(1)中，令a ＝1，则f (x )＝e x －x e x －1，f (x )在(0，2)上单调递减，∴F ′(x )＝－f (x )在(0，2)上单调递增， 而F ′(0)＝0，∴在(0，2)上F ′(x )>0恒成立，∴F (x )在(0，2)上单调递增，∴F (x )>F (0)＝0， 即当x ∈(0，2)时，1x －1e x －1<12恒成立．。

高考数学专题训练函数单调性问题【例1】(2020•新课标Ⅰ)已知函数)2()(+-=x a e x f x ．(1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；【例2】(2017•新课标Ⅰ)设函数x e x x f )1()(2-=．(1)讨论)(x f 的单调性;【例3】(2020•新课标Ⅰ) 已知函数x x x f 2sin sin )(2=．(1)讨论)(x f 在区间)0(π，的单调性;【例4】(2020•天津) 已知函数)(ln )(3R k x k x x f ∈+=，)(x f '为)(x f 的导函数．(1) 当6=k 时，(Ⅰ)求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程；(Ⅰ)求函数x x f x f x g 9)()()(+'-=的单调区间和极值；【例5】(2019•新课标Ⅰ)已知函数11ln )(-+-=x x x x f (1)讨论)(x f 的单调性；【例6】(2014•新课标Ⅰ)已知函数x e e x f x x 2)(--=-．(1)讨论)(x f 的单调性；【例7】(2017•北京理)已知函数x x e x f x -=cos )(．(1)求函数)(x f 在区间]2[0π，上的最大值和最小值;【例8】(2020•新课标Ⅰ)已知函数x ax e x f x -+=2)((1)当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；【例9】(2016•北京)设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在点))2(2(f ，处的切线方程为4)1(+-=x e y(1)求a ，b 的值;(2)求)(x f 的单调区间．【例10】(2020•新课标Ⅰ)已知函数1ln 2)(+=x x f ．（1）设0>a ，讨论函数a x a f x f x g --=)()()(的单调性．【例1】(2019•重庆模考)已知函数)(1ln )(R a x ax x f ∈++=．(1)讨论函数)(x f 的单调性；【例2】(2020•广西联考)已知函数x a x x f ln 1)(--=，(1)求函数)(x f 的极值．【例3】(2020•江西联考)已知函数1sin )1ln(2)(+++=x x x f ，函数x b ax x g ln 1)(--=(a ，R b ∈，0≠ab )(1)讨论)(x g 的单调性；【例4】(2019•广东二模)已知函数()21x f x ae x =+-．(其中常数 71828.2=e ，是自然对数的底数．)(1)讨论函数)(x f 的单调性；【例5】(2019•重庆二模)已知函数x b x a x f +=ln )((其中2≤a 且0≠a )，且)(x f 的一个极值点为ex 1=． (1)求函数)(x f 的单调区间；【例6】(2018•揭阳一模)已知0≠a ，函数ax e e e x f x x ++-=)(．(1)讨论)(x f 的单调性；【例7】(2017•新课标Ⅰ)已知函数x a ax x x f )12(ln )(2+++=．(1)讨论函数)(x f 的单调性;【例8】(2019•新课标Ⅰ)已知函数b ax x x f +-=232)(．（1）讨论)(x f 的单调性；【例9】(2020•济宁模拟)已知函数1ln )(-=x x x f ，x a ax x g )2()(2--=．(1)设函数)()()(x g x f x H -'=，讨论)(x H 的单调性；【例10】(2014•山东) 设函数11ln )(+-+=x x x a x f ，其中a 为常数． （1）若0=a ，求曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的切线方程;（2）讨论)(x f 的单调区间．【例11】(2018•新课标Ⅰ)已知函数x a x x x f ln 1)(+-=． (1)讨论)(x f 的单调性;【例12】(2020•新课标Ⅰ) 已知函数23)(k kx x x f +-=．（1）讨论)(x f 的单调性;【例13】(2017•新课标Ⅰ) 已知函数x a a e e x f x x 2)()(--=．（1）讨论)(x f 的单调性．【例14】(2020•马鞍山二模) 已知函数x e ae x f x x +-=-)()0(>a（1）讨论)(x f 的单调性；【例15】(2019•山东)已知212)ln ()(x x x x a x f -+-=，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．【例16】(2010•新课标) 设函数2()1x f x e x ax =---．（1）当0=a 时，讨论)(x f 的单调性．【例17】(2014•广东) 设函数3)2(2)2(1)(222-+++++=k x x k x x x f ，其中2-<k ．（1）讨论)(x f 的定义域D (用区间表示)；（2）讨论)(x f 在D 单调性．达标训练1．(2018•新课标Ⅰ)已知函数1ln )(--=x ae x f x ．(1)设2=x 是)(x f 的极值点，求a ，并求)(x f 的单调区间．2．(2018•新课标Ⅰ)已知函数)1(31)(23++-=x x a x x f ． (1)若3=a ，求)(x f 的单调区间．3．(2017•新课标Ⅱ)设函数x e x x f )1()(2-=．(1)讨论)(x f 的单调性．4．(2015•新课标Ⅱ)设函数)1(ln )(x a x x f -+=．(1)讨论)(x f 的单调性．5．(2016•山东)设函数x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=，R a ∈．(1)令)()(x f x g '=，求)(x g 的单调区间．6．(2020•金安期中)已知函数x a x x f -=ln )(，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．7．(2017•全国Ⅱ)已知函数x x ax ax x f ln )(2--=，且0)(≥x f ．求a 的值．8．(2012•新课标)设2)(--=ax e x f x ．(1)求)(x f 的单调区间．9．(2020•镜湖模拟)设函数1)(--=ax e x f x ，R a ∈;(1)讨论)(x f 在)0(∞+，上的单调性．10．(2020•香坊月考)已知函数x a x x f ln 21)(2-=)(R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调性．11．(2017•天津)设a ，R b ∈，|1|a ≤，已知函数b x a a x x x f +---=)4(36)(23．(1)讨论)(x f 的单调性．12．(2014•湖南)已知常数0>a ，函数22)1ln()(+-+=x x ax x f ． (1)讨论)(x f 在区间)0(∞+，上的单调区间．13．(2018•新课标Ⅰ)已知函数x a x x x f ln 1)(+-=． (1)讨论)(x f 的单调性．14．(2015•山东•理)设函数)()1ln()(2x x a x x f -++=，其中R a ∈．(1)讨论函数)(x f 的单调性．15．(2019•江西)已知函数ax xe x a xf x+--=ln )(，R a ∈． (1)当0<a 时，讨论函数)(x f 的单调性．16．(2020•荔湾区月考)已知函数x f ax e x x f x )0()1()(2'---=，其中R a ∈，)(x f '为函数)(x f 的导数．(1)讨论函数)(x f 的单调性．17．(2020•南昌月考)已知函数x e ax x f -=)((R a ∈,e 为自然对数的底数)．(1)讨论)(x f 的单调性．18．(2020•太和县月考)已知函数R a e a x x f x∈+-=(2)(2,)718.2 =e ． (1)求)(x f 的单调区间．19．(2020•五华月考)已知函数12131)(23-++-=ax x x x f ． (1)讨论函数的单调性．20．(2020•工农月考)已知函数x x x x f )ln 1)(1()(++=，)(ln )(R m mx x x g ∈-=． (1)求)(x g 的单调区间．21．(2020•江苏月考)已知函数)1(cos )(-+=x e a x x f ．(1)当1=a 时，求)(x f 在)0(π，上的单调性．22．(2020•南岗期中)已知函数x ax x f ln )(-=．(1)讨论)(x f 的单调区间;23．(2020•金安期中)已知函数ax x f 1ln )(-=，R a ∈． (1)讨论)(x f 的单调区间．。

