黑龙江省哈三中2020_2021学年高二数学上学期10月阶段性测试试题文扫描版

黑龙江省哈尔滨市杨树第三中学2021年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 掷一个骰子向上的点数为3的倍数的概率是（）A. B.C. D.参考答案：D略2. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（－4,1） B．（－1,4） C．（－∞,－1）∪（4,+∞） D．（－∞,0）∪（3,+∞）参考答案：C3. 等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则的值为（）（A）3 （B）（C） （D）以上均错参考答案：C略4. 抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A．（1，1） B．（）C． D．（2，4）参考答案：A 略5. 记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=( )A．2 B．3 C．6 D．7参考答案：B【考点】等差数列的性质．【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得．【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，联立解得a1=﹣1，d=3，故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．6. （2016?安庆三模）已知函数f（x）=log2x，在区间[1，4]上随机取一个数x，使得f（x）的值介于﹣1到1之间的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】以长度为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由﹣1≤log2x≤1，得，而的区间长为1，区间[1，4]长度为3，所以所求概率为．故选A．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的性质是解决本题的关键．7. 已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的圆心坐标为（）．A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－1，－2) D．(1，2)参考答案：C8. 曲线3x2－y＋6=0在x=－处的切线的倾斜角是A. B.－ C.π D.－π参考答案：C略9. 抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.参考答案：B略10. 已知＜4，则曲线和有（）A. 相同的准线B. 相同的焦点C. 相同的离心率D. 相同的长轴参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数(图象如图所示，则的值是。

2020~2021学年度高二(上)十月检测数学试卷(本卷满分:150分,考试时间:120分钟)一选择题(本题共8道小题,每小题5分,共40分)1已知a 为锐角, 33sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos α=- C.12 12-2在ABC 中,60A ︒∠=, 2AB =,且ABC ,则AC 的长为()B.1D.2 3.过点()3,4P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为A,B,则||AB =().5A .5B - 4.已知过点()2,1P 有且仅有一条直线与圆222:2210x y ax ay a a +-+++-=相切,则a =A.-1B.-2C.1或2D.-1或-2 5.由直线30x y ++=上一点P 向圆()()22:231C x y -++=引切线,则切线长的最小值为() A.14 B.13 C.12 D.16.在直角坐标平面内,已知()1,0A -,()1,0B 以及动点C 是ABC 的三个顶点,且0sinAsinB cosC +=,则动点C 的轨迹的离心率是()7已知直线()0y kx k =≠与双曲线22221 (0,0y a b bx a -=>>）交于A ､B 两点,以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F,若ABF 的面积为4a 2,则双曲线的离心率为()C.2 8.已知圆()2229x y -+=的圆心为C,过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A ､B 两点,点A 在点M与点B 之间,过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P,则点P 的轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分二､多选题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)9.若()1101cos α︒=,则α的一个可能值为() A.130︒ B.220°C.40°D.320︒ 10.已知点()1,1A 和点()4,4B ,P 是直线10x y -+=上的一点,则||||PA PB +的可能取值是()A. D.11.已知椭圆22221 (0)x y a b a b+=>>的离心率为e, 12F F 、分别为椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角,则满足条件的一个e 的值()A.23B.34C.2D.212.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 是空间中任意一点,下列命题正确的有().A.若P 为棱1CC 中点,则异面直线AP 与CDB.若P 在线段A 1B 上运动,则1AP PD +C.若p 在半圆弧CD 上运动,当三棱锥P ABC -体积最大时,三棱锥P ABC -外接球的表面积为2πD.若过点P 的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为4. 二､填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.当实数a ､b 变化时,两直线()()()1:20l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点,则点(),m n 所在曲线的方程为_____.14.若关于x 的方程212x kx -=-有解,则实数k 的取值范围是____.15.若角α的终边落在直线0x y +=上,则21sin sin αα+=-____. 16.已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA,PB,PC 两两互相垂直,且2PA PB PC ===,则三棱锥P-ABC 的外接球与内切球的半径比为____.四､解答题(本题共6小题共70分)17.(满分10分)已知2tan α=,求:(1)2sin cos sin cos αααα+- ; (2)2212sin sin cos cos αααα+-.18.(满分12分)求分别满足下列条件的直线l 的方程:(1)已知点()2,1P ,l 过点()1,3A ,P 到l 距离为1;(2)l 过点()2,1P 且在x 轴,y 轴上截距的绝对值相等.19.(满分12分)在ABC 中,角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c,且202A sinA +=, (1)求角A 的大小;(2)已知ABC 外接圆半径R =C A =求ABC 的周长.20·(满分12分)如图.在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,且2AB = ,3AD = ,PA =//AD BC ,AB BC ⊥,45ADC ︒∠=.(1)求异面直线PC 与AD 所成角的余弦值;(2)求点A 到平面PCD 的距离.21.(满分12分)如图,某海面上有O ､A ､B 三个小岛(面积大小忽略不计),A 岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛,B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点,O 的正东方向为x 轴的正方向,1千米为单位长度,建立平面直角坐标系圆C 经过O ､A ､B 三点.