2017 年普陀区数学一模试卷______姓名 ______学号___________一、选择题6题 4 分） 1、“相似的图形 ”是（ ） （A ）形状相同的图形 （B ）大小不相同的图形 （C ）能够重合的图形 （D ）大小相同的图形 2、下列函数中， y 是关于 x 的二次函数的是（ ） （A ）y=2x+1 （B ）y=2 x (x+1)（C ） y 2 2 x（D ） 2 2 y ( x 2) x 3、如图，直线 l 1//l 2// l 3，直线 AC 分别和 l 1、l 2、l 3 交于 A 、B 、C ，直线 DF 分别和l 1、l 2、l 3 交于 D 、E 、F ，AC和 DF 相交于点 H ，如果 AH =2，HB =1，BC =4，那么 DE EF （A ） 1 5 （B ） 1 3 （C ） 254、抛物线2 y x1 0 12 ⋯ y ⋯ 0 4 6 6 4 ⋯从上表可至，下列说法中错误的是（）（A ）抛物线和 x轴的一个交点是(-2,0) （B ）抛物线和 y轴的交为(0,6)（C ）抛物线的对称轴是直线 x=0 （D ）抛物线在对称轴左侧部分上升 5、如图 2，在四边形 ABCD 中，如果∠ ADC =∠BAC ，那么下列条件中不能判定△ ADC 和△BAC 相似的是（ ） （A ）∠ DAC =∠ABC （B ）AC 是∠ BCD 的平分线 （C ）AC 2 = BC·CD （D ） AD CD AB AC6、下列说法中，错误的是（ ）（A ）长度为1 的向量叫做单位向量 （B ）如果 k ≠0，且 a 0，那么 ka, a 方向相同 （C ）如果 k=0 或 a 0，则k a 0 （D ）如果 5 1 a c,b c, c 0，则a //b 2 2 二、填空题 12题 4 分） 7、如果 x:y =4:3 ，那么 x y y . 8、计算：3a 4(a b) . 2 的开口向上，那么 m 的取是 . 9、如果抛物线 y=( m -1) x 10、抛物线 y= 2 4x 3x 11、如果点 A(3, n )在二次函数 2 2 3 y x x 的图像上，那么， n= .112、已知线段AB 的长为10cm，点P 是线段AB 的黄金分割点，那么较长的线段AP= cm.13、利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm 的一个等边三角形放大成为边长为20cm 的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长之比为.14、已知点P 在半径为 5 的圆O 外，如果OP= c x，那么x 的范围是.15、如果在港口 A 的南偏东52 度方向上有一座小岛B，那么从小岛 B 观察港口 A 的方向是.16、在半径为4cm 的圆面中，挖去一个半径为x cm 的圆面，剩下的部分面积为y cm 2，写出y 关于x 的函数解析式：. （结果保留π，不用写定义域）17、如果等腰三角形的腰和底边之比为5:6，那么底角的余弦值等于.18、如图，DE //BC，且DE 过△ABC 的重心，分别和AB、AC 交于点D、E，点P 是线段DE 上的一点，CP 的延长线和AB 交于点Q，如果DP 1DE 4 ，那么：:S S 的值DPQ CPE是.三、解答题（本题7题，19、20、21、22题各10分，23、24题各12分，25题14分）19、计算： 2 cot 30cos 45 3 tan 601 2sin 60.20、如图，已知AD 是圆O 的直径，BC 是圆O 的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC =16，试求圆O 的直径.21、如图，已知向量OA, O B ,OP（1）求作OP 分别在OA,OB方向上的分向量OD,OE ;（不要求写作法，但要在图中明确标出向量OD, O E ）（2）如果点 A 是线段OD 的中点，连接AE，和线段OP 交于点Q，设OA a ，OP p ，那么，请用a,p 表示向量PE,QE . （请直接写出结论）222、一段斜坡路面的截面如图所示， BC ⊥ AC ，其中破面 AB 的坡比 i 1 = 1:2 ，现在计划削坡放缓，新的破面的坡 角为原来坡角的一半，试求新坡面AD 的坡比 i 2. （结果保留根号）23、已知，如图，在四边形 ABCD 中，∠ BAD =∠CDA ， AB= C D= ab ，CE =a ，AC= b求证：（ 1）△DEC ∽△ ADC ；（2）AE·A B= B C·DE24、在平面直角xOy 中，点 A(4,0)是抛物线以点 B (0,2)，平移后的新抛物为 C ，新抛物线的对称轴和线段 （1）求平移后得到的新抛物线的表达式，并求出点 C 的坐标；（2）求∠ CAB 的正切值； （3）如果点 Q 是新抛物线对称轴上的一△BCQ 和△ACP 相似，试求点 Q 的坐标 .325、如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，sin 3 B ，点O 是AB 的中点，∠DOE =∠A，当∠DOE5以点O 为旋转中心旋转的时候，OD 和AC 的延长线交于点D，交BC 边与点M，OE 和线段BM 交于点N. （1）当CM =2 时，试求线段CD 的长；（2）设CM =x，BN= y，试求y 和x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN 是以OM 为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM 的长.（备用图1）（备用图2）4。
上海市闵行区2017年高考数学一模试卷(解析版)一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为．4．函数的反函数是．5．6展开式中x3项的系数为（用数字作答）6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有种排法（用数字作答）8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}=（用列举法表示）9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是．10．已知x、y满足曲线方程，则x2+y2的取值范围是．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数+1次，则满足要求的b1的值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）18．（14分）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．19．（14分）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．20．（16分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（18分）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，﹣1设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；﹣1（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．