哈三中状元班 高二期末考试(理科 ) 30页

2020-2021学年度下学期高二数学期末考试试卷理科(考试范围：选修2-2，2-3，4-4，4-5，考试时间：120分钟，试卷满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数2020z i i =+，则1z -等于（ ） A．1C ．0D ．22．若函数()31f x x =--，则()f x '=（ ） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-3．曲线321y x x =-+在点(10)，处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+4．甲､乙､丙､丁4名学生假期积极参加体育锻炼，每人在游泳､篮球､竞走这三个锻炼项目中选择一项进行锻炼，则甲不选游泳､乙不选篮球的概率为（ ） A ．13B ．49C ．712D ．595．六辆汽车排成一纵队，要求甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，则排法有（ ）A ．48B ．72C ．90D ．1206．将4个“三好学生”名额分到三个班级，每个班上至少一个名额有（ ）不同分分配方法.A ．18B ．4C ．3D ．127．2()xx x-展开式中的各二项式系数之和为1024，则4x 的系数是（ ）A ．-210B ．-960C ．960D ．2108．已知x 为正数，随机变量ξ的分布列为则x =（ ） A ．19B ．112C ．16D ．18 9．若随机变量()5X B p ，，()54D X =，则()E X =（ ）A ．15B ．14C ．1516D ．5210．已知随机变量()2~1X N σ，，若()00.6P X ≥=，则()2PX >=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.811．在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的一条切线方程为（ ） A ．cos 2ρθ=B ．cos 1ρθ=C ．sin 2ρθ=D．sin 1ρθ=12．曲线x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，(θ为参数)中两焦点间的距离是（ ）A B ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．观察以下式子： 2π1cos32=-；2π4π1cos cos 552+=-；2π4π6π1cos cos cos 7772++=-；按此规律归纳猜想第5个等式为__________.（不需要证明） 14．定积分13xdx ⎰的值为____.15．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有________种．16．点()22-，的极坐标为________________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求a b ，的值与函数()f x 的单调区间；（2）若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围． 18.（本小题满分12分）已知11z i =-，222z i =+. （1）求12z z ⋅；（2）若12111z z z =+，求z .19.（本小题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字： （1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？ 20.（本小题满分12分）某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主).（1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯. （2）根据以上数据完成如下22⨯列联表（3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？ 附表：(参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)21.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为244x y =+.（1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点，8AB =，求l 的斜率.22.（本小题满分12分）已知函数()|2||3|=-++f x x x . （1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围.2020-2021学年度下学期高二数学期末考试试题答案理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．B 【分析】利用复数的乘方法则化简复数z ，利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】41i =，则425050201i z i i i i ⨯=+==++，则1z i -=，故11z -=.故选：B. 2．D 【分析】利用求导公式直接求导即可. 【详解】根据求导公式，()3f x '=-. 故选：D 3．A 【分析】求出函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f '的值，然后利用点斜式写出所求切线方程. 【详解】()321f x x x =-+，()232f x x '∴=-，则()11f '=，因此，所求切线方程为1y x =-， 故选：A.4．B 【分析】利用分步计数原理计数，利用古典概型公式计算. 【详解】甲乙丙丁依次任选一项进行锻炼的不同方法种数为3×3×3×3种， 其中甲不选游泳，甲有2种选法，乙不选篮球，乙有2种选法，丙丁还是各有3种选法， 共有2×2×3×3种不同的选法，∴甲不选游泳､乙不选篮球的概率为2233433339⨯⨯⨯=⨯⨯⨯.故选：B. 5．A 【分析】根据题意可得甲、乙只能在第二位和第五位，根据分步乘法原理，即可得答案. 【详解】由题意得，甲车和乙车均不排队头或队尾，且正好间隔两辆车，所以甲、乙只能在第二位和第五位，共有22A 种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有242448A A =种. 故选：A 6．C 【分析】每个班上至少一个名额，则名额分配为：1,1,2，从三个班选一个班分配2个名额即可； 【详解】依题意，名额分配为：1,1,2，从三个班选一个班分配2个名额有133C =种，故不同的分配方法有3种； 故选：C 7．B【分析】由二项式系数和等于2n ，求得n 的值，写出通项公式，计算可得. 【详解】由已知得：21024n =,∴10n =,∴展开式的通项公式为()()10102k 10110102C C 12kkkk k k k T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,令2104,7k k -==,对应系数为：()7710710C 12960--=-. 