第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增加的． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________． 解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

专题3.3 导数与函数的单调性-重难点题型精讲1．函数的单调性与导数的关系条件 恒有 结论函数y ＝f (x )在区间(a，b)上可导f ′(x )>0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数2一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示.【题型1 不含参函数的单调性】 【方法点拨】确定不含参函数的单调性、单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间；(4)由此可得出函数f (x )的单调性；【例1】（2022•扬州开学）下列函数中，在（1，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y ＝x 3﹣3xB ．y ＝lnx ﹣xC ．y ＝x +4xD ．y ＝x 2﹣3x +1【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 3﹣3x ，其导数y ′＝3x 2﹣3，在区间（1，+∞）上，y ′＞0，函数为增函数，符合题意， 对于B ，y ＝lnx ﹣x ，其导数y ′=1x −1=1−xx ，在区间（1，+∞）上，y ′＜0，函数为减函数，不符合题意，对于C ，y ＝x +4x，其导数y ′＝1−4x 2，在区间（1，2）上，y ′＜0，函数为减函数，不符合题意， 对于D ，y ＝x 2﹣3x +1是二次函数，在区间（1，32）上为减函数，不符合题意， 故选：A ．【变式1-1】（2022春•湖北期末）函数f （x ）=−12x 2﹣lnx 的递减区间为（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（0，+∞）【解题思路】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求． 【解答过程】解：f ′（x ）＝﹣x −1x＜0，x ＞0， 故函数的单调递减区间为（0，+∞）． 故选：D ．【变式1-2】（2022春•长寿区期末）函数f(x)=x −6x −5lnx 的单调递减区间为（ ） A ．（0，2）B ．（2，3）C ．（1，3）D ．（3，+∞）【解题思路】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【解答过程】解：∵f(x)=x −6x−5lnx ，定义域是（0，+∞），∴f ′（x ）＝1+6x 2−5x =x 2−5x+6x 2=(x−2)(x−3)x 2，令f ′（x ）＜0，解得2＜x ＜3， 故f （x ）的递减区间是（2，3）， 故选：B ．【变式1-3】（2022春•吉林期末）函数f （x ）＝﹣lnx +x 的递增区间是（ ） A ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B ．（﹣∞，0）和（1，+∞）C ．（1，+∞）D ．（﹣1，+∞）【解题思路】先写出函数的定义域，求导后，再解不等式f '（x ）＞0，即可．【解答过程】解：因为f （x ）＝﹣lnx +x ，所以f '（x ）=−1x +1，定义域为（0，+∞）， 令f '（x ）＞0，则−1x +1＞0，解得x ＞1， 所以f （x ）的递增区间为（1，+∞）． 故选：C ．【题型2 含参函数的单调性】 【方法点拨】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 【例2】（2022春•巴宜区校级期末）已知函数f （x ）＝2x 3﹣ax 2+b ． （1）若函数f （x ）在x ＝1处取得极小值﹣4，求实数a ，b 的值； （2）讨论f （x ）的单调性． 【解题思路】（1）根据题可得{f ′(1)=0f(1)=−4，解得a ，b ．（2）求导并令f ′（x ）＝0，得x ＝0或x =a 3，分三种情况：当a ＝0时，当a ＜0时，当a ＞0时，讨论f （x ）的单调性．【解答过程】解：（1）f ′（x ）＝6x 2﹣2ax ， 则{f ′(1)=0f(1)=−4，即{6−2a =02−a +b =−4，解得{a =3b =−3．（2）f ′（x ）＝6x 2﹣2ax ＝2x （3x ﹣a ）， 令f ′（x ）＝0，得x ＝0或x =a 3，当a ＝0时，f ′（x ）≥0，f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a ＜0时，在（﹣∞，a3），（0，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（a3，0）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，当a ＞0时，在（﹣∞，0），（a3，+∞）上f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，在（0，a3）上f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，综上所述，当a ＝0时，f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（﹣∞，a3），（0，+∞）上单调递增，在（a3，0）上单调递减，当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，0），（a 3，+∞）上单调递增，在（0，a3）上单调递减．【变式2-1】（2022春•满洲里市校级期末）已知函数f （x ）＝x 2﹣（a +2）x +alnx （a ∈R ）． （1）a ＝﹣2，求函数f （x ）在（1，f （1））处的切线方程； （2）讨论函数f （x ）的单调性．【解题思路】（1）当a ＝﹣2时，求出f （x ）的解析式，对f （x ）求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，求出f （1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）对f （x ）求导，再对a 分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可． 【解答过程】解：（1）当a ＝﹣2时，f （x ）＝x 2﹣2lnx ，f ′(x)=2x −2x切线的斜率k ＝f ′（1）＝0，f （1）＝1，则切线方程为y ﹣1＝0，即y ＝1． （2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），且f ′(x)=2x −(a +2)+ax =(2x−a)(x−1)x ， ①当a ≤0时，a 2≤0，由f ′（x ）＞0，得x ＞1；由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜1． 则函数f （x ）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，由f ′（x ）＞0，得0＜x ＜a2或x ＞1；由f ′（x ）＜0，得a2＜x ＜1．则函数f （x ）的单调递增区间为(0，a2)，（1，+∞）， 函数f （x ）的单调递减区间为(a2，1)．③当a 2=1，即a ＝2时，f ′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）的单调递增区间为（0，+∞）．④当a2＞1，即a ＞2时，由f ′（x ）＞0，得0＜x ＜1或x ＞a 2；由f ′（x ）＜0，得1＜x ＜a2， 则函数f （x ）的单调递增区间为（0，1），(a2，+∞)，函数f （x ）的单调递减区间为(1，a2)． 综上所述，当a ≤0时，函数f （x ）在（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减； 当0＜a ＜2时，函数f （x ）在(0，a2)和（1，+∞）上单调递增，在(a2，1)上单调递减； 当a ＝2时，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；当a ＞2时，函数f （x ）在（0，1）和(a 2，+∞)上单调递增，在(1，a 2)上单调递减． 【变式2-2】（2022春•蓝田县期末）已知函数f （x ）＝alnx ﹣ax ﹣3（a ≠0）． （Ⅰ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅱ）当a ＝﹣1时，证明：在（1，+∞）上，f （x ）+2＞0． 【解题思路】（Ⅰ）先求导，再分类讨论导函数的符号即可求解；（Ⅱ）构造函数g （x ）＝f （x ）+2，再利用导数求出g （x ）的最值，从而得证． 【解答过程】解：（Ⅰ）∵f ′(x)=a x −a =a(1−x)x ，x ＞0， ①当a ＞0时，x ∈（0，1），f ′（x ）＞0；x ∈（1，+∞），f ′（x ）＜0， ∴f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； ②当a ＜0时，x ∈（0，1），f ′（x ）＜0；x ∈（1，+∞），f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．综合可得：当a ＞0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 当a ＜0时，f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． （Ⅱ）证明：当a ＝﹣1时，令g （x ）＝f （x ）+2＝﹣lnx +x ﹣1，x ＞1， ∴g ′(x)=−1x +1=x−1x ＞0， ∴g （x ）在（1，+∞）上单调递增， ∴g （x ）＞g （1）＝0，故在（1，+∞）上，f （x ）+2＞0．【变式2-3】（2022春•南沙区期末）已知函数f （x ）＝2lnx ﹣ax 2﹣2（a ﹣1）x +1（a ∈R ）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围．