2017年上海市闵行区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．方程lg（3x+4）=1的解x=2．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据对数概念求解．【解答】解：∵lg（3x+4）=1，∴3x+4=10，x=2，∵故答案为：2．【点评】本题简单的考查了对数的概念，关键是把对数式化为指数式子，属于简单题目．2．若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a+b=5．【考点】其他不等式的解法．【分析】求出a，b的值，从而求出a+b即可．【解答】解：若关于x的不等式（a，b∈R）的解集为（﹣∞，1）∪（4，+∞），则a=1，b=4或a=4，b=1，则a+b=5，故答案为：5．【点评】本题考查了不等式的解集问题，是一道基础题．3．已知数列{a n}的前n项和为，则此数列的通项公式为a n=2n﹣1．【考点】数列的求和．【分析】根据题意和公式，化简后求出数列的通项公式【解答】解：当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，又21﹣1=1，所以a n=2n﹣1，故答案为：a n=2n﹣1．【点评】本题考查了a n、S n的关系式：的应用，注意验证n=1是否成立．4．函数的反函数是f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥0）．【考点】反函数．【分析】根据反函数的定义，求出x关系y的函数，把x与y互换，可得反函数的解析式．【解答】解：函数，其定义域为{x|x≥0}．解得：x=（y﹣1）2．把x与y互换可得y=（x﹣1）2．∴函数的反函数位：f﹣1（x）=（x﹣1）2．故答案为：f﹣1（x）=（x﹣1）2．（x≥0）【点评】本题考查了反函数的求法，属于基础题．5．（1+2x）6展开式中x3项的系数为160（用数字作答）【考点】二项式定理的应用．【分析】利用通项公式即可得出．==2r，令r=3，【解答】解：通项公式T r+1可得：（1+2x）6展开式中x3项的系数==160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．如图，已知正方形ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则三棱锥D1﹣ADE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知求出△DED1的面积，然后利用等体积法求得三棱锥D1﹣ADE的体积．【解答】解：如图，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2，E为棱CC1的中点，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．7．从单词“shadow”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a”的共有240种排法（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，有C53A44种结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，当选取4个字母时从其它5个字母中选3个，再与“a“全排列，C53A44=240，即含有“a”的共有240种．故答案为240．【点评】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是看出要选出三个字母同所给的字母进行排列，本题是一个基础题．8．集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， } （用列举法表示）【考点】三角方程．【分析】由已知得，或，由此能求出结果．【解答】解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=﹣，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={， }．故答案为：{， }．【点评】本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．9．如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是[，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合图形，将代入进行数量积的运算，并代入∠BOP=60°﹣∠AOP 进行化简即可得出，这样，根据0°≤∠AOP ≤60°即可求出sin （∠AOP ﹣30°）的范围，即求出的取值范围．【解答】解：==cos ∠BOP ﹣cos ∠AOP=cos （60°﹣∠AOP ）﹣cos ∠AOP===sin （∠AOP ﹣30°）； 0°≤∠AOP ≤60°；∴﹣30°≤∠AOP ﹣30°≤30°；∴；∴的取值范围为．故答案为：[]．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，两角和差的正余弦公式，以及不等式的性质，熟悉正弦函数的图象．10．已知x 、y 满足曲线方程，则x 2+y 2的取值范围是 [，+∞） ．【考点】基本不等式．【分析】先求出y 2的范围，再令y 2=t ，t ≥，则f （t ）=2+t ﹣，根据函数的单调性即可求出范围．【解答】解：，则x 2+y 2=2﹣+y 2，∵∴y2≥设y2=t，t≥，则f（t）=2+t﹣，∴f′（t）=1+＞0，∴f（t）在[，+∞）为增函数，∴f（t）≥f（）=2+﹣2=，故则x2+y2的取值范围是为[，+∞），故答案为：[，+∞）【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于中档题．11．已知两个不相等的非零向量和，向量组和均由2个和2个排列而成，记，那么S的所有可能取值中的最小值是（用向量、表示）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a2+b2≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．【解答】解：根据条件得，S所有可能取值为：，，∴S的所有可能取值中的最小值为．故答案为：．【点评】考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．=a n，数列{b n}满足12．已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=∴b n+1﹣b n=a n=，∴b2n+2﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，…，=b4n﹣2，，∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．