故选：B. 8．C 【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解. 【详解】由分布列可知，321x x x ++=，得16x =．故选：C 9．D 【分析】根据二项分布的期望与方程的计算公式，由题中条件，列出方程，即可求出结果. 【详解】 因为()5,XB p ，()54D X =，则()()5514D X p p =-=，解得12p =，所以()552E X p ==. 故选：D. 10．B【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出()()()2010P X P X P X >=<=-≥，即可得解. 【详解】因为随机变量()2~1,X N σ，则()()()20100.4P X P X P X >=<=-≥=.故选：B. 11．A 【分析】利用圆的极坐标方程，结合直线的极坐标方程进行求解即可. 【详解】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心为(1,0)，半径为1，如图所示： 所以该圆的垂直于极轴的切线方程为：2πθ=，或cos 2ρθ=，故选：A 12．C 【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，求解即可. 【详解】曲线,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)化为普通方程为：2211218x y +=，则曲线表示焦点在y 轴的椭圆，2226c a b =-=，所以2c =即两焦点间的距离是故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2468101coscos cos cos cos 11111111112πππππ++++=- 【分析】利用归纳推理即可得出答案. 【详解】依题可知第5个的等式为2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. 故答案为：2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=- 14．32【分析】直接利用定积分运算求解. 【详解】121033322xdx x ==⎰. 故答案为：32【点睛】本题考查定积分的计算，属于基础题. 15．6 【分析】根据组合知识直接计算. 【详解】选出的人员中恰好有一名女生的选法有21326C C =种 故答案为：6 16．7(22,)4π【分析】利用22tan x y yx ρα⎧=+⎪⎨=⎪⎩求解即可. 【详解】设点()22-，的极坐标为(),ρα， 又点()22-，在第四象限，则322παπ<<， 由22tan x y y x ρα⎧=+⎪⎨=⎪⎩，得2244222tan 12x y y x ρα⎧=+=+=⎪⎨-===-⎪⎩，则722,4πρα==， 即点()22-，的极坐标为7(22,)4π； 故答案为：7(22,)4π. 17．（1）1,22a b =-=-，递增区间是（﹣∞，23-）和（1，+∞），递减区间是（23-，1）．（2）1,2c c <->或 【分析】（1）求出f '（x ），由题意得f '（23-）＝0且f '（1）＝0联立解得a 与b 的值，然后把a 、b 的值代入求得f （x ）及f '（x ），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x ∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f （2），代入求出最大值，然后令f （2）＜c 2列出不等式，求出c 的范围即可． 【详解】（1）()32f x x ax bx c =+++，f '（x ）＝3x 2+2ax +b由()2124'0393'1320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=++=⎩解得，122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩f '（x ）＝3x 2﹣x ﹣2＝（3x +2）（x ﹣1），函数f （x ）的单调区间如下表：所以函数f （x ）的递增区间是（﹣∞，3-）和（1，+∞），递减区间是（3-，1）． （2）因为()[]3212122f x x x x c x =--+∈-，，，根据（1）函数f （x ）的单调性， 得f （x ）在（﹣1，23-）上递增，在（23-，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x 23=-时，f （x ）2227=+c 为极大值，而f （2）＝22227c c +>+，所以f （2）＝2+c 为最大值．要使f （x ）＜2c 对x ∈[﹣1，2]恒成立，须且只需2c ＞f （2）＝2+c ． 解得c ＜﹣1或c ＞2． 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．18．（1）4；（2）625iz -=. 【解析】试题分析：（1）利用复数运算公式，可求得两个复数的乘积.（2）先根据原方程化简出z 的表达式，再代入已知12,z z 的值，最后将分母实数化即可求得z 的值. 试题解析：（1）()()121224z z i i ⋅=-+=. （2）由12111z z z =+，得1212z z z z z ⋅=+，()()446212235i z i i i -===-+++. 19．（1）144； （2）270. 【分析】（1）先排个位数，方法数有13C 种，然后排千位数，方法数有14C 种，剩下百位和十位任意排，方法数有24A 种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数.（2）有三类，第一类是千位是2,3,4,5中任意一个的、第二类是千位是1，且百位是4,5中的一个的、第三类是千位是1，且百位是3和十位是3,4,5中的一个的.把这三种情况的种类数相加，即可求得结果. 【详解】（1）121443144C A C =个.（2）131211452423···270AA A A A A ++=个. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，主要是数字的排列.要注意的问题主要是有特殊条件或者特殊要求的，要先排特殊位置或优先考虑特殊要求.如本题中，第一问要求是奇数，那么就先排个位.由于数字的首位不能为零，故第二考虑的是千位.本小题属于基础题. 20．（1）答案见解析；（2）列联表答案见解析；（3）有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 【分析】（1）由茎叶图，说明30位亲属中50岁及以上、50岁以下的饮食分布情况即可；（2）根据茎叶图填写22⨯列联表即可；（3）由题意，求随机变量2K 的观测值k ，并与参考值作比较，即可判断. 【详解】（1）由茎叶图，知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食以肉类为主.（2）22⨯列联表如下所示：（2）(,5]-∞ x 的值），将函从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，则问()min x ，由（1）可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，()15f x ≤得83x -≤<-； ()15f x ≤得32x -≤<； ()15f x ≤得27x -<≤. 的解集为[]8,7-.()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，)()235x --+=，当且仅当32x -≤≤取等号， 2时，()f x 取得最小值5， ()2x f x +取得最小值5，(],5-∞.()2x x a =-+，则()()max 0g x g a ==，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.。

