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上课时间：2020-10-2
一、巧定各类外接球的球心
简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。
一、由球的定义确定球心
若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：
1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；
3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
4．正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到；
5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。
精讲精练 知识梳理 巧定各类外接球的球心+解三角形 page - 2 - of 10 【典例剖析】
【典例1】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A．16π B．20π C．24π D．32π
【解析】 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，半径为6，球的表面积为24π，故选C。
新校园 ＸｊｎＸｉａｏＹｕａｎ 案例分析 空间几何体切接球问题的处理方法 马小茹 （大连金州高级中学，辽宁大连１１６０００） 球体与其他几何体的内切、外接等问题在高考试题中较为 常见。这类问题一般不易找到球心，要确定其半径，对学生空间 想象能力、化归能力以及思维能力要求很高。本文将较系统地 阐述几种常见解法。 一、定义法 解决球的问题，找球心及半径是解决问题的根本。 例１如下图示，ＰＡ上圆所在平面，ＡＣ为圆的直径，ＢＤ是 圆上不同于Ａ、Ｃ的两点，ＰＣ＝ａ，求四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的外接球 的体积． 解：因为ＰＡ上面ＡＢＣＤ，所以面Ｐ ＰＡＤ上面ＡＢＣＤ交于ＡＤ，而ＡＤ Ｊ＿ＣＤ，则 ＣＤ上面ＰＡＤ，ＣＤ上ＰＤ．同理ＣＢ上ＰＢ，取 Ｐｃ中点为０，在直角三角形ＰＡＣ，直角 三角形ＰＢＣ，直角三角形ＰＤＣ，有 Ａ ＯＰ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ＝ＯＡ，即Ｏ点为外接球的 Ｂ Ｃ 球心，２Ｒ＝ＰＣ＝ａ，则Ｒ＝争，所以Ｖ球＝ ４ １ｒＲ ＝詈ａ３． 二、作截面 解决立体几何有一个基本的方法：即立体问题平面化，因 而若可以做出过球心的截面图，则问题迎刃而解。 例２求半径为Ｒ的球的内接圆锥的最大体积． 解：如图为圆锥的一个轴截面，设圆锥底 面半径为ｒ，高为ｘ，则ｒ２－Ｒ乙（ｘ—Ｒ） ＝２Ｒｘ—Ｘ ， 则Ｖ圆锥： １百煦＝ ４竹‘（２Ｒ—ｘ）・ｘ２ ‘ ‘｛２Ｒ－Ｘ＋￣／２＋Ｘ／２｝３一 ． 例３求棱长为ａ的正四面体（侧棱长等于底面边长的正 三棱锥）的内切球与外接球的体积之比． 解：由正四面体得对称性可知，内切球心与外接球心是同 一个点，过侧棱及球心作轴截面如右图示，设内切球半径为ｒ， 外接球半径为Ｒ， Ｒ删＝ａ孚ａ ＋（孚ａ）。 ・１９６・ 且ＡＢ＝、／ ，ＡＣ＝Ｉ，ＡＤ＝、／丁，求该 三棱锥Ａ－ＢＣＤ的外接球的体积． Ｄ 解：当长方体内接于球时，由球 锥中，出现三条侧棱两两垂直，以这三条侧棱为边可构造一个 长方体，如图示，此三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一 个球，因而２Ｒ：Ｘ／—ＡＢ２＋ＡＣ—２＋ＡＤ２一＝、／ 即Ｖ球＝、／ 竹． 例５已知球Ｏ的面上有四点，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，ＤＡ上面ＡＢＣ， ２Ｒ：ｃＤ：２、／丁，所以Ｖ球：４Ｘ／３－盯． Ａ Ｂ 例６已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝２ ｖ３４，ＰＢ＝ＡＣ＝１０， ＰＣ＝ＡＢ＝２、 求该三棱锥的体积及外接球的体积． 