若a、b为实数，则“a＜1”是“”的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由＞1，解得：0＜a＜1，故“a＜1”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．14．若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．15．函数f（x）=|x2﹣a|在区间[﹣1，1]上的最大值是a，那么实数a的取值范围是（）A．[0，+∞）B．[，1]C．[，+∞）D．[1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】对a讨论，分a≤0，a＞0，可得a＞0成立，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由≥1，即可得到所求范围．【解答】解：若a≤0，则f（x）=x2﹣a，f（x）在[﹣1，1]的最大值为1﹣a，即有1﹣a=a，可得a=，不成立；则a＞0，由|x2﹣a|=a，可得x=0或±，由图象结合在区间[﹣1，1]上的最大值是a，可得≥1，解得a≥．故选：C．【点评】本题考查函数的最值的判断，考查分类讨论思想方法，数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．16．曲线C1：y=sinx，曲线（r＞0），它们交点的个数（）A．恒为偶数B．恒为奇数C．不超过2017 D．可超过2017【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据两个曲线的图象特征，可得这两个曲线一定有一个交点是原点，但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．【解答】解：由于圆C2：x2+（y+r﹣）2=r2（r＞0）．圆心为（0，﹣r），在横轴上，半径等于r，正弦曲线C1：y=sinx也过原点，故这两个曲线一定有交点．但由于圆的半径不确定，故这两个曲线的交点个数不确定．故选D．【点评】本题主要考查圆的标准方程、正弦函数的图象，属于基础题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）（2017•闵行区一模）如图，在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的大小；（用反三角函数表示）【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）由圆锥的侧面积S侧=πrl，能求出结果．（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，由此能求出直线CD与平面BOC所成角的大小．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB中点，将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，4×π=8π．∴圆锥的侧面积S侧=πrl=2×（2）取OB的中点E，连结DE、CE，则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，CE=，DE=，tan=，∴．∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查直线与平面所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（14分）（2017•闵行区一模）已知，，A、B、C是△ABC的内角；（1）当时，求的值；（2）若，|AB|=3，当取最大值时，求A的大小及边BC的长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）由即可求出向量的坐标，从而得出的值；（2）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而看出A=时，取最大值，这样在△ABC中，根据正弦定理即可求出边BC的长．【解答】解：（1）时，；∴；（2）==；取最大值时，；又；∴在△ABC中，由正弦定理得：；即；∴．【点评】考查三角函数求值，根据向量坐标求向量长度的方法，数量积的坐标运算，以及二倍角的余弦公式，两角和的正弦公式，正弦定理．19．（14分）（2017•闵行区一模）如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m1=3、m2=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系式，并求y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．【解答】解：（1）分别单独建厂，共需总费用：y1=25×30.7+25×50.7≈131.1万元．（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）0.7+（0≤x≤20）令h（x）=（0≤x≤20），可得h2（x）=20+2=20+2∈[20，40]，121.5≈25×≤y≤≈127.4，y的取值范围：[121.5，127.4]．【点评】本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（16分）（2017•闵行区一模）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（1）求由题意，a=1，c=，b=2，即可双曲线Γ的方程；（2）y M==在（0，2）上单调递增，即可求点M的纵坐标y M的取值范围；（3）求出k OM+k BP=0，可得直线BP与OM关于直线x=对称【解答】解：（1）由题意，a=1，c=，b=2，∴双曲线Γ的方程=1；（2）由题意，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的方程y=k（x+1）（0＜k＜2），代入椭圆方程，整理得（4+k2）x2+2k2x+k2﹣4=0∴x=﹣1或x2=，∴Q（，），M（﹣，）∴y M==在（0，2）上单调递增，∴y M∈（0，1）（3）由题意，k AP•k BP==4，同理k AP•k OM=﹣4，∴k OM+k BP=0，设直线OM：y=k′x，则直线BP：y=﹣k′（x﹣1），解得x=，∵k OM+k BP=0，∴直线BP与OM关于直线x=对称．【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．21．（18分）（2017•闵行区一模）在平面直角坐标系上，有一点列P0，P1，P2，P3，…，P n，P n，设点P k的坐标（x k，y k）（k∈N，k≤n），其中x k、y k∈Z，﹣1记△x k=x k﹣x k﹣1，△y k=y k﹣y k﹣1，且满足|△x k|•|△y k|=2（k∈N*，k≤n）；（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；（2）已知点P0（0，1），△x k=1（k∈N*，k≤n），且{y k}（k∈N，k≤n）是递增数列，点P n在直线l：y=3x﹣8上，求n；（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．