当前位置：文档之家 › 初中数学 图形变换讲解及解析

初中数学 图形变换讲解及解析

  • 格式：doc
  • 大小：169.00 KB
  • 文档页数：4

图形对称、平移、和旋转变换考点扫描
考点一 判断轴对称图形和中心对称图形
说明：这个知识点在考试中一般以选择题或填空题的形式出现。这就需要掌握住定义，
细心观察图形。
例1（2009）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

解析：D
考点二 图形的折叠问题
说明：图形的折叠或翻折都是一种轴对称变换的问题。其具有可操作性，又能考查学生
的动手、观察能力，因此备受中考青睐。这个知识点在考试中以选择、填空或解答证明题的
形式出现。这就需要对轴对称的性质特别熟悉。
例2（2009河北）如图1，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、
AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A
处，且点A在△ABC外部，则阴影部分图形的周长
为 cm．
解析：依据轴对称性质得DA=DA′,EA=EA′,可知阴影周长=等边三角形周长=3。

例3 如图2，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，
求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，
巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1) 分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的
轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC
相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；
(2) 设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，
求出x的值．

解析：此题以阅读材料形式结合勾股定理，一元二次方程综合考察学生能力。
（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB＝∠EAB ，∠DAC＝∠FAC ，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°
又∵AD⊥BC
∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°

A
B
C
图1

D
E

A′

B
C
A
E
G
D

F

图2
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF∴四边形AEGF是正方形
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x
∵BD＝2，DC＝3
∴BE＝2 ，CF＝3
∴BG＝x－2，CG＝x－3
在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC
2

∴（x－2）2＋（x－3）2＝52
化简得，x2－5x－6＝0
解得x1＝6，x2＝－1（舍）
所以AD＝x＝6

考点三 利用图形的三种变换设计图案
说明：此考点的关键就是找特殊点的对称点。不仅考查数学知识，还考查学生的作图
能力。所以平时要多动手操作。
例4（2009年）如图所示，正方形网格中，ABC△为格点三角形（即三角形的顶点都
在格点上）．

（1）把ABC△沿BA方向平移后，点A移到点1A，在网格中画出平移后得到的

11ABC1
△
；

（2）把11ABC1△绕点1A按逆时针方向旋转90°，
在网格中画出旋转后的22ABC1△；

（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．
解析：此题考查画图操作，结合弧长公式求解。
（1）、（2）如右图

（3）2212222BB

弧12BB的长90π22π1802．

点B所走的路径总长2π222．
考点四 三种图形变换的综合运用
说明：这三种图形变换前后的形状和大小都不发生变化，所以解决问题的方法往往是利
用全等知识。对于既有平移又有旋转的问题，一定要注意平移的距离和旋转的角度。
例5（2008荆门）将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直
角边长为3．

A
B
C

A
1

A
B
C

A
1

B
1
C

1
B

2

C
2
(1) 将△ECD沿直线l向左平移到图(2)的位置，使E点落在AB上，则CC′=______；
(2) 将△ECD绕点C逆时针旋转到图(3)的位置，使点E落在AB上，则△ECD绕点
C旋转的度数=______；
(3) 将△ECD沿直线AC翻折到图(4)的位置，ED′与AB相交于点F，求证AF=FD′．

解析：此题三种变换均用到，利用30°的直角三角形特征求出另一直角边的长，再结
合变换特征很容易求解。
(1) 3-3；
(2)30°；
(3)证明：在△AEF和△D′BF中，
∵AE=AC-EC, D’ B=D’ C-BC，
又AC=D’ C,EC=BC，∴AE=D’ B．
又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°，
∴△AEF≌△D’ BF．∴AF=FD’．
例6（2009山西）在ABC△中，2120ABBCABC，°，将ABC△绕点B顺

时针旋转角(0°90)°得ABCAB111△，交AC于点E，11AC分别交ACBC、于
DF、
两点．

（1）如图3，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA与FC有怎样的数量关系？并证明
你的结论；

（2）如图4，当30°时，试判断四边形1BCDA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
解析：本题主要考查旋转、全等三角形、特殊平行四边形、解直角三角形等知识.解决
本题的关键是结合图形，大胆猜想.对于求（3）线段的长度要注意在直角三角形中利用锐角
三角函数来计算，没有直角三角形就做辅助线构造直角三角形。