【解题思路】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求函数的单调区间；（2）结合（1）中单调性的讨论及函数零点存在条件可建立关于a的不等式，结合函数的性质解不等式可求a的范围．【解答过程】解：（1）f′（x）=2x−2ax﹣2（a﹣1）=−2ax2−2(a−1)x+2x=−2(ax−1)(x+1)x，因为x＞0，x+1＞0，故当a≤0时，f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，x＞1a时，f′（x）＜0，0＜x＜1a时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，1a ）上单调递增，在（1a，+∞）上单调递减，综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），没有单调递减区间，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1a ），单调递减区间为（1a，+∞）；（2）当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），没有单调递减区间，此时函数最多一个零点，不符合题意；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1a ），单调递减区间为（1a，+∞），又x→+∞时，f（x）→﹣∞，x→0且x＞0时，f（x）→﹣∞，若使f（x）有2个零点，则f（1a ）=−2lna+1a−1=2ln1a+1a−1＞0，令t=1a，则t＞0，即2lnt+t﹣1＞0，令g（t）＝2lnt+t﹣1，则g（t）在t＞0时单调递增且g（1）＝0，所以t＞1，所以0＜a＜1，故a的取值范围为（0，1）．【题型3 利用函数的单调性比较大小】【方法点拨】根据题目条件，构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性来比较大小，即可得解. 【例3】（2022春•眉山期末）已知实数x ，y ，z 满足e y lnx ﹣ye x ＝0，ze x −e x ln 1x =0，若y ＞1，则（ ） A ．x ＞y ＞zB ．y ＞x ＞zC ．y ＞z ＞xD ．x ＞z ＞y【解题思路】首先根据题中的条件得到e y y+e z z=0，从而得到z ＜0；再根据x ＞1时，x ＞lnx 得到e y y＞e xx，结合函数g(x)=e xx (x ＞1)的单调性得到y ＞x ，从而得到y ＞x ＞z ． 【解答过程】解：由e y lnx ﹣ye x ＝0，得e y y =e x lnx ；由ze x −e zln 1x =0，得e z z =e x ln1x，两式相加得e y y+e z z=0，因为y ＞1，e y ＞0，所以e z z ＜0，又因为e z ＞0，所以z ＜0；因为e yy =e x lnx，y ＞1，所以e xlnx＞0，即lnx ＞0，所以x ＞1．令f （x ）＝x ﹣lnx （x ＞1），则f ′(x)=1−1x =x−1x ， 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）＝x ﹣lnx 在（1，+∞）内单调递增，即x ＞lnx ， 所以e y y=e x lnx＞e x x，即e y y＞e x x，又令g(x)=e x x (x ＞1)，则g ′(x)=xe x −e x x 2=(x−1)e xx 2(x ＞1)，当x ＞1时，g ′（x ）＞0，所以g(x)=e xx在（1，+∞）内单调递增，所以由e y y＞e x x，得到y ＞x ．所以y ＞x ＞z ． 故选：B ．【变式3-1】（2022春•绍兴期末）已知a ＝e 0.2﹣1，b ＝ln 1.2，c ＝tan0.2，其中e ＝2.71828⋯为自然对数的底数，则（ ） A ．c ＞a ＞bB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【解题思路】观察a ＝e 0.2﹣1，b ＝ln 1.2，c ＝tan0.2，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在（0，1）或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较a ，b ，c 的大小． 【解答过程】解：令f(x)=e x −1−tanx =cosxe x −cosx−sinx cosx ，0＜x ＜π4，令g（x）＝cos xe x﹣cos x﹣sin x，则g′（x）＝（e x﹣1）（cos x﹣sin x），当0＜x＜π4时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝1﹣1＝0，所以g（x）＞0，又cos x＞0，所以f（x）＞0，在(0，π4)成立，所以f（0.2）＞0，即a＞c，令ℎ(x)=ln(x+1)−x，ℎ′(x)=1x+1−1=−xx+1，ℎ(x)在x∈(0，π2)为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，即ln（x+1）＜x，令m(x)=x−tanx，m′(x)=1−1cos2x，m(x)在x∈(0，π2)为减函数，所以m（x）＜m（0）＝0，即x＜tan x，所以ln(x+1)＜x＜tanx，x∈(0，π2)成立，令x＝0.2，则上式变为ln（0.2+1）＜0.2＜tan0.2，所以b＜0.2＜c所以b＜c，所以b＜c＜a．故选：B．【变式3-2】（2022春•渭南期末）已知函数f（x）＝sin x+cos x﹣2x，a＝f（﹣π），b＝f（20），c＝f（ln2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解题思路】利用导数判断函数f（x）的单调性，进而可比较函数值的大小．【解答过程】解：因为函数f（x）＝sin x+cos x﹣2x，所以f′（x）＝cos x﹣sin x﹣2=√2cos（x+π4）﹣2＜0，所以f（x）为R上的减函数，因为﹣π＜ln2＜1＝20，所以f（﹣π）＞f（ln2）＞f（20），即a＞c＞b．故选：A．【变式3-3】（2022•山东开学）已知0＜a＜4，0＜b＜2，0＜c＜3，且16lna＝a2ln4，4lnb＝b2ln2，9lnc＝c2ln3，则（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．b＞c＞a【解题思路】根据等式关系进行转化，然后构造函数f（x）=lnxx2，研究函数的单调性和图象，利用数形结合进行判断即可．【解答过程】解：由16lna ＝a 2ln 4，4lnb ＝b 2ln 2，9lnc ＝c 2ln 3， 得lna a 2=ln442，lnb b 2=ln222，lnc c 2=ln332，构造函数f （x ）=lnxx 2， 得f （a ）＝f （4），f （b ）＝f （2），f （c ）＝f （3）， f ′（x ）=1x ⋅x 2−2xlnxx 4=x−2xlnx x 4=1−2lnxx 3， 由f ′（x ）＝0得1﹣2lnx ＝0，得lnx =12，即x =√e当x ＞√e 时，1﹣2lnx ＜0，即f ′（x ）＜0，则f （x ）在（√e ，+∞）上为减函数， 当0＜x ＜√e 时，1﹣2lnx ＞0，即f ′（x ）＞0，则f （x ）在（0，√e ）上为增函数， 则f （2）＞f （3）＞f （4）， 即f （b ）＞f （c ）＞f （a ）， ∵f （x ）在（0，√e ）上为增函数， ∴√e ＞b ＞c ＞a ＞0， 故选：D ．【题型4 利用函数的单调性解不等式】 【方法点拨】要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而转化求 解不等式.【例4】（2021秋•重庆月考）已知f （x ）是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′（x ），且f '（x ）﹣2f （x ）＞0，f （12）＝e （e 为自然对数的底数），则关于x 的不等式f （lnx ）＜x 2的解集为（ ）A ．（0，e2）B ．（0，√e ）C ．（1e，e2）D ．（e2，√e ）【解题思路】令F （x ）=f(x)e x ，求导分析单调性，不等式f （lnx ）＜x 2，可转化为f(lnx)e2lnx ＜f(12)e 2×12，即g （lnx ）＜g （12），即可得出答案． 【解答过程】解：令g （x ）=f(x)e x ，g ′（x ）=e 2x f′(x)−2e 2x f(x)e 4x =f′(x)−2f(x)e 2x＞0，所以g （x ）在R 上单调递增， 不等式f （lnx ）＜x 2，则f(lnx)x 2＜1，又f （12）＝e ，所以f(lnx)e 2lnx＜f(12)e 2×12，即g （lnx ）＜g （12），所以lnx ＜12， 解得0＜x ＜√e ， 故选：B ．【变式4-1】（2022春•新邵县期末）设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f '（x ）g （x ）﹣f （x ）g '（x ）＞0，且f （2）＝0，则不等式f （x ）g （x ）＞0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B ．（﹣2，0）∪（0，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）【解题思路】令F （x ）=f(x)g(x)，求导分析F （x ）的单调性，根据题意可得F （x ）的奇偶性，由f （2）＝0，得F （2）＝0，则不等式f （x ）g （x ）＞0的解集为F （x ）＞F （2）解集，即可得出答案． 【解答过程】解：令F （x ）=f(x)g(x)， F ′（x ）=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)，因为当x ＜0时，f '（x ）g （x ）﹣f （x ）g '（x ）＞0， 所以当x ＜0时，F ′（x ）＞0， 所以F （x ）在（﹣∞，0）上为增函数，因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），所以F（﹣x）=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F（x），所以F（x）在（﹣∞，+∞）上为奇函数，所以F（x）在（0，+∞）上为增函数，因为f（2）＝0，所以F（2）=f(2)g(2)=0，所以不等式f（x）g（x）＞0的解集为F（x）＞0的解集，所以F（x）＞F（2），所以x＞2或﹣2＜x＜0，故选：D．