1 / 7 推理与证明
对于数学的学习，应具备“能力”，其中本章的“推理与证明”就是一种重要的“逻辑思维”能力形式．通过本章的复习，要有着扎实的推理、论证能力，以增强对问题的敏锐的观察，深刻的理解、领悟能力．
一．推理部分
1．知识结构：
2．和情推理：归纳推理与类比推理统称为和情推理．
①归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
③定义特点；归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．
例如：已知2()53fnnn，可以(1)10f，(2)30,f
(3)30,(4)10ff，于是推出：对入任何nN，都有()0fn；而这个结论是错误的，显然有当5n时，(5)30f．因此，归纳法得到的结论有待证明．
例如：“在平面内与同一条直线垂直的两条直线平行”；类比线与线得到：“在空间与同一条直线垂直的两条直线平行“；显然此结论是错误的”．类比线与面得到：在空间与同一个平面垂直的两个平面平行；显然此结论是错误的．
④推理过程：
从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 猜想．
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3．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（逻辑推理）．
①定义特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
②数学应用：演绎推理是数学中证明的基本推理形式；
推理模式：“三段论”：
ⅰ大前提：已知的一般原理（M是P）；
ⅱ小前提：所研究的特殊情况（S是M）；
ⅲ结论：由一般原理对特殊情况作出判断（S是P）；
集合简述：
数学选修1-2第二章推理与证明 编号：4 姓名： 班级： 评价： 编制人： 许朋朋 赵阳 领导签字：
§2.2.2反证法
一、教学目标：
1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解
反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；
3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点
三、教学难点：反证法的思考过程、特点
四、教学过程:
（一）导入新课：
1、复习综合法和分析法的思考过程和特点：
2、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
3.思考：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
（二）新课
1、反证法：假设原命题 (即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法．
2. 反证法的思维方法：
3.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
4．反证法常见矛盾类型
在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”，所得矛盾主要是指与 矛盾，与
、 、 、 或 矛盾，与 矛盾．
5.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
2.2.2 反证法
[教材研读]
预习课本P42～43，思考以下问题
1．著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？
2．“反证法”的关键是得出矛盾，那么矛盾可以是哪些矛盾？
[要点梳理]
1．反证法 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
2．反证法常见矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设定义矛盾，或与公理、定理、事实矛盾等．
[自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．反证法属于间接证明问题的方法．( )
2．反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )
3．反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )
[答案] 1.√ 2.× 3.√
题型一 用反证法证明“否定性”命题
思考：根据反证法的定义如何证明一个命题？ 提示：反证法证明可考虑以下步骤：①反设；②归谬；③存真．
已知f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负实根．
[思路导引] 此题从正面证明无所适从，可考虑用反证法，即设方程f(x)＝0存在负实根．
[证明] 假设方程f(x)＝0有负实根x0，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－x0－2x0＋1，
由0
解得12
用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法． [跟踪训练]
宁乡县玉潭中学高中部 数学 科导学案 为每个孩子的终身幸福奠基
1 2.2.2反证法
设计 高二数学组 审 核 高二数学组 授课人 课 型 新授课
年级 高二 班 级 小 组 姓 名
学习课题
使用时间 年 月 日第 节 第 课时 累计 课时
学习
目标 知识与技能：理解反证法的概念，掌握反证法的步骤.
过程与方法：通过反证法的学习，体会直接证明和间接证明之间的辩证关系.
情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，认识数学的科学价值.
学习重点 反证法.
学习难点 用反证法证明题目.
学 习 过 程
学 习 过 程【导、探、练、展、评】 备 注
导 [提出问题] 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？
问题2：反证法解题的实质是什么？
[导入新知]
1．反证法
假设______不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明______，从而证明了_________，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与____________矛盾，或与______矛盾，或与______、______、______、______矛盾等．