（1）1EAFC．
证明：（证法一）ABBCAC，．
由旋转可知，111ABBCACABECBF，，，

D
(1)
(2)

A C B E DEA C B E D l (3) l D’ FA C B E D (4) A
C
B E D
l
E
’
C’

A
D
B
E

C
F
1
A
1

C

A
D

B
E

C

F
1

A

1
C

图3 图4
A
D
B
E

C

F
1

A

1
C

G

∴ABECBF1△≌△．∴
BEBF，
又1BABC，
∴1BABEBCBF．即1EAFC．
（证法二）ABBCAC，．
由旋转可知，11ACABCB，=，而1EBCFBA，

∴1ABFCBE△≌△．∴BEBF，∴1BABEBCBF，
即1EAFC．
（2）四边形1BCDA是菱形.
证明：111130AABAACAB°，∥，同理ACBC1∥．
∴四边形1BCDA是平行四边形.
又1ABBC，∴四边形1BCDA是菱形.
（3）（解法一）过点E作EGAB于点G，则1AGBG．
在RtAEG△中，
123coscos303AG
AEA．

°

由（2）知四边形1BCDA是菱形，
∴2ADAB，
∴2233EDADAE．
（解法二）12030ABCABE°，°，∴90EBC°．
在RtEBC△中，2tan2tan3033BEBCC·°．

11
2
233EABABE．

11111
ACABADEAADEA∥，．．
∴12233EDEA．

合集下载

初中数学教案解析几何中的坐标变换与曲线方程

初中数学教案解析几何中的坐标变换与曲线方程

初中数学教案解析几何中的坐标变换与曲线方程解析几何作为数学的重要分支，对于初中生而言是一门具有一定难度的学科。

在解析几何的学习中，坐标变换与曲线方程是学生们常常遇到的难点。

本文将针对初中数学教案，对坐标变换与曲线方程的相关内容进行解析和讲解。

一、坐标变换坐标变换是解析几何中的基础知识之一，它描述了图形在平面或空间中的位置关系的变化。

常见的坐标变换包括平移、旋转、反射和伸缩等。

这些变换可以通过坐标的变化来实现。

1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向进行移动，移动的距离和方向可以通过向量来表示。

在平面直角坐标系中，平移变换后的新坐标可以通过原坐标加上平移向量来得到。

2. 旋转变换旋转变换是指将图形绕着某个点或某条轴线进行旋转。

旋转变换可以通过旋转矩阵来描述，旋转后的新坐标可以通过原坐标乘以旋转矩阵来得到。

3. 反射变换反射变换是指将图形关于某条轴线进行对称，使得图形在轴线两侧位置对称。

根据反射变换的性质，反射后的新坐标可以通过原坐标乘以适当的反射矩阵来得到。

4. 伸缩变换伸缩变换是指将图形在某个方向上进行拉伸或压缩。

伸缩变换可以通过伸缩矩阵来描述，伸缩后的新坐标可以通过原坐标乘以伸缩矩阵来得到。

以上是常见的坐标变换方式，学生们在学习解析几何时需要熟练掌握这些变换的方法和性质，能够准确地应用于解决相关问题。

二、曲线方程曲线方程是解析几何中的重要概念，它描述了平面内曲线的几何性质和特征。

常见的曲线方程包括直线方程、圆的方程和抛物线的方程等。

1. 直线方程直线方程是描述直线的数学表达式，常见的直线方程有斜截式方程、截距式方程和一般式方程等。

学生们在学习直线方程时需要掌握直线的斜率和截距的概念，能够根据已知条件写出直线的方程。

2. 圆的方程圆的方程是描述圆的数学表达式，常见的圆方程有标准方程和一般方程等。

学生们在学习圆的方程时需要了解圆的性质，能够根据已知条件写出圆的方程。

3. 抛物线的方程抛物线的方程是描述抛物线的数学表达式，常见的抛物线方程有顶点式方程、焦点式方程和一般式方程等。

初中数学中考专题13：图形变换 -讲义

初中数学中考专题13：图形变换 -讲义

专题：图形变换【知识梳理】【方法集会】一、平移变换：1、平移的概念：在平面中，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小2、图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离3、平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等（或在同一直线上），即对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等。