【考点】数列与解析几何的综合．【分析】（1）由已知得|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，，由此能示出P1的坐标．（2）求出p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2 +△x n，由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．△x n﹣1【解答】解：（1）∵x k∈Z，y k∈Z，∴△x k，△y k∈Z，又∵|△x1|•|△y1|=2，0＜△x1＜△y1，∴，∴x1=x0+△x1=0+1=1，y1=y0+△y1=1+2=3，∴P1的坐标为（1，3）．（2）∵，∴x n=x0+△x1+△x2+…+△x n=n，又|△x k|•|△y k|=2，△x k=1，∴△y k=±2，（k∈N*，k≤n），∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，{y k}（k∈N，k≤n）是增数列，∴，∴y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n=1+2n，∴p n（n，1+2n），将P n（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，解得n=9．（3）∵y k=y0+△y1+△y2+△y3+…+△y n，∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设T n=x0+x1+x2+…+x n=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△x n）=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n，﹣1∵n=2016是偶数，n＞100，T n=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△x n+△x n≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，﹣1当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，△y101=﹣1，…，△y n﹣1=1，△y n=﹣1，△x1=△x2=△x3=…=△x n=2时，（取法不唯一）（T n）max=n2+n，∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查实数值的求法，考查数列的前2017项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质及构造法的合理运用．。
普陀区高三数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(1)的值为（）A. 3B. -3C. 1D. -12. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标为（）A. (-1.5, 0)B. (1.5, 0)C. (-3, 0)D. (3, 0)4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_5的值为（）A. 17B. 14C. 11D. 85. 若复数z = 1 + i，则|z|的值为（）A. √2B. 2C. 1D. √36. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0，该圆的半径为（）A. 10B. 8C. 6D. 47. 已知向量a=(3, -4)，向量b=(-2, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -23B. 23C. -5D. 58. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在x=1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）9. 已知函数f(x) = x^3 - 9x，求导数f'(x) = ________。
10. 已知向量a=(1, 2)，向量b=(2, -3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为 ________。
11. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n + 1，求a_3的值为________。
12. 已知函数y = ln(x+1) - 2x，求导数y' = ________。
三、解答题（本大题共3小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷（文科）（衡水金卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．设i是虚数单位，则复数（2+i）（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣1 C．3 D．﹣i2．命题“∃x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是（）A．∃x0＞0，（x0﹣1）（x0+2）＜0 B．∃x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）＜0C．∀x＞0，（x﹣1）（x+2）≥0 D．∀x＜0，（x﹣1）（x+2）＜03．已知集合M={x|﹣1≤x≤2}，N={x|1﹣3a＜x≤2a}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是（）A．（，1）B．（1，+∞）C．（，+∞） D．[1，+∞）4．已知曲线f（x）=a x﹣1+1（a＞1）恒过定点A，点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．2 D．25．如图，已知ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，则下列结论错误的是（）A．平面ACB′∥平面A′C′D B．B′C⊥BD′C．B′C⊥DC′D．BD′⊥平面A′C′D6．已知半径为r的圆内切于某等边三角形，若在该三角形内任取一点，则该点到圆心的距离大于半径r的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣7．如图，在△ABC中，点D满足+2=0，•=0，且|+|=2，则•=（）A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣3 B．﹣ C．D．210．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则当x∈[﹣1，1]时，函数f（x）的值域为（）A．[﹣1，]B．[，1]C．[﹣，1]D．[﹣1，1]11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．