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 区域内有未知暗礁,现有一船D 在O 岛的南偏西30︒方向距O 岛40千米处, 正沿着北偏东45︒行驶,若不改变方向, 试问该船有没有触礁的危险?22.(满分12分)已知椭圆()222:11x C y a a+=>,直线):l x ty t =∈R 与x 轴的交点为P,与椭圆C 交于M ､N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)证明: 2211||||PM PN 是定值.。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2021学年高二数学上学期10月份阶段性总结试题 文（含解析）一、选择题：（每题5分，共60分）1.双曲线2213x y -=的焦距是（）B. 2C. 4D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程已知23a =，21b =，结合222c a b =+可得结果.【详解】在双曲线2213x y -=中，23a =，21b =，∴2224c a b =+=， 即焦距为24c =，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线中,,a b c 之间的关系以及焦距的概念，属于基础题.2.已知椭圆()2221025x y m m+=>的右焦点为()4,0F ,则m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B 【解析】 【分析】求出椭圆的a ，b ，c 4=，即可得到m 的值．【详解】椭圆222125x y m+=的5a =，b m =，c =由题意可得4=，解得3m =，故选B ．【点睛】本题考查椭圆的焦点的运用，考查椭圆的方程和运用，注意椭圆的a ，b ，c 的关系，考查运算能力，属于基础题．3.抛物线28y x =的焦点坐标是（ ） A. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭C. ()0,2D. ()0,4【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，即可得出结果. 【详解】抛物线的标准方程为218x y =，焦点坐标为1032⎛⎫⎪⎝⎭，，故选A. 【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.4.已知双曲线22143y x -=,则焦点到渐近线的距离为（）A. 4B.C. 2【答案】D 【解析】 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【详解】在双曲线22143y x -=中，焦点在y 轴上，2a =，b =c =其焦点坐标为(0,，渐近线方程为y x =，即20x =，所以焦点到其渐近线的距离d ==，故选D.．【点睛】本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．5.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A. y x =±B. y =C. 12y x =±D. 2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的实轴长求出a ，然后求解渐近线方程即可．【详解】双曲线的实轴长为2，得1a =，又1b =，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查渐近线方程，属于基础题．6.曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的（ ）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等【答案】C 【解析】 【分析】可以判断出两个曲线的类型，然后求出它们的焦距，这样可以选出正确的答案.【详解】曲线221169x y +=表示椭圆，焦距为2c ==，当916k <<时，曲线221169x y k k+=--表示双曲线，焦距为2c ===，故两条曲线焦距相等,故本题选C.【点睛】本题考查了通过曲线方程识别曲线的能力，考查了椭圆与双曲线方程中，,,a b c 之间的关系.7.已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A. 20 B. 16C. 18D. 14【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆方程求得,a c ，然后根据椭圆的定义求得三角形的周长.【详解】根据椭圆方程可知5,4a c ==，根据椭圆的定义可知，12PF F ∆的周长为2210818a c +=+=，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，属于基础题.8.已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上一点P 满足4PF =，则OPF ∆的面积为（ ）A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义求得P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，由此计算出三角形的面积.【详解】依题意抛物线的焦点为()1,0F ，设P 点横坐标为0x ，根据抛物线的定义可知，014x PF +==，所以03x =，代入抛物线方程得24312,y y =⨯==±所以三角形OPF 的面积为112⨯⨯=【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和标准方程，考查抛物线上点的坐标的求法，属于基础题.9.设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ）A. 24x y = B. 22x y =C. 24y x =D. 22y x =【答案】A 【解析】 【分析】由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案。

黑龙江省高二数学上学期10月月考试题 文（含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.下列语句中不是命题的有（ ）①230x -=；②与一条直线相交的两直线平行吗？③315+=；④536x ->． A. ①③④ B. ①②③C. ①②④D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

②是疑问句，①④无法判断真假。

【详解】由题，②是疑问句，故不是命题； ①④是陈述句，但无法判断真假，故不是命题；③是陈述句，且可以得到315+≠，该语句不正确，即可以判断真假，故是命题； 故选C【点睛】本题考查对命题定义的理解，先判定是陈述句，再判定是否可以判断真假。

2.命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B ”的否命题是( ) A. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ≠B B. 若A ∩B ＝B ，则A ∪B ＝A C. 若A ∩B ≠B ，则A ∪B ≠A D. 若A ∪B ≠A ，则A ∩B ＝B 【答案】A 【解析】根据命题“若p ，则q ”的否命题为“若非p ，则非q ”可得“若A B A ⋃=，则A B B ⋂=”的否命题为“若A B A ⋃≠，则A B B ⋂≠”，故选A.3.双曲线2239x y -=的焦距为（ ）B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把双曲线方程化为标准方程，得到22193x y -=，根据a 、b 、c 的关系求得焦距【详解】由题意，双曲线的标准方程为22193x y -=，则29a =，23b =，22212c a b ∴=+=∴c =，∴焦距为2c =故选D【点睛】本题考查求双曲线的焦距，解题时需注意要在双曲线标准方程下找到a 、b4.设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ） A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙是甲的充要条件D. 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，要找到丙是甲的什么条件，就观察丙能不能推出甲，甲能不能推出丙即可，利用中间与乙的关系来分析【详解】甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙⇒甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙⇒乙，乙⇒丙，显然丙⇒甲，甲⇒丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的知识，需掌握充分及必要条件与命题之间的联系。