第 1 页 共 16 页 黑龙江省数学高二（重点班）下学期理数期末考试试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 单选题 (共12题；共24分) 1. （2分） (2020高三上·长春月考) 已知集合 则集合 的元素个数有（ ）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 2. （2分） (2017·南昌模拟) 下列命题中： ①“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定； ②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题； ③命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ） A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个 3. （2分） (2020高二下·湖州月考) 汽车上有10名乘客，沿途有5个车站.则乘客不同的下车方法有（ ）种.

A . B . 第 2 页 共 16 页

C . D . 4. （2分） 若不等式成立的充分条件是 ， 则实数a的取值范围是（ ） A . B . C . D . 5. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 下列结论正确的是（ ） ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．

A . ①② B . ①②③ C . ①②④ D . ①②③④

6. （2分） 在极坐标系中，过点(-3, -)且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ） A . B . C . D . 7. （2分） (2017·衡阳模拟) 已知定义在R上的函数f（x）周期为T（常数），则命题“∀x∈R，f（x）=f（x+T）”的否定是（ ） 第 3 页 共 16 页

A . ∃x∈R，f（x）≠f（x+T） B . ∀x∈R，f（x）≠f（x+T） C . ∀x∈R，f（x）=f（x+T） D . ∃x∈R，f（x）=f（x+T） 8. （2分） (2020高一下·天津期末) 一个袋子中装有大小和质地相同的3个红球和2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中红球和白球各有1个的概率为（ ）

哈三中2018-2019学年度下学期高二学年第一模块考试数学(理)试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设命题n n N n p 2,:2>∈∃，则¬p 为A ．n n N n 2,2>∈∀B ．n n N n 2,2≤∈∃C ．n n N n 2,2≤∈∀D ．n n N n 2,2=∈∃ 2．“21<<x ”是“2<x ”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 复数i m m m m )3()6522-++-（是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m 的值是 A ．3 B ．2 C ．2或3 D ．0或2或34．用反证法证明命题:“已知*∈N y x ,，如果xy 可被7整除，那么y x ,至少有一个能7 整除”时，假设的内容是A ．y x ,都不能被7整除B ．y x ,都能被7整除C ．y x ,只有一个能被7整除D ．只有x 不能被7整除5．设a ，b 为实数，若复数1+2i 1i i a b =++，其中i 是虚数单位，则 A ．31,22a b == B ．3,1a b == C ．13,22a b ==D ．1,3a b == 6 . 如果命题“p ∧q ”是假命题，“¬p ”是真命题，那么 A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可以是真命题也可以是假命题 7.dx e e x x ⎰-+10)(= A ．e e 1+B ．2eC ．e 2D ．ee 1- 8. 函数]2,2[,sin )(ππ-∈-=x x x x f 的最大值是 A ．21π+- B ．2π C. 2π- D. 21π- 9. 已知命题“若函数mx e x f x -=)(在()0,+∞上是增函数，则1≤m ”，则下列结论确的是 A ．否命题是“若函数mx e x f x -=)(在()0,+∞上是减函数，则1m >”，是真命题B ．逆命题是“若1≤m ，则函数mx e x f x -=)(在()0,+∞上是增函数”，是假命题C ．逆否命题是“若1m >，则函数mx e x f x -=)(在()0,+∞上是减函数”，是真命题D ．逆否命题是“若1m >，则函数mx e x f x -=)(在()0,+∞上不是增函数”，是真命题10. 函数xe tx x xf )()(2+=（实数t 为常数，且t <0）的图象大致是 A ． B ．C ．D ．11.如下分组正整数对:第一组为{},)1,2(),2,1(第二组为{},)1,3(),3,1(第三组为{},)1,4(),2,3(),3,2(),4,1(第四组为{},)1,5(),2,4(),4,2(),5,1(依此规律.则第30组第20个数对是A ．)20,12(B ．)10,20( C. )11,21( D. )12,20(12. 设函数)(x f 是定义在),1(+∞-上的连续函数，且在0=x 处存在导数，若函数)(x f 及其导函数)(x f '满足1)()1ln()(+-=+'x x f x x x f ，则函数)(x f A. 既有极大值又有极小值 B. 有极大值 ，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 既无极大值也无极小值第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 给定两个命题p ，q ，若p ⌝是q 的必要不充分条件，则p 是q ⌝的________条件．