二、旋转变换：（具体分类，可以参见几何专题）1、在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转定点叫作旋转中心，旋转的角度叫作旋转角，如果一个图形上的点A经过旋转变为点A ,那么这两个点叫做旋转的对应点。

2、性质：①图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；②对应点到旋转中心的距离相等③旋转前后图形的大小和形状没有改变；④两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角⑤旋转中心是唯一不动的点。

3、就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋180°，构造中心对称遇90°，旋90°，造垂直遇60°，旋60°，造等边遇等腰，旋顶角综上四点得出旋转的本质特征：等线段、共顶点，就可以有旋转。

三、轴对称1、线段的垂直平分线①定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线②定理：线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等③判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上2、折叠问题①折叠后的图形与原图形全等，利用全等可以得到对应角相等和对应边相等②折痕是折叠后图形与原图形对应点连线的垂直平分线③结合勾股定理（或相似三角形）的有关知识解决问题④图形的折叠问题分为两类：一是考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，即对应边相等，对应角相等；二是考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连的线段且平分对应边所成的夹角3、轴对称变换是作点、线、图形关于某一直线的对称图形，从而使图形中隐藏条件凸显出来或者将分散条件集中起来，从而达到解题的目的。

初中数学图形变换知识点整理

初中数学图形变换知识点整理

初中数学图形变换知识点整理初中数学中，图形变换是一个重要的知识点，它包括了平移、旋转、对称和放缩四个部分。

这些变换不仅在初中数学中有着广泛的应用，也是进一步学习几何知识和应用问题的基础。

下面将对这些知识点进行整理和阐述。

一、平移平移是指将一个图形沿着一定的方向和距离移动，平移后的图形与原图形相似，只是位置发生了改变。

在平移中，有以下几个关键概念需要注意：1. 平移的向量：平移是向量的运算，表示为→AB，表示从点A到点B的位移，也可以表示成矢量形式(AB)。

2. 平移的性质：平移具有保持图形大小、形状和方向不变的性质。

即平移后的图形与原图形全等。

3. 平移的规律：平移的规律可以总结为“横坐标加上有向线段的横坐标，纵坐标加上有向线段的纵坐标”。

即新图形的坐标为(x+a，y+b)，其中a和b为向量→AB的横纵坐标。

二、旋转旋转是指将一个图形围绕一个中心点旋转一定的角度，旋转后的图形与原图形形状相似，但方向可能有所改变。

在旋转中，要注意以下几个关键概念：1. 旋转中心：旋转中心是图形旋转的轴心点，围绕该点进行旋转。

旋转中心可以是图像的一个顶点、中点或者其他位置。

2. 旋转角度：旋转角度是指图形旋转的角度，可以是正数也可以是负数。

顺时针旋转角度为负，逆时针旋转角度为正。

3. 旋转规律：旋转后的图形的顶点坐标可以通过坐标公式得出。

对于顺时针旋转，坐标公式为：新坐标点的横坐标为原坐标点的纵坐标，新坐标点的纵坐标为原坐标点的横坐标的相反数。

对于逆时针旋转，公式则相反。

三、对称对称是指图形通过某一条直线、点或平面变换后重合，这条直线、点或平面称为对称轴。

对称中需要注意以下几个关键概念：1. 对称轴：对称轴是图形对称的参考线。

对称轴可以是一条直线、一个点或平面。

2. 对称性质：对称是指图形经过对称变换后，与原图形完全重合，即图形左右对称、上下对称或中心对称。

3. 对称变换规律：对称变换后的图形的坐标可以通过规律得出。

初中数学图与图形的变换精讲

初中数学图与图形的变换精讲

图形与图形的变换1．图形的初步认识①掌握画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．②了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断立体模型．③了解几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系．④掌握比较角的大小，估计一个角的大小，计算角度的和与差，进行度、分、秒简单换算．⑤了解角平分线及其性质，了解补角、余角、对顶角；理解等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等．⑥了解两点之间，线段最短；了解经过两点有一条直线，并且只有一条直线．⑦了解垂线、垂线段等概念，垂线段最短的性质，点到直线距离的意义；了解过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线．⑧掌握用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；了解线段垂直平分线及其性质．⑨理解平行线的特征和平行线的识别；了解过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；掌握用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．⑩理解平行线之间距离的意义；掌握度量两条平行线之间的距离的方法．2．轴对称①认识轴对称．②理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．