北师大版九年级数学下册第三章3.3《垂径定理》同步练习题(共6份)

3.3垂径定理课后练习一、选择题1．如图，⊙O的半径为5，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若OC＝3，则弦AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．102．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点C、D，大圆的半径r＝13，小圆的半径r＝7，且圆心O到直线AB的距离为5，则AC的长为（）A．B．7 C．D．63．如图⊙O中，OD⊥AB于C，若AB＝8，CD＝2，则半径长度为（）A．5 B．8 C．10 D．44．如图，⊙O直径是10，弦AB长为8，M是AB上的一个动点，则OM的长度不可能是（）A．5 B．4 C．3 D．25．AB是⊙O的弦，OA．OB．OC是⊙O的三条半径，且OC⊥AB于点D，则下列结论：（1）AD＝BD（2）AC＝BD（3）∠ACO＝∠BCO（4）OD＝DC，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE：BE＝1：7，则弦CD的长是（）A．6 B．8 C．D．27．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM的长为整数时线段条数有（）A．2条B．3条C．4条D．5条8．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆过点A（3，0），直线y＝2kx﹣4k+1与⊙O交于M，N两点，则弦MN的长最小值是（）A．4 B．C．2 D．9．如图，⊙O经过菱形ABCO的顶点A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于点P，则∠PAB的大小为（）A．15°B．20°C．25°D．30°10．如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题11．在平面直角坐标系中，O为原点，⊙O的半径为7，直线y＝mx﹣3m+4交⊙O于A、B两点，则线段AB的最小值为．12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径为cm．13．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为．14．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN＝2.5，那么BC＝．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为．三、解答题16．⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．17．如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD＝20cm，水深GF＝2cm．若水面上升2cm（EG＝2cm），则此时水面宽AB为多少？18．已知：如图，OA＝OB，AB交⊙O于C、D两点，求证：AC＝BD．19．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝4，EB＝8，∠DEB＝30°，求弦CD长．。

3.3 垂径定理同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 如图，在⊙O中，弦AB，AC互相垂直，D，E分别为AB，AC的中点，则四边形OEAD为（）A.正方形B.菱形C.矩形D.直角梯形2. 如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（）A.AE=BEB.CE=DEC.弧AC=弧BCD.弧AD=弧BD3. 如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）CE D.∠AOC=60∘A.AE=OEB.CE=DEC.OE=124. 一名伐木工人锯一根圆木，如图，当圆木半径OA=100mm，弦AB=160mm时，则圆木被锯部分的最大高度为()mm．A.40B.60C.80D.1005. 如图，已知AB是⊙O的直径，以B为圆心，BO为半径画弧交⊙O于C，D两点，则∠BCD的度数是（）A.30∘B.50∘C.60∘D.40∘6. 如图，CD是⊙O的直径，AB是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是（）̂=BD̂A.AE=BEB.OE=DEC.AO=COD.AD7. ⊙O的半径为5，弦AB // CD，AB=6，CD=8，则AB与CD距离为（）A.7B.8C.7或1D.18. 如图，AD为圆O的直径．甲、乙两人想在圆上找B，C两点，作一个正三角形ABC，其作法如下：甲：1．作OD 中垂线，交圆于B ，C 两点，2．连AB ，AC ，△ABC 即为所求．乙：1．以D 为圆心，OD 长为半径画弧，交圆于B ，C 两点，2．连AB ，BC ，CA ，△ABC 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A.甲、乙皆正确B.甲、乙皆错误C.甲正确、乙错误D.甲错误、乙正确9. 如图所示的工件槽的两个底角均为90∘，尺寸如图（单位cm ），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A ，B ，E 三个接触点，则该球的半径是()cm ．A.10B.18C.20D.2210. 高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =12米，净高CD =9米，则此圆的半径OA =( )A.122米B.132米C.142米D.152米 二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）11. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB 宽为2m ，净高CD 为5m ，则圆拱形门所在圆的半径为________m．12. 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，点P在⊙O上移动，使△PAB的面积为8cm2的点P有且只有________个．̂的中点，∠OAB=40∘，则∠BOC的度数为13. 如图，在⊙O中，C是AB________．14. 如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，OD⊥AC于点D，BD交OC于点E，若AC=4，AB=5，则BE=________．15. 若圆的半径为3，圆中一条弦为2√5，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距离为________．16. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E．请根据上述条件，写出一个正确结论________（不添加辅助线）．17. 如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=________．18. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于P，PA=4cm，PD=2cm，则⊙O的直径为________cm．三、解答题（本题共计7 小题，共计66分，）19. 如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．（不写作法，保留作图痕迹）̂的中点，弦AB、CD交于P，CD=2√3cm，求20. 如图，⊙O的直径是4cm，C是AB∠APC的度数．21. 如图，已知AB和CD是⊙O的两条弦，且AB⊥CD，连接OC，作∠OCD的平分线交⊙O于P，连接PA、PB，求证：PA=PB．22. ⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60∘，求CD的长．23. 水管的直径为10m，测得了水面的宽度为8m，你能根据所提供的数据求得水深吗？24. 如图，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度．25. 如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？̂与CD̂的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什（2）如果OE=OF，那么AB么？∠AOB与∠COD呢？参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】解：∵ D，E分别为AB，AC的中点，∵ OE⊥AC，OD⊥AB，∵ ∠OEA=∠ODA=∠A=90∘∵ 四边形OEAD是矩形．故选C．2.【答案】B【解答】解：∵ CD⊥AB，CD为直径，∵ AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE>DE，故选B．3.【答案】B【解答】解：根据⊙O的直径AB⊥弦CD于点E∵ CE=DE．故选B．4.【答案】A【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为C，延长OC交⊙O于D点，连接AO，AB=80，∵ OC⊥AB，∵ AC=12又∵ AO=100，∵ 在Rt△AOC中，CO=√AO2−AC2=√1002−802=60，∵ CD=CO−OD=40mm，故选A．5.【答案】A【解答】解：连接OC；∵ OB=BC=OC，∵ △OBC是等边三角形；∵ ∠OBC=60∘；̂=BD̂；连接BD，则BD=BC，BC∵ AB是直径，∵ AB⊥CD；∵ ∠BCD=90∘−∠OBC=30∘．故选A．6.【答案】B【解答】解：如右图所示，∵ CD⊥AB，∵ AE=BE，弧AD=弧BD，⊙O的半径都相等，那么AO=CO，不能得出OE=DE．故选B．7.【答案】C【解答】解：过O点作OE⊥AB，E为垂足，交CD与F，连OA，OC，如图，∵ AB // CD，∵ OF⊥CD，∵ AE=BE，CF=DF，而AB=6，CD=8，∵ AE=3，CF=4，在Rt△OAE中，OA=5，OE=√OA2−AE2=√52−32=4；在Rt△OCF中，OC=5，OF=√OC2−CF2=√52−42=3；当圆O点在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE+OF=7；当圆O点不在AB、CD之间，AB与CD之间的距离=OE−OF=1；所以AB与CD之间的距离为7或1．故选C．8.【答案】A【解答】OB，则∠OBE=30∘，解：甲的作图：BC是OD的中垂线，则在直角△OBE中，OE=12∠BOE=60∘，∠BOC=120∘，∵ ∠BAC=60∘．根据条件易证AB=AC，则△ABC是等边三角形．乙的作图：连接BD，则△OBD是等边三角形．因而∠BAD=30∘，∠BAC=60∘．根据条件易证AB=AC，则△ABC是等边三角形．所以甲乙皆正确，故选A．9.【答案】A【解答】解：设圆心为O点，连OE，交AB于C，如图，AB=16，CE=4，则OE⊥AB，∵ AC=BC=8，在Rt△OAC中，设⊙O的半径为R，OC=R−4，∵ OA2=AC2+OC2，∵ R2=82+(R−4)2，解得，R=10，即该球的半径是10cm．故选A．10.【答案】B【解答】解：设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9−r，∵ AB=12米，CD⊥AB，∵ AD=12AB=12×12=6米，、在Rt△AOD中，∵ OA=r，OD=9−r，AD=6米，、∵ OA2=OD2+AD2，即r2=(9−r)2+62，解得r=132米．故选B．二、填空题（本题共计8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】2.6【解答】解：连接OA；Rt△OAD中，AD=1AB=1米；2设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5−R；由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：R2=(5−R)2+12，解得R=2.6（米）；故答案为：2.6．12.【答案】3【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB，交AB于C，交⊙O于点D，∵ AC=BC，∵ OA=5cm，AB=8cm，∵ OC=3cm，∵ CD=2cm，∵ △PAB的面积为8cm2，∵ 点P到AB的距离为2cm，即可得出这样的点P有3个．13.【答案】50∘【解答】解：∵ 点C是AB̂的中点，∵ AĈ=BĈ，∵ AD=BD，∵ OC⊥AB，∠AOC=∠BOC；又∵ ∠OAB=40∘，∵ ∠AOC=50∘，∵ ∠BOC=50∘．故答案是：50∘．14.【答案】2√133【解答】解：如图，连接BC，∵ AB为⊙O的直径，∵ ∠ACB=90∘，∵ BC=√AB2−AC2=√52−42=3，∵ AC为弦，OD⊥AC于点D，∵ CD=12AC=12×4=2，在Rt△BCD中，BD=√BC2+CD2=√32+22=√13，∵ CD、BD是△ABC的中线，∵ 点E是△ABC的重心，∵ BE=23BD=2√133．故答案为：2√133．15.【答案】1【解答】解：如图：连接OA，OB，则OA=OB=3，过O作OF垂直AB于E，与圆相交于F，由垂径定理得：AE=EB=12AB=12×2√5=√5，且AF̂=FB̂在Rt△OEB中，OB=3，EB=√5，OE=√OB2−EB2=√32−(√5)2=2，即这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离EF=OF−OE=3−2=1．故答案为：1．16.【答案】CE=DE（答案不唯一）【解答】解：根据垂径定理有CE=DE等．（答案不唯一）17.【答案】4【解答】∵ AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，设OE为x，由垂径定理可得：x2+(52)2=(x+1.5)2，解得：x=43，即OE=43，18.【答案】10【解答】解：连接OA，设圆的半径是r，根据勾股定理得r2=16+(r−2)2，r=5则圆的直径是10cm．三、解答题（本题共计7 小题，每题10 分，共计70分）19.【答案】解：如图：圆O为所求．【解答】解：如图：圆O为所求．20.