20+3B．16+8C．18+3D．18+612．若函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，e）B．（﹣，0]C．（e，+∞）D．（﹣，e]二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．在高三某次数学测试中，40名优秀学生的成绩如图所示：若将成绩由低到高编为1～40号，再用系统抽样的方法从中抽取8人，则其中成绩在区间[123，134]上的学生人数为．14．已知点M是圆E：（x+1）2+y2=8上的动点，点F（1，0），O为坐标原点，线段MF的垂直平分线交ME于点P，则动点P的轨迹方程为．15．若变量x，y满足约束条件则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为．16．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，C=，D ，E 分别为BC ，AB 上的点，∠ADC=∠EDB=，DB=，AE=3EB ，则边长AC 的值为 ．三、解答题17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=1，2S n =（n +1）a n ，数列{b n }中，b n =2．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．18．（12分）如图，在三棱锥ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三角形，AA 1=4，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点E ，D 是B 1C 1的中点． （Ⅰ）证明：A 1D ⊥A 1C ；（Ⅱ）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．19．（12分）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x （天数）与销售单价y （元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）．表中w i =， =．（Ⅰ）根据散点图判断， =+x 与=+哪一个更适宜作价格y 关于时间x 的回归方程类型？（不必说明理由）（Ⅱ）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）若该产品的日销售量g （x ）（件）与时间x 的函数关系为g （x ）=+120（x ∈N *），求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？附：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2），（u 3，v 3），…，（u n ，v n ），其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=4x ，直线x=ny +4与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求证：•=0（其中O 为坐标原点）；（Ⅱ）设F 为抛物线C 的焦点，直线l 1为抛物线C 的准线，直线l 2是抛物线C 的通径所在的直线，过C 上一点P （x 0，y 0）（y 0≠0）作直线l ：y 0y=2（x +x 0）与直线l 2相交于点M ，与直线l 1相交于点N ，证明：点P 在抛物线C 上移动时，恒为定值，并求出此定值．21．（12分）设函数f （x ）=alnx +（e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a ＞0时，求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜0在区间（0，e 2]内有解，求实数a 的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为，（φ为参数），以原点O为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos（θ+）=．（Ⅰ）将直线l写成参数方程，（t为参数）的形式，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为（1，0），求|AB|的值．选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数f（x）=|mx+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若m=﹣2，解不等式f（x）≥1．2017年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷（文科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）1．设i是虚数单位，则复数（2+i）（1﹣i）的虚部为（）A．i B．﹣1 C．3 D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数（2+i）（1﹣i）=3﹣i的虚部为﹣1．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．命题“∃x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是（）A．∃x0＞0，（x0﹣1）（x0+2）＜0 B．∃x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）＜0C．∀x＞0，（x﹣1）（x+2）≥0 D．∀x＜0，（x﹣1）（x+2）＜0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“∃x0＜0，（x0﹣1）（x0+2）≥0”的否定是：∀x＜0，（x﹣1）（x+2）＜0．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，注意量词的变化，基本知识的考查．3．已知集合M={x|﹣1≤x≤2}，N={x|1﹣3a＜x≤2a}，若M∩N=M，则实数a 的取值范围是（）A．（，1）B．（1，+∞）C．（，+∞） D．[1，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】M∩N=M，可得M⊆N，利用M={x|﹣1≤x≤2}，N={x|1﹣3a＜x≤2a}，得出不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：∵M∩N=M，∴M⊆N，∵M={x|﹣1≤x≤2}，N={x|1﹣3a＜x≤2a}，∴，∴a≥1，故选D．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题．4．已知曲线f（x）=a x﹣1+1（a＞1）恒过定点A，点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，则双曲线C的离心率为（）A．B．