5,刚体定轴转动 角动量守恒定律

1 第五章 角动量角动量守恒定理

本章结构框图

学习指导

本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。

基本要求

1. 理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。

2. 理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。

3. 理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。

4. 掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。

5. 理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。 2 6. 掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。

内容提要

1. 基本概念

刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即：

I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。

质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。

表5.1 质点、质点系和定轴刚体的角动量

3 力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：

即：

大小： （力×力臂）方向：垂直于决定的平面， 其指向由右手定则确定。

对于力矩的概念应该注意明确以下问题：

刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式

刚体绕定轴转动定律：

Mz=Jβ，其中Mz表示对于某定轴的合外力矩，J表示刚体绕给定轴的转动惯量，β表示角加速度。

刚体定轴转动定律是指刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。

角动量定理的表达式：

角动量守恒定律是物理学的普遍定律之一，反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律；反映不受外力作用或所受诸外力对某定点（或定轴）的合力矩始终等于零的质点和质点系围绕该点（或轴）运动的普遍规律。

角动量守恒定律是对于质点，角动量定理可表述为质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。

角动量L=转动惯量J*角速度ω

所以角动量守恒表达为J1ω1=J2ω2

机械能守恒定律复习题

内部资料 自己参考；如有巧合 纯属运气 怀化一中高一物理组

1．下列关于做功的说法中正确的是（ ）

A．物体没有做功，则物体就没有能量 B．重力对物体做功，物体的重力势能一定减少

C．滑动摩擦力只能做负功 D．重力对物体做功，物体的重力势能可能增加

2.下列说法哪些是正确的？（ ）

Ａ．作用在物体上的力不做功，说明物体的位移为零；

Ｂ．作用力和反作用力的功必然相等，且一正一负；

Ｃ．相互摩擦的物体系统中摩擦力的功的代数和不一定为零；

Ｄ．某一个力的功为零，其力的大小F与物体位移大小S 的乘积FS不一定为零。

3、以一定的初速度竖直向上抛出一个球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ）

A、0 B、－Fh C、Fh D、－2Fh

4.一足球运动员将质量为l kg的足球由静止以10m/s的速度用力踢出，假设运动员踢球瞬间的平均作用力为200N，球在水平方向上运动了30m停止，则人对球所做的功为

A.50J B.500J C.200J D.6000J

5．一个人把质量为1kg的物体由静止向上提升2m，同时物体获得2m/s的速度，重力加速度g=10m/s2，关于这个过程，正确的说法是

A．物体克服重力做功20J B．合力对物体做功22J

C．合力对物体做功2J D．人对物体做功22J

6.关于汽车在水平路上运动，下列说法中正确的是

A.汽车启动后以额定功率行驶，在速率达到最大以前，加速度是在不断增大的

B.汽下启动后以额定功率行驶，在速度达到最大以前，牵引力应是不断减小的

C.汽车以最大速度行驶后，若要减小速度，可减小牵引功率行驶

D.汽车以最大速度行驶后，若再减小牵引力，速率一定减小

一、刚体的角动量5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律

二、转动惯量

三、计算转动惯量的三个定理

四、定轴转动刚体的角动量定理和转动定理

五、刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体可以看作是由无数质点组成的质点组．

刚体转动状态发生变化的原因是受到力矩的作用，力矩作用

的时间累积效应将是什么？

z

一、刚体的角动量

质点以角速度

作半径为r的圆

周运动时相对圆心的角动量为ωmrL

2



刚体可看作是特殊的质点系．对于图示刚体，可看作由许多可视

为质点的微元组成．

iiiivmrL



定轴转动的整个刚体

ωrmvmrL

iii

iiii











2





iiirmJ2令5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律

O

im

iv

ir

ωJL

AωJL



考虑到定轴转动刚体的特征，第i个微元令J=mr

2

ωrm

ii

2



2

i

iirmJ

二、转动惯量

物理意义：刚体定轴转动惯性大小的量度．

质量离散分布刚体的转动惯量



2

222

112

rmrmrmJ

i

ii转动惯量的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量





mmmrJJdd25-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律

刚体绕定轴Oz的转动惯量

(rotationalinertia)．

质量线分布(质量线密度为

)：dm=

dl

质量面分布(质量面密度为

)：dm=

dS

质量体分布(质量体密度为

)：dm=

dV单位：kg

·m

2量纲：ML

2

设棒的线密度为

，在距离转轴

OO'为r处取线元dr

rmdd



3d2

02

mlrrJl

1212d232/

2/2

mllrrJl

l

rrmrJddd22

一质量为m、长为l的均匀细长棒，求：(1)通过棒中心并与棒垂直的轴的

转动惯量，(2)通过棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量．

(2)同理，若转轴过端点垂直于棒有5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律

例

2l2lr

rdmd

r

OO'

lr

rdmd

OrO'(1)根据题意作右图．