【变式4-2】（2022春•辽宁月考）已知函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对∀x∈R满足f（x）+f（﹣x）＝2x2，在x∈（0，+∞）上，f'（x）＜2x若f（2﹣m）﹣f（m）≥4﹣4m，实数m的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣∞，1]C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解题思路】构造函数g（x）＝f（x）﹣x2，推出g（x）为奇函数，再由导数判断g（x）的单调性，把不等式f（2﹣m）﹣f（m）≥4﹣4m转化为关于m的一次不等式求解．【解答过程】解：∵f（x）+f（﹣x）＝2x2，∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣2x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，则函数g（x）在（﹣∞，0）上也是单调递减函数．由f（0）＝0，得g（0）＝0，可得g（x）在R上是单调递减．则f（2﹣m）﹣f（m）≥4﹣4m⇔f（2﹣m）﹣（2﹣m）2≥f（m）﹣m2，即g（2﹣m）≥g（m），∴2﹣m≤m，解得m≥1，∴实数m的取值范围是[1，+∞）．故选：C ．【变式4-3】（2022春•赣州期末）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为f '（x ）．若f （x ）＝﹣f （﹣x ）﹣cos x ，且当x ≤0时，f ′(x)−12sinx ＞0，则不等式f （π﹣x ）＞f （x ）+cos x 的解集为（ ）A ．(−∞，π2)B ．（π2，+∞） C ．（﹣∞，π） D ．（π，+∞） 【解题思路】构造函数g(x)=f(x)+12cosx ，然后判断g （x ）的奇偶性，然后再由导数分析g （x ）的单调性，结合单调性及奇偶性可求．【解答过程】解：设g(x)=f(x)+12cosx ，因为f （x ）＝﹣f （﹣x ）﹣cos x ，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ）﹣cos x ，所以g(−x)=f(−x)+12cosx =−f （x ）﹣cos x +12cos x ＝﹣f （x ）−12cos x ，即g （x ）为奇函数，而g ′(x)=f ′(x)−12sinx ＞0，则g （x ）在R 上单调递增，f （π﹣x ）＞f （x ）+cos x ，即f(π−x)−12cosx ＞f(x)+12cosx ⇒f(π−x)+12cos(π−x)＞f(x)+12cosx ，即g(π−x)＞g(x)⇒π−x ＞x ⇒x ＜π2，所以x 的范围为（﹣∞，π2）． 故选：A ．【题型5 函数单调性与导函数图象的关系】【例5】（2022•赫山区校级开学）如图所示是函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象，则下列判断中正确的是（ ）A ．函数f （x ）在区间（﹣3，0）上是减函数B ．函数f （x ）在区间（﹣3，2）上是减函数C．函数f（x）在区间（0，2）上是减函数D．函数f（x）在区间（﹣3，2）上是单调函数【解题思路】根据函数y＝f（x）的导函数f′（x）＞0时单调递增，f'（x）＜0时单调递减，依次判断选项即可．【解答过程】解：由函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图像知，A．x∈（﹣3，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，故A正确；B．x∈（﹣3，2）时，f'（x）＜0或f'（x）＞0，所以函数f（x）先单调递减，再单调递增，故B错误；C．x∈（0，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，故C错误；D．x∈（﹣3，2）时，f'（x）＜0或f'（x）＞0，所以函数f（x）先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D错误．故选：A．【变式5-1】（2022春•平顶山期末）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，且f'（x）是f（x）的导函数，则（）A．f'（﹣1）＝f'（﹣2）＜0＜f'（1）＜f'（2）B．0＞f'（2）＞f'（1）＞f'（﹣1）＝f'（﹣2）C．f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（﹣1）＝f'（﹣2）D．f'（2）＜f'（1）＜0＜f'（﹣2）＜f'（﹣1）【解题思路】根据函数图象的特征，判断函数的单调性，进而判断导数的变化情况，即可得答案．【解答过程】解：由函数图象可知，当x≤0时，函数y＝f（x）匀速递增，故f′（x）是一个大于0的常数，当x≥0时，函数y＝f（x）递减，且递减幅度越来越快，∴f′（x）＜0，且y＝f′（x）单调递减，则f′（2）＜f′（1）＜0＜f′（﹣1）＝f′（﹣2），故选：C．【变式5-2】（2022春•莆田期末）定义在（﹣1，3）上的函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）图象如右图所示，则y＝f（x）的单调递减区间是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，1）C．（0，2）D．（2，3）【解题思路】利用导函数的图像，即可得出答案．【解答过程】解：由f′（x）的图像可知在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故选：C．【变式5-3】（2022春•遵义期末）函数f（x）的导函数为f'（x）的图象如图所示，关于函数f（x），下列说法不正确的是（）A．函数在（﹣1，1），（3，+∞）上单调递增B．函数在（﹣∞，﹣1），（1，3）上单调递减C．函数存在两个极值点D．函数有最小值，但是无最大值【解题思路】由导函数的图像，分析原函数f（x）的单调性，最值，极值，即可得出答案．【解答过程】解：由图像可知在（﹣∞，﹣1），（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（﹣1，1），（3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故A、B正确；在x＝﹣1，x＝3处函数f（x）取得极小值，在x＝1处函数f（x）取得极大值，故C错误；函数的最小值为f（﹣1）和f（3）中的最小值，因为x→+∞时，函数f（x）→+∞，所以函数f（x）无最大值，故D正确，故选：C．【题型6 根据函数的单调性求参数】【方法点拨】根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．【例6】（2022•安徽开学）已知函数f(x)=4cosx−13mx3在[3π4，2π]上单调递增，则实数m的取值范围为（）A．(−∞，−16√39π]B．(−∞，−16√29π2]C．(−∞，−32√39π]D．(−∞，−32√29π2]【解题思路】由函数的单调性可知导数f′（x）≥0在[3π4，2π]上恒成立，分离参数后，利用导数求g(x)=−4sinxx2的最小值即可得解．【解答过程】解：由题意得，f′（x）＝﹣4sin x﹣mx2，又f′（x）≥0在[3π4，2π]上，则﹣4sin x﹣mx2≥0，∴−4sinxx2≥m．令g(x)=−4sinxx2，可知当x∈[3π4，π)时，g（x）＜0，当x∈[π，2π]时，g（x）≥0，当x∈[3π4，π)时，g′(x)=4x3(2sinx−xcosx)＞0，∴函数g（x）在[3π4，π)上单调递增，∴g(x)min=g(3π4)=−32√29π2，则m≤−32√29π2，∴实数m的取值范围为(−∞，−32√29π2)．故选：D．【变式6-1】（2022春•清远期末）已知函数f （x ）＝alnx +2x 在[1，+∞）上单调递增，则实数a 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣1D ．1【解题思路】求出原函数的导函数，问题转化为a ≥﹣2x 在x ∈[1，+∞）时恒成立，再求出﹣2x 在[1，+∞）上的最大值得答案．【解答过程】解：由f （x ）＝alnx +2x ，得f ′（x ）=a x +2，∵函数f （x ）＝alnx +2x 在[1，+∞）上单调递增，∴a x +2≥0，即a ≥﹣2x 在x ∈[1，+∞）时恒成立， 而﹣2x 在[1，+∞）上的最大值为﹣2，∴a ≥﹣2，即实数a 的最小值为﹣2．故选：A ．【变式6-2】（2022春•中山市校级月考）设函数f(x)=13x 3−27lnx 在区间[a ﹣1，a +1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（1，2]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（0，3] 【解题思路】利用导数求函数的单调递减区间，再结合区间的包含关系，列式求实数a 的取值范围．【解答过程】解：f′(x)=x 2−27x =x 3−27x ，x ＞0，令f '（x ）≤0，得0＜x ≤3， 因为函数f(x)=13x 3−27lnx 在区间[a ﹣1，a +1]上单调递减，所以{a −1＞0a +1≤3，故1＜a ≤2， 所以a 的取值范围为（1，2]．故选：A ．【变式6-3】（2022春•道里区校级月考）若函数f （x ）＝（x 2﹣ax ﹣a ）e x 在区间（﹣2，0）内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．[0，+∞）C ．（﹣∞，0]D ．（﹣∞，1]【解题思路】结合导数与单调性关系可把问题转化为f ′（x ）＝[x 2+（2﹣a ）x ﹣2a ]e x ≤0在（﹣2，0）上恒成立，分离常数后可求．【解答过程】解：由题意得f ′（x ）＝[x 2+（2﹣a ）x ﹣2a ]e x ≤0在（﹣2，0）上恒成立，因为e x ＞0，即x2+（2﹣a）x﹣2a≤0在（﹣2，0）上恒成立，所以（x﹣a）（x+2）≤0在（﹣2，0）上恒成立，所以x﹣a≤0在（﹣2，0）上恒成立，所以a≥x在（﹣2，0）上恒成立，所以a≥0．故选：B．。