③掌握能按要求作简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形．④掌握简单图形之间的轴对称关系，并指出对称轴．⑤掌握基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性质及相关性质．⑥掌握利用轴对称进行图案的设计．3．平移和旋转①认识平移，理解对应点连线平行且相等的性质；掌握按要求作简单平面图形平移后的图形；掌握选用平移进行图案设计．②认识旋转(含中心对称)；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．③了解平行四边形、圆是中心对称图形．④掌握按要求作简单平面图形旋转后的图形．⑤掌握图形之间的轴对称、平移、旋转及其组合四种关系形式．⑥掌握运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．⑦在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，培养学生的数学说理的习惯与能力．【课时分布】图形与图形的变换在第一轮复习时大约需要3个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考)课时数内容1基本图形的认识1轴对称与轴对称图形1平移与旋转1图形与图形的变换单元测试与评析【知识回顾】1．知识脉络图形的初步认识立体图形平面图形视图平面展开图点和线角相交线平行线图形之间的变换关系轴对称平移旋转旋转对称中心对称2．基础知识(1)两点之间线段最短；连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．(2)视图有正视图、俯视图、侧视图(左视图、右视图)．(3)平行线间的距离处处相等．(4)平移是由移动的方向和距离决定的．(5)平移的特征：①对应线段平行(或共线)且相等；连结对应的线段平行(或共线)且相等；②对应角分别相等；③平移后的图形与原图形全等．(6)图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转方向决定．(7)旋转的特征：①对应点与旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等；②每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度；③旋转后的图形与原图形全等．3、能力要求例1选择、填空题(1)如图6-1，小军将一个直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开得到的大致图形是·····································Ａ．B．C ．D ．【分析】图形的旋转与展开．【解】D ．(2)如图6-2，已知□ABCD 的对角线BD =4cm ，将□ABCD 绕其对称中心O 旋转180°，则点D 所转过的路径长为（）A ．4πcmB ．3πcmC ．2πcmD ．πcm【分析】图形的旋转与圆弧问题结合．【解】C ．(3)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O 按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45 ，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②……，则第10次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是（）A ．图①B ．图②C ．图③D ．图④【分析】图形的旋转与操作．【解】B ．(4)如图6-3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，ABCD 图6-3C’图①图②图③图④图6-2ABCDO图6-1(5)按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C ′处，则折痕BD的长为__________．【分析】图形的折叠与勾股定理应用．【解】35．(5)如图6-4，在68⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A 的半径为2个单位长度，⊙B 的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B 与静止的⊙A 内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【分析】图形平移、圆的位置关系与发散思维结合【解】4或6(6)如图6-5所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D E 、分别是边AB 、AC 上，将ABC△沿着DE 折叠压平，A 与'A 重合，若=70A ︒∠，则1+2∠∠=（）A.140︒B.130︒C.110︒D.70︒【分析】图形折叠、三角形内角和与平角的结合【解】A(7)如图6-6-1和6-6-2，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形EFGH 是边长为2的正方形，点D 与点F 重合，点B ，D （F ），H 在同一条直线上，将正方形ABCD 沿F →H 方向平移至点B 与点H 重合时停止，设点D 、F 之间的距离为x ，正方形ABCD 与正方形EFGH 重叠部分的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（）图6-4图6-5图图【分析】图形的平移、动点问题及函数图像【解】B【说明】由于概念、性质比较多，复习时可以通过基本练习题的训练，使学生熟练掌握图形与图形变换的基本知识、基本方法和基本技能．重视平移、旋转、折叠、展开过程中学生思维的训练，重视平移、旋转、折叠、展开的操作过程，提高学生的分解、组合图形的能力和动手能力。