2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 第6讲对数与对数函数试题理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 第6讲对数与对数函数试题理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第二章函数概念与基本初等函数I 第6讲对数与对数函数试题理北师大版（建议用时：40分钟）一、选择题1.（2015·四川卷)设a,b为正实数，则“a>b>1”是“log2a〉log2b〉0”的（)A。
充分必要条件 B.充分不必要条件C。
必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在（0，＋∞)上单调递增,所以当a〉b〉1时,有log2a〉log2b〉log21＝0；当log2a>log2b〉0＝log21时，有a〉b〉1.答案A2.（2017·上饶模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32,则a，b,c 的大小关系是( ）A.a＝b〈cB.a＝b>c C。
a〈b<c D.a〉b〉c解析因为a＝log23＋log23＝log23错误!＝错误!log23>1,b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a，c＝log32〈log33＝1。
答案B3。
若函数y＝log a x（a〉0,且a≠1）的图像如图所示,则下列函数图像正确的是（)解析由题意y＝log a x(a>0，且a≠1）的图像过(3，1）点，可解得a＝3。
新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书1．对数的概念如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ，③log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图象与性质4.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图261，则下列结论成立的是( )图261A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.2 3 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. 【导学号：51062043】 (1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝⎛⎭⎪⎫lg122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·高三教学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 3 3 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log23＝3 3.](1)(2017·绍兴一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D(2)(2017·湖州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062044】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] 如图262，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )图262A ．2B ．3 C. 2D. 3D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞角度1 比较对数值的大小若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c(0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c＞b c，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x(0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a＜c b ，∴选项D 错误，故选B.]☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数.4分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，8分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，12分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，log a b＞0；当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，log a b＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(八) 对数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图263所示，则下列函数图象正确的是( )图263A B C DB [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72A [由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.] 5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )【导学号：51062045】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【导学号：51062046】－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．(2017·“江南十校”信息优化卷)设函数f (x )＝lg(x 2－4)，则f (x )的定义域为________，单调递增区间为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2，＋∞) [由x 2－4>0，得f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．其单调递增区间为(2，＋∞)．]8．(2016·浙江高考)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 【导学号：51062047】 [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.4分由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).8分 (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，12分 ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.15分10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.5分又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.7分 (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数，8分 ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，10分∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <32，a ＝32，13分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·浙江名校(河桥中学)交流卷三)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＋n ＝( )A.12B.32 C ．2 D.52D [∵f (x )＝|log 2x |，且f (m )＝f (n )，∴mn ＝1.又0<m <n ，则有0<m <1<n ，从而有0<m 2<m <1<n ，则|log 2m 2|＝2|log 2m |＝2|log 2n |>|log 2n |.∵f (x )＝|log 2x |在区间[m 2，n ]上的最大值为2，∴|log 2m 2|＝2，即|log 2m |＝1，∴m ＝12(m ＝2舍去)，∴n ＝2. ∴m ＋n ＝52.] 2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062048】(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.3分故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).6分(2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数.10分(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1， 所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1).15分。
（某某专用）2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I 2.3 函数的奇偶性与周期性教师用书1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( ×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( √)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．( √)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( √)1．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )A．f(x)＝x－1B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－xD．f(x)＝2x＋2－x答案 D解析D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )A．－1 B．0 C．1 D．2答案 B解析∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.3．(2016·某某教学测试一)已知奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝log2(x＋3)，则f(－1)＝________.答案－2解析∵f(1)＝log2(1＋3)＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.4．