【答案】解：作OH⊥CD于H，连结OC交AB于E，如图，∵ OH⊥CD，CD=√3，∵ CH=DH=12在Rt△OCH中，∵ OC=2，CH=√3，∵ OH=√OC2−OH2=1，∵ ∠OCH=30∘，̂的中点，∵ C是AB∵ OC⊥AB，在Rt△PCE中，∵ ∠ECP=30∘，∵ ∠CPE=60∘，即∠APC的度数为60∘．【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC交AB于E，如图，∵ OH⊥CD，CD=√3，∵ CH=DH=12在Rt△OCH中，∵ OC=2，CH=√3，∵ OH=√OC2−OH2=1，∵ ∠OCH=30∘，̂的中点，∵ C是AB∵ OC⊥AB，在Rt△PCE中，∵ ∠ECP=30∘，∵ ∠CPE=60∘，即∠APC的度数为60∘．21.【答案】证明：∵ OC=OP，∵ ∠1=∠2．∵ CP平分∠OCD，∵ ∠2=∠3，∵ ∠3=∠1，∵ CD // OP，∵ CD⊥AB，∵ OP⊥AB．∵ AP̂=BP̂，∵ PA=PB．【解答】证明：∵ OC=OP，∵ ∠1=∠2．∵ CP平分∠OCD，∵ ∠2=∠3，∵ ∠3=∠1，∵ CD // OP，∵ CD⊥AB，∵ OP⊥AB．∵ AP̂=BP̂，∵ PA=PB．22.【答案】作OP⊥CD于P，连接OD，∵ CP＝PD，∵ AE＝1，EB＝5，∵ AB＝6，∵ OE＝2，在Rt△OPE中，OP＝OE⋅sin∠DEB=√3，∵ PD=√OD2−OP2=√6，∵ CD＝2PD＝2√6(cm)．【解答】作OP⊥CD于P，连接OD，∵ CP＝PD，∵ AE＝1，EB＝5，∵ AB＝6，∵ OE＝2，在Rt△OPE中，OP＝OE⋅sin∠DEB=√3，∵ PD=√OD2−OP2=√6，∵ CD＝2PD＝2√6(cm)．23.【答案】解：能根据所提供的数据求得水深．如图，O为圆的圆心，AB为水面的宽度，则OA=5m，AB=8m，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，∵ AC=BC=4m，在Rt△OAC中，OA=5，AC=4，∵ OC=3，∵ CD=OD−OC=5−3=2，所以水管里有水的最大深度为2米．【解答】解：能根据所提供的数据求得水深．如图，O为圆的圆心，AB为水面的宽度，则OA=5m，AB=8m，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，∵ AC=BC=4m，在Rt△OAC中，OA=5，AC=4，∵ OC=3，∵ CD=OD−OC=5−3=2，所以水管里有水的最大深度为2米．24.【答案】油面的最大深度为200mm．【解答】̂于点F，连接OA，解：过点O作OD⊥AB于点D，交AB∵ AB=600mm，∵ AD=300mm，∵ 底面直径为650mm，×650=325mm，∵ OA=12∵ OD=√OA2−AD2=√3252−3002=125mm，×650−125=200mm．∵ DF=OF−OD=1225.【答案】（1）解：OE=OF，理由是：∵ OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，∵ ∠OEB=∠OFD=90∘，∠EOB=12∠AOB，∠FOD=12∠COD，∵ ∠AOB=∠COD，∵ ∠EOB=∠FOD，∵ 在△EOB和△FOD中，{∠OEB=∠OFD ∠EOB=∠FOD OB=OD∵ △EOB≅△FOD(AAS)，∵ OE=OF．（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，理由是：∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∵ ∠OEB=∠OFD=90∘，∵ 在Rt△BEO和Rt△DFO中，{OB=ODOE=OF∵ Rt△BEO≅Rt△DFO(HL)，∵ BE=DF，由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，∵ AB=CD，∵ 弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．【解答】（1）解：OE=OF，理由是：∵ OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，∵ ∠OEB=∠OFD=90∘，∠EOB=12∠AOB，∠FOD=12∠COD，∵ ∠AOB=∠COD，∵ ∠EOB=∠FOD，∵ 在△EOB和△FOD中，{∠OEB=∠OFD ∠EOB=∠FOD OB=OD∵ △EOB≅△FOD(AAS)，∵ OE=OF．（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，理由是：∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∵ ∠OEB=∠OFD=90∘，∵ 在Rt△BEO和Rt△DFO中，{OB=ODOE=OF∵ Rt△BEO≅Rt△DFO(HL)，∵ BE=DF，由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，∵ AB=CD，∵ 弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．。

*2020年春北师大版九年级数学下册第三章圆3.3垂径定理练习1.如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，则可推出的相等关系是___________.2.圆中一条弦把和它垂直的直径分成3 cm和4 cm两部分，则这条弦弦长为__________.3.判断正误.(1)直径是圆的对称轴; (2)平分弦的直径垂直于弦.4.圆O的半径OA=6,OA的垂直平分线交圆O于B、C,那么弦BC的长等于___________.二、课中强化(10分钟训练)1.圆是轴对称图形，它的对称轴是______________.2.如图，在⊙O中，直径MN垂直于弦AB，垂足为C，图中相等的线段有__________，相等的劣弧有______________.第2题图第3题图3.如图，弦AB的长为24 cm，弦心距OC=5 cm，则⊙O的半径R=__________ cm.4.如图所示，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB的距离为4 cm.求弦AB的长.三、课后巩固(30分钟训练)1.如图,⊙O的半径OA=3,以点A为圆心,OA的长为半径画弧交⊙O于B、C,则BC等于( )A.32B.33C.223D.233第1题图第2题图2.如图24-1-2-6，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8 cm，OC=5 cm，则OD的长是( )A.3 cmB.2.5 cmC.2 cmD.1 cm3.⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.4.如图所示，秋千链子的长度为3 m，静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面0.5 m.秋千向两边摆动时，若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为60°，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？