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设有直线y＝k（x﹣3）+1，当k变动时，所有直线都经过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝x B．y＝±2x C．y＝2x D．y＝﹣2x3．无论θ为何值，方程x2+3cosθ•y2＝1所表示的曲线不可能为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆4．设实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．2D．35．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，两曲线的一个公共点为点P，且满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝3：4：6，则的值为（）A．3B．C．7D．6．已知P为抛物线x＝上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（3，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．B．3C．4D．57．已知椭圆+（a＞b＞0），点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M（2，1），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）9．若直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（）B．（C．（0，）D．（10．已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（）A．B．C．1D．211．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．912．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为，P为椭圆上的一点，∠F1PF2＝，设△F1PF2的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的比值为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题（共4小题）.13．动圆M过点（0，﹣1）且与直线y＝1相切，则圆心M的轨迹方程为．14．若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，则实数m＝．15．椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P为曲线C上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2＝．16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．已知行车道总宽度|AB|＝7（m），则车辆通过隧道的限制高度为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，一条渐近线方程为y＝x．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C相交于不同两点，求实数k的取值范围．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0关于直线l1：2x+y﹣5＝0对称的图形为圆C．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点P（2，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的斜率．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆的上顶点为B，过点（﹣2，﹣1）作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的斜率分别为k MB，k NB，试判断k MB+k NB是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．22．（12分）已知过原点的三条直线与抛物线E1：y2＝4x依次交于A1，B1，C1三点，同样这三条直线与抛物线E2：y2＝x依次交于A2，B2，C2三点．（Ⅰ）试判断直线A1B1与A2B2的位置关系，并证明；（Ⅱ）试判断△A1B1C1与△A2B2C2的面积比是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设有直线y＝k（x﹣3）+1，当k变动时，所有直线都经过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）解：当x＝3时，不论k为何值，y＝1，即过（3，1），故选：C．2．双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为（）A．y＝x B．y＝±2x C．y＝2x D．y＝﹣2x解：因为双曲线，所以双曲线的渐近线方程为，即y＝±2x．故选：B．3．无论θ为何值，方程x2+3cosθ•y2＝1所表示的曲线不可能为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆解：当cosθ＜0时，曲线是双曲线；cosθ＝时，曲线表示圆；当cosθ∈（0，1），cosθ时，曲线表示椭圆，cosθ＝0时，曲线表示两条直线，所以曲线不可能表示抛物线．故选：B．4．设实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．2D．3解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影部分所示：令k＝，得y＝kx，平移直线y＝kx，可得在A处k取得最大值；联立，解得点A（1，3），所以k的最大值为k＝＝3．故选：D．5．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左、右焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，两曲线的一个公共点为点P，且满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝3：4：6，则的值为（）A．3B．C．7D．解：由题意可得：．故选：D．6．已知P为抛物线x＝上任意一点，抛物线的焦点为F，点A（3，1）是平面内一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）A．B．3C．4D．5解：P为抛物线x＝，可知抛物线为：y2＝8x，点A（3，1）是平面内一点，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为3﹣（﹣2）＝5．故选：D．7．已知椭圆+（a＞b＞0），点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M（2，1），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵AB的中点为（2，1），∴x1+x2＝4，y1+y2＝2，∵PF∥l，∴k PF＝k l＝﹣＝．∵，，∴，则，得，∴2bc＝a2，即4c2（a2﹣c2）＝a4，化为：4e4﹣4e2+1＝0，解得e2＝，又0＜e＜1，∴e＝．故选：A．8．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）解：已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2＝＝≥4，∴e≥2，故选：B．9．若直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．（）B．（C．（0，）D．（解：由y＝kx+3﹣k知直线l过定点G（1，3），由曲线C：y＝，两边平方得x2+y2＝1，则曲线是以（0，0）为圆心，1为半径，且位于直线x轴上方的半圆，当直线过点A（﹣1，0）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时0＝﹣k+3﹣k，解得k＝，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，0）到直线y＝kx+3﹣k的距离d＝＝1，平方得k＝，要使直线l：y＝kx+3﹣k与曲线C：y＝恰有两个交点，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：B．