江西省六校2018届高三上学期8月联考(理数)
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江西省六校2018届高三上学期8月联考数学（理科）第I 卷（选择题）一、本大题共12小题，每题5分，共60分1.集合1{|()1},{|lg(2)}2xM x N x y x =≥==+，则M N 等于（ ） A ．[)0,+∞ B ．(]2,0- C ．()2,-+∞ D ．()[),20,-∞-+∞2.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0>x 时为减函数，且0)2(=f ，则{}0)2(<-x f x =（ ）A ．{}420><<x x x 或B ．{}40><x x x 或 C ．{}220><<x x x 或 D ．{}4220<<<<x x x 或3.给出下列四个命题:①“若0x 为)(x f y =的极值点，则0)(0,=x f ”的逆命题为真命题; ②“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是0<⋅b a ③若命题011:>-x p ，则011:≤-⌝x p ④命题“R x ∈∃,使得012<++x x ”的否定是:“R x ∈∀均有012≥++x x ”. 其中不正确的个数是A.1B.2C.3D.44. 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f =，则=-)]8([f g （ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2 5.函数()2af x x x =+（其中a R ∈）的图象不可能是6.设0>ω，函数1)3sin(-+=πωx y 的图象向左平移32π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的)15,,2,1( =i a i 分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98.已知数列{}n a 为等差数列，且满足9051=+a a ．若m x )1(-展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ） A ．6 B ．8C ．9D ．109.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点.一只小蜜蜂在几何体ADF —BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F —AMCD 内的概率为 A.34B.23C.12D.1310.已知关于x 的方程023=+++c bx ax x 的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则ab的取值范围（ ） A.(1,0)- B.1(1,)2-- C.1(2,)2-- D.(2,)-+∞11.定义在R 上的偶函数)(x f ，其导函数为)(x f ，，若对任意的实数x ，都有2)()(2,<+x xf x f 恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ ） A. {}1±≠x x B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C ．（﹣1，1）D ．（﹣1，0）∪（0，1）12.设函数)(x f ，若对于在定义域内存在实数x 满足)()(x f x f -=-，则称函数)(x f 为“局部奇函数”．若函数324)(2-+⋅-=m m x f x x 是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[1﹣，1+） B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，2] D ．[﹣2，1﹣]第II 卷（非选择题）二、填空题，本大题共4小题，每题5分，共20分13.设向量,32=+==，则=+b a2 ．14.过函数32()325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是 ．15.在三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC 的取值范围是 ． 16.对于函数()[]()(),0,2{12,2,2sin x x f x f x x π∈=-∈+∞，下列5个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）． (1)任取1x ， [)20,x ∈+∞,都有()()122f x f x -≤； (2)函数()y f x =在[]4,5上单调递增；(3) ()()()•22N f x kf x k k =+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； (4)函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；(5)若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ,2x ，则123x x +=. 三、解答题，本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分 17.（10分）.已知x x x x x x f 2sin cos sin 3)6sin(cos 2)(-⋅++⋅=π，（1）求函数)(x f y =的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角A 满足2)(=A f ，而3=⋅AC AB ，求边BC 的最小值．18.（12分）.已知命题p ：函数x ax x x f ++=23)(在R 上是增函数；命题q ：若函数a x e x g x +-=)(在区间[0，+∞）没有零点．（1）如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题“q p ∨”为真命题，“q p ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．19.（12分）.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：2)(,cos )(,sin )(,)(,)(,)(65433221======x f x x f x x f x x f x x f x x f（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率； （2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．20（12分）.在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AD=AB=DC=21BC=1，E 是PC 的中点，面P AC ⊥面ABCD ．