有理数乘法和除法

有理数的乘除【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．要点二、有理数的除法1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数．要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是12-，-2和12-是互相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．2. 有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即1(0)a b a bb÷=≠.法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 【典型例题】类型一、有理数的乘法运算1．计算：(1)(-5)×(-4) (2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ (3)5506⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘，直接运用乘法法则即可． 【答案与解析】解：(1)(-5)×(-4) (两负数相乘)＝+(5×4) (同号得正，并把绝对值相乘) ＝20(2)113135⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭（异号两数相乘）113135⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭（异号得负，并把绝对值相乘）10635⎛⎫=-⨯⎪⎝⎭（化带分数为假分数便可约分） 4=-(3)55006⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭(任何数同0相乘，都得0)【总结升华】第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号，如(-4)×(-0．25)可以写成-4×(-0.25)，但不能写成-4×-0.25．2． (1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．(1)54(3)1(0.25)65⎛⎫-⨯⨯-⨯- ⎪⎝⎭591936548=-⨯⨯⨯=-；(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)19-(1)(1)(1)(1)1=-⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯-=-个（1）相乘；(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．3.运用简便方法计算： (1) 10.250.5345⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ；（2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把0.25-与4相乘，再运用乘法结合律将0.5与135-相乘．(2)．计算245273927⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭的值可运用分配律，计算111881717-⨯+⨯的值则可逆用分配律． 解：(1) 原式1611680.250.54(0.254)5255=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=； （2）245112718839271717⎛⎫-+⨯-⨯+⨯⎪⎝⎭245112727+2718839271717⎛⎫=⨯+-⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 1118125(1+)831717=-++-⨯= 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合． 举一反三：【变式1】计算：23578×(-)+(-8)×-24×(-)551215；【变式2】542(1)()( 2.5)(4)12253-⨯⨯-⨯-； 4(2)(0.125)()16(7)7-⨯-⨯⨯-类型二、有理数的除法运算4．计算：(1)(-32)÷(-8) （2）112(1)36÷-【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4 ……用法则二进行计算．(2)117776212363637⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-=÷-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……用法则一进行计算． 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．5．计算： 17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律． 【答案与解析】 解：17(49)2(3)33⎛⎫-÷-÷÷- ⎪⎝⎭ 331(49)773⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭331493773⎛⎫=-⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．举一反三： 【变式】计算：（1） 1.25(0.375)-÷- (2)111(3)(2)(1)335-÷-÷-类型三：有理数的乘除混合运算5.计算：9481(16)49-÷⨯÷- 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.9444181(16)811499916⎛⎫-÷⨯÷-=-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，应按从左到右的顺序进行． 举一反三【变式1】计算：(1)14410(2)893-÷⨯÷- (2)341731755⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭类型四、有理数的加减乘除混合运算6. 计算（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）111351226412⎛⎫⎛⎫-÷-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案与解析】（1）113512641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1135(12)26412⎛⎫=-+-+⨯- ⎪⎝⎭ 1135(12)(12)(12)(12)26412⎛⎫=-⨯-+⨯--⨯-+⨯- ⎪⎝⎭=6-2+9-5=8（2）法1：原式=16295181121()()121212121288-+-+⎛⎫⎛⎫-÷=-÷-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭法2：由（1）知：1135182641212⎛⎫⎛⎫-+-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以16295112128-+-+⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决． 举一反三： 【变式】 (1)75318 1.456 3.9569618⎛⎫-+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭ (2)211213106530⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题7.气象统计资料表明，高度每增加1000米，气温就降低6℃．如果现在地面的气温是27℃，那么8000米的高空的气温大约是多少?【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系．由于“高度每增加1000米，气温就降低6℃”，8000米的高空比地面高度增加8000米，因此气温降低6×8＝48℃，由此便可求出高空的气温． 【答案与解析】 解：80002762748211000-⨯=-=-(℃) 因此8000米的高空的气温大约是-21℃．【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算式．举一反三：【变式】某检修小组乘一辆检修车沿铁路检修，规定向东走为正，向西走为负，•小组的出发地记为0，某天检修完毕时，行走记录（单位：千米）如下： +10，-2，+3，-1，+9，-3，-2，+11，+3，-4，+6．（1）问收工时，检修小组距出发地有多远？在东侧还是西侧？（2）若检修车每千米耗油2.8升，求从出发到收工共耗油多少升？类型六、含绝对值的化简8 已知a 、b 、c 为不等于零的有理数，你能求出||||||a b c a b c++的值吗? 【思路点拨】先分别确定a 、b 、c 的取值，再代入求值．【答案与解析】 解：分四种情况：(1)当a 、b 、c 三个数都为正数时，||||||1113a b c a b ca b c a b c++=++=++=； (2)当a 、b 、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a 为负数，b 、c 为正数，||||||1111a b c a b ca b c a b c-++=++=-++=； (3)当a 、b 、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a 为正数，b 、c 为负数，||||||1111a b c a b c a b c a b c--++=++=--=-； (4)当a 、b 、c 三个数都为负数时，||||||(1)(1)(1)3a b c a b ca b c a b c---++=++=-+-+-=-||||b c b c+的值为：3,3,1,1-- 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三： 【变式】计算a bab+的取值.。

化简:
72 (1) ; 9
30 (2) (3) 45
0 75
;
计算：(1) 2 1 (1 1 )
3 6 (2) (56) (1.4) 2 (3) (81) (36) (2 ) 3 (4) ( 1 ) 0 ( 3 ) (1 2 ) 2 5 3
归纳总结

1、同号得正，异号得负，并把绝对值相 乘；任何数同0相乘，都得0.