5 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出A的坐标，利用点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，得出=2，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：曲线f（x）=a x﹣1+1（a＞1）恒过定点A（1，2），∵点A恰在双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，∴=2，∴b=2a，c=a，∴e==，故选A．【点评】本题考查函数过定点，考查双曲线的方程与性质，确定A的坐标是关键．5．如图，已知ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，则下列结论错误的是（）A．平面ACB′∥平面A′C′D B．B′C⊥BD′C．B′C⊥DC′D．BD′⊥平面A′C′D【考点】棱柱的结构特征．【分析】在A中，由AC∥A'C′，AB′∥DC′，得平面ACB′∥平面A′C′D；在B中，由B′C⊥D′C′，B′C⊥BC′，得到B′C⊥平面BD′C′，从而B′C⊥BD′；在C中，由DC′∥AB′，△AB′C是等边三角形，知B′C与DC′所成角为60°；在D中，由BD′⊥A′C′，BD′⊥A′D，知BD′⊥平面A′C′D．【解答】解：由ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，知：在A中，∵AC∥A'C′，AB′∥DC′，且AC∩AB′=A，A′C′∩DC′=C′，∴平面ACB′∥平面A′C′D，故A正确；在B中，∵B′C⊥D′C′，B′C⊥BC′，D′C′∩BC′=C′，∴B′C⊥平面BD′C′，∵BD′⊂平面BD′C′，∴B′C⊥BD′，故B正确；在C中，∵DC′∥AB′，△AB′C是等边三角形，∴B′C与DC′所成角为60°，故C错误；在D中，与B同理，能证明BD′⊥A′C′，BD′⊥A′D，∴BD′⊥平面A′C′D，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6．已知半径为r的圆内切于某等边三角形，若在该三角形内任取一点，则该点到圆心的距离大于半径r的概率为（）A．B．1﹣C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】半径为r的圆内切于某等边三角形，则等边三角形的边长为2r，即可求出该点到圆心的距离大于半径r的概率．【解答】解：半径为r的圆内切于某等边三角形，则等边三角形的边长为2r，∴该点到圆心的距离大于半径r的概率为1﹣=1﹣π，故选B．【点评】本题考查几何概型，考查面积的计算，属于中档题．7．如图，在△ABC中，点D满足+2=0，•=0，且|+|=2，则•=（）A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入数量积公式计算即可．【解答】解：∵ +2=，∴D是AB边上靠近B点的三等分点，∴===（）=﹣．∵||=||=2，∴CD=2，∴=（﹣）=﹣﹣•=﹣=﹣6．故选A．【点评】本题考查了平面向量基本定理和数量积运算，属于中档题．8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥底面圆的半径r，高h，则有，由此能求出π的近似值．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，依题意，L=2πr，，所以，即π的近似值为．故选：B．【点评】本题考查π的近似值的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．9．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣3 B．﹣ C．D．2【考点】程序框图．【分析】据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行中A是以4为周期的变化，由此求输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，A=﹣3，i=1，A==﹣；不满足条件i＞2016，i=2，A==；不满足条件i＞2016，i=3，A==2；不满足条件i＞2016，i=4，A==﹣3；…，i=2016时，A=﹣3，不满足条件i＞2016，i=2017时，A=﹣，此时满足条件i＞2016，终止循环，输出A=﹣．故选：B ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题．10．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则当x ∈[﹣1，1]时，函数f （x ）的值域为（ ）A ．[﹣1，]B ．[，1]C ．[﹣，1]D ．[﹣1，1]【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数图象可得A=1，=16，ω=，利用函数过点（1，1），可求φ，利用正弦函数的图象和性质即可得解所求值域．【解答】解：由题意，A=1， =16，ω=，∴f （x ）=sin （x +φ），（1，1）代入可得+φ=+2kπ，∵﹣＜φ＜，∴φ=，∴f （x ）=sin （x +），当x ∈[﹣1，1]时，函数f （x ）的值域为[，1]，故选：B ．【点评】本题考查了由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A．20+3B．16+8C．18+3D．18+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是以俯视图为底面，有一侧棱垂直于底面的三棱锥，由图中数据求出该多面体的表面积．【解答】解：几何体是以俯视图为底面，有一侧棱垂直于底面的三棱锥，该多面体的表面积为++×2=18+6，故选D．【点评】本题考查由三视图由面积，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．12．若函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，e）B．（﹣，0]C．（e，+∞）D．（﹣，e]【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，即：方程（x2﹣x）e x=m有三个根，令g（x）=（x2﹣x）e x，利用导数求出函数g（x）单调性，结合图象即可求解．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣x）e x﹣m有三个零点，即：方程（x2﹣x）e x=m有三个根，令g（x）=（x2﹣x）e x，∴g′（x）=e x（x2+x﹣）=0，∴x=1或x=﹣，∴当x∈（﹣∞，﹣）时，g（x）单调递增，当x∈（﹣，1）时，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增；∴x=﹣时，g（x）max=g（﹣）=e，x=1时，g（x）min=g（1）=﹣e﹣1，结合图象可得m∈（0，e），故选：A【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力，属于中档题，二、填空题（本题共4小题，每小题5分）13．