10．已知抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点为F，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△MDF为等边三角形，则p的值为（）A．B．C．1D．2解：抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0），焦点为F（﹣，0），准线为l：x＝，M（﹣1，y0）是抛物线上一点，则y02＝2p，由题意可得D（，），由于△MFD为等边三角形，则有|MF|＝|MD|＝|FD|，即有1+＝2p，可得p＝．故选：A．11．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且|FA|•|FB|＝8，则|AB|＝（）A．6B．7C．8D．9解：抛物线y2＝4x，p＝2，抛物线的焦点坐标为F（1，0），设直线AB方程为y＝k（x﹣1），联立方程组，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝1，抛物线的准线方程为x＝﹣1，故|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴|FA||FB|＝（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2+1＝x1+x2+2＝8，∴|AB|＝|FA|+|FB|＝x1+x2+2＝8．故选：C．12．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，离心率为，P为椭圆上的一点，∠F1PF2＝，设△F1PF2的外接圆和内切圆半径分别为R，r，则的比值为（）A．2B．3C．4D．5解：椭圆的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，根据正弦定理可得2R＝＝，∴R＝，设＝t（t＞0），则r＝．设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mn cos＝（m+n）2﹣mn＝4a2﹣mn，∴mn＝4a2﹣4c2，∴＝，又（m+n+2c）•r＝，∴，即t＝．∴的比值为2．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13．动圆M过点（0，﹣1）且与直线y＝1相切，则圆心M的轨迹方程为x2＝﹣4y．解：设动圆圆心M（x，y），动圆M过点（0，﹣1）且与直线y＝1相切，可得：＝|1﹣y|，化简可得x2+4y＝0．则动圆圆心M的轨迹方程为：x2＝﹣4y．故答案为：x2＝﹣4y．14．若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，则实数m＝±3．解：圆x2+y2＝4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0，即（x﹣m）2+y2＝1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|＝2+1＝3，求得m＝±3，故答案为：±3．15．椭圆C：+＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P为曲线C上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2＝．解：由椭圆C：+＝1，可得：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x，y），y≠0，∵P在椭圆上，∴+＝1，得y2＝3（1﹣）＝3•，∴，则k1•k2＝k PA•k PB＝＝﹣，故答案为：．16．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．已知行车道总宽度|AB|＝7（m），则车辆通过隧道的限制高度为 4.05m．解：如右图，设抛物线的方程为x2＝ny（n＜0），将点（5，﹣5）代入抛物线的方程可得，25＝﹣5n，解得n＝﹣5，即抛物线的方程为x2＝﹣5y，令x＝3.5，可得3.52＝﹣5y，解得y＝﹣2.45，则通过隧道的车辆限制高度为7﹣2.45﹣0.5＝4.05（m）．故答案为：4.05m．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，一条渐近线方程为y＝x．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l：y＝k（x﹣1）与双曲线C相交于不同两点，求实数k的取值范围．解：（Ⅰ）由题意可得：，解得：，故双曲线方程为：．（Ⅱ）联立直线方程与双曲线方程整理可得：（3﹣4k2）x2+8kx﹣4k2﹣12＝0，满足题意时：，求解不等式组可得：﹣1＜k＜1且，即实数k的取值范围是．18．（12分）已知圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0关于直线l1：2x+y﹣5＝0对称的图形为圆C．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若过点P（2，1）的直线l与圆C交于A，B两点，当|AB|＝时，求直线l的斜率．解：（Ⅰ）由圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0，得（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，则圆心C1（4，2），设C（a，b），则，解得a＝0，b＝0．∴圆C的方程为x2+y2＝4；（Ⅱ）由题意，所求直线的斜率存在，设直线方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+1＝0，∵|AB|＝，∴圆C的圆心到直线的距离d＝，即，整理得，3k2﹣16k﹣9＝0，解得k＝．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的长轴长为6，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线y＝x+m与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值．解：（Ⅰ）根据题意可得，解得a＝3，c＝2，b＝，进而可得椭圆C的方程：+＝1．（Ⅱ）+＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），⇒14x2+18mx+9m2﹣45＝0．x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|AB|＝＝≤，当m＝0时，|AB|max＝．20．（12分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，M（3，t）是抛物线上一点，且|MF|＝4．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）直线l与抛物线C交于A，B两点，若•＝﹣4（O为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由．解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，则|MF|＝3+＝4，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝ny+t，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4ny﹣4t＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝﹣4t，由•＝+y1y2＝﹣4t＝﹣4，解得t＝2，则直线l的方程为x＝ny+2，直线l恒过定点（2，0）．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣，0），F2（，0），且过点（，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆的上顶点为B，过点（﹣2，﹣1）作直线交椭圆于M，N两点，记直线MB，NB的斜率分别为k MB，k NB，试判断k MB+k NB是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．解：（Ⅰ）由题意可得，解得，所以椭圆C的方程为+y2＝1．