内蒙古师范大学附属中学2014届高三一模查漏补缺数学试题

2014年高三一模客观压轴题汇编（学生版）填空题1.（2014年普陀一模文理12）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为 },,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =， 若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种2.（2014年普陀一模文理14） 已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是3.（2014年长宁一模文14）设a 为非零实数，偶函数1||)(2+-+=m x a x x f (x R )在区间(2,3)上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是变式：函数2()4f x x x a =-+在(0,3)上有一个零点，则实数a 的取值范围是4.（2014年长宁一模理14）定义：{}123min ,,,,n a a a a 表示123,,,,n a a a a 中的最小值．若定义()f x ={}2min ,5,21x x x x ---，对于任意的n *∈N ，均有(1)(2)(21)(2)()f f f n f n kf n +++-+≤成立，则常数k 的取值范围是5.（2014年嘉定一模理13文14）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数 )(x f 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为6.（2014年嘉定一模理14）某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形， 然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图 （图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、n 级分形图．则n 级分形图的 周长为7.（2014年静安一模理12）图（1） 图（2） 图（3）……8.（2014年静安一模理14）9.（2014年闸北一模理9）设0,1a a >≠，已知函数()2sin 22,(0)x f x a x x π=+->至少有5个零点，则a 的取值范围为变式练习（2014年闸北区一模文科9）设1,0≠>a a ，函数2|2sin |2)(-+=x a x f xπ（0>x ）有四个零点，则a 的值为10. （2014年闸北一模理10）设曲线22:23()C x y x y ++=+，则曲线C 所围封闭图形的面积为变式练习（2014年闸北区一模文科10）由曲线||||22y x y x +=+所围成的封闭图形的面积为11.（2014年宝山一模理14） 关于函数()1x f x x =-，给出下列四个命题：①当0x >时，()y f x =单调递减且没有最值；②方程()(0)f x kx b k =+≠一定有解；③如果方程()f x k =有解，则解的个数一定是偶数； ④()y f x =是偶函数且有最小值； 则其中真命题是12. （2014年闵行一模理12）设,i j 依次表示平面直角坐标系x 轴、y 轴上的单位向量， 且25a i a j -+-=，则2a i +的取值范围是13.（2014年闵行一模理13）22log (04)()2708(4)33x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同， 且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 变式练习（2014年闵行区一模文科13）已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()f x t =()t R ∈恰有四个 互不相等的实数根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234x x x x ++⋅的取值范围是14.（2014年闵行一模理14）211,1k A x x kt t kt k ⎧⎫==+≤≤⎨⎬⎩⎭，其中2,3,......,2014k =， 则所有k A 的交集为变式练习（2014年闵行区一模文14）已知42421()1x kx f x x x ++=++（k 是实常数），则()f x 的最大值与最小值的乘积 为15.（2014年徐汇一模理12）如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则xyx y+的值为16.（2014年徐汇一模理13） 一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”17.（2014年徐汇区一模理科14）定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->. 已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为18.（2014年松江一模理11）对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为19.（2014年松江一模理13）已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<， 且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++=20.（2014年松江一模理14） 设集合{1,2,3,,}A n =，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值＝21.（2014年青浦一模理13）已知直角坐标平面上任意两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义212121212121(,)x x x x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨--<-⎪⎩为,P Q 两点的“非常距离”，当平面上动点(,)M x y到定点(,)A a b 的距离满足3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是22.