在高三某次数学测试中，40名优秀学生的成绩如图所示：若将成绩由低到高编为1～40号，再用系统抽样的方法从中抽取8人，则其中成绩在区间[123，134]上的学生人数为3．【考点】系统抽样方法．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，求出所要抽取的人数．【解答】解：根据茎叶图，成绩在区间[123，134]上的数据有15个，所以，用系统抽样的方法从所有的40人中抽取8人，成绩在区间[123，134]上的学生人数为8×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了系统抽样方法的应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题．14．已知点M是圆E：（x+1）2+y2=8上的动点，点F（1，0），O为坐标原点，线段MF的垂直平分线交ME于点P，则动点P的轨迹方程为．【考点】轨迹方程．【分析】根据PE+PF=PE+PM=EM=2可知P点轨迹为椭圆，使用待定系数法求出即可．【解答】解：∵P在线段ME的垂直平分线上，∴PF=PM，∴PE+PF=PE+PM=EM=2，∴P点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，设椭圆方程，则2a=2，c=1，∴a=，b=1．∴P点轨迹为．故答案为=1．【点评】本题考查了椭圆的定义，轨迹方程的求解，属于中档题．15．若变量x，y满足约束条件则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为4．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：则（x+3）2+（y﹣）2的几何意义是可行域内的点与（﹣3，）距离的平方，由可行域可知A与（﹣3，）距离取得最小值，由．解得A（﹣1，），则（x+3）2+（y﹣）2的最小值为：（﹣1+3）2+（﹣）2=4．故答案为：4．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键，考查数形结合思想的应用．16．如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=，D，E分别为BC，AB上的点，∠ADC=∠EDB=，DB=，AE=3EB，则边长AC的值为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=，AC=CD=，在两个三角形中，分别建立方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，设DE=y，EB=x，AE=3x，则AD=，AC=CD=，∴△DEB中，x2=2+y2﹣2=2+y2﹣2y，△ABC中，16x2=（）2+（+）2，联立解得AC=，故答案为．【点评】本题考查余弦定理、勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，2S n=（n+1）a n，数列{b n}中，b n=2．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由题意可知：两式相减2a n=（n+1）a n﹣na n﹣1，则=，采用“累乘法”即可求得数列{a n}，b n=2=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：=﹣，即可求得T n．【解答】解：（Ⅰ）当n≥2时，由2S n=（n+1）a n，则2S n﹣1=na n﹣1，两式相减得：2a n=（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得：=，由a n=••…•=••…••1=n，（n≥2），当n=1时，a1=1，∴a n=n，（n∈N*）；由b n=2=2n+1．∴{b n}的通项公式b n=2n+1；（Ⅱ）由（Ⅰ），=，==﹣，由数列{}的前n项和T n，T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣+﹣+…+﹣，=1﹣，=．数列{}的前n项和T n=．【点评】本题考查数列的前n项和求法，考查“裂项法”，“累乘法”，考查计算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在三棱锥ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA1=4，A1在底面ABC上的射影为BC的中点E，D是B1C1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥A1C；（Ⅱ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）连接DE，AE，由题意得，A1E⊥平面ABC，可得A1E⊥AE，再由已知得到AE⊥BC，由线面垂直的判定可得AE⊥平面A1BC，进一步证得A1D⊥平面A1BC，得到A1D⊥A1C；（Ⅱ）由A1E⊥平面ABC，得A1E⊥A1D，分别求出DE，A1D，A1E的长度，则三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积可求．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE ，AE ，由题意得，A 1E ⊥平面ABC ， ∴A 1E ⊥AE ，∵AB=AC ，E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， 又BC ∩A 1E=E ，∴AE ⊥平面A 1BC ，由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点， ∴A 1D ∥AE ，则A 1D ⊥平面A 1BC ， ∴A 1D ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：∵A 1E ⊥平面ABC ， ∴A 1E ⊥A 1D ， 又DE=AA 1=4，，∴．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．【点评】本题考查线面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．（12分）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x （天数）与销售单价y （元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）．表中w i=，=．（Ⅰ）根据散点图判断，=+x与=+哪一个更适宜作价格y关于时间x 的回归方程类型？