14. 曲线2x x y -=和x x y -=2所围成的封闭图形的面积是_______.15. 甲乙丙丁四人参加某项比赛,只有一人获奖,甲说:是乙或丙获奖,乙说:甲丙都未获奖,丙说:我获奖了,丁说:是乙获奖,已知四人中有且只有一人说了假话,则获奖人为________． 16. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=1,21211,ln 1x x x x x f ,若21x x ≠，且2)()(21=+x f x f ，则21x x +的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. (本小题满分10分)已知函数()89323-++-=x x x x f . （1）求函数()f x 的极值；（2）若[]0,3-∈x 时，()12-+<c c x f 恒成立，求实数c 的取值范围.18. (本小题满分12分)（1）求证：1532+>；（2）设b a ，均为正实数，求证：221122≥++ab b a19. (本小题满分12分)已知数列}{n a 满足).(31,011*+∈-+==N n a a a a nn n 且 (1) 求432,,a a a 的值并依此猜想数列}{n a 的通项公式;(2) 用数学归纳法证明你的结论.20. (本小题满分12分)近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯．假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系式:a R a x x x a y ,,62,)6(422∈<<-+-=为常数．已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件．（1）求实数a 的值；（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大．（结果保留一位小数）21. (本小题满分12分) 已知.ln 221)(2）（R a x x ax x f ∈-+= （1）讨论函数)(x f 的单调性；（2）若),1[,4)(2)(+∞∈--=x ax x f x g 的最大值为0,求实数a 的取值范围.22. (本小题满分12分)已知函数R m me x x f x ∈--=+,1)(1.（1）若直线3-=y 为函数()f x 的一条切线,求实数m 的值；（2）讨论函数()f x 的零点的个数.哈三中2018-2019学年度下学期高二学年第一模块考试数学(理)答案一. 选择题CABAA DDADB CC二. 填空题13.充分不必要 14. 31 15.乙 16. ),2ln 23[+∞- 三.解答题17.(1)极小值为 13)1(-=-f 极大值为19)3(=f(2)5-<c 或4>c 18.略19.(1) 数列11,53,21,21432+-====n n a a a a n (2)略20. (1)10=a (2) 3.321.(1) 当1-≤a 时,)(x f 在),0(+∞上单调递减; 当01<<-a 时,)(x f 在),211(),211,0(+∞+--++-aa a a 上单调递减, 在)211,211(a a a a +--++-上单调递增; 当0=a 时,)(x f 在21,0(上单调递减,在),21(+∞上单调递增; 当0>a 时,)(x f 在)211,0(a a ++-上单调递减, 在),211(+∞++-a a 上单调递增; (2) 2-≤a 时22.(1)1=m (2) 当0≤m 或31em =时,)(x f 有1个零点;当310e m <<时,)(x f 有2个零点; 当31e m >时,)(x f 没有零点.。

一、选择题1．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(A 、ω、ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()220f f f -<<B ．()()()220f f f <-<C ．()()()202f f f -<<D ．()()()022f f f <-<2．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=3．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解 D ．可能有无数个解4．已知3sin 34x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．18-B ．12-C ．18D ．125．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 6．若将函数1()cos 22f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)12πB ．(,0)6πC ．(,0)3πD ．(,0)2π7．已知a R ∈，则“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．在ABC ∆中,已知sin 2sin()cos C B C B =+,那么ABC ∆一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形9．设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．610．扇形OAB 的半径为1，圆心角为120°，P 是弧AB 上的动点，则AP BP ⋅的最小值为（ ） A ．12B ．0C ．12-D ．2-11．已知5sin 5α=，则44sin cos αα-的值为 A ．35B ．15-C ．15D ．3512．已知函数2()3sin cos cos f x x x x =+，则（ ） A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称B ．()f x 的最大值为2C ．()f x 的最小值为1-D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称13．已知tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则sin 2α=（ ） A ．310 B ．35C ．65-D ．125-14．如图，在ABC ∆中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若,AB a AC b ==,则AO =（ ）A ．1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．1144a b + 15．设000020132tan151cos50cos 2sin 2,,221tan 152a b c -=-==+，则有（ ） A ．c a b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、填空题16．已知|a|=1，()b=13，，()b a a -⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_______________. 