（2014年青浦一模理14）若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是23（2014年金山一模理13）如图，已知直线:4360l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一个 动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是24.（2014年金山一模理14）在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，集合{2,4}B =，则()U C A B 为A ．{2,4,5}B ．{1,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,4,5}2．已知i 是虚数单位，则i i+-221等于（ ） A ．i - B ．i -54 C ．i 5354- D ．i3. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若13a =，24144a a =，则5S 的值是 A ．692B ．69C ．93D ．1894. 设αβγ、、为平面，l n m 、、为直线，以下四组条件，可以作为β⊥m 的一个充分条件的是 A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥5．在92)1(xx -的二项式展开式中，常数项是 （A ）504（B ） 84 （C ）84-（D ）504-6．执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为A. 7B. 15C. 31D. 637．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ）A.B.C.D.8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝6，则a 的值等于 ()A ．－1B ．1C ．2D ．49．已知实数x 、y 满足约束条件22,24,41x y x y x y +≥+≤-≥-⎧⎪⎨⎪⎩．若),(y x =，)1,3(-=，设z 表示向量a 在b 方向上的投影，则z 的取值范围是A ．3,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,6- C．[ D．[10. 从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有 A ．96种B ．144种C ．240种D ．300种11．已知直线)2(+=x k y （k ＞0）与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k 的值为A ．13B．3C ．23D．312. 设函数()1f x xx=-+ )(R x ∈，集合{},),(M x x f y y N ∈==其中[]b a M ,=a (＜)b ，则使N M =成立的实数对),(b a 有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2014年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷（文科）（4月份）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设复数z满足（1-i）z=2i，则z=（）A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i【答案】A【解析】解：∵复数z满足z（1-i）=2i，∴z==-1+i故选A．根据所给的等式两边同时除以1-i，得到z的表示式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到结果．本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．2.已知集合M={x∈Z|log3x≤1}，N={x∈Z|x2-2x＜0}，则（）A.M=NB.M∩N=∅C.M∩N=RD.M⊇N【答案】D【解析】解：由M中的不等式变形得：log3x≤1=log33，x∈Z，得到0＜x≤3，x∈Z，∴x=1，2，3，即M={1，2，3}；由N中的不等式变形得：x（x-2）＜0，解得：0＜x＜2，x∈Z，即N={1}，则M∩N={1}，M⊇N．故选：D．求出M与N中不等式的解集，根据x为整数确定出M与N，即可做出判断．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.设a=log34，b=log54，c=3，则（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b【答案】B【解析】解：∵＞，又＜，∴1＜a=log34＜；b=log54＜log55=1，∴b＜a＜c．故选：B．利用对数的运算法则和单调性即可得出．本题考查了对数的运算法则和单调性，属于基础题．4.已知下列四个命题：正确的是（）p1：∃x0＞0，使得lnx0＞x0-1；p2：∀x∈R，都有x2-x+1＞0；p3：∃x0＞0，使得ln＞-x0+1；p4：∀x∈（0，+∞），使得（）x＞log x．A.p2，p4B.p1，p4C.p2，p3D.p1，p3【答案】C【解析】解：p1：∃x0＞0，使得lnx0＞x0-1；设f（x）=lnx-x+1，则f′（x）=，则x=1是函数f（x）的极大值同时也是最大值，∵f（1）=ln1-1+1=0，所以f（x）＜f（1）=0，即∀x＞0，使得lnx＜x-1；∴p1错误p2：∀x∈R，都有x2-x+1=（x-）2+＞0；∴正确．p3：∃x0＞0，使得ln＞-x0+1，即lnx0＜x0-1；当x0=e时，lne＜e-1，正确．p4：当x=2时，（）x=，log2=-1，满足（）x＞log x成立，∴错误．故正确是p2，p3故选：C根据含有量词的命题的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的真假判断，综合性较强．5.设函数f（x）=2sin（2x+），若f（x-φ）为偶函数，则φ可以为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）=2sin（2x+），∴f（x-φ）=2sin（2x-2φ+）为偶函数，∴-2φ+=kπ+，k∈z，即φ=-π-，当k=-1时，φ=，故选：D．