（不必说明理由）（Ⅱ）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）若该产品的日销售量g（x）（件）与时间x的函数关系为g（x）=+120（x∈N*），求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，（u n，v n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据散点图的大体分布是否成直线分布判断；（II）根据回归系数公式计算y关于w的线性回归方程，再转化为y关于x的回归方程；（III）求出日销售额，利用二次函数的性质求出结论．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断=+适合作作价格y关于时间x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于d==20，∴c=37.8﹣20×0.89=20，∴y关于w的线性方程为y=20+20w，∴y关于x的线性方程为y=20+；（Ⅲ）日销售额h （x ）=g （x ）（20+）=﹣200（﹣12）（+1）=﹣2000[（﹣）2﹣12.1]， ∴x=10时，h （x ）有最大值2420元，即该产品投放市场第10天的销售额最高，最高为2420元．【点评】本题考查了线性回归方程的求解及数值预测，函数的最值，属于中档题．20．（12分）已知抛物线C ：y 2=4x ，直线x=ny +4与抛物线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求证： •=0（其中O 为坐标原点）；（Ⅱ）设F 为抛物线C 的焦点，直线l 1为抛物线C 的准线，直线l 2是抛物线C 的通径所在的直线，过C 上一点P （x 0，y 0）（y 0≠0）作直线l ：y 0y=2（x +x 0）与直线l 2相交于点M ，与直线l 1相交于点N ，证明：点P 在抛物线C 上移动时，恒为定值，并求出此定值．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）直线x=ny +4与抛物线C 联立可得y 2﹣4ny ﹣16=0，利用韦达定理及向量的数量积公式即可证明结论；（Ⅱ）求出M ，N 的坐标，计算|MF |，|NF |，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线x=ny +4与抛物线C 联立可得y 2﹣4ny ﹣16=0，∴y 1+y 2=4n ，y 1y 2=﹣16，∴•=x 1x 2+y 1y 2=+y 1y 2=0；（Ⅱ）证明：将点M ，N 的横坐标分别代入直线l ：y 0y=2（x +x 0），得M （1，），N （﹣1，），∵F （1，0），∴|MF |=||，|NF |==，∴=|÷==1，∴点P在抛物线C上移动时，恒为定值1．【点评】本题考查直线与抛物线的综合运用，考查韦达定理，向量知识的运用，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=alnx+（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜0在区间（0，e2]内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题可化为函数f（x）在区间（0，e2]的最小值小于0，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=，（x＞0），a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故函数f（x）只有极小值，f（x）极小值=f（）=aln+a，无极大值；（Ⅱ）不等式f（x）＜0在区间（0，e2]内有解，问题可化为函数f（x）在区间（0，e2]的最小值小于0，（i）a≤0时，f′（x）＜0，则函数f（x）在区间（0，e2]内为减函数，故f（x）的最小值是f（e2）=2a+＜0，即a＜﹣；（ii）a＞0时，函数f（x）在区间（0，）内为减函数，在区间（，+∞）内为增函数，①若e2≤，即0＜a≤，函数f（x）在区间（0，e2]内为减函数，由（i）知，f（x）的最小值f（e2）＜0时，a＜﹣与0＜a≤矛盾；②若e2＞，即a＞，则函数f（x）的最小值是f（）=aln+a，令f（）=aln+a＜0，得a＞e2，综上，实数a的范围是（﹣∞，﹣）∪（e2，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C的参数方程为，（φ为参数），以原点O 为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=．（Ⅰ）将直线l写成参数方程，（t为参数）的形式，并求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的直角坐标为（1，0），求|AB|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即直线l：x﹣y﹣1=0，倾斜角为，能将直线l写成参数方程，消去参数，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣15=0，利用参数的几何意义，求|AB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=，即直线l：x﹣y﹣1=0，倾斜角为，∴将直线l写成参数方程为，（t为参数）；∵曲线C的参数方程为，（φ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=16．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣15=0，设t1，t2是方程的两根，则t1+t2=，t1t2=﹣15＜0，∴|AB|=|t1﹣t2|==．【点评】本题考查直线的参数方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查参数方程的运用，是中档题．选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数f（x）=|mx+1|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若m=﹣2，解不等式f（x）≥1．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的性质得到f（x）的最大值即可；（Ⅱ）通过讨论x 的范围，解各个区间上的x的范围，取并集即可．【解答】解：（Ⅰ）m=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|≤|（x+1）﹣（x﹣1）|=2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时，取“=”，即f（x）的最大值是2；（Ⅱ）m=﹣2时，f（x）=|﹣2x+1|﹣|x﹣1|=|2x﹣1|﹣|x﹣1|，由f（x）≥1，得|2x﹣1|﹣|x﹣1|≥1，故x≤时，﹣2x+1+x﹣1≥1，x≤时，﹣2x+1+x﹣1≥1，解得：x≤﹣1，＜x≤1时，2x﹣1+x﹣1≥1，解得：x≥1，故x=1，x＞1时，2x﹣1﹣x+1≥1，解得：x≥1，故x＞1，故不等式的解决是{x|x≤﹣1或x≥1}．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．。