17．设tan α、tan β是方程2320x x -+=的两个根，则()tan αβ+=________________.18．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别边,,a b c ，若224a b ab ++=，2c =，则2a b +的取值范围是_____．20．点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点，1AP =，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围为___.21．已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=，(2,1)c =．若//(2)c a b +，则λ=________． 22．实数x ，y 满足223412x y +=，则23x y +的最大值______．23．在平行四边形ABCD 中，E 为线段BC 的中点，若AB AE AD λμ=+，则λμ+=__________．24．计算：2tan81tan8ππ=- __________．25．已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈，则x y + 的最大值是__________．三、解答题26．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+，1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y n x yb x x xn x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑，a y b x =-⋅(计算a b ，时精确到0.01).27．已知函数1()2sin ,36f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.（1）求()0f 的值； （2）设10,0,,3,2213f ππαβα⎡⎤⎛⎫∈+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()6325f βπ+=，求()sin αβ+ 的值. 28．假设关于某设备的使用年限x 和支出的维修费y (万元)有如下表的统计资料(1)画出数据的散点图，并判断y 与x 是否呈线性相关关系(2)若y 与x 呈线性相关关系，求线性回归方程y b x a ∧∧∧=+的回归系数a ∧，b ∧(3)估计使用年限为10年时，维修费用是多少? 参考公式及相关数据:2122111ˆ,,90,112.3ni in ni i i i ni i ii x y nxyb ay bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 29．在顺次连接的平行四边形ABCD 中，已知点()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．()1求点C 的坐标；()2设线段BD 的中点为E ，直线l 过E 且垂直于CD ，求l 的方程．30．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈. （1）求证：函数()cos3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．A3．B4．C5．A6．A7．B8．C9．C10．C11．A12．A13．B14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模17．【解析】【分析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值然后利用两角和的正切公式计算可求出的值【详解】由二次方程根与系数的关系得出因此故答案为【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用同时也考查了二次方程根18．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力19．【解析】【分析】先根据余弦定理求C再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题20．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+221．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件22．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy23．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则24．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：25．【解析】延长AO与BC相交于点D作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB∥AC设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC三点共线∴∴只需最小就能使x+y最大∴当OD最小即可过点O作OM⊥BC于点M从而三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω=2ππ=2．又∵当x=23π 时，函数f （x ）取得最小值， ∴2×23π +φ=2kπ+32π ，k ∈Z ，可解得：φ=2kπ+6π，k ∈Z ， ∴f （x ）=Asin （2x+2kπ+6π）=Asin （2x+6π）． ∴f （﹣2）=Asin （﹣4+6π）=Asin （6π﹣4+2π）＞0． f （2）=Asin （4+6π）＜0， f （0）=Asin 6π=Asin 56π＞0， 又∵32π＞6π﹣4+2π＞56π＞2π，而f （x ）=Asinx 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选：B ．2．A解析：A 【解析】 【分析】先求出直线经过的定点，再求出弦AB 最短时直线l 的方程. 【详解】由题得1210(21)(1)0,,2101x x m x y y y ⎧-==⎧⎪-+-=∴∴⎨⎨-=⎩⎪=⎩，所以直线l 过定点P112（，）.当CP ⊥l 时，弦AB 最短. 由题得2112,1202CP l k k -==-∴=-, 所以112,24m m -=∴=-. 所以直线l 的方程为2430x y -+=.故选：A 【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.4．