根据题意可得f（x-φ）=2sin（2x-2φ+）为偶函数，可得-2φ+=kπ+，k∈z．结合所给的选项，可得结论．本题主要考查诱导公式的应用，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于中档题．6.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平分圆C：（x-1）2+（y-2）2=1，则C的离心率为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】解：由题意，（1，2）在双曲线的一条渐近线上，∴b=2a，∴c==a，∴=．故选：C．由题意，（1，2）在双曲线的一条渐近线上，可得b=2a，从而可得c==a，即可求出C的离心率．本题考查圆的对称性，考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．7.在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，则=（）A.-7B.C.D.7【答案】B【解析】解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，∴BC==5，AD=，cos＜，＞=cos∠ADB===-，∴=||•||•cos＜，＞==-．故选B．在△ABC中，由∠BAC=90°，D是BC中点，AB=4，AC=3，知BC==5，AD=5，故cos＜，＞=cos∠ADB=-，由此能求出．本题考查平面向量的数量积的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．8.设x，y满足（a＞1），若函数z=x+y取得最大值4，则实数a=（）A.2B.3C.4D.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点B时，直线y=-x+z的截距最大为4，即x+y=4此时z最大．由，解得，即B（2，2），同时B也在直线y=a上，则a=2，故选：A．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，根据z的最大值即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条确定最优解是解决本题的关键．9.设△ABC中，角A，B，C的对角边为a，b，c，若sin A=sin C，B=30°，S△ABC=，则边长b 等于（）A.1B.2C.4D.【答案】B【解析】解：∵sin A=sin C，∴a=c，∴S△ABC=acsin B=•c2•=，∴c=2，a=c=2，∴b===2．故选B先利用正弦定理求得a和c的关系，利用三角形面积公式求得a和c，最后通过余弦定理求得答案．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．考查了学生对数学基础知识综合运用．10.一个几何体三视图如图所示，则这个几何体体积等于（）A. B.2 C.1 D.4【答案】A【解析】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为1，底面为直角梯形，直角梯形的两底边长分别为1、2．直角腰长为1，∴几何体的体积V=××1×1=．故选：A．几何体为四棱锥，根据三视图判断四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为1，四棱锥的底面为直角梯形，判断直角梯形的两底边长及直角腰长，把数据代入棱锥的体积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11.四棱锥P-ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长2的正方形，则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积（）A.3πB.8πC.9πD.36π【答案】C【解析】解：正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记球心为O，PO=AO=R，∵PA=，AB=BC=2，故PO1==1，∴OO1=R-1，或OO1=1-R（此时O在PO1的延长线上），在R t△AO1O中，R2=2+（R-1）2得R=，∴球的表面积S=9π．故选：C．先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的面积公式解之即可．本题主要考查球的表面积，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．12.若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f （x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A.f（x）=e x-1B.f（x）=ln（x+1）C.f（x）=sinxD.f（x）=tanx【答案】C【解析】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C．根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若△ABC的三顶点坐标A（3，0），B（0，4），C（0，0），D点的坐标为（，0），向△ABC内部投一石子，那么石子落在△ABD内的概率为______ ．【答案】【解析】解：因为A（3，0），B（0，4），C（0，0），D点的坐标为（，0），所以S△ABD=S△ABC，所以石子落在△ABD内的概率为P=．故答案为：．求的点落在△ABD内的概率，求出△ABD与△ABC的面积之比，再根据几何概型概率公式求解．本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．14.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______【答案】30【解析】解：由程序框图知：最后一次循环的i值为10，跳出循环的i值为12，∴算法的功能是求S=2+4+6+8+10的值，∴输出S=30．故答案为：30．根据框图的条件，确定最后一次循环的i值为10，跳出循环的i值为12，可得算法的功能是求S=2+4+6+8+10的值，计算S的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线与A、B两点，若|BF|=，|AF|= ______ ．