（Ⅱ）B（0，1），设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y+1＝k（x+2），与椭圆方程联立，消去y，得（1+4k2）x2+8k（2k﹣1）x+16k（k﹣1）＝0，由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，x1x2＝，则k MB+k NB＝+＝＝2k﹣＝2k+＝2k﹣（2k﹣1）＝1．22．（12分）已知过原点的三条直线与抛物线E1：y2＝4x依次交于A1，B1，C1三点，同样这三条直线与抛物线E2：y2＝x依次交于A2，B2，C2三点．（Ⅰ）试判断直线A1B1与A2B2的位置关系，并证明；（Ⅱ）试判断△A1B1C1与△A2B2C2的面积比是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：（Ⅰ）A1B1∥A2B2．证明：设三条直线y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，⇒A1（，），同理B1（，），⇒A2（，），同理B2（，），所以k＝k，即A1B1与A2B2平行．（Ⅱ）定值为16．理由如下：由（Ⅰ）可知A1B1∥A2B2，A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，＝4，所以＝16．。

哈三中2021—2021学年度上学期(xuéqī)高二学年第一学段数学文科试卷第I卷〔选择题, 一共72分〕一、选择题(本大题一一共18小题，每一小题4分，一共72分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．)1．命题“假设〞的否命题是〔〕假设假设假设假设2．以下可以估计总体稳定性的统计量是〔〕(D样本最大值(C样本方差))(B样本中位数)(A样本平均数)3．“〞是“〞的〔〕(B必要而不充分条件)(A充分而不必要条件)(C充分必要条件)(D既不充分也不必要条件)4．点，是的中点，那么C点的坐标为〔〕(C)(D(B))(A)5．840和1 764的最大公约数是〔〕(C168 )(D252(B12 )(A84 ))6．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间是后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中一共有鱼的条数为〔〕(D1300(C 130 )(B1200 )(A 1000 ))7．如图，将一个长与宽不等的长方形程度放置，长方形对角线将其分成四个区域，在四个区域内涂上红、蓝、黄、白四种(sì zhǒnɡ)颜色，并在中间装个指针，使其可以自由转动，对于指针停留的可能性, 以下说法正确的选项是〔〕(A一样大)(B蓝白区域大)(C红黄区域大)(D由指针转动圈数确定)8. 在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成假设干组，［a,b］是其中一组，抽查出的个数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，那么|a-b|等于〔〕(B)(D与无关(C)(A))9．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个，调查其销售收入和售后效劳等情况，记这项调查为②.那么完成①②这两项调查宜采取的抽样方法依次是〔〕(B分层抽样法，系统抽样法(A分层抽样法，简单随机抽样法))(C系统抽样法，分层抽样法)(D简单随机抽样法，分层抽样)法10．一个停车场有3个并排的车位，分别停放着“红旗〞，“捷达〞，“桑塔纳〞轿车各一辆，那么“捷达〞〞车停在“桑塔纳〞车的右边的概率和“红旗〞车停在最左边的概率分别是〔〕a = 1b = 2c = 3a =b b = c)(A ， )(B 13，12 )(C 13， )(D 12，2311．点，那么(n à me)的形状是〔 〕)(A 锐角三角形 )(B 等边三角形 )(C 等腰直角三角形 )(D 钝角三角形12．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的间隔 大于1的概率为〔 〕)(A )(B )(C )(D13．给出以下一个算法的程序框图〔如下图〕，该程序框图的功能是〔 〕)(A 求输出a,b,c 三数的最大数 )(B 求输出a,b,c 三数的最小数 )(C 将a,b,c 按从小到大排列 )(D 将a,b,c 按从大到小排列14．右边程序运行的结果是〔 〕)(A 1,2,3 )(B 2,3,1 )(C 2,3,2 )(D 3,2,115．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为〔 〕 )(A 13)(B 12)(C 23)(D16．右图给出的是计算(j ì su àn)的值的一个程 序框图，其中判断框内应填入的条件是〔 〕)(A i>20 )(B i<20 )(C i>40 )(D i<4017．A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，假设A ，B 两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，以下结论正确的选项是〔 〕)(A ，B 比A 成绩稳定 )(B，B 比A 成绩稳定)(C B A x x <，A 比B 成绩稳定)(D B A x x >，A 比B 成绩稳定18．下面有三个游戏规那么，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，问其中不公平的游戏是〔 〕游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球一个黑球和一个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个取1个球取1个球，再取1个球(D游戏3(B游戏1 )(C游戏2 ) )(A游戏(yóuxì)1和游戏3 )哈三中2021—2021学年度上学期高二学年第一学段数学文科试卷第二卷〔非选择题, 一共78分〕二、填空题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，一共32分．〕INPUT t IF t<= 4 THEN ELESc=0.2+0.1(t －3)19．〔用填空〕20．某人欲从某车站乘车出差，每一小时发一班车，求此人等车时间是不多于20分钟的概率21．程序框图〔即算法(su àn f ǎ)流程图〕如图下〔左〕所示，其输出结果是_______.22．某射手射击一次，命中环数及其概率如下表：命中环数 10环 9环 8环 7环 7环以下概率那么该射手射击一次，至少命中7环的概率为23．假设输入时，那么以下程序执行后输出的结果是开场输出完毕是 否24. 为了理解某地高一学生的体能状况，某校抽取局部学生进展一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图〔如图〕，图中从左到右各小长方形的面积(miàn jī)之比为，通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是______。

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学上学期高二学年10月阶段性测试数学（文）试题一、单选题1．过直线1l ：230x y +-=与2l ：320x y -+=的交点，并与1l 垂直的直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．210x y +-=D ．210x y ++=【答案】B【解析】由230320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 求得交点，再根据所求直线与1l 垂直，得到斜率，写出直线方程. 【详解】由230320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得11x y =⎧⎨=⎩， 所以交点为()1,1， 又所求直线与1l 垂直， 所以1112l k k =-=， 所以所求直线方程为：()1112y x -=-， 即210x y -+=， 故选：B 【点睛】本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．以椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22142x y +=C ．2214x y +=D ．