专题3.2 函数的单调性与最值1．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)=1,01,0x xx x+≥⎧⎨-<⎩在R上（）A．是减函数B．是增函数C．先减后增D．先增后减【答案】B【解析】画出函数图像即可得解.【详解】选B.画出该分段函数的图象，由图象知，该函数在R上是增函数.故选：B.2．（2021·全国高一课时练习）若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有()-()-f a f ba b>0成立，则必有（）A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增【答案】A【解析】根据条件可得当a<b时，f(a)<f(b)，或当a>b时，f(a)>f(b)，从而可判断.【详解】练基础由()-()-f a f b a b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）设函数f (x )是(-∞，+∞)上的减函数，则 （ ） A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2+a )<f (a ) D ．f (a 2+1)<f (a )【答案】D 【解析】利用0a =排除ABC ，作差可知21a a +>，根据单调性可知D 正确. 【详解】当0a =时，选项A 、B 、C 都不正确； 因为22131()024a a a +-=-+>，所以21a a +>， 因为()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，所以2(1)()f a f a +<，故D 正确.故选：D4．（2021·西藏高三二模（理））已知函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．()3,-+∞【答案】C 【解析】根据函数为奇函数且在R 上单调递减可得()()32f m f m -<求解. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减， 由()()320f m f m -+-<， 得()()()322f m f m f m -<--=， 于是得32m m ->，解得3m <-． 故选：C ．5．（2021·广西来宾市·高三其他模拟（理））已知定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0,)+∞上单调递增，(3)0f =，则关于x 的不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为（ ）A ．(5,2)(0,)--+∞ B ．(,5)(0,1)-∞- C ．(3,0)(3,)-⋃+∞ D ．(5,0)(1,)-+∞【答案】D 【解析】根据题意作出函数()f x 的草图，将(2)(2)0f x f x x++-->，转化为2(2)0f x x +>，利用数形结合法求解. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()f x 满足在(0,)+∞内单调递增， 所以()f x 满足在(,0)-∞内单调递减，又(3)0f =， 所以(3)(3)0f f -==． 作出函数()f x 的草图如下：由(2)(2)0f x f x x ++-->，得(2)[(2)]0f x f x x++-+>，得2(2)0f x x+>， 所以0,(2)0,x f x >⎧⎨+>⎩或0,(2)0,x f x <⎧⎨+<⎩所以0,23,x x >⎧⎨+>⎩或0,323,x x <⎧⎨-<+<⎩ 解得1x >或5x 0-<<， 即不等式(2)(2)0f x f x x++-->的解集为(5,0)(1,)-+∞．故选：D6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（文））已知函数()22f x x x -=-（ ）A ．是奇函数，0,单调递增B ．是奇函数，0,单调递减C ．是偶函数，0,单调递减D ．是偶函数，0,单调递增【答案】D 【解析】利用奇偶性和单调性的定义判断即可 【详解】解：定义域为{}0x x ≠， 因为2222()()()()f x x x x x f x ---=---=-=，所以()f x 为偶函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2222212211()()f x f x x x x x ---=--+212122121()()(1)x x x x x x =-++， 因为12x x <，12,(0,)x x ∈+∞，所以212122121()()(1)0x x x x x x -++>，所以21()()f x f x >，所以()f x 在0,单调递增，故选：D7．（2021·全国高三月考（理））若()f x 是奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(4)0f -=，则(2)(2)0f x f x x+--->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(6,2)(0,2)--⋃C ．(6,2)(2,)--⋃+∞D ．(,4)(0,4)-∞-⋃【答案】B 【解析】根据函数()f x 为奇函数，(4)0f -=得到(4)0f =，再由函数在(,0)-∞上是减函数，作出函数()f x 的图象，再由(2)(2)0f x f x x +--->，等价于2(2)0f x x+>，利用数形结合法求解.【详解】因为函数()f x 为奇函数， 所以(4)(4)0f f -=-=， 所以(4)0f =，因为函数()f x 在(,0)-∞上是减函数， 所以函数()f x 在(0,) +∞上是减函数． 作出函数()f x 的大致图象如图所示，而(2)(2)0f x f x x +--->，等价于(2)[(2)]0f x f x x +--+>，即2(2)0f x x+>，则0(2)0x f x <⎧⎨+<⎩或0(2)0x f x >⎧⎨+>⎩，所以0420x x <⎧⎨-<+<⎩或0024x x >⎧⎨<+<⎩，解得62x -<<-或02x <<． 综上，(2)(2)0f x f x x+--->的解集是(6,2)(0,2)--⋃．故选：B8．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数()||2f x x x x =⋅-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数，递增区间是()0-∞，B ．()f x 是偶函数，递减区间是()1-∞，C ．()f x 是奇函数，递减区间是(11)-， D ．()f x 是奇函数，递增区间是(0)+∞，【答案】C 【解析】将函数解析式化为分段函数型，画出函数图象，数形结合即可判断； 【详解】解：将函数()||2f x x x x =⋅-去掉绝对值得2220()20x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，，，画出函数()f x 的图象，如图，观察图象可知，函数()f x 的图象关于原点对称，故函数()f x 为奇函数，且在(11)-，上单调递减， 故选：C9．（2021·宁夏银川市·高三二模（文））设函数()21f x x x=-，则()f x （ ）A ．是偶函数，且在(),0-∞单调递增B ．是偶函数，且在(),0-∞单调递减C ．是奇函数，且在(),0-∞单调递增D ．是奇函数，且在(),0-∞单调递减【答案】B 【解析】利用定义可判断函数()f x 的奇偶性，化简函数()f x 在(),0-∞上的解析式，利用函数单调性的性质可判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性. 【详解】函数()21f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()()2211f x x x f x x x-=--=-=-， 所以，函数()f x 为偶函数， 当0x <时，()21f x x x=+，由于函数2y x 、1y x=在(),0-∞上均为减函数，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减， 故选：B.10．（2021·全国高一课时练习）已知y =f (x )是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f (m -1)>f (1-2m )，则m 的取值范围是_______. 【答案】1223⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【解析】结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】由题意得：-2-12-21-22-11-2m m m m <<⎧⎪<<⎨⎪<⎩，，，解得12-<m <23.故答案为：1223⎛⎫- ⎪⎝⎭，1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高二月考（文））定义在*N 上的函数()22,3,3x ax a x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩为递增函数，则头数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2 B ．33,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()1,3【答案】D 【解析】练提升根据定义域和单调性可知()()12f f <，再根据3x ≥时()f x 的单调性判断出()()32f f >，由此求解出a 的取值范围..