C解析：C 【解析】 【分析】分析题目，2222333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到角的关系，利用诱导公式和二倍角公式计算即可 【详解】3sin 34x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2cos 2cos 2cos 2333x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22231cos 2cos 212sin 1233348x x x πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--=--=---=--⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦选C 【点睛】本题考查利用二倍角公式和诱导公式求三角函数值，发现角的关系是解题关键5．A解析：A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.6．A解析：A 【解析】 【分析】 通过平移得到1cos(2)23y x π=+，即可求得函数的对称中心的坐标，得到答案. 【详解】向左平移6π个单位长度后得到1cos 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则其对称中心为(),0122k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,或将选项进行逐个验证,选A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】 先化简“cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭”，再利用充要条件的定义判断. 【详解】 因为cos 02πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以-sin 0,sin 0,ααα>∴<∴是第三、四象限和y 轴负半轴上的角.α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角不能推出α是第三象限角，α是第三象限角一定能推出α是第三、四象限和y 轴负半轴上的角，所以“cos 02πα⎛⎫+>⎪⎝⎭”是“α是第三象限角”的必要非充分条件. 故答案为：B. 【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据三角形内角和及两角和的正弦公式化简，利用三角函数性质求解. 【详解】在ABC ∆中,由()sin 2sin cos C B C B =+可得sin()2sin cos A B A B +=,化简sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=,即in 0()s A B -=，由0,0A B ππ<<<<知A B ππ-<-<，所以0A B -=,故选C.【点睛】本题考查了三角形中内角和定理及两角和差的正弦公式的应用，属于中档题.解题的关键是对三角恒等式的变形.9．C解析：C 【解析】 【分析】 根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+, NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.本题考查了平面向量的运算,数量积的运用,考查了数形结合的思想,关键是向量的分解,表示.考点：向量运算.10．C解析：C 【解析】 【分析】首先以OA 与OB 作为一组向量基底来表示AP 和BP ，然后可得()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+，讨论OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，进一步可得AP BP ⋅有最小值12-.【详解】 由题意得AP OP OA =-, BP OP OB =-， 所以()()()()2AP BP OP OA OP OB OPOA OB OP OA OB ⋅=-⋅-=+⋅-⋅+()()11122OP OA OB OP OA OB =--⋅+=-⋅+因为圆心角为120°，所以由平行四边形法则易得1OA OB +=，所以当OP 与OA OB +共线同向时，()OP OA OB ⋅+有最大值为1，此时()12AP BP OP OA OB ⋅=-⋅+有最小值12-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，选择合适的基底表示相关的向量是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．A解析：A 【解析】44sin cos αα-()()2222sin cos sin cos αααα=-+22sin cos αα=-22sin 1α=-35=-，故选A.点睛：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的，用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论.12．A解析：A 【解析】 【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解． 【详解】 由题意，函数2111()cos cos 2cos 2sin(2)22262f x x x x x x x π=+=++=++，当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，11()sin(2)6126222f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．B解析：B 【解析】 【分析】根据tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得tan 3α=，2222sin cos 2tan sin 2sin cos tan 1ααααααα==++即可求解.【详解】 由题：tan 24πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， tan 121tan αα+=--，解得tan 3α=，2222sin cos 2tan 63sin 2sin cos tan 1105ααααααα====++.故选：B 【点睛】此题考查三角恒等变换，涉及二倍角公式与同角三角函数的关系，合理构造齐次式可以降低解题难度.14．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】分析：利用向量的共线定理、平行四边形法则即可得出． 详解：∵在ABC ∆中，BE 是AC 边上的中线 ∴12AE AC =∵O 是BE 边的中点 ∴1()2AO AB AE =+ ∴1124AO AB AC =+ ∵,AB a AC b == ∴1124AO a b =+ 故选B.点睛：本题考查了平面向量的基本定理的应用.在解答此类问题时，熟练掌握向量的共线定理、平行四边形法则是解题的关键．15．A解析：A 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简a ，分子分母同乘以2cos 15结合二倍角的正弦公式化简b ，利用降幂公式化简c ，从而可得结果. 