22184x y +=【答案】A【解析】由题意，在正三角形中得到基本量,,a b c 间的关系，结合焦点到椭圆上的点的最短距离为a c -，故可求出,a b 的值，从而可椭圆的方程 【详解】解：因为椭圆短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，所以1,22b ac a ==， 因为椭圆C 上的点到焦点的最短距离为1， 所以1a c -=，所以2,1,a c b ===所以椭圆的方程为22143x y +=，故选：A 【点睛】此题考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的几何性质的应用，属于基础题3．已知实数x ，y 满足6000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．9B ．0C ．6D ．5【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【详解】解： 解：由约束条件6000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，联立6=0=0x y x y -+⎧⎨+⎩，解得A （-3，3），化目标函数2z x y =-+，得y ＝2x ＋z ，由图可知，当直线y ＝2x ＋z 过点A （-3，3）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为9． 故选：A ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 4．过点(2，-3)，斜率为12-的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．2 B ．-2C ．4D ．-4【答案】D【解析】根据点斜式求出直线方程，令0y =即可求解. 【详解】过点(2，-3)，斜率为12-的直线方程为：()1322y x +=--，令0y =，则4x =-， 所以直线在x 轴上的截距为-4. 故选：D 【点睛】本题考查了直线的点斜式方程、直线的截距，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 530x y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（ ） A 33 B ．3或33C ．33-3 D ．33-33【答案】C【解析】【详解】圆的方程即为（2213x y -+=） ，圆心10（，）到直线的距离等于半径33323331m m m +⇒⇒+⇒+＝＝＝ 或者33m ⇒-＝故选C ．6．已知P 为椭圆2213620x y +=上的一个点，M 、N 分别为圆()2241x y ++=和圆()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ）A ．12B ．11C ．10D ．4【答案】C【解析】作出图形，可知两圆圆心恰为椭圆的两个焦点，利用圆的几何性质结合椭圆的定义可求得PM PN +的最小值. 【详解】在椭圆2213620x y +=中，6a =，25b =，4c =， 该椭圆的左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F，如下图所示：由椭圆的定义可得12212PF PF a +==，由圆的几何性质可得()()121211210PM PN PF PF PF PF +≥-+-=+-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及圆的几何性质求椭圆上点到两圆上的点的距离之和的最小值，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为2的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】D【解析】由题意可知，以点(1，2)和点(4，6)分别为圆心，2为半径作圆，两圆的公切线的条数即为所求 【详解】解：分别以点(1，2)和点(4，6)分别为圆心，2为半径作圆， 因为点(1，2)和点(4，6)522=>+， 所以两圆的位置关系是外离，所以两圆的4条公切线，即可平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为2的直线有4条， 故选：D 【点睛】此题考查点与直线的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查数学转化思想，属于基础题8．已知点(3,)P a ，若圆22:4O x y +=上存在点A ，使得线段PA 的中点也在圆O 上，则a 的取值范围是（ ） A．(- B．[-C．(,)-∞-⋃+∞D．(,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】根据已知用相关点法，求出PA 中点M 的轨迹方程，又有M 点在圆上，可得M 点轨迹与圆有公共点，求出a 的范围.【详解】设()00,A x y ，PA 的中点(,)M x y ，由已知有2200004,3,2,2x y x x y a y ⎧⎪+=⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩解得223122a x y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭， 即PA 的中点的轨迹为圆223122a x y ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，又线段PA 的中点也在圆O 上，∴两圆有公共点，∴13≤≤，解得a -≤≤.故选:B. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求法，以及圆与圆的位置关系，属于中档题.9．椭圆C ：2214x y +=，过(0,2)A 作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若AOM 与AON 的面积之比5：3，則直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．12C ．±1D ．2±【答案】C【解析】先由题意，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2l y kx =+，联立直线方程，根据韦达定理，以及题中条件，得到12212216141214k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，1253x x =，即可求出结果.【详解】由题意，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:2l y kx =+，由22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()221416120k x kx +++=， 则12212216141214k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，()2225648140k k ∆=-+>，解得234k >；根据椭圆的对称性，可知，M ，N 在y 轴的同一侧，即12,x x 同号；又AOM 与AON 的面积之比5：3，即1122152132AOM AON AO x S x S x AO x ===，则1253x x =， 代入1221614k x x k +=-+可得22816314k x k =-+，即22614k x k =-+，所以121014kx k =-+， 又1221214x x k =+，所以22261012141414k k k k k⋅=+++，解得21k =，即1k =±（满足234k >）. 故选：C. 【点睛】本题主要考查椭圆中的三角形面积比求直线斜率，熟记椭圆的简单性质即可，属于常考题型.10．已知点(,2)P t t -，t R ∈，点A 是圆22(2)(2)1x y -++=上的动点，点B 是圆22(5)(2)4x y -++=上的动点，则||||PB PA +的最小值为（ ）A ．5 BC 3D 3-【答案】D【解析】如图，先得到点P 为直线2y x =-上一点，再将||||PB PA +的最小值转化为12PC PC +的最小值，找到点1C 关于直线2y x =-的对称点为O ，利用对称性知12PC PC +的最小值为2OC ，代入坐标运算即可.【详解】解：圆22(2)(2)1x y -++=的圆心为()12,2C -，圆22(5)(2)4x y -++=的圆心为()25,2C -，因为(,2)P t t -，则点P 为直线2y x =-上一点，其与坐标轴交于点()()2,0,0,2E F -，如图，连接1122,,,AC PC BC PC ，122121|||3|PC AC PC BC PC PC PB PA -+-=+≥-+，要求||||PB PA +的最小值，即求12PC PC +的最小值，明显四边形1OFC E 为正方形，则点1C 关于直线2y x =-的对称点为()0,0O ， 连接2,OP OC则1222PC PC PO PC OC +=+≥，又2OC ==则||||PB PA +3. 