【详解】因为*x ∈N ，所以3x <时，即{}1,2x ∈，由单调性可知()()21f f >，所以22142a a a a -+<-+，解得3a <；当3x ≥时，y ax =为增函数，若()f x 单调递增，则只需()()32f f >，所以2342a a a >-+，解得14a <<，综上可知a 的取值范围是：()1,3， 故选：D.2．（2021·上海高三二模）已知函数()(),y f x y g x ==满足：对任意12,x x R ∈，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-．命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值． 则下列判断正确的是（ ） A ．p 和q 都是真命题 B ．p 和q 都是假命题 C ．p 是真命题，q 是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题【答案】A 【解析】利用函数单调性定义结合已知判断命题p 的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q 的真假而得解. 【详解】对于命题p ：设12x x <，因为()y f x =是R 上的增函数，所以()()12f x f x <， 所以()()()()1221f x f x f x f x -=-， 因为()()()()1212f x f x g x g x -≥-，所以()()()()211221()()f x f x g x g x f x f x -+≤-≤-所以()()1122()()f x g x f x g x -≤- 故函数()()y f x g x =-不是减函数， 故命题p 为真命题；对于命题():q y f x =在R 上有最大值M ，此时x a =，有最小值m ，此时x b =， 因为()()()()()()()()f x f a g x g a f x M g x g a M f x -≥-⇔-≤-≤-，()()()()()()()()f x f b g x g b m f x g x g b f x m -≥-⇔-≤-≤-所以()()()()2()()()()22m M g a g b M m g a g b m M g x g a g b M m g x -++-++-≤--≤-⇔≤≤，所以()y g x =也有最大值和最小值，故命题q 为真命题． 故选：A3．（2021·全国高三二模（理））已知实数a ，b ，c ，d 满足a b c >>，且0a b c ++=，220ad bd b +-=，则d 的取值范围是（ ） A ．(][),10,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(D ．(11--+【答案】D 【解析】先求解出方程的解1,2d ，然后利用换元法（bt a=）将d 表示为关于t 的函数，根据条件分析t 的取值范围，然后分析出d 关于t 的函数的单调性，由此求解出d 的取值范围. 【详解】因为220ad bd b +-=，所以1,2b b d a a -==-±2440b ab ∆=+≥，令bt a=，则1,2d t =-±20t t +≥，所以(][),10,t ∈-∞-+∞，又因为0a b c ++=且a b c >>，所以0a >且c a b b a =--<<， 所以2,a b b a -<<，所以112bt a-<=<，所以[)0,1t ∈，当[)0,1t ∈时，())10,1d t t =-==∈， 因为1y t=在()0,1上单调递减，所以y t =-()0,1上单调递增， 当0t =时，10d =，当1t =时，11d =，所以)11d ⎡∈⎣； 当[)0,1t ∈时，2d t =-，因为y t =、2y t t =+在[)0,1上单调递增，所以y t =-[)0,1上单调递减， 当0t =时，20d =，当1t =时，21d =-(21d ⎤∈-⎦，综上可知：(11d ∈---， 故选：D.4．【多选题】（2021·湖南高三三模）关于函数()111f x x x =++的结论正确的是（ ） A ．()f x 在定义域内单调递减 B ．()f x 的值域为R C ．()f x 在定义城内有两个零点 D ．12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是奇函数 【答案】BD 【解析】根据所给函数结合函数性质，对各项逐个分析判断， 即可得解. 【详解】()111f x x x =++的定义域为(,1)(1,0)(0,)-∞--+∞， 而1x和11x +在各段定义域内均为减函数， 故()f x 在各段上为减函数，但不能说在定义域内单调递减，故A 错误； 当(1,0)x ∈- ，1x →-时，有()111f x x x =+→+∞+， 当0x →时，有()111f x x x =+→-∞+，所以()f x 的值域为R ，故B 正确； 令()2112101x f x x x x x+=+==++，可得12x =-，所以()f x 在定义城内有一个零点，故C 错误；2211128111241224x x y f x x x x x ⎛⎫=-=+== ⎪-⎝⎭-+-， 令28()41x g x x =-，易知12x ≠±，此时定义域关于原点对称，且28()()41xg x g x x --==--，故()g x 为奇函数， 所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数，故D 正确， 故选：BD.5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）(多选题)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋12，且f 1()2＝0，当x >12时，f (x )>0，则以下结论正确的是（ ） A ．f (0)＝－12，f (－1)＝－32B ．f (x )为R 上的减函数C ．f (x )＋12为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 【答案】AC 【解析】取0x y ==，11,22x y ==-，12x y ==-得出(0)f ，12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f -的值进而判断A ；由(1)(0)f f -<判断B ；令y x =-结合奇偶性的定义判断C ；令1()()2=+g x f x ，结合g (x )为奇函数，得出()1()f x f x -+=-，从而判断D.【详解】由已知，令0x y ==，得1(0)(0)(0)2f f f =++，1(0)2f ∴=-，令11,22x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112f ⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，再令12x y ==-，得1111122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3(1)2f ∴-=-，A 正确；(1)(0)f f -<，()f x ∴不是R 上的减函数，B 错误；令y x =-，得1()()()2f x x f x f x -=+-+，11()()022f x f x ⎡⎤⎡⎤∴++-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故C正确；令1()()2=+g x f x ，由C 可知g (x )为奇函数，11()()22g x g x ∴-+=-+，即1111()()2222f x f x ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1()f x f x ∴-+=-，故D 错误. 故选：AC6．【多选题】（2021·全国高一单元测试）如果函数()f x 在[,]a b 上是增函数，对于任意的1212,[,]()x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ）A ．1212()()0f x f x x x ->-B ．1212()[()()]0x x f x f x -->C ．12()()()()f a f x f x f b ≤<≤D ．12()()f x f x >E.1212()()0f x f x x x -<-【答案】AB 【解析】利用函数单调性的定义：12x x -与12()()f x f x -同号，判断A 、B 、E 的正误；而对于C 、D 选项，由于12,x x 的大小不定，1()f x 与2()f x 的大小关系不能确定. 【详解】由函数单调性的定义知，若函数()y f x =在给定的区间上是增函数，则12x x -与12()()f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确，E 错误；对于选项C 、D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则1()f x 与2()f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确．故选：AB.7．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[,]m n D ⊆使得()f x ：（1）()f x 在[,]m n 上是单调函数； （2）()f x 在[,]m n 上的值域是[2,2]m n ， 则称区间[,]m n 为函数()f x 的“倍值区间”． 下列函数中存在“倍值区间”的有（ ） A ．2()f x x =； B ．