5. “五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥如图(1)已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图(1).最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为___________米.6.如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C.(1)用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号)(3)若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值.7.⊙O的直径为10，弦AB的长为8，P是弦AB上的一个动点，求OP长的取值范围.思路分析：求出OP长的最小值和最大值即得范围，本题考查垂径定理及勾股定理.该题创新点在于把线段OP看作是一个变量，在动态中确定OP的最大值和最小值.事实上只需作OM⊥AB，求得OM即可.。

3.3 垂径定理一．选择题（共20小题）1．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4 2．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m 3．（2018•鄂尔多斯）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD 上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（）A．B．C．D．4．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸5．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．6．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm 7．（2018•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm 8．（2018•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．8 9．（2018•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB ＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 10．（2018•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．11．（2017•西藏）下列说法正确的是（）A．垂直于直径的弦平分这条直径B．负数没有立方根C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．三角形两边的差小于第三边12．（2017•青海）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（）A．1 B．7 C．4或3 D．7或1 13．（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 14．（2017•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1 15．（2017•乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米16．（2017•呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．D．17．（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6 D．8 18．（2017•广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 19．（2017•金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm 20．（2017•阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共20小题）21．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为．22．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．23．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD ⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．24．（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．25．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为．26．（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为．27．（2018•黑龙江）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．28．（2018•绍兴）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）29．（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．30．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．31．（2017•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE ＝4，则直径CD＝32．（2017•牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝．33．（2017•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为．34．（2017•大连）如图，在⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3cm，则⊙O的半径为cm．35．（2017•孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2，则∠COD的度数为．36．（2017•眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，则OC＝cm．37．（2017•长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为．38．（2017•嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，＝90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．39．