故选：D.【点睛】本题考查直线上一点到直线同侧两点距离和最小的问题，可根据几何特点快速求出点关于线的对称点，考查学生的转化能力和计算能力，是一道中档题.二、填空题11．直线3510x y +-=交椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于35，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率________. 【答案】45【解析】联立222235101x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理求得MN 中点坐标，再根据直线OP 的斜率等于35求解. 【详解】由222235101x y x y a b +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222596250b a x a x a a b +++-=， 由韦达定理得：2212122222610,259259a b x x y y b a b a+=-+=-++， 所以MN 中点为22222235,259259a b P b a b a ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，因为直线OP 的斜率等于35， 所以225335OPb k a ==，解得22925b a =，所以45c e a ===， 故答案为：45【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知分别过点(1,0)A -和点(1,0)B 的两条直线相交于点P ，若直线PA 与PB 的斜率之积为-1，则动点P 的轨迹方程是________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设点(),P x y ，轨迹直线PA 与PB 的斜率之积为-1，即1PA PB k k ⋅=-化简求解. 【详解】 设点(),P x y ，因为直线PA 与PB 的斜率之积为-1， 所以1PA PB k k ⋅=-，即111y y x x ⋅=--+， 整理得：221(0)x y y +=≠，所以动点P 的轨迹方程是221(0)x y y +=≠， 故答案为：221(0)x y y +=≠ 【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．若直线l 过(0,5)A ，且被圆C ：22412240x y x y ++-+=截得的弦长为则直线l 方程为________.【答案】34200x y -+=或0x =【解析】将圆化为()()222616x y ++-=，求出圆心()2,6C -，半径4r =，讨论直线的斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离2d =，利用点到直线的距离即可求解.【详解】圆C ：22412240x y x y ++-+=，即()()22:2616C x y ++-=， 即圆心()2,6C -，半径4r =， 当直线的斜率不存在时，直线0x =， 此时弦心距2d =，弦长为=当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为5y kx =+，即50kx y -+=， 由弦长公式可得弦心距2d ==，2=，解得34k =，故此直线方程为34200x y -+=，综上可得，满足条件的直线方程为34200x y -+=或0x =. 故答案为：34200x y -+=或0x =. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，根据弦长求直线方程，考查了分类讨论的思想，属于基础题.14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，若椭圆C 上顶点B ，且BF BA ⊥，则椭圆C 的离心率e 的值是________.【解析】先写出A ，B ，F 坐标，再结合BF BA ⊥利用向量数量积为零，得2b ac =，再化为齐次式210e e +-=解方程即可求解. 【详解】据题意得：(),0A a ，()0,B b ，(),0F c -，()(),,,BA BF c b a b =--=-∵ BFBA ⊥，∴ 0BA BF ⋅=，即()(),,0a b c b -⋅--=，∴ 2b ac =，又∵ 222c a b =-，∴ 220c a ac -+=，同除2a 得210c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=解方程得12e =(舍)或12e =.. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，考查两个向量垂直的坐标表示，考查椭圆离心率的求法，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.通过椭圆的方程，可求得顶点、焦点的坐标，这些是椭圆的基本几何性质.两个向量垂直，可以转化为它们坐标的数量积为零.三、解答题15．已知点(3,2)A ，直线l ：210x y ++=. （1）求直线l 关于点A 对称的直线方程； （2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的重心坐标. 【答案】（1）2170x y +-=；（2）11,63⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设(),P x y 为所求直线上一点，其关于点(3,2)A 对称的点为()00,P x y '在直线l 上，根据中点坐标公式，得到0064x x y y =-⎧⎨=-⎩代入直线l 的方程，即可得出结果；（2）记直线l 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，先分别求出其坐标，再得到AB 中点坐标，根据重心的性质，即可得出结果. 【详解】（1）设(),P x y 为所求直线上一点，其关于点(3,2)A 对称的点为()00,P x y '在直线l 上，则003222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以0064x x y y =-⎧⎨=-⎩，又00210x y ++=，所以()()26410x y -+-+=，整理得2170x y+-=，即所求直线方程为：2170x y +-=；（2）记直线l 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，由210x y ++=，令0x =得1y =-，即()0,1B -；令0y =得12x =-，即1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又原点为()0,0O ，记AB 中点为C ，则11,42C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，连接OC ，则三角形的重心点G 在线段OC 上， 且满足23OG OC =，设(),G a b ，则21342132a b ⎧=⎪-⎪⎪⎨⎪=⎪-⎪⎩，所以1613a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,63G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查求直线关于点对称的直线方程，考查求三角形重心的坐标，属于常考题型.16．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，离心率为12，两焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，2MF N 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 的斜率为12，求2MF N 的面积. 【答案】（1）22143x y +=；（235. 【解析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，再由离心率可得1c =，进而可得2223b a c =-=，从而可求出椭圆的标准方程.