【详解】()sin 302sin28a =︒-︒=︒ ，222sin15cos15sin 30cos 15cos 15b ==+sin28a >=sin25sin28,c a b a c ==︒<︒=∴>>，故选A.【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，两角差的正弦公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】由条件利用两个向量垂直的性质两个向量的数量积的定义求得向量与向量的夹角的余弦值可得向量与向量的夹角的值【详解】由题意可得即为向量与向量的夹角）求得故答案为【点睛】本题主要考查向量的模解析：3π【解析】 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义，求得向量a 与向量b 的夹角的余弦值,可得向量a 与向量b 的夹角的值. 【详解】由题意可得()1,132,0a b b a a ==+=-⋅=，即2a b a ⋅=,12cos 1(θθ∴⨯⨯=为向量a 与向量b 的夹角），求得1cos ,23πθθ=∴=，故答案为3π.【点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.17．【解析】【分析】利用二次方程根与系数的关系得出和的值然后利用两角和的正切公式计算可求出的值【详解】由二次方程根与系数的关系得出因此故答案为【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用同时也考查了二次方程根解析：3-. 【解析】 【分析】利用二次方程根与系数的关系得出tan tan αβ+和tan tan αβ的值，然后利用两角和的正切公式计算可求出()tan αβ+的值. 【详解】由二次方程根与系数的关系得出tan tan 3αβ+=，tan tan 2αβ=， 因此，()tan tan 3tan 31tan tan 12αβαβαβ++===---，故答案为3-.【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，同时也考查了二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于中等题.18．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力解析：2【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可．【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 7ο==【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．19．【解析】【分析】先根据余弦定理求C 再根据正弦定理化为角的函数关系式最后根据正弦函数性质求结果【详解】又因此故答案为【点睛】本题考查余弦定理正弦定理以及正弦函数性质考查综合分析求解能力属中档题 解析：(2,4)【解析】 【分析】先根据余弦定理求C,再根据正弦定理化2a b +为角的函数关系式，最后根据正弦函数性质求结果. 【详解】224a b ab ++=，2c =，222a b ab c ∴++=，∴ 222122a b c ab +-=-，1cos 2C ∴=-，又0C π<<，23C π∴=，因此)sin sin 222sin sin sin sin 3c A c B a b A B C C +=⨯+=+2sin sin ?4sin 336A A A ππ⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 03A π<<，∴662A πππ<+<，∴1sin 126A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭， 224a b <+< 故答案为()2,4． 【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.20．(【解析】【分析】根据题意可知λμ＞0根据条件对λμ两边平方进行数量积的运算化简利用三角代换以及两角和与差的三角函数从而便可得出λμ的最大值【详解】解：依题意知λ＞0μ＞0；根据条件12＝λ22+2解析：(1,22] 【解析】 【分析】根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对AP =λAB +μAD 两边平方，进行数量积的运算化简，利用三角代换以及两角和与差的三角函数，从而便可得出λ+μ的最大值． 【详解】解：依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，1AP =2＝λ2AB 2+2λμAB •AD +μ2AD 2＝4λ2+4μ2．令λ12cos θ=，μ＝12sin θ,θ0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴λ+μ＝12cos θ12+sin θ＝2sin （θ4π+）；θ3,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, sin （θ4π+）∈(,12]∴λμ+的取值范围为(12故答案为（12． 【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及辅助角公式，三角代换的应用，考查转化思想以及计算能力．21．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件 解析：2-【解析】 【分析】首先由,a b 的坐标，利用向量的坐标运算可得2(4,4)a b λ+=+，接下来由向量平行的坐标运算可得412(4)λ⨯=+，求解即可得结果. 【详解】因为(1,2),(2,)a b λ==，所以2(4,4)a b λ+=+， 因为(2)c a b +，(2,1)c =， 所以412(4)λ⨯=+，解得2λ=-， 即答案为2-.【点睛】该题是一道关于向量平行的题目，关键是掌握向量平行的条件.22．【解析】分析：根据题意设则有进而分析可得由三角函数的性质分析可得答案详解：根据题意实数xy 满足即设则又由则即的最大值5；故答案为：5点睛：本题考查三角函数的化简求值关键是用三角函数表示xy解析：【解析】分析：根据题意，设2cos x θ=，y θ=，则有24cos 3sin x θθ+=+，进而分析可得()25sin x θα+=+，由三角函数的性质分析可得答案．详解：根据题意，实数x ，y 满足223412x y +=，即22143x y +=，设2cos x θ=，y θ=，则()24cos 3sin 5sin x θθθα=+=+，3tan 4α⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又由()15sin 1θα-≤+≤，则525x -≤≤，即2x +的最大值5； 故答案为：5．点睛：本题考查三角函数的化简求值，关键是用三角函数表示x 、y ．23．