【答案】3【解析】解：依题意2p=4，∴p=2，F坐标为（1，0），∵点B到准线的距离与|BF|相等，即为，∴x B=-1=，∴y B=±当点B在y轴上方时，y B=∴直线AB的方程为=，即y=-2x+2，与抛物线方程联立得，2x2-5x+2=0，∴x A+x B=，∴|AB|=x A+x B+p=+2=∴|AF|=|AB|-|BF|=-=3故答案为：3．根据抛物线方程求得p和F点的坐标，根据|BF|求得B点的横坐标，代入抛物线方程求得其纵坐标，进而得到直线AB的方程与抛物线方程联立消去y，利用韦达定理求得x A+x B，进而求得|AB|，最后利用|AB|-|BF|求得答案．本题主要考查了抛物线简单性质．活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．16.设θ为第二象限角，若sinθ+cosθ=，则tan（θ+）= ______ ．【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即sinθcosθ=-，∴（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，即cosθ-sinθ＜0，∴cosθ-sinθ=-，则tan（θ+）=====-．故答案为：-已知等式两边平方，利用同角三角函数间基本关系化简求出sinθcosθ的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，将各自得值代入计算即可求出值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25且a1、a11、a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a1+a3+a5+…+a2n-1=70，求n的值．【答案】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由题意得，∴，∵a1=25，∴d=0（舍），或d=-2，∴a n=25+（n-1）×（-2）=-2n+27．（Ⅱ）∵a n=-2n+27，∴a2n-1=-2（2n-1）+27=-4n+29，∴{a2n-1}是首项为a1=25，公差为d=-4的等差数列，∴a1+a3+…+a2n-1==27n-2n2，∵a1+a3+a5+…+a2n-1=70，∴27n-2n2=70，解得n=10或n=（舍），∴n=10．【解析】（Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和等比数列的性质求出公差，由此能求出a n=-2n+27．（Ⅱ）由a n=-2n+27，得{a2n-1}是首项为a1=25，公差为d=-4的等差数列，所以a1+a3+…+a2n-1=27n-2n2，由此根据a1+a3+a5+…+a2n-1=70，得27n-2n2=70，从而能求出n的值．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的项数n的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．18.直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图①把△ABD 沿BD翻析，使得平面ABD⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若BN=BC，求四面体CAND的体积．【答案】（Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．∴CD⊥平面ABD，又∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB；（Ⅱ）解：过点A做AM⊥BD，交BD于M点，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AM⊥平面BCD，由题意，CD⊥BD，∠DCN=45°∵BN=BC，∴NC=，AM=1，∴V C-AND=•CN•CD sin∠DCN•AM==．【解析】（Ⅰ）先证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；（Ⅱ）过点A做AM⊥BD，交BD于M点，利用V C-AND=•CN•CD sin∠DCN•AM，即可求四面体CAND的体积．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．19.由于空气污染严重，某工厂生产了两种供人们外出时便于携带的呼吸装置，其质量按测试指标划分：指标大于等于88为优质产品．现随机抽取这两种装至各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计装置甲、装置乙为优质品的概率；（Ⅱ）设该厂生产一件产品的利润率y与其质量指标t的关系式为y=，＜，＜，，根据以上统计数据，估计生产一件装置乙的利润率大于0的概率，若投资100万生产装置乙，请估计该厂获得的平均利润；（Ⅲ）若投资100万，生产装置甲或装置乙中的一种，请分析生产那种装置获得利润的数学期望较大．【答案】解：（Ⅰ）装置甲为优质品的概率=0.4、装置乙为优质品的概率=0.35；（Ⅱ）设乙的利润率为ξ，则ξ的可能取值为-2，2，4，P（ξ=-2）=0.07，P（ξ=2）=0.58，P（ξ=4）=0.35，∴生产一件装置乙的利润率大于0的概率为P（ξ＞0）=P（ξ=2）+P（ξ=4）=0.58+0.35=0.93，Eξ=-2×0.07+2×0.58+4×0.35=2.42，∴投资100万生产装置乙，估计该厂获得的平均利润为242万；（Ⅲ）设甲的利润率为η，则η的可能取值为-2，2，4，P（η=-2）=0.08，P（ξ=2）=0.52，P（ξ=4）=0.4，∴Eη=-2×0.08+2×0.52+4×0.4=2.48，∵Eη＞Eξ，∴生产甲种装置获得利润的数学期望较大．【解析】（I）根据频数，求比值，得到估计装置甲、装置乙为优质品的概率；（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，可得数据的期望值；（Ⅲ）比较生产装置甲或装置乙的期望值，即可得出结论．本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个综合问题．20.如图，A、B是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，|AB|=，直线AB的斜率为-．