1()f x x=； C ．1()f x x x=+； D ．23()1x f x x =+．【答案】ABD 【解析】函数中存在“倍值区间”，则()f x 在[],m n 内是单调函数,()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()22f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，对四个函数的单调性分别研究，从而确定是否存在“倍值区间”． 【详解】函数中存在“倍值区间”，则（1）()f x 在[,]m n 内是单调函数，（2）()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩或()2()2f m nf n m=⎧⎨=⎩，对于A ，2()f x x =，若存在“倍值区间”[,]m n ，则()2()2f m m f n n =⎧⎨=⎩⇒2222m m n n⎧=⎨=⎩⇒02m n =⎧⎨=⎩，2()f x x ∴=，存在“倍值区间”[0,2]；对于B ，1()()f x x R x =∈，若存在“倍值区间”[,]m n ，当0x >时，1212n m mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒12mn =，故只需12mn =即可，故存在； 对于C ，1()f x x x=+；当0x >时，在区间[0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增， 若存在“倍值区间”1[],1][0,2n m n m m ⊆⇒+=，212210n m m mn n+=⇒-+=，222210n mn m n -+=⇒=不符题意；若存在“倍值区间”1[,][1,)2m n m m m ⊆+∞⇒+=，22121n n m n n+=⇒==不符题意，故此函数不存在“倍值区间“； 对于D ，233()11x f x x x x==++，所以()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,)+∞上单调递减，若存在“倍值区间”[,][0,1]m n ⊆，2321m m m =+，2321n n n =+，0m ∴=，2n =， 即存在“倍值区间”[0,2； 故选：ABD ．8．（2021·全国高三专题练习（理））已知1a >，b R ∈，当0x >时，[]24(1)102x a x b x ⎛⎫---⋅-≥ ⎪⎝⎭恒成立，则3b a +的最小值是_____．3 【解析】根据题中条件，先讨论10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦，根据不等式恒成立求出114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦；再讨论1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭，求出114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦得到b ，再由基本不等式即可求出结果.【详解】当10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦时，(1)10a x --<，即2402x b x--≤恒成立， 24222x x y x x-==-是10,1x a ⎛⎤∈ ⎥-⎝⎦上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≥--⎢⎥-⎣⎦， 当1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭时，(1)10a x -->，即2402x b x--≥恒成立，24222x x y x x-==-是1,1x a ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭上的增函数， ∴114(1)21b a a ⎡⎤≤--⎢⎥-⎣⎦， ∴114(1)21b a a ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦，∴13(1)332(1)b a a a +=+-+≥-，当12a =+时等号成立．3.9．（2021·全国高三专题练习）对于满足2p ≤的所有实数p ，则使不等式212x px p x ++>+恒成立的x的取值范围为______．【答案】()()13+-∞-⋃∞，，． 【解析】将不等式转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题． 【详解】解：原不等式可化为2(1)210x p x x -+-+>，令2()(1)21f p x p x x =-+-+，则原问题等价于()0f p >在[2,2]p ∈-上恒成立，则(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩，即2243010x x x ⎧-+>⎨->⎩解得：1311x x x x ⎧⎪⎨-⎪⎩或或∴1x <-或3x >． 即x 的取值范围为()()13+-∞-⋃∞，，. 故答案为：()()13+-∞-⋃∞，，. 10．（2021·上海高三二模）已知a R ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++-≥⎪=⎨-++<⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是_______________.【答案】{3- 【解析】讨论a -与0、2的大小关系，判断函数()f x 在[)0,+∞、(),0-∞上的单调性与最小值，根据函数()f x 的最小值列方程解出实数a 的值.【详解】分以下三种情况讨论：①若0a -≤时，即当0a ≥时，()222,22,0211,02x a x f x a x x ax a x ⎧⎪+->⎪=+≤≤⎨⎪⎪-++<⎩，所以，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，且()112f x a >+， 当0x ≥时，()min 1212f x a a =+>+， 此时，函数()f x 无最小值；②若02a <-≤时，即当20a -≤<时，()222,22,222,011,02x a x a a x f x x a x a x ax a x +->⎧⎪+-≤≤⎪⎪=⎨--+≤<-⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥+.22a a +>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，20a -≤<，解得3a =-±； ③当2a ->时，即当2a <-时，()222,2,222,0211,02x a x a a x a f x x a x x ax a x +->-⎧⎪--≤≤-⎪⎪=⎨--+≤<⎪⎪-++<⎪⎩，当0x <时，()211242a a f x f a ⎛⎫≥=-++ ⎪⎝⎭， 当0x ≥时，()2f x a ≥--.因为202a a -->>，所以，21242a aa -++=，整理可得2640a a +-=，2a <-，解得3a =-3a =-+.综上所述，实数a的取值集合为{3-.故答案为：{3-.1．（2020·全国高考真题（文））设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增， 而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x=-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．2.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．12y x = B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=【答案】A 【解析】函数122,log xy y x -==， 练真题1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .3．（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .4.(2017课标II)函数2()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是（ ） A.(,2)-∞- B. (,1)-∞- C. (1,)+∞ D. (4,)+∞ 【答案】D【解析】函数有意义，则：2280x x --> ，解得：2x <- 或4x > ，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为()4,+∞ . 故选D.5.(2017天津)已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c <<（B ）b a c <<（C ）c b a <<（D ）c a b << 【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且：0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<，本题选择C 选项.6．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论： ①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________． 【答案】①②③ 【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③。