（2017•雅安）⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．40．（2016•西藏）已知圆的半径是10，一条弦长为16，则圆心到这条弦的距离是．三．解答题（共3小题）41．（2016•天门）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．42．（2016•无锡）如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B n∁n D n，OEFG围成，其中A1、G、B1在上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、∁n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1＝H1H2＝d，C1D1、C2D2、C3D3、∁n D n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边∁n D n与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n∁n（1）求d的值；（2）问：∁n D n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？43．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．3.3 垂径定理参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•梧州）如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB ＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选C．2．（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（）A．25m B．24m C．30m D．60m解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得r2＝（r﹣10）2+202，解得r＝25m，∴这段弯路的半径为25m故选A．3．（2018•鄂尔多斯）如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD 上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，∵Q是MN的中点．∴AQ⊥MN，∵A的坐标为（﹣4，﹣4），∴直线AO：y＝x，AO＝4，∵直线CD：y＝﹣x+4，∴AO⊥CD，∴∠AQO＝∠OGP＝90°，∵∠AOQ＝∠POG，∴∠AOQ∽△POG，∴，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，∴OC＝OD＝4，∴OG＝CD＝2，∵OP＝t，OQ＝S，∴，S＝，故选项C、D不正确；当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，故选项B不正确；故选A．4．（2018•乐山）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）”，问这块圆柱形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆柱形木材的直径AC是（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．5．（2018•贺州）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为（）A．B．C．D．解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°，∵sin∠CDB＝，BD＝5，∴BH＝3，∴DH＝＝4，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得x2+42＝（x+3）2，解得x＝，∴OH＝；∴AH＝OA+OH＝，故选B．6．（2018•张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm．在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝3cm，∴AE＝AO+OE＝5+3＝8cm．故选A．7．（2018•衢州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC 于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm解：连接AB，OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，AE＝2cm，在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2，即AB＝，∵OA＝OC，OB＝OC，OF⊥BC，∴BF＝FC，∴OF＝．故选D．8．（2018•枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．8解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选C．9．（2018•安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB ＝8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm 解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选C．10．（2018•临安区）如图，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A．B．C．D．解：设OA与BC相交于D点．∵AB＝OA＝OB＝6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD＝＝3所以BC＝6．故选A．11．（2017•西藏）下列说法正确的是（）A．垂直于直径的弦平分这条直径B．负数没有立方根C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D．三角形两边的差小于第三边解：A、错误，应该是垂直于弦的直径平分弦；B、错误．负数也有立方根；C、错误．应该是两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；D、正确．故选D．12．（2017•青海）已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD的距离为（）A．1 B．7 C．4或3 D．7或1解：如图所示，连接OA，OC．作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝AB＝4，CF＝CD＝3，根据勾股定理，得OE＝＝3，OF＝＝4，所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF﹣OE＝1，当AB和CD在圆心的异侧时，则EF＝OF+OE＝7．故选D．13．