（2）由（1）写出直线l 的方程：()112y x =+，将直线与椭圆方程联立消x ，由212122MF NSc y y =⋅⋅-，结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意可得12c e a ==，由椭圆的定义可得 2248MN NF MF a ++==，解得2a =，1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）若直线l 的斜率为12，则直线l 的方程为()112y x =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程()22143112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x ，整理可得2161290y y --=，则1234y y +=，12916y y =-， 所以2121224MF NSc y y =⋅⋅-==【点睛】本题考查了由椭圆的离心率求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、焦点三角形的面积问题，考查了基本运算求解能力，属于中档题.17．圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N . （1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值.【答案】（1）4340x y +-=或1x =；（2）2. 【解析】（1）设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径求得斜率即可得解； （2）利用（1）的方法，当切线斜率都存在时，设出直线方程，利用点到直线的距离公式可得到k 的二次方程，结合根与系数关系，用含k 的式子去表示|AB |，可得最值，当切线斜率有一个不存在是，也可求出|AB |，综合可得|AB |的最小值，进而可得ABC 面积的最小值. 【详解】解：（1）当切线斜率存在时，可设切线方程为y ＝k （x -1），即kx -y -k ＝0， 则圆心C到切线的距离1d ==，解得43k =-，当切线斜率不存在时，直线1x =也符合题意 故所求切线方程为()413y x =--或1x =， 即4340x y +-=或1x =；（2）当两条切线斜率都存在，即1t ≠±时，设切线方程为(),0y k x t k =-≠，即kx -y -kt ＝0，PM ，PN 的斜率为12,k k ， 故圆心C到切线的距离1d ==，得()221680t k kt -++=，∴12122268,11t k k k k t t +=-=--， 在切线方程中令y ＝1可得1x t k=+，故12121221141AB x x t t k k t ⎛⎫⎛⎫=-=+-+===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，∴min2AB =，此时t ＝0， 当两条切线斜率有一条不存在，即1t =±时，不妨拿1t =来计算，由（1）得切线方程为即4340x y +-=或1x =，令y ＝1可得()1,1,1,14A B ⎛⎫⎪⎝⎭， 此时34AB =， 综合得min22AB =， 故ABC 的面积最小值为1222222⨯⨯=．【点睛】此题考查了圆的切线及最值问题，综合性较强，注意要对斜率的存在性进行分类讨论，有一定的难度．18．已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，A ，B 是椭圆C 上的不同两点，且以AB 为直径的圆经过原点O . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线AB 相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）221106x y +=；（2）存在，22154x y +=. 【解析】（1）直接根据椭圆定义可得2a ，进而求得22,a b ，则椭圆方程可求； （2）假设存在这样的圆，设()()1122,,,A x y B x y ，:AB l y kx b =+，将直线和椭圆方程联立，得到韦达定理，代入12120x x y y +=，得到,k b 关系，将,k b 关系代入原点到直线:AB l y kx b =+的距离，可得距离为常数，则可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由椭圆定义得2a ==则210a =，2221046b a c ∴=-=-=， 所以椭圆方程为221106x y +=；（2）假设存在圆心在原点的圆恒与直线AB 相切， 设()()1122,,,A x y B x y ， 且120x x ≠，由以AB 为直径的圆经过原点O 得1OA OB k k ⋅=-，即12120x x y y +=， 设:ABl y kx b =+，与221106x y +=联立，消去y 得()22235105300k x bkx b +++-=，则212122210530,3535kb b x x x x k k-+=-=++， ()()12121212x x y y x x kx b kx b ∴+=+++()()2212121k x x kb x x b =++++()2222253010103535b kb k kb b k k -⎛⎫=++-+= ⎪++⎝⎭整理得()224151b k =+，又原点到直线:AB l y kx b =+的距离h ===,故存在圆心在原点的圆恒与直线AB 相切，且圆的方程为22154x y +=. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生计算能力与转化能力，是一道难度较大的题目.。

黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（文）试卷一、未知(★★★) 1. 过直线：与：的交点，并与垂直的直线的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 2. 以椭圆：的短轴的一个端点和两焦点为项点的三角形为正三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为1，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．(★★★) 3. 已知实数，满足，则的最大值为（）A．9B．0C．6D．5(★★★) 4. 过点(2，-3)，斜率为的直线在轴上的截距为（）A．2B．-2C．4D．-4(★★★) 5. 已知为椭圆上的一个点，，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（）A．12B．11C．10D．4(★★★) 6. 平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为2的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条(★★★) 7. 椭圆：，过作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若与的面积之比5：3，則直线的斜率为（）A．1B．C．D．(★★★) 8. 已知点，，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（）A．5B．C．D．(★★★) 9. 直线交椭圆：于，两点，设中点为，直线的斜率等于，为坐标原点，则椭圆的离心率________.(★★★) 10. 已知分别过点和点的两条直线相交于点，若直线与的斜率之积为-1，则动点的轨迹方程是________.(★★★) 11. 若直线过，且被圆：截得的弦长为，则直线方程为________.(★★★) 12. 已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上顶点，且，则椭圆的离心率的值是________.(★★★) 13. 已知点，直线：.（1）求直线关于点对称的直线方程；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标.(★★★) 14. 已知椭圆：，离心率为，两焦点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点，的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的面积.(★★★) 15. 圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，.（1）若，求切线方程；（2）若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值.(★★★) 16. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由.二、单选题(★★★) 17. 直线与圆相切，则实数等于（）A．或B．或C．或D．或(★★★★) 18. 已知点，若圆上存在点，使得线段的中点也在圆上，则的取值范围是（）A．B．C．D．。