函数y=sinx的图象作法
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点1O，以1O为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角6,0，3，2,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x()xR的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
正弦函数的图像与性质
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·哈尔滨高一检测)函数f(x)=cos的奇偶性为 ( )
A.偶函数 B.奇函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
【解析】选B.因为cos=cos=-sinx,所以函数f(x)为奇函数.
2.(2014·武汉高一检测)函数y=2-sinx,x∈的简图是 (
)
【解题指南】按照五点法作图的依据,依次观察各图像,符合要求的即是.
【解析】选A.按五个关键点列表:
x 0
π
2π
sinx 0 1 0 -1 0
2-sinx 2 1 2 3 2
观察各图像发现A项符合.
3.(2014·防城港高一检测)设函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x) ( ) A.在上单调递减
B.在上单调递减
C.在上单调递增
D.在上单调递增
【解析】选A.因为函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,所以π=,ω=2.
所以f(x)=sin,
由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
可得kπ≤x≤kπ+,k∈Z,
当k=0时,函数f(x)=sin在上单调递减.
故选A.
4.(2014·日照高一检测)函数y=sinx-1的最大值与最小值的和是 ( )
A. B.- C.- D.-2
【解析】选D.因为sinx∈[-1,1],所以sinx-1∈,所以-+=-2.
【变式训练】函数y=sinx-1,x∈[0,2π]的值域是 .
【解析】因为x∈[0,2π],所以x∈,
所以sinx∈[0,1],所以sinx-1∈[-1,0].
答案:[-1,0]
5.(2014·成都高一检测)函数y=sin(πx-1)的最小正周期是 ( )
A.2 B.2π C. D.-1
【解析】选A.T==2.
6.(2014·深圳高一检测)已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,1],则b-a的值不可能为 ( )
1.5.1 正弦函数的图像
备课资料
一、备用习题
1.用“五点法”画出下列函数的图像:
(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;
(2)y=21+sinx,x∈［0,2π］.
2.如图7中的曲线对应的函数解析式是( )
图7
A.y=|sinx| B.y=sin|x| C.y=-sin|x|
D.y=-|sinx|
参考答案:
1.解:按五个关键点列表如下:
x 0 2 π 23
2π
y=2-sinx 2 1 2 3 2
y=21+sinx 21 23 21 -21 21
在直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如下图所示.
(1)如图8.
(2)如图9.
图8 图9
2.C
二、潮汐与港口水深
我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.
由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
D 5 7.5 5 2.5 5 7.5 5 2.5
5
(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示),
观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数d=5+2.5sin6t,t∈［0,24)来近似地描
函数
正弦函数y=sinx
余弦函数y=cosx
正切函数y=tanx
图像
定义域RR{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}
值域[-1，1][-1，1]R
周期性最小正周期都是2π最小正周期都是2π最小正周期都是π
奇偶性奇函数偶函数奇函数
对称性对称中心是(Kπ,0),K∈Z；
对称轴是直线x=Kπ+π/2,K∈Z对称中心是(Kπ+π/2,0),K∈Z；
对称轴是直线x=Kπ,K∈Z对称中心是(Kπ/2,0),K∈Z
单调性在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2],K∈Z上单调递增；
在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2],K∈Z上单调递减在[2Kπ,2Kπ+π],K∈Z上单调递减；
在[2Kπ+π,2Kπ+2π],K∈Z上单调递增在[Kπ-π/2,Kπ+π/2],
K∈Z上单调递增
最值当X=2Kπ(K∈Z)时，Y取最大值1；
当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1当X=2Kπ+π/2(K∈Z)时，Y取最大值1；
当X=2Kπ+π(K∈Z时，Y取最小值－1无最大值和最小值正弦、余弦、正切函数图象及其性质
注意
1、正弦函数y=sinx在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]（k∈Z）上是增函数，但不能说它在第一或第四象限是增函数；对于正切函数，它在定义
域的每一个单调区间内都是增函数，但不能说它在定义域上是增函数。
2、对于复合函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)、y=Atan(ωx+φ)均可以将ωx+φ视为一个整体，用整体的数学方法转化为熟悉的形
式解决。当ω＜0时，要特别注意。如：y=sin(-2x+π/4)可以化为y=-sin(2x-π/4)或y=cos(2x+π/4)再求解。
3、函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为2π/∣ω∣，y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期为π/∣ω∣