（2017•阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．2cm B．cm C．2cm D．2cm解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，∵OA＝2OD＝2cm，∴AD＝＝＝（cm），∵OD⊥AB，∴AB＝2AD＝2cm．故选D．14．（2017•黔西南州）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3 B．2.5 C．2 D．1解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选C．15．（2017•乐山）如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25米，BD ＝1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米B．2.5米C．2.4米D．2.1米解：连接OF，交AC于点E，∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，∵四边形ABDC是矩形，∴AC∥BD，∴OE⊥AC，EF＝AB，设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE＝＝＝0.75米，OE＝R﹣AB＝R﹣0.25，∵AE2+OE2＝OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2＝R2，解得R＝1.25．1.25×2＝2.5（米）．答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．故选B．16．（2017•呼和浩特）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．D．解：连接OA，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AM＝AB＝6，∵OM：MD＝5：8，∴设OM＝5x，DM＝8x，∴OA＝OD＝13x，∴AM＝12x＝6，∴x＝，∴OA＝×13，∴⊙O的周长＝2OA•π＝13π，故选B．17．（2017•泸州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是（）A．B．2C．6 D．8解：连接OC，由题意，得OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，CE＝ED＝＝，CD＝2CE＝2，故选B．18．（2017•广州）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD 解：∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE，∴∠BOC＝2∠BAD＝40°，∴∠OCE＝90°﹣40°＝50°．故选D．19．（2017•金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝8，OD＝13，∴OC＝5，又∵OB＝13，∴Rt△BCO中，BC＝＝12，∴AB＝2BC＝24．故选C．20．（2017•阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB ＝8，则CD的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝×8＝4，在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD＝＝3，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故选A．二．填空题（共20小题）21．（2019•宁夏）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，若AB＝2，则⊙O的半径为3．解：连接OA，设半径为x，∵将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，∴OC＝，OC⊥AB，∴AC＝＝，∵OA2﹣OC2＝AC2，∴，解得，x＝3．故答案为3．22．（2019•广西）《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为26寸．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故答案为26．23．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为．24．（2018•绥化）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升10或70cm．解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得BC＝AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC＝＝40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′＝＝30cm，水面上升的高度为40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．25．（2018•海南）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为（2，6）．解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），∴CD∥OA，CD＝OB＝16，过点M作MF⊥CD于点F，则CF＝CD＝8，过点C作CE⊥OA于点E，∵A（20，0），∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．连接MC，则MC＝OA＝10，∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF＝＝6∴点C的坐标为（2，6）故答案为（2，6）．26．（2018•烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C 三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB＝DA＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为（﹣1，﹣2），27．（2018•黑龙江）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，设⊙O的半径为xcm，则OC＝xcm，OE＝OB﹣BE＝x﹣1，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝32+（x﹣1）2，解得x＝5，∴⊙O的半径为5，故答案为5．28．（2018•绍兴）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了15步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．29．