注意、两个符号不能出现在一起，必须用 括号隔开 。比如：7+-1-2=？
有理数乘法法则的 推广及其应用
多个有理数相乘遵循以下法则： （1）几个不等于0的有理数相乘，积的符号 由负因数的个数决定：当负因数的个数是奇 数时，积是负数；当负因数的个数是偶数时， 积是正数。 （2）几个有理数相乘，如果其中有因数为0， 那么积等于0.
1 1 1 (1) ( ) 6 3 2
练习、观察下面两位的解法正确吗？若不正确，你 能发现下面解法问题出在哪里吗？
1 (2) 3 6 ( ) 6
1 (2) 3 6 ( ) 6 3 (1) 3
这个解法 是错误的
1 ( 2) 3 6 ( ) 6 1 1 3 ( ) 6 6 1 1 3 6 6 这个解法 1 是正确的 12
5 4
有理数的加减乘除混合运算
练习、观察下面两位同学的解法正确吗？若不正确， 你能发现下面解法问题出在哪里吗？
1 1 1 1 1 1 解： (1) （ ） 解： (1) （ ） 6 3 2 6 3 2 1 1 1 1 1 1 6 3 6 2 （ ） 6 6 1 1 3 2 6 6 1 （ 6） 1 1 这个解法 6 这个解法 2 3 是正确的 1 是错误的 1 6

有理数的乘除运算知识点总结有理数是数学中一类包括整数、分数、小数的数，它们在数轴上可以表示为有限或无限循环小数。

有理数的乘除运算是我们在学习数学的过程中经常遇到的内容。

在这篇文章中，我将对有理数的乘除运算进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握该知识点。

一、有理数的乘法运算有理数的乘法运算遵循如下规律：1. 正数乘以正数，积为正数；正数乘以负数，积为负数；负数乘以负数，积为正数。

例如：3 × 2 = 6，(-3) × 2 = -6，(-3) × (-2) = 6。

2. 任何数乘以0的积都为0。

例如：5 × 0 = 0，(-2) × 0 = 0。

3. 有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

交换律：a × b = b × a ，其中 a 和 b 是任意的有理数。

结合律：(a × b) × c = a × (b × c)，其中 a、b 和 c 是任意的有理数。

分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，其中 a、b 和 c 是任意的有理数。

例如：2 × (3 + 4) = 2 × 3 + 2 × 4，(-5) × (2 + 3) = (-5) × 2 + (-5) × 3。

二、有理数的除法运算有理数的除法运算也有一些规律需要注意：1. 除数不为0。

任何数除以0是没有意义的，因为任何数除以0是无穷大或无穷小。

2. 正数除以正数，商为正数；正数除以负数，商为负数；负数除以正数，商为负数；负数除以负数，商为正数。

例如：6 ÷ 2 = 3，(-6) ÷ 2 = -3，6 ÷ (-2) = -3，(-6) ÷ (-2) = 3。

3. 有理数的除法满足结合律。

第五讲：有理数的乘法除法知识点：1、 有理数的乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 ②任何数与0相乘均为0；2、 倒数：在有理数中仍然成立，即乘积是1的两个数互为倒数；3、积的符号与负因数个数之间的关系：几个不是0的数相乘，当负因数的个数为偶数时，积是正数；当负因数的个数为奇数时，积是负数；几个数相乘时，当有因数是0时，积为0；4、有理数的乘法运算律：①乘法交换律：ab=ba; ②乘法结合律：(ab)c=a(bc);③乘法分配律： a(b+c)=ab+ac;5、有理数的除法法则：除以一个不为0的数，等于乘以其倒数；即：)0(1≠⨯=÷b ba b a 6、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任一不为0的数，都得0；7、在有理数的加减乘除混合运算中，若无括号，则按照先“先乘除后加减”的顺序进行运算；一、填空题1、5×（－2.4）＝____，（－1.25）×8＝____，（－6.5）×（－65）×0×0.001＝_____。

2、－8的倒数是_____，－4与51的差的倒数是____。

3、绝对值小于1000的所有整数的积是_______。

4、a ，b 若互为相反数，x ，y 互为倒数，c 的绝对值为2，则124a b xy c ++-＝______。

5、如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数的个数为____________。

6、若是,,,a b c d 是互不相等的整数，且abcd ＝9，则a b c d +++＝_________。

7、在有理数－5，－3，－2，4中任取三个数相乘，所得积中最大的是_____。

8、若0,0,0a b c ><<，则abc ___0，ab c -___0，45(36)y y -+ac b -____0。

9、当a ＝_____时，11a -没有意义；当a ＝______时，32a +没有意义。