高考数学单调性大题知识点数学是高考中的一门重要科目，而单调性是其中的一个重点知识点。

掌握好单调性的概念和应用方法，对于高考数学的备考至关重要。

本文将围绕高考数学中的单调性知识点展开探讨，帮助读者加深对该知识点的理解和掌握。

一、单调性的概念单调性是指函数在定义域内的增减性质。

常见的单调性包括增函数、减函数和常函数。

1. 增函数：若对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，有x(x1)<x(x2)，则称函数x(x)为增函数。

增函数的图像呈现出从左下到右上的单调增加趋势。

2. 减函数：若对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1<x2时，有x(x1)>x(x2)，则称函数x(x)为减函数。

减函数的图像呈现出从左上到右下的单调减少趋势。

3. 常函数：若对于定义域内的任意两个数x1和x2，有x(x1)=x(x2)，则称函数x(x)为常函数。

常函数的图像是一条水平直线。

二、单调性的判断方法判断函数的单调性有三种常见的方法，分别是导数法、增减表法和二次导数法。

1. 导数法：给定一个函数x=x(x)，如果它在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么该函数在该区间上就是增函数（或减函数）。

2. 增减表法：通过求函数的一阶导数，并列出该函数在区间内的关键点，然后根据关键点填制增减表，可以直观地判断函数的单调性。

其中，关键点是指函数的极值点、驻点等。

3. 二次导数法：先找出函数的驻点，再求出二阶导数。

对于一阶导数为零的点，通过二阶导数的正负性可以判断该点是极小值点还是极大值点，从而判断函数的单调性。

三、单调性在高考数学中的应用高考数学中，单调性是一个重要的应用点。

以下是几个常见的单调性应用题：1. 函数在某个区间上的单调性可以用来证明不等式。

例如，对于x>0，我们有x^x>1+x，可以通过证明函数x(x)=x^x−(1+x)在x>0的区间上是增函数，进而得到不等式的成立。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数； 四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ； （3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。