（1）证明：ED ∥面P AB ；（2）若PC =2，P A =3，求二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．21（12分）.已知二次函数1)(2+++=b ax x x f ，关于x 的不等式1)12()(2<+--b x b x f 的解集为)1,(+b b ，其中0≠b ． （1）求a 的值； （2）令1)()(-=x x f x g ，若函数)1ln()()(--=x k x g x ϕ存在极值点，求实数k 的取值范围，并求出极值点．22（12分）.如图，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为23=e ，P 为椭圆E 上的动点，P 到点M （0，2）的距离的最大值为2132，直线l 交椭圆于),(),,(2211y x B y x A 两点． （1）求椭圆E 的方程； （2）若以P 为圆心的圆的半径为552，且圆P 与OA 、OB 相切． （i ）是否存在常数λ，使02121=+y y x x λ恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由； （ii ）求△OAB 的面积．数学（理科）参考答案一、选择题13.414.3[0,)[,)24πππ15.（3，） 16.（1）（4）（5）三、解答题 17.解：（1）=…………3分由得，故所求单调递增区间为．…………5分（2）由得，∵，即，∴bc=2，…………7分又△ABC 中，=，∴…………10分18.解：（1）如果命题p 为真命题，∵函数f （x ）=x 3+ax 2+x 在R 上是增函数，∴f′（x ）=3x 2+2ax+1≥0对x ∈（﹣∞，+∞）恒成立…………2分∴…………4分（2）g′（x ）=e x﹣1≥0对任意的x ∈[0，+∞）恒成立，∴g （x ）在区间[0，+∞）递增命题q 为真命题g （0）=a+1＞0⇒a ＞﹣1…………6分 由命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题知p ，q 一真一假， 若p 真q 假，则 …8分 若p 假q 真，则 …10分综上所述， …12分19.解：（1）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知．…………4分（2）ξ可取1，2，3，4，；…………8分故ξ的分布列为…………10分答：ξ的数学期望为．…………12分20.【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB； (6)分（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……………….12分法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……12分21.解：（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1的解集为（b，b+1），即x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0的解集为（b，b+1），∴方程x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0的解为x1=b，x2=b+1，∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2．…………………3分（II）φ（x）得定义域为（1，+∞）．由（I）知f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）==x﹣1+，∴φ′（x）=1﹣﹣=，…………………4分∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0有解，∴方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根，∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0．解方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=，x2=……………6分（1）当b＞0时，x1＜1，x2＞1，∴当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴φ（x）极小值点为…………………8分．（2）当b＜0时，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或k＞2，若k＜﹣2，则x1＜1，x2＜1，∴当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意；………9 分若k＞2，则x1＞1，x2＞1，∴φ（x）在（1，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，∴φ（x）的极大值点为，极小值点为．…………………11分综上，当b＞0时，k取任意实数，函数φ（x）极小值点为；当b＜0时，k＞2，函数φ（x）极小值点为，极大值点为． (12)分22.解：（1）∵，a2=b2+c2，可得a=2b，．∴椭圆的标准方程为：+y2=b2，设P（x，y），（﹣b≤y≤b）．P到点M（0，2）的距离d===，当0＜b＜时，y=﹣b时，d取得最大值，∴b+2=，解得b=﹣2，舍去．当≤b时，y=﹣时，d取得最大值，∴=，解得b=1，满足条件．∴椭圆E的方程为：+y2=1．…………………4分（2）（i）设P（m，n），则=1．⊙P的方程为：（x﹣m）2+（y﹣n）2=，设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k1x，OB的方程为：y=k2x．则=，化为：（5m2﹣4）k2﹣10mnk+5n2﹣4=0，∴k1+k2=，k1k2=，……………………6分假设存在常数λ，使x 1x 2+λy 1y 2=0恒成立，则2121211k k y y x x --=λ, 21k k =﹣=﹣=-, 故4=λ为常数．……………………8分(ii)当l 斜率存在时，设直线l 的方程为b kx y +=联立{b kx y y x +==+4422，得0448)41(222=-+++b kbx x k 22212214144,418k b x x k kb x x +-=+-=+，……………………9分 ()()2222121414kk b b kx b kx y y +-=++=，…………………10分 由（i ）知，x 1x 2+4y 1y 2=0，化简可得22241b k =+，b k k b k kx x k AB 21)41(16166411222222212+=++-+=-+=O 到l 的距离为21k b d +=，121==∆d AB S AOB ……………………11分 当l 斜率不存在时，易得l 的方程为2±=x ，2=AB ，12221=⋅⋅=∆AOB S (12)分。