(教材改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________.答案x(1－x)解析当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x).题型一 判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性．解 当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的X 围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)(2016·海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝2x(2)(2016·余姚模拟)函数g (x )＝2x－12x ＋1为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f (x )＝22x＋1＋1的对称中心为________． 答案 (1)B (2)奇 (0,2)解析 (1)选项B 中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |，所以函数y ＝lg|x |是偶函数．(2)易知函数g (x )＝2x－12x ＋1为奇函数，图象关于原点对称，又f (x )＝22x ＋1＋1＝－g (x )＋2，所以函数f (x )的对称中心为(0,2)． 题型二 函数的周期性例2 (1)(2016·某某模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．无法计算(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)C (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)， 又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1fx ＋2＝－1－1f x＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 引申探究例2(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f x改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，则f (105.5)=_____．答案 2.5解 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题)．思维升华 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三 函数性质的综合应用 命题点1 解不等式问题例3 (1)(2017·某某模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值X 围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值X 围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4，故选A. 命题点2 求参数问题例4 (1)(2016·西城区模拟)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x )为奇函数，则实数a ＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域． (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②，得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便． ①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)； ②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 (1)－32(2)D解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．1．抽象函数问题考点分析 抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以选择题或填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f x 2－12－log 2x ＋1的定义域为________．解析 要使函数有意义， 需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2x ＋1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3)． 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f x，对任意x ∈R恒成立，则f (2 019)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f x ，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝11f x＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1)． 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f－1，得f (1)＝1f 1. 即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 D三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )．若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，某某数a 的取值X 围． 规X 解答解 因为f (xy )＝f (x )＋f (y )，且f (3)＝1， 所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9)．又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9)． 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9a －1>0，a >9a －1，解得1<a <98.故所某某数a 的取值X 围是(1，98).1．(2016·某某高三上学期期末)下列函数中，既是奇函数又在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝ln xB ．y ＝x 3C ．y ＝x 2D ．y ＝sin x 答案 B2．已知f (x )＝ax 3＋b 3x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 32)]＝1，则f [lg(log 23)]的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8 答案 C解析 设g (x )＝ax 3＋b 3x ，则g (x )为奇函数， 因为lg(log 32)＝lg(1log 23)＝－lg(log 23)，所以f [lg(log 32)]＝g [lg(log 32)]＋4＝1，g [lg(log 32)]＝－3，所以f [lg(log 23)]＝g [lg(log 23)]＋4＝g [－lg(log 32)]＋4＝－g [lg(log 32)]＋4＝3＋4＝7，故选C.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98 答案 B解析 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，由－1∈(－2,0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4．已知f (x )＝lg(21－x ＋a )为奇函数，则使f (x )<0的x 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 B解析 由f (x )＋f (－x )＝0，即lg(21－x ＋a )＋lg(21＋x ＋a )＝lg 2＋a 2－a 2x21－x 2＝lg 1＝0，可得a ＝－1，所以f (x )＝lg 1＋x 1－x ，解0<1＋x1－x<1，可得－1<x <0.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x 0＜x ≤8，log 2x x >8，则f (f (－16))等于( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 C解析 由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4， 故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos 4π6＝12.*6.(2016·某某)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上的偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)>f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|<2，即|a －1|<12，所以12<a <32.7．(2016·某某高三上学期期末)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g 2x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.答案 0 －25解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝0，又g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，∴f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.8．(2016·某某模拟)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1＋x )，则f (－52)＝________. 答案 －32解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f (－52)＝－f (52)＝－f (12)＝－[2×12(1＋12)]＝－32. 9．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10．(2016·余姚模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，那么t 的取值X 围是________． 答案 [1e，e] 解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f (ln 1t)， 由f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1)．又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2＋2x ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1,3]．12．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×(12×2×1)＝4. *13.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值X 围． 解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，则f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，则f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，∴x 的取值X 围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