解：构造一个长方体，三棱锥Ｐ—ＡＢＣ各边分别为长方体的 面对角线，如图示． Ｃ 而三棱锥Ｐ—ＡＢＣ的外接球 即长方体ＥＢＧＡ—ＰＤＣＦ的外接 球，２Ｒ＝ＰＧ＝、／ｘ ＋ｙｚ＋ｚ ＝１０、／２， 所以Ｖ球： ４竹Ｒ３＿ ０＿ 叮ｒ ｊ ｊ ＶＰ一柚 Ｖ啪Ｇ ４’Ｖ ＡＥ庐ｌ６０． 综上所述，对于不同的几何体，要根据其本身的特点，选用 不同的方法处理。当然，有些几何体切接球问题的解法可能不 唯一。如正四面体的外接球问题，可以作截面图处理，也可以构 造正方体处理，也可以用解析法，在几何体中建立空间直角坐 标系，用待定系数法找到球心及半径。 参考文献： 聂海峰．切接球问题的转化途径【Ｊ】．数理化解题研究（高中版），２００７ （０４）． Ｂ ∞ ， 蜘 咖～
简单空间几何体的外接球问题教学设计
一、 教学内容解析
本节课是在全面学习了立体几何中的空间几何体之后，对空间中简单多面体与球相结合的综合问题的研究，是建立在学生熟练掌握平面几何的相关知识，类比得到空间几何体的一些结论，其中涉及到长方形外接圆的半径，三角形外接圆的半径的求法，需要学生充分发挥空间想象能力，在球中构建直角三角形求外接圆的半径。
本节课较全面的总结了多面体的外接球问题，既有对简单问题的快速便捷处理方法，又有对常见考法的系统探究，是属于中高考复习备考方法，策略的研究案例。
二、教学目标设置
知识与技能：1、掌握与长方体有关的外接球问题
2、理解用定义法和截面性质解决空间几何体的外接球问题。
过程与方法：通过类比平面的相关知识，建立空间感，运用外接球的定义求解外接球的半径。
情感、态度、价值观：充分发挥学生的空间想象能力，通过体会外接球半径的探索过程，正确地拓展已学知识，适时地建立模型归纳所学内容，从而完善地建立知识模块体系。
三、学生学情分析
多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点，在近几年的高考题中都有出现。球经常和其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
在平时学习中，学生已经掌握了正方体、长方体的外接球，了解了补形法，但对一般三棱锥的外接球相关问题的求解仍有困难，主要是因为不善于抓住几何体的结构特征，不能正确回归外接球定义，寻找球心和半径。
四、教学过程设计
（一）、新课引入
1、图片展示：生活中的球，并让学生回答球的定义，及球心的定义.
2、学生活动：展示长方形外接圆的求法
学生思考：1、在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形ABCD沿AC折成一个二面角,使B-AC-D为 60。 ，则四面体ABCD的外接球的半径为( ).
【注】：在空间中，如果一个顶点与一个简单几何体的所有顶点距离都相等
那么这个顶点就是简单几何体的外接球的球心。（根据球的定义确定球心）
立体几何中外接球与内切球模型归纳
在立体几何中，外接球和内切球是两个重要的概念。外接球和内切球分别指在几何体上找到的可以用一个球切割出来的最大和最小的球形结构。在实际应用中，外接球和内切球可以应用到各种领域，例如机械制造、建筑设计等。
一、外接球
外接球是指能够切割几何体上所有顶点的球，也就是说，外接球的球心在几何体的所以顶点上。常见的外接球有以下几种类型：
1. 立方体的外接球
立方体的外接球是一个边长等于立方体对角线长度的球。由于立方体的对角线长度是边长的$\sqrt{3}$倍，因此，立方体的外接球半径为边长的$\frac{\sqrt{3}}{2}$倍。
圆锥的外接球是一个球心位于圆锥顶点上，且半径等于圆锥母线长度的一半的球。圆锥的外接球直径等于底面圆的直径加上圆锥高的二倍，即外接球直径等于$\sqrt{d^2+4h^2}$。
二、内切球
立方体的内切球是一个正八面体，正八面体的体心即为立方体重心。
2. 正四面体的内切球
正四面体的内切球是一个球心位于四面体重心处，且半径等于四面体高的$\frac{1}{3}$倍的球。
4. 圆锥的内切球
圆锥的内切球是一个球心位于圆锥顶点上，且半径等于圆锥母线长度与底面半径之差的一半的球。