（2018•金华）如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣10cm．解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15，∴B1C1＝30∴弓臂两端B1，C1的距离为30（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr＝，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2＝＝10∴D1D2＝10﹣10．故答案为30，10﹣10，30．（2018•孝感）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为2或14．31．（2017•湘西州）如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB＝6，OE ＝4，则直径CD＝10解：∵直径CD⊥弦AB，AB＝6，OE＝4，∴BE＝3，则BO＝＝＝5，故直径CD＝10．32．（2017•牡丹江）在半径为20的⊙O中，弦AB＝32，点P在弦AB上，且OP＝15，则AP＝7或25．解：作OC⊥AB于点C，∴AC＝AB＝16，OC＝＝12，又OP＝15，∴PC＝＝9，当点P在线段AC上时，AP＝16﹣9＝7，当点P在线段BC上时，AP＝16+9＝25．故填：7或25．33．（2017•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为15°或105°．解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE＝AC＝，AD＝AB＝，∴sin∠AOE＝＝，sin∠AOD＝＝，∴∠AOE＝45°，∠AOD＝30°，∴∠BAO＝60°，∠CAO＝90°﹣45°＝45°，∴∠BAC＝45°+60°＝105°，或∠BAC′＝60°﹣45°＝15°．∴∠BAC＝15°或105°．故答案是15°或105°．34．（2017•大连）如图，在⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3cm，则⊙O 的半径为5cm．解：连接OA，∵OC⊥AB，AB＝8，∴AC＝4，∵OC＝3，∴OA＝＝＝5．故答案为5．35．（2017•孝感）已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2，则∠COD的度数为150°或30°．解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．∵OA＝OC＝AC，∴∠OAC＝60°．∵AD＝2，OE⊥AD，∴AE＝，OE＝＝，∴∠OAD＝45°，∴∠CAD＝∠OAC+∠OAD＝105°或∠CAD＝∠OAC﹣∠OAD＝15°，∴∠COD＝360°﹣2×105°＝150°或∠COD＝2×15°＝30°．故答案为150°或30°．36．（2017•眉山）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8cm，DC＝2cm，则OC＝5cm．解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AD＝AB＝4cm，设⊙O的半径为R，由勾股定理得，OA2＝AD2+OD2，∴R2＝42+（R﹣2）2，解得R＝5∴OC＝5cm．故答案为5．37．（2017•长沙）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×6＝3，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OE＝OB﹣BE＝x﹣1，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝32+（x﹣1）2，解得x＝5，∴⊙O的半径为5，故答案为5．38．（2017•嘉兴）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，＝90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为（32+48π）cm2．解：连接OA、OB，∵＝90°，∴∠AOB＝90°，∴S△AOB＝×8×8＝32，扇形ACB（阴影部分）＝＝48π，则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，故答案为（32+48π）cm2．39．（2017•雅安）⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．解：如图：连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝AB＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝4，OM的长即为OP的最小值，∴4≤OP≤5．故答案为4≤OP≤5．40．（2016•西藏）已知圆的半径是10，一条弦长为16，则圆心到这条弦的距离是6．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB＝10，AB＝16，OD⊥AB，∴BD＝AB＝×16＝8，在Rt△BOD中，OD＝．故答案为6三．解答题（共3小题）41．（2016•天门）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．解：（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是．42．（2016•无锡）如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B n∁n D n，OEFG围成，其中A1、G、B1在上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、∁n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1＝H1H2＝d，C1D1、C2D2、C3D3、∁n D n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边∁n D n与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n∁n（1）求d的值；（2）问：∁n D n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？解：（1）在Rt△D2EC2中，∵∠D2EC2＝90°，EC2＝ED2＝r，EF⊥C2D2，∴EH2＝r，FH2＝r﹣r，∴d＝（r﹣r）＝r，（2）假设∁n D n与点E间的距离能等于d，由题意•r＝r，这个方程n没有整数解，所以假设不成立．∵r÷r＝2+2≈4.8，∴直角三角形△C2ED2最多分成5份，∴n＝6，此时∁n D n与点E间的距离＝r﹣4×r＝r．43．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴CE2＝DE•AE，设DE＝x，∵BC＝8，AD＝10，∴42＝x（10﹣x），解得x＝2或x＝8（舍去）在Rt△CED中，CD＝＝＝2．。