第5讲 对数与对数函数一、选择题1．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <c <aB ．b <a <cC ．c <a <bD ．c <b <a解析 由题知，a ＝log 45>1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，c ＝log 30.4<0，故c <b <a . 答案 D2．设f (x )＝lg(21－x＋a )是奇函数，则使f (x )＜0的x 的取值范围是( )． A ．(－1,0) B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝lg x ＋11－x ，由f (x )＜0得，0＜x ＋11－x＜1， ∴－1＜x ＜0.答案 A3．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )．A ．0<a <1B ．0<a <2，a ≠1C ．1<a <2D ．a ≥2解析 因为y ＝x 2－ax ＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a 24，故要使函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a >1，且4－a 24>0，得1<a <2，故选C. 答案 C4．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的大致图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ( )．解析 由已知函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可得0<a <1，0<b <1.则g (x )＝a x ＋b 的图象由y ＝a x 的图象沿y 轴向上平移b 个单位而得到，故选B.答案 B5．若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )． A ．(0,1)∪(1,3) B ．(1,3)C ．(0,1)∪(1,23)D ．(1,23) 解析 “对任意的x 1，x 2，当x 1<x 2≤a 2时，f (x 1)－f (x 2)>0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f (x )有意义”．事实上由于g (x )＝x 2－ax ＋3在x ≤a 2时递减，从而⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0.由此得a 的取值范围为(1,23)．故选D.答案 D6．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是 ( )．A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 解析 作出函数f (x )＝|lg x |的图象，由f (a )＝f (b )，0<a <b 知0<a <1<b ，－lg a ＝lg b ，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ，由函数y ＝x ＋2x 的单调性可知，当0<x <1时，函数单调递减，∴a ＋2b ＝a ＋2a >3.故选C.答案 C二、填空题7．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则(log 128)⊗⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝________. 解析 框图的实质是分段函数，log 128＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，由框图可以看出输出9－3＝－3.答案 －3.8．设g (x )＝⎩⎨⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＜0， ∴g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12＝e ln 12＝12. 答案 129．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析 ∵log 2x ≤2，∴0＜x ≤4.又∵A ⊆B ，∴a ＞4，∴c ＝4.答案 410．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．在实数轴R (箭头向右)上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]就是x .这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝________.解析 当1≤n ≤2时，[log 3n ]＝0，当3≤n <32时，[log 3n ]＝1，…，当3k ≤n <3k ＋1时，[log 3n ]＝k .故[log 31]＋[log 32]＋[log 33]＋[log 34]＋…＋[log 3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.答案 857三、解答题11．已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x .(1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 的定义域为R .又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a 2－3a ＋3>1，解得a <1或a >2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．12．若函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M .当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值及相应的x 的值．解 y ＝lg(3－4x ＋x 2)，∴3－4x ＋x 2＞0，解得x ＜1或x ＞3，∴M ＝{x |x ＜1，或x ＞3}，f (x )＝2x ＋2－3×4x ＝4×2x －3×(2x )2.令2x ＝t ，∵x ＜1或x ＞3，∴t ＞8或0＜t ＜2.∴f (t )＝4t －3t 2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋43(t ＞8或0＜t ＜2)． 由二次函数性质可知：当0＜t ＜2时，f (t )∈⎝⎛⎦⎥⎤0，43， 当t ＞8时，f (t )∈(－∞，－160)，当2x ＝t ＝23，即x ＝log 2 23时，f (x )max ＝43. 综上可知：当x ＝log 2 23时，f (x )取到最大值为43，无最小值． 13．已知函数f (x )＝log a x ＋b x －b(a ＞0，b ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)讨论f (x )的单调性；解 (1)令x ＋b x －b＞0， 解得f (x )的定义域为(－∞，－b )∪(b ，＋∞)．(2)因f (－x )＝log a －x ＋b －x －b ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x －b －1 ＝－log a x ＋b x －b＝－f (x )， 故f (x )是奇函数．(3)令u (x )＝x ＋b x －b ，则函数u (x )＝1＋2b x －b在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数，所以当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是增函数；当a ＞1时，f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上是减函数．14．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1，(a >0，且a ≠1)． (1)求函数的定义域，并证明：f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数； (2)对于x ∈[2,4]，f (x )＝log a x ＋1x －1>log a m (x －1)2(7－x )恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝log a－x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝log a x ＋1x －1在定义域上是奇函数． (2)由x ∈[2,4]时，f (x )＝log ax ＋1x －1>log a m (x －1)2(7－x )恒成立， ①当a >1时，∴x ＋1x －1>m (x －1)2(7－x )>0对x ∈[2,4]恒成立． ∴0<m <(x ＋1)(x －1)(7－x )在x ∈[2,4]恒成立．设g (x )＝(x ＋1)(x －1)(7－x )，x ∈[2,4]则g (x )＝－x 3＋7x 2＋x －7，g ′(x )＝－3x 2＋14x ＋1＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －732＋523，∴当x∈[2,4]时，g′(x)>0.∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15. ∴0<m<15.②当0<a<1时，由x∈[2,4]时，f(x)＝log a x＋1x－1>log am(x－1)2(7－x)恒成立，∴x＋1x－1<m(x－1)2(7－x)对x∈[2,4]恒成立．∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).。