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l平行与AB，并与椭圆相交于C、D两点，求△OCD的面积的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵A、B是椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，|AB|=，直线AB的斜率为-，∴A（a，0），B（0，b），|AB|==，k=，解得a=2，b=1，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）∵l∥AB，∴设直线l的方程为y=-，将其代入，消去y并整理，得2x2-4mx+4m2-4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则＞，|CD|==，∵，∴|CD|=，点O到直线CD的距离d=，∴△OCD的面积S===，令m2=n，则0＜n＜2，2m2-n4=-n2+2n=-（n-1）2+1≤1，∴△OCD的面积的最大值为1．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出|AB|==，k=，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=-，将其代入，消去y并整理，得2x2-4mx+4m2-4=0，设C（x1，y1），D（x2，y2），则＞，由此利用点到直线的距离公式和配方法能求出△OCD的面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和配方法的合理运用．21.已知函数f（x）=e x+1-x-2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥-1时，不等式f（x）≥（x+1）2恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x+1-x-2，∴f′（x）=e x+1-1，可得f′（x）=0的根为x=-1当x＜-1时，f′（x）＜0，可得函数在区间（-∞，-1）上为减函数；当x＞-1时，f′（x）＞0，可得函数在区间（-1，+∞）上为增函数．（Ⅱ）∵函数f（x）在区间[-1，+∞）上为增函数，∴f（x）≥f（-1）=0，若a≤0，则（x+1）2≤0≤f（x）成立，此时满足条件．若a＞0，令g（x）=f（x）-（x+1）2，则g′（x）=e x+1-a（x+1）=h（x），则h′（x）=e x+1-a，当x≥-1时，e x+1≥1，当0＜a≤1时，h′（x）≥0，此时h（x）在区间[-1，+∞）上为增函数．∴h（x）≥h（-1）=0，即g′（x）＞0，∴g（x）的最小值为g（-1）=0．当a＞1时，令h′（x）=0，解得x=lna-1＞-1，当x∈（-1，lna-1）时，h′（x）＜0，此时函数单调递减．∴h（x）＜h（-1）＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（-1，lna-1）递减，∴g（lna-1）＜g（-1）=0，此时g（x）≥0不恒成立，综上实数a的取值范围是（-∞，1]．【解析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．（Ⅱ）将不等式f（x）≤x2恒成立进行转化为求函数的最值问题，利用导数结合分类讨论即可求a的取值范围．本题主要考查函数单调性和导数之间的关系和应用，以及利用函数的导数研究函数恒成立问题，综合性较强，运算量较大．22.如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若BC=2EF，证明：（Ⅰ）CF∥AB；（Ⅱ）△BCD∽△GBD．【答案】证明：（I）如图所示，∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴，又BC=2EF，∴DE=EF．∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AB．（II）∵CF∥AB，∴BC=AF．由四边形ADCF是平行四边形，∴CD=AF．∴CD=CB，∴∠CBD=∠CDB．∵FG∥BC，∴∠BGD=∠CFD．∵CF∥AB，∴∠BDG=∠CFD．∴∠CBD=∠BDG=∠CDB=∠DGB．∴△BCD∽△DBG．【解析】（I）如图所示，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质即可证明；（II）利用平行线的性质、平行四边形的性质、圆的性质、相似三角形的判定定理即可得出．本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质、平行四边形的性质、圆的性质、相似三角形的判定定理，考查了推理能力，属于中档题．23.在平面直角坐标系x O y中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2-4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2-16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=-4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=-t1-t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得＜＜，∴＜≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是，．【解析】对第（Ⅰ）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2═x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，tanθ=等．2．运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0）M0，且倾斜角为α的直线的参数方程为“”，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿直线向上时，t=||；当沿直线向下时，t=-||．3．对于曲线C与直线l的相交问题，一般是联立曲线与直线的方程，消去相应的变量，再利用韦达定理求解．