【解析】分析：先根据三角形法则化为再根据分解唯一性求即得详解：因为所以因为不共线所以点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若为不共线向量则解析：12. 【解析】分析：先根据三角形法则化AE 为12AB AD +，再根据分解唯一性求λμ，，即得.λμ+ 详解：因为12AE AB AD =+，所以2AB AB AD λλμ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭, 因为,AB AD 不共线，所以111=1+=0=-,+=.222λλμμλμ∴， 点睛：利用向量基本定理中唯一性可求参数：即若,a b 为不共线向量，1122+y +y c x a b x a b ==，则1212y =y .x x =，24．【解析】根据正切公式的二倍角公式得到故答案为：解析：12【解析】根据正切公式的二倍角公式得到22tan 8tantan 21481tan 8ππππ=⨯==-，2tan1821tan 8ππ=-. 故答案为：12. 25．【解析】延长AO 与BC 相交于点D 作OA1∥DA2∥ABOB1∥DB ∥AC 设(m>0n>0)易知x>0y>0则∴又BDC 三点共线∴∴只需最小就能使x+y 最大∴当OD 最小即可过点O 作OM ⊥BC 于点M 从而解析：58【解析】延长AO 与BC 相交于点D ,作OA 1∥DA 2∥AB ,OB 1∥DB ∥AC ，设AD mAB nAC =+ (m >0,n >0)，易知x >0，y >0， 则m n AD x y AO==， ∴AD ADAD x AB y AC AO AO=⋅⋅+⋅⋅， 又B , D , C 三点共线,∴1AD ADx y AO AO⋅+⋅=， ∴11AO x y OD AD AO+==+，只需ODAO最小，就能使x +y 最大， ∴当OD 最小即可，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，从而OD ⩾OM ， 又∠BOM =∠BAC =θ,由4tan 3A =得3cos 5OM OB θ==，∴OM =3， 那么153815x y+=+.故答案为58.三、解答题 26．（1）14；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ， 由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种 他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P == (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i i i i i x y x y b x x ==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑ 850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.27．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）直接带入求值；（2）将和直接带入函数，会得到和的值， 然后根据的值． 试题解析：解：（1）（2）考点：三角函数求值28．（1）见解析；（2）0.08a =， 1.23b =；（3）12.38万元【解析】【分析】（1）在坐标系中画出5个离散的点；（2）利用最小二乘法求出 1.23b =，再利用回归直线过散点图的中心，求出0.08a =； （3）将10x =代入（2）中的回归直线方程，求得12.38y =.【详解】（1）散点图如下：所以从散点图年，它们具有线性相关关系.（2）2345645x ++++==， 2.2 3.8 5.5 6.57.055y ++++==， 于是有2112.354512.3 1.23905410b -⨯⨯===-⨯， 51,2340.08a y bx =-=-⨯=.（3）回归直线方程是 1.230.08,y x =+当10x =时， 1.23100.0812.38y =⨯+=（万元），即估计使用年限为10年时，维修费用是12.38万元.【点睛】本题考查散点图的作法、最小二乘法求回归直线方程及利用回归直线预报当10x =时，y 的值，考查数据处理能力.29．（1）()3,2；（2）6270x y +-=【解析】【分析】()1设(),C x y ，由AD BC =，能求出点C 的坐标．()2设线段BD 的中点为E ，则11,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出13CD k =，则3l k =-，由此能求出l 的方程．【详解】() 1设(),C x y ，在顺次连接的平行四边形ABCD 中，点()1,1A --，()2,0B ，()0,1D ．AD BC ∴=，即()()1,22,x y =-，解得3x =，2y =，∴点C 的坐标()3,2．()2设线段BD 的中点为E ，则11,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 121033CD k -==-， 直线l 过E 且垂直于CD ，3l k ∴=-， l ∴的方程为()1312y x -=--，即6270x y +-=． 【点睛】本题考查构成平行四边形满足的条件，考查直线方程的求法，结合了向量的基础知识及基本运算，是基础题．30．（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】【分析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数； （3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】（1）()()()()()2112coscos cos cos 333333x x x x f x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()112cos cos cos 1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+-∴()cos 3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数.证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+.所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确.如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()()()21h x h x h x +=+-∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p = ∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时 ()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 【点睛】此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。