24.已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-1|（Ⅰ）求不等式f（x）≤12的解集M；（Ⅱ）当a，b∈M时，证明：3|a+b|≤|9+ab|．【答案】证明：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|+|2x-1|≤12，当x≤-时，-（2x+1）+1-2x≤12，得x≥-3，所以-3≤x≤-；…2分当-＜x＜时，（2x+1）-（1-2x）≤12，2≤12成立，所以-＜x＜；.3分当x≥时，2x+1+2x-1≤12，解得x≤3，所以≤x≤3；…4分综上，M={x|-3≤x≤3}…5分（Ⅱ）当a，b∈M时，-3≤a≤3，-3≤b≤3，…6分a2≤9，b2≤9，9-a2≥0，9-b2≥0，（9-a2）（9-b2）≥0，…7分即9a2+9b2≤81+a2b2，9a2++18ab+9b2≤81+18ab+a2b2，…8分9（a+b）2≤（9+ab）2，…9分于是有3|a+b|≤|9+ab|…10分【解析】（Ⅰ）通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉原函数式中的绝对值符号，再解相应的不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知M={x|-3≤x≤3}，a，b∈M，于是-3≤a≤3，-3≤b≤3，易证（9-a2）（9-b2）≥0，进一步整理可得9（a+b）2≤（9+ab）2，开方即可证得结论．本题考查不等式的证明，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查推理论证能力，属于难题．。

内蒙古自治区呼和浩特市师范大学附属中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 在等差数列中，已知则等于（）A、40B、42C、43 D、45参考答案：B3. 已知集合，则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先化简集合A,B，再求A∩B得解.【详解】,所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为值域为{9}的“孪生函数”三个：（1）；（2）；（3）那么函数解析式为值域为的“孪生函数”共有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【知识点】函数的值域 B1参考答案：Ｂ解析：由题意，函数解析式为，值域为，当函数值为1时，，当函数值为5时，，故符合条件的定义域有{0，}，{0，}，{0，，-}，所以函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有3个，故选择B.【思路点拨】由所给的定义知，一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，函数解析式为，值域为对自变量的可能取值进行探究，即可得出它的孪生函数的个数.5. 根据表格中的数据，可以判定方程的一个根所在的区间为，则的值为0.371A．-1 B.0 C.1 D. 2参考答案：C略6. “”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A由，知，又是增函数，所以，，由知，但取负值时，无意义，故选A。

7. 执行如图的程序框图，则输出的值等于( )A．91 B． 55 C．54 D．30参考答案：B8. 已知平面向量，满足，，与的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为（）A．2 B． C.1 D．参考答案：B因为与的夹角为，所以此平行四边形的两条对角线中较短的一条长度为，而，故选B.9. 下列结论正确的是（）①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．Ａ．①②Ｂ．①②③Ｃ．①②④Ｄ．①②③④参考答案：C10. 在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是( )A．B．C．（1，0）D．（1，π）参考答案：B【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解：将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=e x﹣2}．其中是“垂直对点集”的序号是．参考答案：②④考点：函数的图象．专题：新定义；数形结合；函数的性质及应用．分析：利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．解答：解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足，对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①M={（x，y）|y=}，其图象是过一、三象限的双曲线，做第一象限的角平分线与双曲线交于点A，与OA垂直的直线是二、四象限的角平分线，显然与双曲线没有公共点．所以对于点A，在图象上不存在点B，使得OB⊥OA，所以①不符合题意；对于②M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合；对于③M={（x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T 在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故③不符合题意；对于④M={（x，y）|y=e x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=e x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=e x﹣2}是“垂直对点集”．故答案为：②④点评：这种类型的题目应先弄清所给信息要表达的几何意义，将其转化为一个几何问题，然后借助于函数的图象解决．12. 等差数列中，其前项和，若，则的值为_____________.参考答案：3略13. 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于 .参考答案：14. 已知数列中，则_____________。